數(shù)學(xué)（江蘇卷）解析版2019年高考試題真題1[檢測(cè)復(fù)習(xí)]

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絕密★啟用前 2019年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（江蘇卷） 數(shù)學(xué)Ⅰ 注意事項(xiàng) 考生在答題前請(qǐng)認(rèn)真閱讀本注意事項(xiàng)及各題答題要求 1．本試卷共4頁，均為非選擇題(第1題~第20題，共20題)。本卷滿分為160分，考試時(shí)間為120分鐘。考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一片交回。 2．答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置。 3．請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員從答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符。 4．作答試題，必須用0.5毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效。 5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號(hào)等須加黑、加粗。 參考公式： 樣本數(shù)據(jù)的方差，其中． 柱體的體積，其中是柱體的底面積，是柱體的高． 錐體的體積，其中是錐體的底面積，是錐體的高． 一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共計(jì)70分．請(qǐng)把答案填寫在答題卡相應(yīng)位置上． 1.已知集合，，則_____. 【答案】. 【解析】 【分析】 由題意利用交集的定義求解交集即可. 【詳解】由題知，. 【點(diǎn)睛】本題主要考查交集的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題. 2.已知復(fù)數(shù)的實(shí)部為0，其中為虛數(shù)單位，則實(shí)數(shù)a的值是_____. 【答案】2. 【解析】 【分析】 本題根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算法則先求得，然后根據(jù)復(fù)數(shù)的概念，令實(shí)部為0即得a的值. 【詳解】， 令得. 【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，虛部的定義等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力. 3.下圖是一個(gè)算法流程圖，則輸出的S的值是_____. 【答案】5. 【解析】 【分析】 結(jié)合所給的流程圖運(yùn)行程序確定輸出的值即可. 【詳解】執(zhí)行第一次，不成立，繼續(xù)循環(huán)，； 執(zhí)行第二次，不成立，繼續(xù)循環(huán)，； 執(zhí)行第三次，不成立，繼續(xù)循環(huán)，； 執(zhí)行第四次，成立，輸出 【點(diǎn)睛】識(shí)別、運(yùn)行程序框圖和完善程序框圖的思路： (1)要明確程序框圖的順序結(jié)構(gòu)、條件結(jié)構(gòu)和循環(huán)結(jié)構(gòu)． (2)要識(shí)別、運(yùn)行程序框圖，理解框圖所解決的實(shí)際問題． (3)按照題目的要求完成解答并驗(yàn)證． 4.函數(shù)的定義域是_____. 【答案】. 【解析】 【分析】 由題意得到關(guān)于x的不等式，解不等式可得函數(shù)的定義域. 【詳解】由已知得, 即 解得， 故函數(shù)的定義域?yàn)? 【點(diǎn)睛】求函數(shù)的定義域，其實(shí)質(zhì)就是以函數(shù)解析式有意義為準(zhǔn)則，列出不等式或不等式組，然后求出它們的解集即可． 5.已知一組數(shù)據(jù)6，7，8，8，9，10，則該組數(shù)據(jù)的方差是____. 【答案】. 【解析】 【分析】 由題意首先求得平均數(shù)，然后求解方差即可. 【詳解】由題意，該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為， 所以該組數(shù)據(jù)的方差是. 【點(diǎn)睛】本題主要考查方差的計(jì)算公式，屬于基礎(chǔ)題. 6.