大學(xué)物理教學(xué)課件：力5第五章剛體的定軸轉(zhuǎn)動

第五章第五章 剛體的定軸轉(zhuǎn)動剛體的定軸轉(zhuǎn)動5.1 剛體的運動剛體的運動 5.2 剛體定軸轉(zhuǎn)動定律剛體定軸轉(zhuǎn)動定律 5.3 轉(zhuǎn)動慣量的計算轉(zhuǎn)動慣量的計算 5.4 剛體定軸轉(zhuǎn)動定律的應(yīng)用剛體定軸轉(zhuǎn)動定律的應(yīng)用 5.5 轉(zhuǎn)動中的功和能轉(zhuǎn)動中的功和能 5.6 剛體的角動量和角動量守恒定律剛體的角動量和角動量守恒定律5.7 進(jìn)動進(jìn)動 5.1 剛體的運動剛體的運動 剛體（剛體（rigid body）：特殊的質(zhì)點系，形狀和體積不變化，）：特殊的質(zhì)點系，形狀和體積不變化， 理想化的模型。理想化的模型。平動和轉(zhuǎn)動，可以描平動和轉(zhuǎn)動，可以描述所有質(zhì)元（質(zhì)點）述所有質(zhì)元（質(zhì)點）的運動。的運動。平動（平動（translation）時，剛體上所有點時，剛體上所有點運動都相同。運動都相同。剛體質(zhì)點間的相對運剛體質(zhì)點間的相對運動只能是繞某一軸轉(zhuǎn)動只能是繞某一軸轉(zhuǎn)動（動（rotation）的結(jié)果。）的結(jié)果。o oooddtP點線速度點線速度vrrP點線加速度點線加速度advdtddtrdrdtrv旋轉(zhuǎn)加速度向軸加速度瞬時軸瞬時軸v rrP 基點基點O剛體剛體剛體繞剛體繞O的轉(zhuǎn)動其轉(zhuǎn)軸是的轉(zhuǎn)動其轉(zhuǎn)軸是可以改變的，反映順時軸可以改變的，反映順時軸的方向及轉(zhuǎn)動快慢，引入的方向及轉(zhuǎn)動快慢，引入角速度矢量角速度矢量 和角加速和角加速度矢量度矢量 定軸轉(zhuǎn)動（定軸轉(zhuǎn)動（rotation about affixed axis）：退化為代數(shù)量，退化為代數(shù)量，剛體上任意點都繞同剛體上任意點都繞同一軸作圓周運動，且一軸作圓周運動，且 ， 都相同。都相同。 , rv2 ran rdtdvat const. )()(0202221002 ttt OvP,rr定軸定軸剛體剛體 參考方向參考方向z5.2 剛體的定軸轉(zhuǎn)動定律剛體的定軸轉(zhuǎn)動定律 類似于多質(zhì)點系類似于多質(zhì)點系 )()()(iiiiiiiiizzzzrmrvmLLzdtdLModtLdM2軸對點對則外外 iiizrmJ2 Jz稱為剛體對稱為剛體對 z 軸的軸的轉(zhuǎn)動慣量轉(zhuǎn)動慣量rotational inertiaivi O, ,riri定軸定軸剛體剛體zFimidtdJdtdLMzzz 外 zzJM 外轉(zhuǎn)動定律轉(zhuǎn)動定律 iiiizrFM sin外其中其中是對是對 z 軸的外力矩和。軸的外力矩和。定軸下，可不寫角標(biāo)定軸下，可不寫角標(biāo) Z，記作：，記作：與牛與牛II比較：比較：MFJma MJ J反映剛體轉(zhuǎn)動的慣性反映剛體轉(zhuǎn)動的慣性5.3 轉(zhuǎn)動慣量的計算轉(zhuǎn)動慣量的計算 miidmrJrmJ)()(連續(xù)分立 22 J由質(zhì)量對軸的分布決定。由質(zhì)量對軸的分布決定。dmrm一一. 常用的幾個常用的幾個J均勻圓環(huán)：均勻圓環(huán)：Jc =mR2；均勻圓盤：均勻圓盤：均勻桿：均勻桿：Jmrr rrrrciiiiiiiiii22322 rrr drRiiRi330414 JRmRc241242JmlJmlcA1121322，RmC CRmCCAml2l2二二. . 計算計算 J的幾條規(guī)律的幾條規(guī)律1. 對同一軸對同一軸 J具有可疊加性具有可疊加性J =Ji Jmrzi ii 22. 平行軸定理平行軸定理Jmrm xyzi iiiiii 222() m xm xxiiiiici22 () mxxmxxmiiciiiicii222=0 xydcc222 m xyJiiiic( )22 JJmdc 2 JJcmin=mCdmJCJ平行平行 3. 對薄平板剛體的正交對薄平板剛體的正交軸定理軸定理Jm rm xm yziiiiii 222 例：已知圓盤例：已知圓盤JmRz 122求對圓盤的一條直徑的求對圓盤的一條直徑的J Jx x （或（或 J y）。）