概率論與數(shù)理統(tǒng)計課后答案 北郵版 (第三章)

習(xí)題三1.將一硬幣拋擲三次，以X表示在三次中出現(xiàn)正面的次數(shù)，以Y表示三次中出現(xiàn)正面次數(shù)與出現(xiàn)反面次數(shù)之差的絕對值.試寫出X和Y的聯(lián)合分布律.【解】X和Y的聯(lián)合分布律如表：XY01231003002.盒子里裝有3只黑球、2只紅球、2只白球，在其中任取4只球，以X表示取到黑球的只數(shù)，以Y表示取到紅球的只數(shù).求X和Y的聯(lián)合分布律.【解】X和Y的聯(lián)合分布律如表：XY0123000102P(0黑,2紅,2白)=03.設(shè)二維隨機(jī)變量（X，Y）的聯(lián)合分布函數(shù)為F（x，y）=求二維隨機(jī)變量（X，Y）在長方形域內(nèi)的概率.【解】如圖 題3圖說明：也可先求出密度函數(shù)，再求概率。4.設(shè)隨機(jī)變量（X，Y）的分布密度f（x，y）=求：（1） 常數(shù)A；（2） 隨機(jī)變量（X，Y）的分布函數(shù)；（3） P0X<1，0Y<2.【解】（1） 由得 A=12（2） 由定義，有 (3) 5.設(shè)隨機(jī)變量（X，Y）的概率密度為f（x，y）=（1） 確定常數(shù)k；（2） 求PX1，Y3；（3） 求PX<1.5；（4） 求PX+Y4.【解】（1） 由性質(zhì)有故 （2） (3) (4) 題5圖6.設(shè)X和Y是兩個相互獨立的隨機(jī)變量，X在（0，0.2）上服從均勻分布，Y的密度函數(shù)為fY（y）=求：（1） X與Y的聯(lián)合分布密度；（2） PYX.題6圖【解】（1） 因X在（0，0.2）上服從均勻分布，所以X的密度函數(shù)為而所以 (2) 7.設(shè)二維隨機(jī)變量（X，Y）的聯(lián)合分布函數(shù)為F（x，y）=求（X，Y）的聯(lián)合分布密度.【解】8.設(shè)二維隨機(jī)變量（X，Y）的概率密度為f（x，y）=求邊緣概率密度.【解】 題8圖 題9圖9.設(shè)二維隨機(jī)變量（X，Y）的概率密度為f（x，y）=求邊緣概率密度.【解】 題10圖10.設(shè)二維隨機(jī)變量（X，Y）的概率密度為f（x，y）=（1） 試確定常數(shù)c；（2） 求邊緣概率密度.【解】（1） 得.(2) 11.設(shè)隨機(jī)變量（X，Y）的概率密度為f（x，y）=求條件概率密度fYX（yx），fXY（xy）. 題11圖【解】 所以 12.袋中有五個號碼1，2，3，4，5，從中任取三個，記這三個號碼中最小的號碼為X，最大的號碼為Y.（1） 求X與Y的聯(lián)合概率分布；（2） X與Y是否相互獨立？【解】（1） X與Y的聯(lián)合分布律如下表YX345120300(2) 因故X與Y不獨立13.設(shè)二維隨機(jī)變量（X，Y）的聯(lián)合分布律為XY2 5 80.40.80.15 0.30 0.350.05 0.12 0.03（1）求關(guān)于X和關(guān)于Y的邊緣分布；（2） X與Y是否相互獨立？【解】（1）X和Y的邊緣分布如下表XY258PY=yi0.40.150.300.350.80.80.050.120.030.20.20.420.38(2) 因故X與Y不獨立.14.設(shè)X和Y是兩個相互獨立的隨機(jī)變量，X在（0，1）上服從均勻分布，Y的概率密度為fY（y）=（1）求X和Y的聯(lián)合概率密度；（2） 設(shè)含有a的二次方程為a2+2Xa+Y=0，試求a有實根的概率.【解】（1） 因 故 題14圖(2) 方程有實根的條件是故 X2Y，從而方程有實根的概率為： 15.設(shè)X和Y分別表示兩個不同電子器件的壽命（以小時計），并設(shè)X和Y相互獨立，且服從同一分布，其概率密度為f（x）=求Z=X/Y的概率密度.【解】如圖,Z的分布函數(shù)(1) 當(dāng)z0時，（2） 當(dāng)0<z<1時，（這時當(dāng)x=1000時,y=）(如圖a) 題15圖(3) 當(dāng)z1時，（這時當(dāng)y=103時，x=103z）（如圖b） 即 故 16.設(shè)某種型號的電子管的壽命（以小時計）近似地服從N（160，202）分布.隨機(jī)地選取4 只，求其中沒有一只壽命小于180h的概率.【解】設(shè)這四只壽命為Xi(i=1,2,3,4)，則XiN（160，202），從而 17.設(shè)X，Y是相互獨立的隨機(jī)變量，其分布律分別為PX=k=p（k），k=0，1，2，PY=r=q（r），r=0，1，2，.證明隨機(jī)變量Z=X+Y的分布律為PZ=i=，i=0，1，2，.【證明】因X和Y所有可能值都是非負(fù)整數(shù)，所以 于是 18.設(shè)X，Y是相互獨立的隨機(jī)變量，它們都服從參數(shù)為n，p的二項分布.證明Z=X+Y服從參數(shù)為2n，p的二項分布.【證明】方法一：X+Y可能取值為0，1，2，2n. 方法二：設(shè)1,2,n;1,2,，n均服從兩點分布（參數(shù)為p），則X=1+2+n，Y=1+2+n,X+Y=1+2+n+1+2+n,所以，X+Y服從參數(shù)為（2n,p)的二項分布.19.