六年級下冊數(shù)學(xué)知識點解析（第二單元比和比例） 北京版(2014秋)

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1、 二　比 和 比 例 　一、比的意義 1.比的認(rèn)識。 比的意義:兩個數(shù)相除,又叫作兩個數(shù)的比。 認(rèn)識比的符號:比用符號“∶”表示,讀作:比。 比的寫法:21比14記作21∶14或2114。 比的讀法:21∶14讀作:二十一比十四。 比的各部分的名稱: 　21　∶　 14=21÷14=2114=32 　↓　↓　 ↓　　　　　　　↓ 　前　比　 后　　　　　 　比值 2.求比值的方法。 用比的前項除以比的后項。 例:32∶4=32×14=38 比與分?jǐn)?shù)、除法之間的聯(lián)系用字母表示為a∶b=a÷b=ab(b≠0)。 3.比與分?jǐn)?shù)、除法之間的區(qū)別。 意義不同:比表示兩

2、個量(或數(shù))之間的一種關(guān)系;除法是一種運算;分?jǐn)?shù)是一個數(shù)。 表示方法不同:作為一種運算,除法算式不能用分?jǐn)?shù)表示;比可以用分?jǐn)?shù)表示;分?jǐn)?shù)不一定表示兩個量的比。 結(jié)果表達(dá)不同:除法一般要求出商;比只有求比值時才通過計算求出商;分?jǐn)?shù)本身就是一個數(shù)值,無需計算。 4.比的基本性質(zhì)。 比的前項和比的后項同時乘或除以相同的數(shù)(0除外),比值不變,這叫作比的基本性質(zhì)。用字母表示為a∶b=(a×c)∶(b×c)=(a÷c)∶(b÷c)(c≠0)。 5.最簡整數(shù)比。 指比的前項和后項都是整數(shù),并且是一對互質(zhì)數(shù),即比的前項和比的后項的最大公因數(shù)是1。 6.化簡比的方法。 化簡整數(shù)比:把比的前項和后

3、項同時除以它們的最大公因數(shù)。 化簡小數(shù)比:先移動小數(shù)點,化成整數(shù)比,再化成最簡單的整數(shù)比。 化簡分?jǐn)?shù)比:先用比的前項除以比的后項,求出商,再化成最簡單的整數(shù)比。 二、比的應(yīng)用 按一定的比進行分配的問題的解題方法: 可以先求出總量一共被平均分成了幾份,然后采用平均分的方法求出每份的具體數(shù)量,最后求出各部分量對應(yīng)的具體數(shù)量。 也可以先求出總量一共被平均分成了幾份,再用相應(yīng)的分?jǐn)?shù)來表示各部分量,最后用分?jǐn)?shù)乘總量求出各部分量對應(yīng)的具體數(shù)量。 三、比例的意義 表示兩個比相等的式子叫作比例。用字母表示為a∶b=c∶d(b、d均不為0)。 組成比例的四個數(shù),叫作比例的項。兩端的兩項叫作比例

4、的外項,中間的兩項叫作比例的內(nèi)項。 例: 判斷兩個比能否組成比例,關(guān)鍵要看它們的比值是否相等。若比值相等,則能組成比例;若比值不相等,則不能組成比例。 比例的基本性質(zhì):在比例中,兩個外項的積等于兩個內(nèi)項的積。用字母表示比例的基本性質(zhì):a∶b=c∶d(b、d均不為0),那么ad=bc。 在每個分?jǐn)?shù)形式的比例中,等號兩邊的分子和分母分別交叉相乘,它們的積都相等。 解比例:求比例中的未知項,叫作解比例。 解比例的方法:根據(jù)比例的基本性質(zhì)解比例,先把比例轉(zhuǎn)化成外項乘積與內(nèi)項乘積相等的形式(即方程),再解方程求出未知項的值。 注意:計算完后要檢驗,檢驗時把x的值代入到原比例式,看比例的

5、左邊的比值是否等于右邊的比值,比值相等則解正確,不相等則解錯誤。 四、比例尺 一幅圖的圖上距離和實際距離的比,叫作這幅圖的比例尺。 求比例尺的方法: 圖上距離∶實際距離=比例尺或圖上距離實際距離=比例尺。 比例尺的類型: 數(shù)值比例尺:用數(shù)字形式表示的比例尺,就是數(shù)值比例尺。例:1∶70000或170000。 線段比例尺:在圖上附有一條注有數(shù)量的線段來表示和地面上相對應(yīng)的實際距離,這樣的比例尺叫作線段比例尺。 例:。 文字比例尺:用文字直接寫出圖上1厘米代表的實際距離是多少,這樣的比例尺叫作文字比例尺。例:圖上1厘米相當(dāng)于實際距離60千米。 縮小比例尺:在繪圖時,有時需要把實

6、際距離按一定的比縮小后在紙上畫出來,用這種方法得到的比例尺就是縮小比例尺。例:1∶20。 放大比例尺:在繪圖時,有時需要把實際尺寸按一定的比放大后畫在紙上,這樣得到的比例尺就是放大比例尺。例:20∶1。 五、正比例和反比例 正比例:兩種相關(guān)聯(lián)的量,一種量變化,另一種量也隨著變化,如果這兩種量中相對應(yīng)的兩個數(shù)的比值(商)一定,這兩種量就叫作成正比例的量,它們的關(guān)系叫作正比例關(guān)系。如果用字母x、y分別表示這兩種相關(guān)聯(lián)的量,用k表示它們的比值,上面的數(shù)量關(guān)系可以用式子表示為yx=k(一定)。 判斷兩種量是否成正比例的方法:先找變量(一種量是否隨著另一種量的變化而變化),再找定量(兩種量中相對

