指導(dǎo)應(yīng)用回歸分析資料報告(第三版)何曉群 劉文卿 課后習(xí)題問題詳解 完整版

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1、word第二章 一元線性回歸分析思考與練習(xí)參考答案 一元線性回歸有哪些根本假定?答： 假設(shè)1、解釋變量X是確定性變量，Y是隨機(jī)變量； 假設(shè)2、隨機(jī)誤差項具有零均值、同方差和不序列相關(guān)性：E(i)=0 i=1,2, ,nVar (i)=s2 i=1,2, ,nCov(i, j)=0 ij i,j= 1,2, ,n 假設(shè)3、隨機(jī)誤差項與解釋變量X之間不相關(guān)：Cov(Xi, i)=0 i=1,2, ,n 假設(shè)4、服從零均值、同方差、零協(xié)方差的正態(tài)分布iN(0, s2 ) i=1,2, ,n2.2 考慮過原點的線性回歸模型Yi=1Xi+ii=1,2, ,n誤差ii=1,2, ,n仍滿足根本假定。求1的

2、最小二乘估計解：得：2.3 證明2.27式，Sei =0 ，SeiXi=0 。證明：其中：即： Sei =0 ，SeiXi=0回歸方程EY=0+1X的參數(shù)0，1的最小二乘估計與最大似然估計在什么條件下等價?給出證明。答：由于iN(0, s2 ) i=1,2, ,n所以Yi=0 + 1Xi+ iN0+1Xi, s2)最大似然函數(shù)：使得LnL最大的，就是0，1的最大似然估計值。同時發(fā)現(xiàn)使得LnL最大就是使得下式最小，上式恰好就是最小二乘估計的目標(biāo)函數(shù)一樣。值得注意的是：最大似然估計是在iN(0, s2)的假設(shè)下求得，最小二乘估計如此不要求分布假設(shè)。 所以在iN(0, s2 ) 的條件下，參數(shù)0，1

3、的最小二乘估計與最大似然估計等價。2.5 證明是0的無偏估計。證明： 證明證明： 證明平方和分解公式：SST=SSE+SSR證明：2.8 驗證三種檢驗的關(guān)系，即驗證：1；2證明：122.9 驗證2.63式：證明：其中：2.10 用第9題證明是s2的無偏估計量證明：2.11 驗證決定系數(shù)與F值之間的關(guān)系式證明：2.14 為了調(diào)查某廣告對銷售收入的影響，某商店記錄了5個月的銷售收入y萬元和廣告費用x萬元，數(shù)據(jù)見表2.6，要求用手工計算：月份12345X12345Y1010202040（1） 畫散點圖略（2） X與Y是否大致呈線性關(guān)系？答：從散點圖看，X與Y大致呈線性關(guān)系。（3） 用最小二乘法估計求

4、出回歸方程。計算表XY1104100206-142-4221011001013-7232320000200042010027727254044004034142-62和15100和Lxx=10Lyy=600和Lxy=70和100SSR=490SSE=110均3均20均20回歸方程為：（4） 求回歸標(biāo)準(zhǔn)誤差先求SSRQe見計算表。所以（5） 給出 的置信度為95%的區(qū)間估計；由于(1-a)的置信度下， 的置信區(qū)間是查表可得所以 的95%的區(qū)間估計為：73.182*1.915，7+3.182*1.915，即0.906,13.094。所以 的95%的區(qū)間估計為：-1-3.182*6.351，-1+3

5、.182*6.351，即-21.211, 19.211。的置信區(qū)間包含0，表示不顯著。（6） 計算x和y的決定系數(shù)說明回歸方程的擬合優(yōu)度高。（7） 對回歸方程作方差分析方差分析表方差來源平方和自由度均方F值SSR4901490SSE1103SST6004F值=13.364F(1,3)=10.13(當(dāng)n=1,n=8時，=0.05查表得對應(yīng)的值為10.13),所以拒絕原假設(shè)，說明回歸方程顯著。8做回歸系數(shù)1的顯著性檢驗H0: 1=0t值=3.656t(3)=3.182,所以拒絕原假設(shè)，說明x對Y有顯著的影響。（8） 做相關(guān)系數(shù)R的顯著性檢驗R值=0.904R(3)=0.878,所以承受原假設(shè)，說明

6、x和Y有顯著的線性關(guān)系。（9） 對回歸方程作殘差圖并作相應(yīng)的分析殘差圖(略) .從殘差圖上看出，殘差是圍繞e=0在一個固定的帶子里隨機(jī)波動，根本滿足模型的假設(shè)eiN(0, s2 ), 但由于樣本量太少, 所以誤差較大.（10） 求廣告費用為4.2萬元時,銷售收入將達(dá)到多少?并給出置信度為95%的置信區(qū)間.解: 當(dāng)X0=4.2時, 所以廣告費用為4.2萬元時, 銷售收入將達(dá)到28.4萬元.由于置信度為1-時，Y0估計值的置信區(qū)間為:所以求得Y0的95%的置信區(qū)間為: ,預(yù)測誤差較大.2.15 一家保險公司十分關(guān)心其總公司營業(yè)部加班的制度，決定認(rèn)真調(diào)查一下現(xiàn)狀。經(jīng)過十周時間，收集了每周加班工作時間