。由由JJJJJJJmRzyxxyxy 142即即 JJJxy y rix z yi xi mi yx z 圓盤圓盤 R C m已知：已知： R =0.2 m，m =1kg，vo=0， h =1.5 m，繩輪無相對滑動，繩，繩輪無相對滑動，繩不可伸長，下落時間不可伸長，下落時間 t =3s。求：輪對求：輪對O 軸軸 J=？解：動力學(xué)關(guān)系：解：動力學(xué)關(guān)系：對輪：對輪：TRJ (1), 對對：mmg T ma (2)5.4 轉(zhuǎn)動定律應(yīng)用舉例轉(zhuǎn)動定律應(yīng)用舉例 定軸定軸ORthmv0=0繩繩TGRNmgT = - T ma運動學(xué)關(guān)系：運動學(xué)關(guān)系： aR(3)hat 122(4)(1)(4)聯(lián)立解得：聯(lián)立解得：JgthmR ()2221 (.).9832151102114222kg m分析：分析：單位對；單位對；、一定，一定，合理；，合理；若若，得，得，正確。，正確。1230122.hmJtJhgt WF sinrF r sinM () WF s WMiii 力矩的空間積累效應(yīng)力矩的空間積累效應(yīng)5.5 定軸轉(zhuǎn)動中的功能關(guān)系定軸轉(zhuǎn)動中的功能關(guān)系 二二. . 定軸轉(zhuǎn)動動能定理定軸轉(zhuǎn)動動能定理 MdLdtJddtzzz外外 類比一維情形：類比一維情形：Fmdvdt ddtvdsdt- WJJ1222121212 一一. 力矩的功力矩的功J - m d zx 軸軸rF令令轉(zhuǎn)動動能轉(zhuǎn)動動能EJk 122 （可證：（可證：）121222Jm vi i 則則 WEEkk 21應(yīng)用：應(yīng)用： 飛輪儲能，飛輪儲能，Ek 2 Ek 慣性電車。慣性電車。三三. . 定軸轉(zhuǎn)動的功原理定軸轉(zhuǎn)動的功原理質(zhì)點系功能原理對剛體仍成立：質(zhì)點系功能原理對剛體仍成立：W外外+ W內(nèi)非內(nèi)非=（Ek2+Ep2） （Ek1+ Ep1）剛體重力勢能：剛體重力勢能：若若dW外外+ dW內(nèi)非內(nèi)非=0， 則則Ek +Ep =常量。常量。Emghmgmhmmghpiiiic ChchimiEp=0例例已知：均勻直桿已知：均勻直桿 m，長為，長為 l，初始水平靜止，軸光滑，初始水平靜止，軸光滑，AOl 4 。求求 : 桿下擺桿下擺 角后，角速度角后，角速度 ?軸對桿作用力軸對桿作用力 N?解：桿解：桿 地球系統(tǒng)，地球系統(tǒng)， 只有重力作功，只有重力作功，E 守恒。守恒。初始：初始：，Ek10 令令 EP10 末態(tài)：末態(tài)： EJko2212 , EmglP24 sin 則：則： 12402Jmglo sin (1) 由平行軸定理由平行軸定理 JJmdoc 2 1124748222mlmlml( ) (2)由由(1)、(2)得：得： 267glsin應(yīng)用質(zhì)心運動定理：應(yīng)用質(zhì)心運動定理： Nmgmac $ $sinlmgNmalcl方向：方向： (3)$ $costmgNmatct方向：方向： (4)algcl 4672 sin (5)allmgJctlo 444 cos 37g cos (6)由由(3)(4)(5)(6) 可解得：可解得：Nmgl 137sin, Nmgt 47cos Nmglmgt 13747sin$ $cos$ $ Nmg 7153162sin tgNNtgctgtl11413|()5.6 剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量定理和角動量守恒定律剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量定理和角動量守恒定律現(xiàn)在討論力矩對時間的積累效應(yīng)。現(xiàn)在討論力矩對時間的積累效應(yīng)。