7、應(yīng)的兩個數(shù)的比值是否一定),如果兩個相關(guān)聯(lián)的量的比值一定,則成正比例,如果比值不一定,則不成正比例。 正比例關(guān)系圖像的特征:正比例關(guān)系的圖像是一條經(jīng)過原點的直線。從圖像上可以直觀地看到兩種量的變化情況,不用計算,由一個量的值可以直接找到對應(yīng)的另一個量的值。 反比例:兩種相關(guān)聯(lián)的量,一種量變化,另一種量也隨著變化,如果這兩種量中相對應(yīng)的兩個數(shù)的積一定,這兩種量就叫作成反比例的量,它們的關(guān)系叫作反比例關(guān)系。 如果用字母x、y分別表示這兩種相關(guān)聯(lián)的量,用k表示它們的積,上面的數(shù)量關(guān)系可以用式子表示為xy=k(一定)。 判斷兩種量是否成反比例的方法:先判斷這兩種量是不是相關(guān)聯(lián)的量,再根據(jù)數(shù)量關(guān)

8、系式判斷這兩種量中相對應(yīng)的兩個數(shù)的積是否一定,若積一定,則這兩種量就成反比例,否則不成反比例。 判斷兩種量成正比例還是成反比例的方法: (1)判斷這兩種量是否相關(guān)聯(lián),即一種量是否隨另一種量的變化而變化。 (2)看這兩種相關(guān)聯(lián)的量中相對應(yīng)的兩個數(shù)的比值一定還是積一定,如果比值一定,就成正比例;如果積一定,就成反比例。 六、解決問題 用比例知識解決實際問題的方法:根據(jù)問題中的不變量找出兩種相關(guān)聯(lián)的量,并判斷這兩種量成什么比例,根據(jù)正、反比例關(guān)系式列出相應(yīng)的比例,求解即可。 保持物體的圖像或圖形的形狀不變而使物體的圖像或圖形變大,叫作放大。 保持物體的圖像或圖形的形狀不變而使物體的圖像

9、或圖形變小,叫作縮小。 在方格紙上按一定的比將圖形放大或縮小分為三步: (1)看圖形各邊分別占幾個格; (2)計算按給定的比將圖形的各邊放大或縮小后得到的圖形的各邊分別占幾個格; (3)按計算出的各邊的長畫出放大或縮小后的圖形。 易錯題: 選擇。 求3 km∶4 km的比值,正確的是(A)。 A.3 km∶4 km=3∶4 B.3 km∶4 km=34 錯解分析:此題錯在沒有掌握比值和比的區(qū)別。比值是一個數(shù),不能寫成比的形式。 正確答案:B 溫馨提示: 比值是一個數(shù),可以用分?jǐn)?shù)、小數(shù)或整數(shù)表示。 方法提示: 判斷一個比是不是最簡單的整數(shù)

10、比的方法:看這個比的前項和后項是不是只有公因數(shù)1。 重點提示: 對于不同單位的兩個量的比,進行化簡時,應(yīng)先統(tǒng)一單位,再化簡?；喌慕Y(jié)果必須是比,即使后項是1也不能省略。 重點提示: 解答按一定的比進行分配的問題時,不但要找準(zhǔn)分配的比,還要找準(zhǔn)被分配的量。 知識巧記: 比例組成有條件, 兩比相等不能變。 外項內(nèi)項積相等, 性質(zhì)應(yīng)用很廣泛。 　易錯題: 5x=6y(x、y均不為0)則x∶y=5∶6 (􀳫) 錯解分析:此題錯在對比例的基本性質(zhì)理解不透徹。根據(jù)外項的積等于內(nèi)項的積,若x作外項,則和x相乘的5也要作外項。 正確答案:? 知識巧記:

11、解比例,并不難, 基本性質(zhì)記心間; 外項內(nèi)項分別乘, 比例轉(zhuǎn)為方程算; 解出方程需檢驗, 比值相等是關(guān)鍵。 重點提示: 實際距離=圖上距離÷比例尺; 圖上距離=實際距離×比例尺。 靈活應(yīng)用: (1)為了計算方便,通常把縮小比例尺寫成帶比號的形式時,前項一般為1。若寫成分?jǐn)?shù)形式,分子一般為1。 (2)為了計算方便,通常把放大比例尺的后項寫成1。 知識巧記: 正比例,好脾氣, 兩量相關(guān)要謹(jǐn)記; 同擴同縮好兄弟, 比值永遠(yuǎn)不變異。 　　圖上距離一般用厘米作單位,實際距離一般用米和千米作單位,在進行有關(guān)比例尺的計算時要先統(tǒng)一單位。 　重點提示: 在yx=k(一定)和xy=k(一定)中,k表示固定不變的量,也叫常量,只有k保持不變,變量x和y才成正比例或反比例。 重點提示:成比例的兩種量必須是相關(guān)聯(lián)的量,而兩種相關(guān)聯(lián)的量卻不一定成比例。如兩種量的和或差一定時,這兩種量雖然相關(guān)聯(lián),但不成比例。 重點提示: 判斷兩種相關(guān)聯(lián)的量成什么比例,是解決問題的關(guān)鍵。 重點提示: 把一個圖形放大或縮小后得到的圖形與原圖形相比,形狀相同,大小不同。