從3名男同學(xué)和2名女同學(xué)中任選2名同學(xué)參加志愿者服務(wù)，則選出的2名同學(xué)中至少有1名女同學(xué)的概率是_____. 【答案】. 【解析】 【分析】 先求事件的總數(shù)，再求選出的2名同學(xué)中至少有1名女同學(xué)的事件數(shù)，最后根據(jù)古典概型的概率計(jì)算公式得出答案. 【詳解】從3名男同學(xué)和2名女同學(xué)中任選2名同學(xué)參加志愿服務(wù)，共有種情況. 若選出的2名學(xué)生恰有1名女生，有種情況， 若選出的2名學(xué)生都是女生，有種情況， 所以所求的概率為. 【點(diǎn)睛】計(jì)數(shù)原理是高考考查的重點(diǎn)內(nèi)容，考查的形式有兩種，一是獨(dú)立考查，二是與古典概型結(jié)合考查，由于古典概型概率的計(jì)算比較明確，所以，計(jì)算正確基本事件總數(shù)是解題的重要一環(huán).在處理問題的過程中，應(yīng)注意審清題意，明確“分類”“分步”，根據(jù)順序有無，明確“排列”“組合”. 7.在平面直角坐標(biāo)系中，若雙曲線經(jīng)過點(diǎn)（3，4)，則該雙曲線的漸近線方程是_____. 【答案】. 【解析】 【分析】 根據(jù)條件求，再代入雙曲線的漸近線方程得出答案. 【詳解】由已知得， 解得或， 因?yàn)?，所? 因?yàn)椋? 所以雙曲線的漸近線方程為. 【點(diǎn)睛】雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)，往往以小題的形式考查，其難度一般較小，是高考必得分題.雙曲線漸近線與雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程中的密切相關(guān)，事實(shí)上，標(biāo)準(zhǔn)方程中化1為0，即得漸近線方程. 8.已知數(shù)列是等差數(shù)列，是其前n項(xiàng)和.若，則的值是_____. 【答案】16. 【解析】 【分析】 由題意首先求得首項(xiàng)和公差，然后求解前8項(xiàng)和即可. 【詳解】由題意可得：， 解得：，則. 【點(diǎn)睛】等差數(shù)列、等比數(shù)列的基本計(jì)算問題，是高考必考內(nèi)容，解題過程中要注意應(yīng)用函數(shù)方程思想，靈活應(yīng)用通項(xiàng)公式、求和公式等，構(gòu)建方程（組），如本題，從已知出發(fā)，構(gòu)建的方程組. 9.如圖，長(zhǎng)方體的體積是120，E為的中點(diǎn)，則三棱錐E-BCD的體積是_____. 【答案】10. 【解析】 【分析】 由題意結(jié)合幾何體的特征和所給幾何體的性質(zhì)可得三棱錐的體積. 【詳解】因?yàn)殚L(zhǎng)方體的體積為120， 所以， 因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)， 所以， 由長(zhǎng)方體的性質(zhì)知底面， 所以是三棱錐的底面上的高， 所以三棱錐的體積. 【點(diǎn)睛】本題蘊(yùn)含“整體和局部”的對(duì)立統(tǒng)一規(guī)律.在幾何體面積或體積的計(jì)算問題中，往往需要注意理清整體和局部的關(guān)系，靈活利用“割”與“補(bǔ)”的方法解題. 10.在平面直角坐標(biāo)系中，P是曲線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線x+y=0的距離的最小值是_____. 【答案】4. 【解析】 【分析】 將原問題轉(zhuǎn)化為切點(diǎn)與直線之間的距離，然后利用導(dǎo)函數(shù)確定切點(diǎn)坐標(biāo)可得最小距離 【詳解】當(dāng)直線平移到與曲線相切位置時(shí)，切點(diǎn)Q即為點(diǎn)P到直線的距離最小. 由，得，， 即切點(diǎn)， 則切點(diǎn)Q到直線的距離為， 故答案為：． 【點(diǎn)睛】本題考查曲線上任意一點(diǎn)到已知直線的最小距離，滲透了直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).采取導(dǎo)數(shù)法和公式法，利用數(shù)形結(jié)合和轉(zhuǎn)化與化歸思想解題. 11.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A在曲線y=lnx上，且該曲線在點(diǎn)A處的切線經(jīng)過點(diǎn)（-e，-1)(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），則點(diǎn)A的坐標(biāo)是____. 【答案】. 