7、的數(shù)據(jù)和簽發(fā)的新保單數(shù)目，x為每周新簽發(fā)的保單數(shù)目，y為每周加班工作時間小時。見表2.7。表2.7周序號12345678910X825215107055048092013503256701215Y1、畫散點圖2、由散點圖可以看出， x與y之間大致呈線性關(guān)系。3、用最小二乘法求出回歸系數(shù)由表可知：回歸方程為： 4、求回歸標(biāo)準(zhǔn)誤差 故回歸標(biāo)準(zhǔn)誤差，=0.48。5、給出回歸系數(shù)的置信度為95%的區(qū)間估計由回歸系數(shù)顯著性檢驗表可以看出，當(dāng)置信度為95%時：的預(yù)測區(qū)間為-0.701,0.937,的預(yù)測區(qū)間為0.003,0.005.的置信區(qū)間包含0，表示不拒絕為零的假設(shè)。6、決定系數(shù)由模型概要表得到?jīng)Q定系

8、數(shù)為0.9接近于1，說明模型的擬合優(yōu)度高。7. 對回歸方程作方差分析由方差分析表可知：F值=72.3965.32(當(dāng)n=1,n=8時，查表得對應(yīng)的值為5.32)P值0，所以拒絕原假設(shè)，說明回歸方程顯著。8、對的顯著性檢驗從上面回歸系數(shù)顯著性檢驗表可以得到的t統(tǒng)計量為t=8.509，所對應(yīng)的p值近似為0，通過t檢驗。說明每周簽發(fā)的新保單數(shù)目x對每周加班工作時間y有顯著的影響。相關(guān)系數(shù)顯著性檢驗相關(guān)系數(shù)達(dá)到0.949，說明x與y顯著線性相關(guān)。10、對回歸方程作殘差圖并作相應(yīng)分析從殘差圖上看出，殘差是圍繞e=0隨即波動，滿足模型的根本假設(shè)。11、該公司預(yù)計下一周簽發(fā)新保單X0=1000,需要的加班時

9、間是多少?當(dāng)x=1000時，小時12、給出Y0的置信水平為95%的預(yù)測區(qū)間 通過SPSS運算得到Y(jié)0的置信水平為95%的預(yù)測區(qū)間為：2.5195，4.8870。13 給出EY0的置信水平為95%的預(yù)測區(qū)間通過SPSS運算得到Y(jié)0的置信水平為95%的預(yù)測區(qū)間為：3.284，4.123。2.16 表是1985年美國50個州和哥倫比亞特區(qū)公立學(xué)校中教師的人均年工資y(美元)和學(xué)生的人均經(jīng)費投入x(美元).序號yx序號yx序號yx119583334618208163059351953826422202633114191809529673620460312432032535542020939328537

10、214192752426800454221226443914382516034295294704669222462445173922482394762661048882327186434940209692509730678571024339905020412722454408271705536252338235944225892404292585341682620627282143226443402102450035472722795336644246402829112427431592821570292045223412297122717036212922080298046256102932

11、133016837823022250373147260153705142652542473120940285348257884123152736039823221800253349291323608162169035683322934272950414808349172197431553418443230551258453766解答：1繪制y對x的散點圖，可以用直線回歸描述兩者之間的關(guān)系嗎？由上圖可以看出y與x的散點分布大致呈直線趨勢。2建立y對x的線性回歸。利用SPSS進(jìn)展y和x的線性回歸，輸出結(jié)果如下：表1 模型概要RR2調(diào)整后的R2隨機(jī)誤差項的標(biāo)準(zhǔn)差估計值表2 方差分析表模型平方和自由度

12、和平均F值P值1回歸平方和1.000a殘差平方和49總平方和50表3 系數(shù)表模型非標(biāo)準(zhǔn)化系數(shù)標(biāo)準(zhǔn)化系數(shù)t值P值B標(biāo)準(zhǔn)差回歸系數(shù)1常數(shù).000對學(xué)生的人均經(jīng)費投入.312.835.0001) 由表1可知，x與y決定系數(shù)為，說明模型的擬合效果一般。x與y線性相關(guān)系數(shù)R=0.835，說明x與y有較顯著的線性關(guān)系。2) ,說明回歸方程顯著。3) 由表3 可見對的顯著性t檢驗P值近似為零，故顯著不為0，說明x對y有顯著的線性影響。4) 綜上，模型通過檢驗，可以用于預(yù)測和控制。x與y的線性回歸方程為：3繪制標(biāo)準(zhǔn)殘差的直方圖和正態(tài)概率圖圖1 標(biāo)準(zhǔn)殘差的直方圖理論正態(tài)概率觀測值概率圖2 標(biāo)準(zhǔn)殘差的正態(tài)概率P-

