福建省長(zhǎng)泰一中高中數(shù)學(xué) 232《拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)》課件 新人教A版選修11

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1、新人教版選修1-1全套課件2.3.2拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)教學(xué)目標(biāo)教學(xué)目標(biāo) 知識(shí)與技能目標(biāo)知識(shí)與技能目標(biāo) 使學(xué)生理解并掌握拋物線的幾何性質(zhì)，并能從拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程出發(fā)，推導(dǎo)這些性質(zhì) 從拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程出發(fā)，推導(dǎo)拋物線的性質(zhì)，從而培養(yǎng)學(xué)生分析、歸納、推理等能力 過程與方法目標(biāo) 復(fù)習(xí)與引入過程復(fù)習(xí)與引入過程 1拋物線的定義是什么？ 請(qǐng)一同學(xué)回答應(yīng)為：“平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線” 2拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是什么？ 再請(qǐng)一同學(xué)回答應(yīng)為：拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是y2=2px(p0)，y2=-2px(p0)，x2=2py(p0)和x2=-2py(p0) 下面我們類比橢圓、雙曲線的幾

2、何性質(zhì)，從拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程y2=2px(p0)出發(fā)來研究它的幾何性質(zhì)板書拋物線的幾何性質(zhì)yxoMFdK復(fù)習(xí)復(fù)習(xí)結(jié)合拋物線結(jié)合拋物線y2=2px(p0)的標(biāo)準(zhǔn)方程和圖形的標(biāo)準(zhǔn)方程和圖形,探索探索其的幾何性質(zhì)其的幾何性質(zhì):(1)范圍范圍(2)對(duì)稱性對(duì)稱性(3)頂點(diǎn)頂點(diǎn)類比探索類比探索x0,yR關(guān)于關(guān)于x軸對(duì)稱軸對(duì)稱,對(duì)稱軸對(duì)稱軸又叫拋物線的軸又叫拋物線的軸.拋物線和它的軸的交點(diǎn)拋物線和它的軸的交點(diǎn).XY(4)離心率離心率(5)焦半徑焦半徑(6)通徑通徑始終為常數(shù)始終為常數(shù)1通過焦點(diǎn)且垂直對(duì)稱軸的直線，與拋物線相通過焦點(diǎn)且垂直對(duì)稱軸的直線，與拋物線相交于兩點(diǎn)，連接這兩點(diǎn)的線段叫做拋物線的交于兩點(diǎn)，連

3、接這兩點(diǎn)的線段叫做拋物線的通徑。通徑。|PF|=x0+p/2xOyFP通徑的長(zhǎng)度通徑的長(zhǎng)度：2P思考思考：通徑是拋物線的焦點(diǎn)弦中最短的弦嗎？利用拋物線的利用拋物線的頂點(diǎn)頂點(diǎn)、通徑的兩個(gè)、通徑的兩個(gè)端點(diǎn)端點(diǎn)可較準(zhǔn)確畫出可較準(zhǔn)確畫出反映拋物線基本特征的草圖。反映拋物線基本特征的草圖。特點(diǎn)特點(diǎn)1.拋物線只位于半個(gè)坐標(biāo)平面內(nèi)拋物線只位于半個(gè)坐標(biāo)平面內(nèi),雖然它可以無雖然它可以無限延伸限延伸,但它沒有漸近線但它沒有漸近線;2.拋物線只有一條對(duì)稱軸拋物線只有一條對(duì)稱軸,沒有對(duì)稱中心沒有對(duì)稱中心;3.拋物線只有一個(gè)頂點(diǎn)、一個(gè)焦點(diǎn)、一條準(zhǔn)線拋物線只有一個(gè)頂點(diǎn)、一個(gè)焦點(diǎn)、一條準(zhǔn)線;4.拋物線的離心率是確定的拋物線

4、的離心率是確定的,為為1;5.拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程中的拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程中的p對(duì)拋物線開口的影響對(duì)拋物線開口的影響.P越大越大,開口越開闊開口越開闊圖圖 形形方程方程焦點(diǎn)焦點(diǎn)準(zhǔn)線準(zhǔn)線 范圍范圍 頂點(diǎn)頂點(diǎn) 對(duì)稱軸對(duì)稱軸elFyxOlFyxOlFyxOlFyxOy2 = 2px（p0）y2 = -2px（p0）x2 = 2py（p0）x2 = -2py（p0）)0 ,2(pF)0 ,2(pF )2, 0(pF)2, 0(pF2px 2px 2py 2pyx0yRx0yRy0 xRy 0 xR(0,0)x軸軸y軸軸1變式變式: 頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn),對(duì)稱軸是坐標(biāo)軸對(duì)稱軸是坐標(biāo)軸,并且過點(diǎn)并且過點(diǎn)M(2