【解析】 【分析】 設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)，得到切線方程，然后求解方程得到橫坐標(biāo)的值可得切點(diǎn)坐標(biāo). 【詳解】設(shè)點(diǎn)，則.又， 當(dāng)時(shí)，， 點(diǎn)A在曲線上切線為， 即， 代入點(diǎn)，得， 即， 考查函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，， 且，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增， 注意到，故存在唯一的實(shí)數(shù)根，此時(shí)， 故點(diǎn)的坐標(biāo)為. 【點(diǎn)睛】導(dǎo)數(shù)運(yùn)算及切線的理解應(yīng)注意的問題： 一是利用公式求導(dǎo)時(shí)要特別注意除法公式中分子的符號(hào)，防止與乘法公式混淆． 二是直線與曲線公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)不是切線的本質(zhì)，直線與曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)，直線不一定是曲線的切線，同樣，直線是曲線的切線，則直線與曲線可能有兩個(gè)或兩個(gè)以上的公共點(diǎn)． 12.如圖，在中，D是BC的中點(diǎn)，E在邊AB上，BE=2EA，AD與CE交于點(diǎn).若，則的值是_____. 【答案】. 【解析】 【分析】 由題意將原問題轉(zhuǎn)化為基底的數(shù)量積，然后利用幾何性質(zhì)可得比值. 【詳解】如圖，過點(diǎn)D作DF//CE，交AB于點(diǎn)F，由BE=2EA，D為BC中點(diǎn)，知BF=FE=EA,AO=OD. ， 得即故. 【點(diǎn)睛】本題考查在三角形中平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，滲透了直觀想象、邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).采取幾何法，利用數(shù)形結(jié)合和方程思想解題. 13.已知，則的值是_____. 【答案】. 【解析】 【分析】 由題意首先求得的值，然后利用兩角和差正余弦公式和二倍角公式將原問題轉(zhuǎn)化為齊次式求值的問題，最后切化弦求得三角函數(shù)式的值即可. 【詳解】由， 得， 解得，或. ， 當(dāng)時(shí)，上式 當(dāng)時(shí)，上式= 綜上， 【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值，滲透了邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).采取轉(zhuǎn)化法，利用分類討論和轉(zhuǎn)化與化歸思想解題. 14.設(shè)是定義在R上的兩個(gè)周期函數(shù)，的周期為4，的周期為2，且是奇函數(shù).當(dāng)時(shí)，，，其中k>0.若在區(qū)間(0，9]上，關(guān)于x的方程有8個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是_____. 【答案】. 【解析】 【分析】 分別考查函數(shù)和函數(shù)圖像的性質(zhì)，考查臨界條件確定k的取值范圍即可. 【詳解】當(dāng)時(shí)，即 又為奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，其周期為4，如圖，函數(shù)與的圖象，要使在(0,9]上有8個(gè)實(shí)根，只需二者圖象有8個(gè)交點(diǎn)即可. 當(dāng)時(shí)，函數(shù)與的圖象有2個(gè)交點(diǎn)； 當(dāng)時(shí)，的圖象為恒過點(diǎn)（-2，0）的直線，只需函數(shù)與的圖象有6個(gè)交點(diǎn).當(dāng)與圖象相切時(shí)，圓心（1，0）到直線的距離為1，即，得，函數(shù)與的圖象有3個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)過點(diǎn)（1,1）時(shí)，函數(shù)與的圖象有6個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)，得. 綜上可知，滿足在(0,9]上有8個(gè)實(shí)根的k的取值范圍為. 【點(diǎn)睛】本題考點(diǎn)為參數(shù)的取值范圍，側(cè)重函數(shù)方程的多個(gè)實(shí)根，難度較大.