13、P圖由圖1可見標(biāo)準(zhǔn)化后殘差近似服從正態(tài)分布，由圖2可見正態(tài)概率圖中的各個散點都分布在45線附近，所以沒有證據(jù)證明誤差項服從同方差的正態(tài)分布的假定是不真實的，即殘差通過正態(tài)性檢驗，滿足模型根本假設(shè)。第3章 多元線性回歸思考與練習(xí)參考答案3.2 討論樣本容量n與自變量個數(shù)p的關(guān)系，它們對模型的參數(shù)估計有何影響？答：在多元線性回歸模型中，樣本容量n與自變量個數(shù)p的關(guān)系是：np。如果n4.76，p值=0.015，拒絕原假設(shè)，由方差分析表可以得到，說明在置信水平為95%下，回歸方程顯著。5對每一個回歸系數(shù)作顯著性檢驗；做t檢驗：設(shè)原假設(shè)為，統(tǒng)計量服從自由度為n-p-1的t分布，給定顯著性水平0.05，查

14、得單側(cè)檢驗臨界值為1.943，X1的t值=1.9421.943。拒絕原假設(shè)。由上表可得，在顯著性水平時，只有的P值4.74，p值=0.007，拒絕原假設(shè).認(rèn)為在顯著性水平=0.05下，x1，x2整體上對y有顯著的線性影響，即回歸方程是顯著的。對每一個回歸系數(shù)做顯著性檢驗：做t檢驗：設(shè)原假設(shè)為，統(tǒng)計量服從自由度為n-p-1的t分布，給定顯著性水平0.05，查得單側(cè)檢驗臨界值為1.895，X1的t值=2.5751.895，拒絕原假設(shè)。故顯著不為零，自變量X1對因變量y的線性效果顯著；同理2也通過檢驗。同時從回歸系數(shù)顯著性檢驗表可知：X1,X2的p值 都小于0.05，可認(rèn)為對x1，x2分別對y都有顯

15、著的影響。7求出每一個回歸系數(shù)的置信水平為955D 置信區(qū)間由回歸系數(shù)表可以看到，1置信水平為95%的置信區(qū)間0.381,8.970，2置信水平為95%的置信區(qū)間3.134,14.8088求標(biāo)準(zhǔn)化回歸方程由回歸系數(shù)表上表可得，標(biāo)準(zhǔn)化后的回歸方程為：9求當(dāng)x01=75，x02=42，x03，給定置信水平95%，用SPSS軟件計算準(zhǔn)確置信區(qū)間，用手工計算近似預(yù)測區(qū)間；由SPSS輸出結(jié)果可知，當(dāng)時，見上表，的置信度為95%的準(zhǔn)確預(yù)測區(qū)間為204.4,331.2見下表，的置信度為95%的近似預(yù)測區(qū)間為，手工計算得：219.6,316.0。10結(jié)合回歸方程對問題做一些簡單分析。答：由回歸方程可知農(nóng)業(yè)總產(chǎn)

16、值固定的時候，工業(yè)總產(chǎn)值每增加1億元，貨運總量增加4.676萬噸；工業(yè)總產(chǎn)值固定的時候，農(nóng)業(yè)總產(chǎn)值每增加1億元，貨運總量增加8.971萬噸。而居民非商品支出對貨運總量沒有顯著的線性影響。由標(biāo)準(zhǔn)化回歸方程可知:工業(yè)總產(chǎn)值、農(nóng)業(yè)總產(chǎn)值與Y都是正相關(guān)關(guān)系，比擬回歸系數(shù)的大小可知農(nóng)業(yè)總產(chǎn)值X2對貨運總量Y的影響程度大一些。第4章 違背根本假設(shè)的情況思考與練習(xí)參考答案4.1 試舉例說明產(chǎn)生異方差的原因。答：例：截面資料下研究居民家庭的儲蓄行為Yi=b0+b1Xi+i其中：Yi表示第i個家庭的儲蓄額，Xi表示第i個家庭的可支配收入。由于高收入家庭儲蓄額的差異較大，低收入家庭的儲蓄額如此更有規(guī)律性，差異較小