5、, )的拋物線有幾條的拋物線有幾條,求它的標(biāo)準(zhǔn)方程求它的標(biāo)準(zhǔn)方程.2 2典型例題：典型例題：例例1.已知拋物線關(guān)于已知拋物線關(guān)于x軸對(duì)稱，軸對(duì)稱，頂點(diǎn)在坐標(biāo)頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)原點(diǎn),并且過點(diǎn)并且過點(diǎn)M(2, ),求它的標(biāo)準(zhǔn)方程求它的標(biāo)準(zhǔn)方程.2 2當(dāng)焦點(diǎn)在當(dāng)焦點(diǎn)在x(y)軸上軸上,開口方向不定時(shí)開口方向不定時(shí),設(shè)為設(shè)為y2=2mx(m 0)(x2=2my (m0),可避免討論可避免討論)0(2),22, 2(2PPxyMx程為所以，可設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方點(diǎn)點(diǎn)，并且經(jīng)過軸對(duì)稱，它的頂點(diǎn)在原解：因?yàn)閽佄锞€關(guān)于222)22(2pPM，即在拋物線上，所以因?yàn)辄c(diǎn)xy42準(zhǔn)方程是因此，所求拋物線的標(biāo)xyOFABBA22

6、4 ,(1)4 ,yxxx代代入入方方程程得得.0162xx化簡(jiǎn)得84)(216212212121xxxxABxxxx。的長(zhǎng)是所以，線段8AB例例2.斜率為斜率為1的直線的直線L經(jīng)過拋物線經(jīng)過拋物線 的焦點(diǎn)的焦點(diǎn)F,且與拋物線相交于且與拋物線相交于A,B兩點(diǎn)兩點(diǎn),求線段求線段AB的長(zhǎng)的長(zhǎng).y2 = 4x解法一解法一:由已知得拋物線的焦點(diǎn)由已知得拋物線的焦點(diǎn)為為F(1,0),所以直線所以直線AB的方程為的方程為y=x-1xyOFABBA.,),(),(2211BAddlBAyxByxA的距離分別為準(zhǔn)線到設(shè), 1, 121xdBFxdAFBA由拋物線的定義可知1228ABAFBFxx 所所以以例例

7、2.斜率為斜率為1的直線的直線L經(jīng)過拋物線經(jīng)過拋物線 的焦點(diǎn)的焦點(diǎn)F,且與拋物線相交于且與拋物線相交于A,B兩點(diǎn)兩點(diǎn),求線段求線段AB的長(zhǎng)的長(zhǎng).y2 = 4x2,1,2pp . 1:xl準(zhǔn)線解法二解法二:由題意可知由題意可知, 變式：變式： 過拋物線過拋物線y2=2px的焦點(diǎn)的焦點(diǎn)F任作一條直線任作一條直線m，交這拋物線于交這拋物線于A、B兩點(diǎn)，求證：以兩點(diǎn)，求證：以AB為直徑的圓為直徑的圓和這拋物線的準(zhǔn)線相切和這拋物線的準(zhǔn)線相切證明：如圖 所以所以EH是以是以AB為直徑的為直徑的圓圓E的半徑，且的半徑，且EHl，因，因而圓而圓E和準(zhǔn)線和準(zhǔn)線l相切相切設(shè)設(shè)AB的中點(diǎn)為的中點(diǎn)為E，過，過A、E、

8、B分別向準(zhǔn)線分別向準(zhǔn)線l引垂引垂線線AD，EH，BC，垂足為，垂足為D、H、C，則則AFAD，BFBCABAFBFADBC =2EH練習(xí)練習(xí):1.已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對(duì)稱軸為已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對(duì)稱軸為x軸，軸，焦點(diǎn)在直線焦點(diǎn)在直線3x-4y-12=0上，那么拋物線通徑上，那么拋物線通徑長(zhǎng)是長(zhǎng)是_.2.過拋物線過拋物線 的焦點(diǎn)的焦點(diǎn),作傾斜角為作傾斜角為的直線的直線,則被拋物線截得的弦長(zhǎng)為則被拋物線截得的弦長(zhǎng)為_3.垂直于垂直于x軸的直線交拋物線軸的直線交拋物線y2=4x于于A、B,且且|AB|=4 ,求直線求直線AB的方程的方程.1616 y2 = 8x0453X=3例例3.過拋物線