不能正確畫出函數(shù)圖象的交點(diǎn)而致誤，根據(jù)函數(shù)的周期性平移圖象，找出兩個(gè)函數(shù)圖象相切或相交的臨界交點(diǎn)個(gè)數(shù)，從而確定參數(shù)的取值范圍. 二、解答題：本大題共6小題，共計(jì)90分．請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟． 15.在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c． （1）若a=3c，b=，cosB=，求c的值； （2）若，求的值． 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】 (1)由題意結(jié)合余弦定理得到關(guān)于c的方程，解方程可得邊長(zhǎng)c的值； (2)由題意結(jié)合正弦定理和同角三角函數(shù)基本關(guān)系首先求得的值，然后由誘導(dǎo)公式可得的值. 【詳解】（1）因?yàn)椋? 由余弦定理，得，即. 所以. （2）因?yàn)椋? 由正弦定理，得，所以. 從而，即，故. 因?yàn)?，所以，從? 因此. 【點(diǎn)睛】本題主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函數(shù)關(guān)系、誘導(dǎo)公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力. 16.如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分別為BC，AC的中點(diǎn)，AB=BC． 求證：（1）A1B1∥平面DEC1； （2）BE⊥C1E． 【答案】（1）見解析；（2）見解析. 【解析】 【分析】 (1)由題意結(jié)合幾何體的空間結(jié)構(gòu)特征和線面平行的判定定理即可證得題中的結(jié)論； (2)由題意首先證得線面垂直，然后結(jié)合線面垂直證明線線垂直即可. 【詳解】（1）因?yàn)镈，E分別為BC，AC的中點(diǎn)， 所以ED∥AB. 在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB∥A1B1， 所以A1B1∥ED. 又因?yàn)镋D?平面DEC1，A1B1平面DEC1， 所以A1B1∥平面DEC1. （2）因?yàn)锳B=BC，E為AC的中點(diǎn)，所以BE⊥AC. 因?yàn)槿庵鵄BC-A1B1C1是直棱柱，所以CC1⊥平面ABC. 又因?yàn)锽E?平面ABC，所以CC1⊥BE. 因?yàn)镃1C?平面A1ACC1，AC?平面A1ACC1，C1C∩AC=C， 所以BE⊥平面A1ACC1. 因?yàn)镃1E?平面A1ACC1，所以BE⊥C1E. 【點(diǎn)睛】本題主要考查直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查空間想象能力和推理論證能力. 17.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C:的焦點(diǎn)為F1（–1、0）， F2（1，0）．過F2作x軸的垂線l，在x軸的上方，l與圓F2:交于點(diǎn)A，與橢圓C交于點(diǎn)D.連結(jié)AF1并延長(zhǎng)交圓F2于點(diǎn)B，連結(jié)BF2交橢圓C于點(diǎn)E，連結(jié)DF1．已知DF1=． （1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程； （2）求點(diǎn)E的坐標(biāo)． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】 (1)由題意分別求得a,b的值即可確定橢圓方程； (2)解法一：由題意首先確定直線的方程，聯(lián)立直線方程與圓的方程，確定點(diǎn)B的坐標(biāo)，聯(lián)立直線BF2與橢圓的方程即可確定點(diǎn)E的坐標(biāo)； 解法二：由題意利用幾何關(guān)系確定點(diǎn)E的縱坐標(biāo)，然后代入橢圓方程可得點(diǎn)E的坐標(biāo). 【詳解】（1）設(shè)橢圓C的焦距為2c. 因?yàn)镕1(－1，0)，F(xiàn)2(1，0)，所以F1F2=2，c=1. 又因?yàn)镈F1=，AF2⊥x軸，所以DF2=， 因此2a=DF1+DF2=4，從而a=2 由b2=a2-c2，得b2=3. 