17、，所以i的方差呈現(xiàn)單調(diào)遞增型變化。例4.2：以某一行業(yè)的企業(yè)為樣本建立企業(yè)生產(chǎn)函數(shù)模型Yi=Aib1Kib2Lib3ei被解釋變量：產(chǎn)出量Y，解釋變量：資本K、勞動L、技術(shù)A，那么每個企業(yè)所處的外部環(huán)境對產(chǎn)出量的影響被包含在隨機(jī)誤差項中。由于每個企業(yè)所處的外部環(huán)境對產(chǎn)出量的影響程度不同，造成了隨機(jī)誤差項的異方差性。這時，隨機(jī)誤差項的方差并不隨某一個解釋變量觀測值的變化而呈規(guī)律性變化，呈現(xiàn)復(fù)雜型。4.2 異方差帶來的后果有哪些？答：回歸模型一旦出現(xiàn)異方差性，如果仍采用OLS估計模型參數(shù)，會產(chǎn)生如下不良后果：1、參數(shù)估計量非有效2、變量的顯著性檢驗失去意義3、回歸方程的應(yīng)用效果極不理想總的來說，當(dāng)

18、模型出現(xiàn)異方差性時，參數(shù)OLS估計值的變異程度增大，從而造成對Y的預(yù)測誤差變大，降低預(yù)測精度，預(yù)測功能失效。4.3 簡述用加權(quán)最小二乘法消除一元線性回歸中異方差性的思想與方法。答：普通最小二乘估計就是尋找參數(shù)的估計值使離差平方和達(dá)極小。其中每個平方項的權(quán)數(shù)一樣，是普通最小二乘回歸參數(shù)估計方法。在誤差項等方差不相關(guān)的條件下，普通最小二乘估計是回歸參數(shù)的最小方差線性無偏估計。然而在異方差的條件下，平方和中的每一項的地位是不一樣的，誤差項的方差大的項，在殘差平方和中的取值就偏大，作用就大，因而普通最小二乘估計的回歸線就被拉向方差大的項，方差大的項的擬合程度就好，而方差小的項的擬合程度就差。由OLS求

19、出的仍然是的無偏估計，但不再是最小方差線性無偏估計。所以就是：對較大的殘差平方賦予較小的權(quán)數(shù)，對較小的殘差平方賦予較大的權(quán)數(shù)。這樣對殘差所提供信息的重要程度作一番校正，以提高參數(shù)估計的精度。加權(quán)最小二乘法的方法：簡述用加權(quán)最小二乘法消除多元線性回歸中異方差性的思想與方法。答：運用加權(quán)最小二乘法消除多元線性回歸中異方差性的思想與一元線性回歸的類似。多元線性回歸加權(quán)最小二乘法是在平方和中參加一個適當(dāng)?shù)臋?quán)數(shù)，以調(diào)整各項在平方和中的作用，加權(quán)最小二乘的離差平方和為： 2加權(quán)最小二乘估計就是尋找參數(shù)的估計值使式2的離差平方和達(dá)極小。所得加權(quán)最小二乘經(jīng)驗回歸方程記做 3 多元回歸模型加權(quán)最小二乘法的方法:

20、首先找到權(quán)數(shù)，理論上最優(yōu)的權(quán)數(shù)為誤差項方差的倒數(shù),即 4誤差項方差大的項承受小的權(quán)數(shù)，以降低其在式2平方和中的作用; 誤差項方差小的項承受大的權(quán)數(shù)，以提高其在平方和中的作用。由2式求出的加權(quán)最小二乘估計就是參數(shù)的最小方差線性無偏估計。一個需要解決的問題是誤差項的方差是未知的,因此無法真正按照式4選取權(quán)數(shù)。在實際問題中誤差項方差通常與自變量的水平有關(guān)(如誤差項方差隨著自變量的增大而增大),可以利用這種關(guān)系確定權(quán)數(shù)。例如與第j個自變量取值的平方成比例時, 即=k時,這時取權(quán)數(shù)為 5更一般的情況是誤差項方差與某個自變量(與|ei|的等級相關(guān)系數(shù)最大的自變量)取值的冪函數(shù)成比例，即=k,其中m是待定的

21、未知參數(shù)。此時權(quán)數(shù)為 6這時確定權(quán)數(shù) 的問題轉(zhuǎn)化為確定冪參數(shù)m的問題，可以借助SPSS軟件解決。4.54.5式一元加權(quán)最小二乘回歸系數(shù)估計公式。證明：由得：驗證4.8式多元加權(quán)最小二乘回歸系數(shù)估計公式。證明：對于多元線性回歸模型 1 ，即存在異方差。設(shè)，用左乘1式兩邊，得到一個新的的模型：，即。因為，故新的模型具有同方差性，故可以用廣義最小二乘法估計該模型，得原式得證。4.7 有同學(xué)認(rèn)為當(dāng)數(shù)據(jù)存在異方差時，加權(quán)最小二乘回歸方程與普通最小二乘回歸方程之間必然有很大的差異，異方差越嚴(yán)重，兩者之間的差異就越大。你是否同意這位同學(xué)的觀點？說明原因。答：不同意。當(dāng)回歸模型存在異方差時，加權(quán)最小二乘估計W