9、焦點(diǎn)過拋物線焦點(diǎn)F的直線交拋物線于的直線交拋物線于A,B兩點(diǎn)兩點(diǎn),通過點(diǎn)通過點(diǎn)A和拋物線頂點(diǎn)的直線交拋物線的準(zhǔn)線于和拋物線頂點(diǎn)的直線交拋物線的準(zhǔn)線于點(diǎn)點(diǎn)D,求證求證:直線直線DB平行于拋物線的對(duì)稱軸平行于拋物線的對(duì)稱軸.xOyFABD例例3 過拋物線焦點(diǎn)過拋物線焦點(diǎn)F的直線交拋物線于的直線交拋物線于A,B兩點(diǎn)，通過點(diǎn)兩點(diǎn)，通過點(diǎn)A和拋物線頂點(diǎn)的和拋物線頂點(diǎn)的直線交拋物線的準(zhǔn)線于點(diǎn)直線交拋物線的準(zhǔn)線于點(diǎn)D，求證：直線，求證：直線DB平行于拋物線的對(duì)稱軸。平行于拋物線的對(duì)稱軸。,22pxyx物線的方程為建立直角坐標(biāo)系。設(shè)拋軸，它的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，軸為證明：以拋物線的對(duì)稱,2),2(0020 xypyO

10、AypyA的方程為則直線的坐標(biāo)為點(diǎn)2px拋物線的準(zhǔn)線是.02ypyD的縱坐標(biāo)為聯(lián)立可得點(diǎn).222),0 ,2(200ppypxyyAFpF方程為的所以直線的坐標(biāo)是因?yàn)辄c(diǎn).02ypyB的縱坐標(biāo)為聯(lián)立可得點(diǎn)軸。所以xDB/xyOFABD小結(jié)小結(jié):1.掌握拋物線的掌握拋物線的幾何性質(zhì)幾何性質(zhì):范圍、對(duì)稱性、頂點(diǎn)、范圍、對(duì)稱性、頂點(diǎn)、離心率、通徑離心率、通徑;2.會(huì)利用拋物線的幾何性質(zhì)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程、會(huì)利用拋物線的幾何性質(zhì)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程、焦點(diǎn)坐標(biāo)及解決其它問題焦點(diǎn)坐標(biāo)及解決其它問題;圖形圖形標(biāo)準(zhǔn)方程標(biāo)準(zhǔn)方程范圍范圍對(duì)稱性對(duì)稱性頂點(diǎn)頂點(diǎn)離心率離心率)0(2ppxy2 2)0(2ppyx2 2)0

11、(2ppyx2 2Ryx, 0)0,0(Ryx, 0Rxy, 0Rxy, 0)0,0()0,0()0,0(關(guān)于關(guān)于x 軸軸對(duì)稱，無對(duì)稱，無對(duì)稱中心對(duì)稱中心關(guān)于關(guān)于x 軸軸對(duì)稱，無對(duì)稱，無對(duì)稱中心對(duì)稱中心關(guān)于關(guān)于y 軸軸對(duì)稱，無對(duì)稱，無對(duì)稱中心對(duì)稱中心關(guān)于關(guān)于y 軸軸對(duì)稱，無對(duì)稱，無對(duì)稱中心對(duì)稱中心e=1e=1e=1e=1)0(2ppxy2 2 分析分析:直線與拋物直線與拋物線有一個(gè)公共點(diǎn)線有一個(gè)公共點(diǎn)的情況有兩種情的情況有兩種情形：一種是直線形：一種是直線平行于拋物線的平行于拋物線的對(duì)稱軸；對(duì)稱軸；另一種是直線與另一種是直線與拋物線相切拋物線相切 判斷直線與拋物線位置關(guān)系的操作程序判斷直線與拋

12、物線位置關(guān)系的操作程序把直線方程代入拋物線方程把直線方程代入拋物線方程得到一元一次方程得到一元一次方程得到一元二次方程得到一元二次方程直線與拋物線的直線與拋物線的對(duì)稱軸平行對(duì)稱軸平行相交（一個(gè)交點(diǎn)）相交（一個(gè)交點(diǎn)） 計(jì)計(jì) 算算 判判 別別 式式0=00 分析分析:直線與拋物線沒有公直線與拋物線沒有公共點(diǎn)時(shí)共點(diǎn)時(shí)0 個(gè)公共點(diǎn)。即直線與拋物線只有一時(shí)，或，或綜上所述，當(dāng)0211kkk公共點(diǎn)。即直線與拋物線有兩個(gè)時(shí)，且當(dāng)0,211kk共點(diǎn)。即直線與拋物線沒有公時(shí)，或當(dāng)211kk注注:在方程中在方程中,二次項(xiàng)系數(shù)含有二次項(xiàng)系數(shù)含有k,所以要對(duì)所以要對(duì)k進(jìn)行討論進(jìn)行討論作圖要點(diǎn)作圖要點(diǎn):畫出直線與拋物線