因此，橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為. （2）解法一： 由（1）知，橢圓C：，a=2， 因?yàn)锳F2⊥x軸，所以點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為1. 將x=1代入圓F2的方程(x-1) 2+y2=16，解得y=4. 因?yàn)辄c(diǎn)A在x軸上方，所以A(1，4). 又F1(-1，0)，所以直線AF1：y=2x+2. 由，得， 解得或. 將代入，得， 因此.又F2(1，0)，所以直線BF2：. 由，得，解得或. 又因?yàn)镋是線段BF2與橢圓的交點(diǎn)，所以. 將代入，得.因此. 解法二： 由（1）知，橢圓C：.如圖，連結(jié)EF1. 因?yàn)锽F2=2a，EF1+EF2=2a，所以EF1=EB， 從而∠BF1E=∠B. 因?yàn)镕2A=F2B，所以∠A=∠B， 所以∠A=∠BF1E，從而EF1∥F2A. 因?yàn)锳F2⊥x軸，所以EF1⊥x軸. 因?yàn)镕1(-1，0)，由，得. 又因?yàn)镋是線段BF2與橢圓的交點(diǎn)，所以. 因此. 【點(diǎn)睛】本題主要考查直線方程、圓的方程、橢圓方程、橢圓的幾何性質(zhì)、直線與圓及橢圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、分析問題能力和運(yùn)算求解能力. 18.如圖，一個(gè)湖的邊界是圓心為O的圓，湖的一側(cè)有一條直線型公路l，湖上有橋AB（AB是圓O的直徑）．規(guī)劃在公路l上選兩個(gè)點(diǎn)P、Q，并修建兩段直線型道路PB、QA．規(guī)劃要求:線段PB、QA上的所有點(diǎn)到點(diǎn)O的距離均不小于圓O的半徑．已知點(diǎn)A、B到直線l的距離分別為AC和BD（C、D為垂足），測(cè)得AB=10，AC=6，BD=12（單位:百米）． （1）若道路PB與橋AB垂直，求道路PB的長(zhǎng)； （2）在規(guī)劃要求下，P和Q中能否有一個(gè)點(diǎn)選在D處？并說明理由； （3）對(duì)規(guī)劃要求下，若道路PB和QA的長(zhǎng)度均為d（單位：百米）.求當(dāng)d最小時(shí)，P、Q兩點(diǎn)間的距離． 【答案】（1）15（百米）； （2）見解析； （3）17+（百米）. 【解析】 【分析】 解：解法一： （1）過A作，垂足為E.利用幾何關(guān)系即可求得道路PB的長(zhǎng)； （2）分類討論P(yáng)和Q中能否有一個(gè)點(diǎn)選在D處即可. （3）先討論點(diǎn)P的位置，然后再討論點(diǎn)Q的位置即可確定當(dāng)d最小時(shí)，P、Q兩點(diǎn)間的距離． 解法二： （1）建立空間直角坐標(biāo)系，分別確定點(diǎn)P和點(diǎn)B的坐標(biāo)，然后利用兩點(diǎn)之間距離公式可得道路PB的長(zhǎng)； （2）分類討論P(yáng)和Q中能否有一個(gè)點(diǎn)選在D處即可. （3）先討論點(diǎn)P的位置，然后再討論點(diǎn)Q的位置即可確定當(dāng)d最小時(shí)，P、Q兩點(diǎn)間的距離． 【詳解】解法一： （1）過A作，垂足為E. 由已知條件得，四邊形ACDE為矩形，. 因?yàn)镻B⊥AB， 所以. 所以. 因此道路PB的長(zhǎng)為15（百米）. （2）①若P在D處，由（1）可得E在圓上，則線段BE上的點(diǎn)（除B，E）到點(diǎn)O的距離均小于圓O的半徑，所以P選在D處不滿足規(guī)劃要求. ②若Q在D處，連結(jié)AD，由（1）知， 從而，所以∠BAD為銳角. 所以線段AD上存在點(diǎn)到點(diǎn)O的距離小于圓O的半徑. 因此，Q選在D處也不滿足規(guī)劃要求. 綜上，P和Q均不能選在D處. （3）先討論點(diǎn)P的位置. 當(dāng)∠OBP<90時(shí)，線段PB上存在點(diǎn)到點(diǎn)O的距離小于圓O的半徑，點(diǎn)P不符合規(guī)劃要求； 當(dāng)∠OBP≥90時(shí)，對(duì)線段PB上任意一點(diǎn)F，OF≥OB，即線段PB上所有點(diǎn)到點(diǎn)O的距離均不小于圓O的半徑，點(diǎn)P符合規(guī)劃要求. 設(shè)為l上一點(diǎn)，且，由（1）知，， 此時(shí)； 當(dāng)∠OBP>90時(shí)，在中，. 由上可知，d≥15. 再討論點(diǎn)Q的位置. 由（2）知，要使得QA≥15，點(diǎn)Q只有位于點(diǎn)C的右側(cè)，才能符合規(guī)劃要求.當(dāng)QA=15時(shí)，.此時(shí)，線段QA上所有點(diǎn)到點(diǎn)O的距離均不小于圓O的半徑. 