質(zhì)點系：質(zhì)點系：對點：對點： MdLdt外外 ， MtLLiii外外 21對軸：對軸：MtLLziiizz外外 21剛體：剛體：Lz =Jz iMtJJziizz外外 21剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量定理剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量定理 當(dāng)當(dāng) M外外z=0 時，時，Jz =const .大小不變大小不變正、負(fù)不變正、負(fù)不變 若剛體由幾部分組成，且都繞同一軸轉(zhuǎn)動，若剛體由幾部分組成，且都繞同一軸轉(zhuǎn)動， 當(dāng)當(dāng) Mz外外 0 時，時，Jconst.izi ，這時角動量可在內(nèi)部傳遞。，這時角動量可在內(nèi)部傳遞。例例如圖示已知：如圖示已知： M=2m，h， =60求：碰撞后瞬間盤的求：碰撞后瞬間盤的 0 ？ P 轉(zhuǎn)到轉(zhuǎn)到 x 軸時盤的軸時盤的 =? ?解：解：m下落：下落：mghmv 122vgh 2(1)碰撞碰撞 t 極小，對極小，對 m +盤系統(tǒng)，沖力遠(yuǎn)大于重力，故重力對盤系統(tǒng)，沖力遠(yuǎn)大于重力，故重力對O力矩可忽略，角動量守恒：力矩可忽略，角動量守恒：mvRJocos (2)JMRmRmR 122222 (3)由由 (1)(2)(3) 得：得： oghR 22cos (4)對對 m + M +地球系統(tǒng)，只有重力做功，地球系統(tǒng)，只有重力做功， E守恒，守恒，則：則：P、 x 重合時重合時 EP=0 。令令1mgRJJosin 12222(5)由由 (3)(4)(5)得：得： ghRgR222cossin 12243RghR.()() 60o o MJmgRmRgR2225.7 旋進(jìn)旋進(jìn)（進(jìn)動，Precession）旋進(jìn)：高速旋轉(zhuǎn)的物體，其自轉(zhuǎn)軸繞另一個軸轉(zhuǎn)動的現(xiàn)象。旋進(jìn)：高速旋轉(zhuǎn)的物體，其自轉(zhuǎn)軸繞另一個軸轉(zhuǎn)動的現(xiàn)象。定軸轉(zhuǎn)動定軸轉(zhuǎn)動 LL zz $ $（對軸）（對軸） 但對定點轉(zhuǎn)動但對定點轉(zhuǎn)動 L還平行于還平行于 嗎？嗎？顯然若顯然若mm12 (不對稱不對稱 )，則則 L（對（對點）點） 0，但質(zhì)量分布對稱、且剛體繞對稱但質(zhì)量分布對稱、且剛體繞對稱軸轉(zhuǎn)動時，對軸上任一點有：軸轉(zhuǎn)動時，對軸上任一點有： L軸軸 LL zJzz()$ $()對點對點對軸對軸 只討論具有對稱軸的剛體的旋進(jìn)問題只討論具有對稱軸的剛體的旋進(jìn)問題 MdLdt dLMdtM 當(dāng)當(dāng)時，時，MLd LL 則則只改變方向只改變方向 L不改變大小。不改變大小。 dLLd sin Q Qddt W WQ Q令令 則則MdLdtLddt sin Q QL sin W W W WMLMJsinsin 1 即：即： W W ，當(dāng)當(dāng)時，時， 90W WMJ 。以上只是近似討論，因為當(dāng)旋進(jìn)發(fā)生后：以上只是近似討論，因為當(dāng)旋進(jìn)發(fā)生后： 總總 W W只有高速自轉(zhuǎn)只有高速自轉(zhuǎn) W W時時， 才有才有總總 & & 這時才有這時才有 LJ& & 當(dāng)考慮到當(dāng)考慮到 W W 對對 總總 的貢獻(xiàn)時，的貢獻(xiàn)時， 自轉(zhuǎn)軸在旋進(jìn)自轉(zhuǎn)軸在旋進(jìn)時還會出現(xiàn)時還會出現(xiàn)微小的上下的周期擺動，微小的上下的周期擺動， 這種運動叫章動這種運動叫章動 (nutation)。地球轉(zhuǎn)軸的旋進(jìn)：非球效應(yīng)，進(jìn)動周期地球轉(zhuǎn)軸的旋進(jìn)：非球效應(yīng)，進(jìn)動周期25800 年，歲年，歲差差 （地球繞太陽一周：恒星年，春夏秋冬一輪回：太陽（地球繞太陽一周：恒星年，春夏秋冬一輪回：太陽年）年）20 分分 33 秒秒; ; 前漢，劉，觀察到前漢，劉，觀察到; ; 祖沖之，引入農(nóng)祖沖之，引入農(nóng)歷閏月歷閏月; ; 3000 年前，周，北極是年前，周，北極是b b，現(xiàn)，現(xiàn) ，12000年后，年后，織女星。織女星。