13、只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)的情畫出直線與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)的情形形,觀察直線繞點(diǎn)觀察直線繞點(diǎn)P轉(zhuǎn)動(dòng)的情形轉(zhuǎn)動(dòng)的情形變式一變式一:已知拋物線方程已知拋物線方程y2=4x,當(dāng)當(dāng)b為何值時(shí)為何值時(shí),直線直線l:y=x+b與拋物線與拋物線(1)只有一個(gè)公共點(diǎn)只有一個(gè)公共點(diǎn)(2)兩個(gè)公共兩個(gè)公共點(diǎn)點(diǎn)(3)沒有公共點(diǎn)沒有公共點(diǎn).當(dāng)直線與拋物線有公共點(diǎn)時(shí)當(dāng)直線與拋物線有公共點(diǎn)時(shí),b的的最大值是多少最大值是多少?分析分析:本題與例本題與例1類型相似類型相似,方法一樣方法一樣,通通過聯(lián)立方程組求得過聯(lián)立方程組求得.(1)b=1 (2)b1,當(dāng)直線與拋物線有公共點(diǎn)時(shí)當(dāng)直線與拋物線有公共點(diǎn)時(shí),b的的最大值當(dāng)直線與拋物線相

14、切時(shí)取得最大值當(dāng)直線與拋物線相切時(shí)取得.其值其值為為1變式二變式二:已知實(shí)數(shù)已知實(shí)數(shù)x、y滿足方程滿足方程y2=4x,求函數(shù)求函數(shù) 的最值的最值12yzx 變式三變式三:點(diǎn)點(diǎn)(x,y)在拋物線在拋物線y2=4x上運(yùn)動(dòng)上運(yùn)動(dòng),求函數(shù)求函數(shù)z=x-y的最值的最值.本題轉(zhuǎn)化為過定點(diǎn)本題轉(zhuǎn)化為過定點(diǎn)(-2,1)的直線與拋物線有公共點(diǎn)時(shí)的直線與拋物線有公共點(diǎn)時(shí)斜率的最值問題斜率的最值問題.本題轉(zhuǎn)化為直線本題轉(zhuǎn)化為直線y=x-z與拋物線有公共點(diǎn)時(shí)與拋物線有公共點(diǎn)時(shí)z的最值的最值問題問題.min1z 無最大值無最大值1 21minmaxkkxyBAFO221122122(0)(,),(,),:.ypx pA

15、BA xyB xyy yp 例例2、2、過過拋拋物物線線焦焦點(diǎn)點(diǎn)作作直直線線交交拋拋物物線線于于， 兩兩點(diǎn)點(diǎn)，設(shè)設(shè)求求證證解：因?yàn)橹本€解：因?yàn)橹本€AB過定點(diǎn)過定點(diǎn)F且不與且不與x軸平軸平行行,設(shè)直線設(shè)直線AB的方程為的方程為222221222 ()2220ypxpyp mypxmyypmypy yp 即：（定值）2pxmyxyBAFO_?,:21221xxpyy，那么注意到在同樣的條件下聯(lián)想.4),(),()0(2:122122112pxxyxB、yxA，F(xiàn)ppxy則有交拋物線于點(diǎn)的直線焦點(diǎn)過拋物線變題221122122(0)(,),(,),:.ypx pABA xyB xyy yp 例例2、2、過過拋拋物物線線焦焦點(diǎn)點(diǎn)作作直直線線交交拋拋物物線線于于， 兩兩點(diǎn)點(diǎn)，設(shè)設(shè)求求證證xyBAFO?)0 ,2(:2221也成立那么反之是否成立時(shí)有過點(diǎn)焦點(diǎn)由于直線聯(lián)想，pyypFAB.,),(),()0(2:222122112FABpyyyx、ByxAppxy焦點(diǎn)過拋物線則直線若兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)上拋物線變題xyBAFO?:3結(jié)論又會(huì)怎樣呢般的點(diǎn)一對(duì)于在拋物線的軸上的由于焦點(diǎn)比較特殊聯(lián)想，.:,),(),()0(2)0 ,(:3212122112均為定值與求證兩點(diǎn)直線交拋物線于的過的軸上的一個(gè)定點(diǎn)是拋物線設(shè)變題xxyyyx、ByxAM，ppxyaM