綜上，當(dāng)PB⊥AB，點(diǎn)Q位于點(diǎn)C右側(cè)，且CQ=時(shí)，d最小，此時(shí)P，Q兩點(diǎn)間的距離PQ=PD+CD+CQ=17+. 因此，d最小時(shí)，P，Q兩點(diǎn)間的距離為17+（百米）. 解法二： （1）如圖，過O作OH⊥l，垂足為H. 以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線OH為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系. 因?yàn)锽D=12，AC=6，所以O(shè)H=9，直線l的方程為y=9，點(diǎn)A，B的縱坐標(biāo)分別為3，?3. 因?yàn)锳B為圓O的直徑，AB=10，所以圓O的方程為x2+y2=25. 從而A（4，3），B（?4，?3），直線AB的斜率為. 因?yàn)镻B⊥AB，所以直線PB的斜率為， 直線PB的方程為. 所以P（?13，9），. 因此道路PB的長(zhǎng)為15（百米）. （2）①若P在D處，取線段BD上一點(diǎn)E（?4，0），則EO=4<5，所以P選在D處不滿足規(guī)劃要求. ②若Q在D處，連結(jié)AD，由（1）知D（?4，9），又A（4，3）， 所以線段AD：. 在線段AD上取點(diǎn)M（3，），因?yàn)椋? 所以線段AD上存在點(diǎn)到點(diǎn)O的距離小于圓O的半徑. 因此Q選在D處也不滿足規(guī)劃要求. 綜上，P和Q均不能選在D處. （3）先討論點(diǎn)P的位置. 當(dāng)∠OBP<90時(shí)，線段PB上存在點(diǎn)到點(diǎn)O的距離小于圓O的半徑，點(diǎn)P不符合規(guī)劃要求； 當(dāng)∠OBP≥90時(shí)，對(duì)線段PB上任意一點(diǎn)F，OF≥OB，即線段PB上所有點(diǎn)到點(diǎn)O的距離均不小于圓O的半徑，點(diǎn)P符合規(guī)劃要求. 設(shè)為l上一點(diǎn)，且，由（1）知，，此時(shí)； 當(dāng)∠OBP>90時(shí)，在中，. 由上可知，d≥15. 再討論點(diǎn)Q的位置. 由（2）知，要使得QA≥15，點(diǎn)Q只有位于點(diǎn)C的右側(cè)，才能符合規(guī)劃要求. 當(dāng)QA=15時(shí)，設(shè)Q（a，9），由， 得a=，所以Q（，9），此時(shí)，線段QA上所有點(diǎn)到點(diǎn)O的距離均不小于圓O的半徑. 綜上，當(dāng)P（?13，9），Q（，9）時(shí)，d最小，此時(shí)P，Q兩點(diǎn)間的距離 . 因此，d最小時(shí)，P，Q兩點(diǎn)間的距離為（百米）. 【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)的應(yīng)用、解方程、直線與圓等基礎(chǔ)知識(shí)，考查直觀想象和數(shù)學(xué)建模及運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析和解決實(shí)際問題的能力. 19.設(shè)函數(shù)，為f（x）的導(dǎo)函數(shù)． （1）若a=b=c，f（4）=8，求a的值； （2）若a≠b，b=c，且f（x）和的零點(diǎn)均在集合中，求f（x）的極小值； （3）若，且f（x）的極大值為M，求證:M≤． 【答案】（1）； （2）見解析； （3）見解析. 【解析】 【分析】 （1）由題意得到關(guān)于a的方程，解方程即可確定a的值； （2）由題意首先確定a,b,c的值從而確定函數(shù)的解析式，然后求解其導(dǎo)函數(shù)，由導(dǎo)函數(shù)即可確定函數(shù)的極小值. （3）由題意首先確定函數(shù)的極大值M的表達(dá)式，然后可用如下方法證明題中的不等式： 解法一：由函數(shù)的解析式結(jié)合不等式的性質(zhì)進(jìn)行放縮即可證得題中的不等式； 解法二：由題意構(gòu)造函數(shù)，求得函數(shù)在定義域內(nèi)的最大值， 因?yàn)?，所以? 當(dāng)時(shí)，． 令，則． 令，得．列表如下： + 0 – 極大值 所以當(dāng)時(shí)，取得極大值，且是最大值，故． 所以當(dāng)時(shí)，，因此． 【詳解】（1）因?yàn)椋裕? 因?yàn)?，所以，解得? （2）因?yàn)椋? 所以， 從而．令，得或． 因?yàn)?，都在集合中，且? 所以． 此時(shí)，． 令，得或．列表如下： 1 + 0 – 0 + 極大值 極小值 所以的極小值為． （3）因?yàn)?，所以? ． 因?yàn)?，所以? 則有2個(gè)不同的零點(diǎn)，設(shè)為． 由，得． 