22、LS只是普通最小二乘估計OLS的改良，這種改良可能是細(xì)微的，不能理解為WLS一定會得到與OLS截然不同的方程來，或者大幅度的改良。實際上可以構(gòu)造這樣的數(shù)據(jù)，回歸模型存在很強(qiáng)的異方差，但WLS 與OLS的結(jié)果一樣。加權(quán)最小二乘法不會消除異方差，只是消除異方差的不良影響，從而對模型進(jìn)展一點改良。4.8 對例4.3的數(shù)據(jù)，用公式計算出加權(quán)變換殘差，繪制加權(quán)變換殘差圖，根據(jù)繪制出的圖形說明加權(quán)最小二乘估計的效果。解：用公式計算出加權(quán)變換殘差，分別繪制加權(quán)最小二乘估計后的殘差圖和加權(quán)變換殘差圖見如如下圖。根據(jù)繪制出的兩個圖形可以發(fā)現(xiàn)加權(quán)最小二乘估計沒有消除異方差，只是對原OLS的殘差有所改善，而經(jīng)過加權(quán)

23、變換后的殘差不存在異方差。4.9 參見參考文獻(xiàn)2，表4.12P138是用電頂峰每小時用電量y與每月總用電量x的數(shù)據(jù)。1用普通最小二乘法建立y與x的回歸方程，并畫出殘差散點圖。解：SPSS輸出結(jié)果如下：由上表可得回歸方程為：殘差圖為：2診斷該問題是否存在異方差；解：a由殘差散點圖可以明顯看出存在異方差，誤差的方差隨著的增加而增大。b用SPSS做等級相關(guān)系數(shù)的檢驗，結(jié)果如下表所示：得到等級相關(guān)系數(shù)，P值=0.021，認(rèn)為殘差絕對值與自變量顯著相關(guān)，存在異方差。3如果存在異方差，用冪指數(shù)型的權(quán)函數(shù)建立加權(quán)最小二乘回歸方程；解：SPSS輸出結(jié)果如圖：由上述表可得，在時對數(shù)似然函數(shù)達(dá)到最大，如此冪指數(shù)的

24、最優(yōu)取值為。加權(quán)后的回歸方程為：。計算加權(quán)后的殘差，并對殘差絕對值和自變量做等級相關(guān)系數(shù)分析，結(jié)果如下表所示：，P值為0.0190.05，說明異方差已經(jīng)消除。4.10 試舉一可能產(chǎn)生隨機(jī)誤差項序列相關(guān)的經(jīng)濟(jì)例子。答：例如，居民總消費函數(shù)模型：Ct=b0+b1Yt+ t t=1,2,n由于居民收入對消費影響有滯后性，而且今年消費水平受上年消費水平影響，如此可能出現(xiàn)序列相關(guān)性。另外由于消費習(xí)慣的影響被包含在隨機(jī)誤差項中，如此可能出現(xiàn)序列相關(guān)性往往是正相關(guān) 。4.11 序列相關(guān)性帶來的嚴(yán)重后果是什么？答：直接用普通最小二乘法估計隨機(jī)誤差項存在序列相關(guān)性的線性回歸模型未知參數(shù)時，會產(chǎn)生如下一些問題：1

25、. 參數(shù)估計量仍然是無偏的，但不具有有效性，因為有自相關(guān)性時參數(shù)估計值的方差大于無自相關(guān)性時的方差。2. 均方誤差MSE可能嚴(yán)重低估誤差項的方差3. 變量的顯著性檢驗失去意義：在變量的顯著性檢驗中，統(tǒng)計量是建立在參數(shù)方差正確估計根底之上的，當(dāng)參數(shù)方差嚴(yán)重低估時，容易導(dǎo)致t值和F值偏大，即可能導(dǎo)致得出回歸參數(shù)統(tǒng)計檢驗和回歸方程檢驗顯著，但實際并不顯著的嚴(yán)重錯誤結(jié)論。4. 當(dāng)存在序列相關(guān)時， 仍然是的無偏估計，但在任一特定的樣本中， 可能嚴(yán)重歪曲b的真實情況，即最小二乘法對抽樣波動變得非常敏感5. 模型的預(yù)測和結(jié)構(gòu)分析失效。4.12 總結(jié)DW檢驗的優(yōu)缺點。答：優(yōu)點：1.應(yīng)用廣泛，一般的計算機(jī)軟件都

26、可以計算出DW值； 2.適用于小樣本； 3.可用于檢驗隨機(jī)擾動項具有一階自回歸形式的序列相關(guān)問題。缺點：1. DW檢驗有兩個不能確定的區(qū)域，一旦DW值落入該區(qū)域，就無法判斷。此時，只有增大樣本容量或選取其他方法； 2.DW統(tǒng)計量的上、下界表要求n15，這是由于樣本如果再小，利用殘差就很難對自相關(guān)性的存在做出比擬正確的診斷； 3.DW檢驗不適應(yīng)隨機(jī)項具有高階序列相關(guān)性的檢驗。4.13 表4.13中是某軟件公司月銷售額數(shù)據(jù)，其中，x為總公司的月銷售額萬元;y為某分公司的月銷售額萬元。1用普通最小二乘法建立y與x的回歸方程；由上表可知：用普通二乘法建立的回歸方程為2用殘差圖與DW檢驗診斷序列的相關(guān)性