設(shè)隨機(jī)變量（X，Y）的分布律為XY0 1 2 3 4 501230 0.01 0.03 0.05 0.07 0.090.01 0.02 0.04 0.05 0.06 0.080.01 0.03 0.05 0.05 0.05 0.060.01 0.02 0.04 0.06 0.06 0.05 (1) 求PX=2Y=2，PY=3X=0；（2） 求V=max（X，Y）的分布律；（3） 求U=min（X，Y）的分布律；（4） 求W=X+Y的分布律.【解】（1） （2） 所以V的分布律為V=max(X,Y)012345P00.040.160.280.240.28(3) 于是U=min(X,Y)0123P0.280.300.250.17(4)類似上述過程，有W=X+Y012345678P00.020.060.130.190.240.190.120.0520.雷達(dá)的圓形屏幕半徑為R，設(shè)目標(biāo)出現(xiàn)點（X，Y）在屏幕上服從均勻分布.（1） 求PY0YX；（2） 設(shè)M=maxX，Y，求PM0.題20圖【解】因（X，Y）的聯(lián)合概率密度為（1） (2) 21.設(shè)平面區(qū)域D由曲線y=1/x及直線y=0，x=1,x=e2所圍成，二維隨機(jī)變量（X，Y）在區(qū)域D上服從均勻分布，求（X，Y）關(guān)于X的邊緣概率密度在x=2處的值為多少？題21圖【解】區(qū)域D的面積為 （X,Y）的聯(lián)合密度函數(shù)為（X，Y）關(guān)于X的邊緣密度函數(shù)為所以22.設(shè)隨機(jī)變量X和Y相互獨立，下表列出了二維隨機(jī)變量（X，Y）聯(lián)合分布律及關(guān)于X和Y的邊緣分布律中的部分?jǐn)?shù)值.試將其余數(shù)值填入表中的空白處. XYy1 y2 y3PX=xi=pix1x21/81/8PY=yj=pj1/61【解】因,故從而而X與Y獨立，故,從而即： 又即從而同理 又,故.同理從而故YX123.設(shè)某班車起點站上客人數(shù)X服從參數(shù)為(>0)的泊松分布，每位乘客在中途下車的概率為p（0<p<1），且中途下車與否相互獨立，以Y表示在中途下車的人數(shù)，求：（1）在發(fā)車時有n個乘客的條件下，中途有m人下車的概率；（2）二維隨機(jī)變量（X，Y）的概率分布.【解】(1) .(2) 24.設(shè)隨機(jī)變量X和Y獨立，其中X的概率分布為X，而Y的概率密度為f(y)，求隨機(jī)變量U=X+Y的概率密度g(u). 【解】設(shè)F（y）是Y的分布函數(shù)，則由全概率公式，知U=X+Y的分布函數(shù)為 由于X和Y獨立，可見 由此，得U的概率密度為 25. 設(shè)隨機(jī)變量X與Y相互獨立，且均服從區(qū)間0,3上的均勻分布，求PmaxX,Y1.解：因為隨即變量服從0，3上的均勻分布，于是有 因為X，Y相互獨立，所以推得 .26. 設(shè)二維隨機(jī)變量（X，Y）的概率分布為XY -1 0 1 -101a 0 0.20.1 b 0.20 0.1 c其中a,b,c為常數(shù)，且X的數(shù)學(xué)期望E(X)= -0.2,PY0|X0=0.5，記Z=X+Y.求：（1） a,b,c的值；（2） Z的概率分布；（3） PX=Z. 解 (1) 由概率分布的性質(zhì)知，a+b+c+0.6=1 即 a+b+c = 0.4.由，可得.再由 ,得 .解以上關(guān)于a，b，c的三個方程得.(2) Z的可能取值為-2，-1，0，1，2，即Z的概率分布為Z-2 -1 0 1 2P0.2 0.1 0.3 0.3 0.1(3) .27. 設(shè)隨機(jī)變量X,Y獨立同分布,且X的分布函數(shù)為F(x),求Z=maxX,Y的分布函數(shù).解：因為X,Y獨立同分布，所以FX（z）=FY(z),則FZ（z）=PZz=PXz，Yz=Pxz·PYz=F（z）2.28.設(shè)隨機(jī)變量X與Y相互獨立，X的概率分布為Y的概率密度為記Z=X+Y.（1）求（2）求Z的概率密度分析 題（1）可用條件概率的公式求解.題（2）可先求Z的分布函數(shù)，再求導(dǎo)得密度函數(shù).解(1) （2） 29.設(shè)隨機(jī)變量(X,Y)服從二維正態(tài)分布,且X與Y不相關(guān),fX(x),fY(y)分別表示X,Y的概率密度,求在Y=y的條件下,X的條件概率密度fXY(xy).解：由第四章第三節(jié)所證可知，二維正態(tài)分布的不相關(guān)與獨立性等價，所以f(x,y)= fX (x) ·FY(y)，由本章所討論知，.30.設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度為（1）求（2）求Z=X+Y的概率密度.分析 已知(X,Y)的聯(lián)合密度函數(shù)，可用聯(lián)合密度函數(shù)的性質(zhì) 解（1）； Z=X+Y的概率密度函數(shù)可用先求Z的分布函數(shù)再求導(dǎo)的方法或直接套公式求解.解 （1） （2）其中 當(dāng)時，當(dāng)時，當(dāng)時，即Z的概率密度為18