列表如下： + 0 – 0 + 極大值 極小值 所以的極大值． 解法一： ．因此． 解法二： 因?yàn)?，所以? 當(dāng)時(shí)，． 令，則． 令，得．列表如下： + 0 – 極大值 所以當(dāng)時(shí)，取得極大值，且是最大值，故． 所以當(dāng)時(shí)，，因此． 【點(diǎn)睛】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法分析與解決問題以及邏輯推理能力． 20.定義首項(xiàng)為1且公比為正數(shù)的等比數(shù)列為“M－數(shù)列”. （1）已知等比數(shù)列{an}滿足：，求證:數(shù)列{an}為“M－數(shù)列”； （2）已知數(shù)列{bn}滿足:，其中Sn為數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和． ①求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式； ②設(shè)m為正整數(shù)，若存在“M－數(shù)列”{cn}，對(duì)任意正整數(shù)k，當(dāng)k≤m時(shí)，都有成立，求m的最大值． 【答案】（1）見解析； （2）①bn=n；②5. 【解析】 【分析】 （1）由題意分別求得數(shù)列的首項(xiàng)和公比即可證得題中的結(jié)論； （2）①由題意利用遞推關(guān)系式討論可得數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，據(jù)此即可確定其通項(xiàng)公式； ②由①確定的值，將原問題進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)即可求得m的最大值． 【詳解】（1）設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，所以a1≠0，q≠0. 由，得，解得． 因此數(shù)列為“M—數(shù)列”. （2）①因?yàn)?，所以? 由得，則. 由，得， 當(dāng)時(shí)，由，得， 整理得． 所以數(shù)列{bn}是首項(xiàng)和公差均為1的等差數(shù)列. 因此，數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式為bn=n. ②由①知，bk=k，. 因?yàn)閿?shù)列{cn}為“M–數(shù)列”，設(shè)公比為q，所以c1=1，q>0. 因ck≤bk≤ck+1，所以，其中k=1，2，3，…，m. 當(dāng)k=1時(shí)，有q≥1； 當(dāng)k=2，3，…，m時(shí)，有． 設(shè)f（x）=，則． 令，得x=e.列表如下： x e (e，+∞) + 0 – f（x） 極大值 因?yàn)椋裕? 取，當(dāng)k=1，2，3，4，5時(shí)，，即， 經(jīng)檢驗(yàn)知也成立． 因此所求m的最大值不小于5． 若m≥6，分別取k=3，6，得3≤q3，且q5≤6，從而q15≥243，且q15≤216， 所以q不存在.因此所求m的最大值小于6. 綜上，所求m的最大值為5． 【點(diǎn)睛】本題主要考查等差和等比數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式、性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查代數(shù)推理、轉(zhuǎn)化與化歸及綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)探究與解決問題的能力． 數(shù)學(xué)Ⅱ(附加題) 【選做題】本題包括21、22、23三小題，請(qǐng)選定其中兩小題，并在相應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)作答．若多做，則按作答的前兩小題評(píng)分．解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟． 21.已知矩陣 （1）求A2； （2）求矩陣A的特征值. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】 (1)利用矩陣的乘法運(yùn)算法則計(jì)算的值即可； (2)首先求得矩陣的特征多項(xiàng)式，然后利用特征多項(xiàng)式求解特征值即可. 【詳解】（1）因?yàn)椋? 所以 ==． （2）矩陣A的特征多項(xiàng)式為 . 令，解得A的特征值. 【點(diǎn)睛】本題主要考查矩陣的運(yùn)算、特征值等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力． 