27、； 1.以自變量x為橫軸，普通殘差為縱軸畫殘差圖如下：從圖中可以看到，殘差有規(guī)律的變化，呈現(xiàn)大致反W形狀，說明隨機(jī)誤差項存在自相關(guān)性。殘差1為橫坐標(biāo)，殘差為縱坐標(biāo)，繪制散點圖如下：由殘差圖可見大局部的點落在第一、三象限，明確隨機(jī)擾動項存在著正的序列相關(guān)；可知DW值為0.663，查DW表，n=20,k=2,顯著性水平=0.05，得=1.20,=1.41,由于0.6631.20,知DW值落入正相關(guān)區(qū)域，即殘差序列存在正的自相關(guān)。3用迭代法處理序列相關(guān)，并建立回歸方程。自相關(guān)系數(shù)令，然后用對作普通最小二乘回歸可得輸出結(jié)果如下：可看到新的回歸方程的DW=1.360.且1.181.3601.40=，即D

28、W落入不相關(guān)區(qū)域，可知殘差序列不存在自相關(guān)，一階差分法成功地消除了序列自相關(guān)。同時得到回歸方程為，將=-，=-，代人，復(fù)原原始變量的方程=+0.169-5比擬普通最小二乘法所得的回歸方程和迭代法、一階差分法所建立回歸方程的優(yōu)良性。答：此題中自相關(guān)系數(shù)0.6685，不接近于1，不適宜用差分法，另外由迭代法的F值與都大于差分法的值，故差分法的效果低于迭代法的效果；而普通最小二乘法的隨機(jī)誤差項標(biāo)準(zhǔn)差為0.09744，大于迭代的隨機(jī)誤差項標(biāo)準(zhǔn)差0.07296，所以迭代的效果要優(yōu)于普通最小二乘法，所以此題中一次迭代法最好。4.14 某樂隊經(jīng)理研究其樂隊CD盤的銷售額y，兩個有關(guān)的影響變量是每周出場次x1

29、和樂隊的周點擊率x2，數(shù)據(jù)見表4.14。1用普通最小二乘法建立y與x1、x2的回歸方程，用殘差圖與DW檢驗診斷序列的自相關(guān)性；解：將數(shù)據(jù)輸入SPSS，經(jīng)過線性回歸得到結(jié)果如下：Model Summary(b)ModelRR SquareAdjusted R SquareStd. Error of the EstimateDurbin-Watson1.541(a).293.264.745a Predictors: (Constant), x2, x1b Dependent Variable: yANOVA(b)ModelSum of SquaresdfMean SquareFSig.1Regre

30、ssion2.000(a)Residual49Total51a Predictors: (Constant), x2, x1b Dependent Variable: y由以上3個表可知普通最小二乘法建立y與x1、x2的回歸方程，通過了r、F、t檢驗，說明回歸方程顯著。y與x1、x2的回歸方程為：殘差圖ei(et)ei1(et-1)為：從殘差圖可以看出殘差集中在1、3象限，說明隨機(jī)誤差項存在一階正自相關(guān)。查表得dl=1.46 du=1.63, 0DWdu 所以誤差項間無自相關(guān)性?；貧w方程為:yt復(fù)原為:yt-y(t-1)= -178.775+211.11*(x1t-x1(t-1) +1.436

31、*( x2t-x2(t-1)(3)用一階差分法處理序列相關(guān)，建立回歸方程。Model Summary(c,d)ModelRR Square(a)Adjusted R SquareStd. Error of the EstimateDurbin-Watson1.715(b).511.491a For regression through the origin (the no-intercept model), R Square measures the proportion of the variability in the dependent variable about the origin

32、 explained by regression. This CANNOT be pared to R Square for models which include an intercept.b Predictors: DIFF(x2,1), DIFF(x1,1)c Dependent Variable: DIFF(y,1)d Linear Regression through the Origindu，所以消除了自相關(guān)性，差分法回歸方程為: ytyt-1=210.117(x1t-x1(t-1)1.397(x2t-x2(t-1).(4)用最大似然法處理序列相關(guān)，建立回歸方程。用SPSS軟件的