22.在極坐標(biāo)系中，已知兩點(diǎn)，直線l的方程為. （1）求A，B兩點(diǎn)間的距離； （2）求點(diǎn)B到直線l距離. 【答案】（1）； （2）2. 【解析】 【分析】 (1)由題意，在中，利用余弦定理求解的長(zhǎng)度即可； (2)首先確定直線的傾斜角和直線所過的點(diǎn)的極坐標(biāo)，然后結(jié)合點(diǎn)B的坐標(biāo)結(jié)合幾何性質(zhì)可得點(diǎn)B到直線的距離. 【詳解】（1）設(shè)極點(diǎn)為O.在△OAB中，A（3，），B（，）， 由余弦定理，得AB=. （2）因?yàn)橹本€l方程為， 則直線l過點(diǎn)，傾斜角為． 又，所以點(diǎn)B到直線l的距離為. 【點(diǎn)睛】本題主要考查曲線的極坐標(biāo)方程等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力． 23.設(shè)，解不等式. 【答案】. 【解析】 【分析】 由題意結(jié)合不等式的性質(zhì)零點(diǎn)分段即可求得不等式的解集. 【詳解】當(dāng)x<0時(shí)，原不等式可化為，解得x<–： 當(dāng)0≤x≤時(shí)，原不等式可化為x+1–2x>2，即x<–1，無解； 當(dāng)x>時(shí)，原不等式可化為x+2x–1>2，解得x>1. 綜上，原不等式的解集為. 【點(diǎn)睛】本題主要考查解不等式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解和推理論證能力． 【必做題】第24題、第25題，每題10分，共計(jì)20分．請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟． 24.設(shè).已知. （1）求n的值； （2）設(shè)，其中，求的值. 【答案】（1）； （2）-32. 【解析】 【分析】 (1)首先由二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式確定的值，然后求解關(guān)于的方程可得的值； (2)解法一：利用(1)中求得的n的值確定有理項(xiàng)和無理項(xiàng)從而可得a,b的值，然后計(jì)算的值即可； 解法二：利用(1)中求得的n的值，由題意得到的展開式，最后結(jié)合平方差公式即可確定的值. 【詳解】（1）因?yàn)椋? 所以， ． 因?yàn)椋? 所以， 解得． （2）由（1）知，． ． 解法一： 因?yàn)椋裕? 從而． 解法二： ． 因?yàn)?，所以? 因此． 【點(diǎn)睛】本題主要考查二項(xiàng)式定理、組合數(shù)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查分析問題能力與運(yùn)算求解能力. 25.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)點(diǎn)集，令.從集合Mn中任取兩個(gè)不同的點(diǎn)，用隨機(jī)變量X表示它們之間的距離. （1）當(dāng)n=1時(shí)，求X的概率分布； （2）對(duì)給定的正整數(shù)n（n≥3），求概率P（X≤n）（用n表示）. 【答案】（1）見解析； （2）見解析. 【解析】 【分析】 (1)由題意首先確定X可能的取值，然后利用古典概型計(jì)算公式求得相應(yīng)的概率值即可確定分布列； (2)將原問題轉(zhuǎn)化為對(duì)立事件的問題求解的值，據(jù)此分類討論①.，②.，③.，④.四種情況確定滿足的所有可能的取值，然后求解相應(yīng)的概率值即可確定的值. 【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，的所有可能取值是． 的概率分布為， ． （2）設(shè)和是從中取出的兩個(gè)點(diǎn)． 因?yàn)椋詢H需考慮的情況． ①若，則，不存在的取法； ②若，則，所以當(dāng)且僅當(dāng)，此時(shí)或，有2種取法； ③若，則，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以當(dāng)且僅當(dāng)，此時(shí)或，有2種取法； ④若，則，所以當(dāng)且僅當(dāng)，此時(shí)或，有2種取法． 綜上，當(dāng)時(shí)，的所有可能取值是和，且 ． 因此，． 【點(diǎn)睛】本題主要考查計(jì)數(shù)原理、古典概型、隨機(jī)變量及其概率分布等基礎(chǔ)知識(shí)，考查邏輯思維能力和推理論證能力．