33、自回歸功能，analyzetime seriesautoregression: =0.631, =, (5)用科克倫-奧克特迭代法處理序列相關(guān)，建立回歸方程 =0.632, =260.560 , DW1.748。6用普萊斯-溫斯登迭代法處理序列相關(guān)，建立回歸方程。 =0.632, = , DW1.746。7比擬以上各方法所建回歸方程的優(yōu)良性。綜合以上各方法的模型擬合結(jié)果如下表所示：自回歸方法DW迭代法差分法0準(zhǔn)確最大似然科克倫-奧克特普萊斯-溫斯登由上表可看出：DW值都落在了隨機(jī)誤差項無自相關(guān)性的區(qū)間上，一階差分法消除自相關(guān)最徹底，但因為=0.627,并不接近于1,故得到的方差較大,擬合效果不

34、理想。將幾種方法所得到的值進(jìn)展比擬，就可知迭代法的擬合效果最好，以普萊斯-溫斯登法次之，差分法最差。4.15 說明引起異常值的原因和消除異常值的方法。答：通常引起異常值的原因和消除異常值的方法有以下幾條，見表4.10：4.16 對第3章習(xí)題11做異常值檢驗。研究貨運總量y萬噸與工業(yè)總產(chǎn)值x1億元、農(nóng)業(yè)總產(chǎn)值x2億元、居民非商品支出x3億元的關(guān)系。1利用SPSS建立y與x1，x2，x3的三元回歸方程，分別計算普通殘差，學(xué)生化殘差，刪除殘差，刪除學(xué)生化殘差，中心化杠桿值，庫克距離，見下表：從表中看到絕對值最大的學(xué)生化殘差為SRE=2.11556，小于3，但有超過3的個別值，因而根據(jù)學(xué)生化殘差診斷認(rèn)

35、為存在異常值。絕對值最大的刪除學(xué)生化殘差為3.832，對應(yīng)為第6個數(shù)據(jù)，因此判斷它為為異常值。第6個數(shù)據(jù)的中心化杠桿值為0.64，位于第一大，大于2=2=0.6，且?guī)炜司嚯x為3.21位于第一大，因而從杠桿值看是第6個數(shù)據(jù)是自變量的異常值，同時庫克距離大于1，故第6個數(shù)據(jù)為異常值的原因是由自變量異常與因變量異常兩個共同原因引起的。編號yX1X2X3殘差學(xué)生化殘差刪除殘差刪除學(xué)生化殘差12345678910 160 260 210 265 240 220 275 160 275 250 70 75 65 74 72 68 78 66 70 65 35 40 40 42 38 45 42 36 44

36、 42 -15.47481 12.82499 5.34434 -00.627670.265170.40935-0.11351-0.876040.592770.24349-0.003960.379020.166090.031150.006200.000000.408740.501100.289460.015000.221580.354180.140250.160790.099350.240.641870.492770.361290.163660.33883 (2) 刪除第6組數(shù)據(jù)，然后做回歸分析，編號yX1X2X3殘差刪除學(xué)生化殘差學(xué)生化殘差刪除學(xué)生化殘差12345789101602602102

37、652402751602752507075657472786670653540404238.4236444214.09650.0.712580.62911-0.758310.105660.276550.58638-0.72098-0.602440.094610.249270.363550.033670.071880.029480.578400.007490.037080.179480.443220.346650.142780.222220.109760.384670.617320.548650.292240.33571.由上表可知：刪除第六組數(shù)據(jù)后，發(fā)現(xiàn)學(xué)生化殘差的絕對值和刪除化學(xué)生殘差絕對值

38、均小于3，庫克距離均小于1，中心化杠桿值的最大值為0.617322= ,說明數(shù)據(jù)不再有異常值。所以可判斷異常值的原因是由于數(shù)據(jù)登記或?qū)嶋H問題有突變引起的。第5章 自變量選擇與逐步回歸思考與練習(xí)參考答案5.1 自變量選擇對回歸參數(shù)的估計有何影響？答： 回歸自變量的選擇是建立回歸模型得一個極為重要的問題。如果模型中丟掉了重要的自變量, 出現(xiàn)模型的設(shè)定偏誤，這樣模型容易出現(xiàn)異方差或自相關(guān)性 ，影響回歸的效果；如果模型中增加了不必要的自變量, 或者數(shù)據(jù)質(zhì)量很差的自變量, 不僅使得建模計算量增大, 自變量之間信息有重疊，而且得到的模型穩(wěn)定性較差，影響回歸模型的應(yīng)用。5.2自變量選擇對回歸預(yù)測有何影響？答

39、：當(dāng)全模型m元正確采用選模型p元時，我們舍棄了m-p個自變量，回歸系數(shù)的最小二乘估計是全模型相應(yīng)參數(shù)的有偏估計，使得用選模型的預(yù)測是有偏的，但由于選模型的參數(shù)估計、預(yù)測殘差和預(yù)測均方誤差具有較小的方差，所以全模型正確而誤用選模型有利有弊。 當(dāng)選模型p元正確采用全模型m元時，全模型回歸系數(shù)的最小二乘估計是相應(yīng)參數(shù)的有偏估計，使得用模型的預(yù)測是有偏的，并且全模型的參數(shù)估計、預(yù)測殘差和預(yù)測均方誤差的方差都比選模型的大，所以回歸自變量的選擇應(yīng)少而精。5.3 如果所建模型主要用于預(yù)測，應(yīng)該用哪個準(zhǔn)如此來衡量回歸方程的優(yōu)劣？答：如果所建模型主要用于預(yù)測，如此應(yīng)使用統(tǒng)計量達(dá)到最小的準(zhǔn)如此來衡量回歸方程的優(yōu)劣

40、。5.4 試述前進(jìn)法的思想方法。答：前進(jìn)法的根本思想方法是：首先因變量Y對全部的自變量x1,x2,.,xm建立m個一元線性回歸方程, 并計算F檢驗值，選擇偏回歸平方和顯著的變量F值最大且大于臨界值進(jìn)入回歸方程。每一步只引入一個變量，同時建立m1個二元線性回歸方程，計算它們的F檢驗值，選擇偏回歸平方和顯著的兩變量變量F值最大且大于臨界值進(jìn)入回歸方程。在確定引入的兩個自變量以后，再引入一個變量，建立m2個三元線性回歸方程，計算它們的F檢驗值，選擇偏回歸平方和顯著的三個變量F值最大進(jìn)入回歸方程。不斷重復(fù)這一過程，直到無法再引入新的自變量時，即所有未被引入的自變量的F檢驗值均小于F檢驗臨界值F(1,n

41、-p-1)，回歸過程完畢。5.5 試述后退法的思想方法。答：后退法的根本思想是：首先因變量Y對全部的自變量x1,x2,.,xm建立一個m元線性回歸方程, 并計算t檢驗值和F檢驗值，選擇最不顯著P值最大且大于臨界值的偏回歸系數(shù)的自變量剔除出回歸方程。每一步只剔除一個變量，再建立m1元線性回歸方程，計算t檢驗值和F檢驗值，剔除偏回歸系數(shù)的t檢驗值最小P值最大的自變量，再建立新的回歸方程。不斷重復(fù)這一過程，直到無法剔除自變量時，即所有剩余p個自變量的F檢驗值均大于F檢驗臨界值F(1,n-p-1)，回歸過程完畢。5.6前進(jìn)法、后退法各有哪些優(yōu)缺點？答：前進(jìn)法的優(yōu)點是能夠?qū)σ蜃兞坑杏绊懙淖宰兞堪达@著性

42、一一選入，計算量小。前進(jìn)法的缺點是不能反映引進(jìn)新變量后的變化，而且選入的變量就算不顯著也不能刪除。后退法的優(yōu)點是是能夠?qū)σ蜃兞繘]有顯著影響的自變量按不顯著性一一剔除，保存的自變量都是顯著的。后退法的缺點是開始計算量大，當(dāng)減少一個自變量時，它再也沒機(jī)會進(jìn)入了。如果碰到自變量間有相關(guān)關(guān)系時，前進(jìn)法和后退法所作的回歸方程均會出現(xiàn)不同程度的問題。5.7 試述逐步回歸法的思想方法。答：逐步回歸的根本思想是有進(jìn)有出。具體做法是將變量一個一個的引入，當(dāng)每引入一個自變量后，對已選入的變量要進(jìn)展逐個檢驗，當(dāng)原引入變量由于后面變量的應(yīng)納入而變得不再顯著時，要將其剔除。引入一個變量或從回歸防方程中剔除一個變量，為

43、逐步回歸的一步，每一步都要進(jìn)展F檢驗，以確保每次引入新的變量之前回歸方程中只包含顯著的變量。這個過程反復(fù)進(jìn)展，直到無顯著變量引入回歸方程，也無不顯著變量從回歸方程中剔除為止。這樣就防止了前進(jìn)法和后退法各自的缺陷，保證了最后得到的回歸子集是最優(yōu)回歸子集。5.8 在運用逐步回歸法時，進(jìn)和出的賦值原如此是什么？如果希望回歸方程中多保存一些自變量，進(jìn)應(yīng)如何賦值？答：原如此是要求引入自變量的顯著水平進(jìn)小于剔除自變量的顯著性水平出，否如此可能出現(xiàn)死循環(huán)；假設(shè)想回歸方程多保存自變量，可以增大進(jìn)的值，使得更多自變量的P值在進(jìn)的圍，但要注意，進(jìn)的值不得超過出的值。5.9 在研究國家財政收入時，我們把財政收入按收

44、入形式分為：各項稅收收入、企業(yè)收入、債務(wù)收入、國家能源交通重點建設(shè)收入、根本建設(shè)貸款歸還收入、國家預(yù)算調(diào)節(jié)基金收入、其他收入等。為了建立國家財政收入回歸模型，我們以財政收入y億元為因變量，自變量如下：x1為農(nóng)業(yè)增加值億元，x2為工業(yè)增加值億元，x3為建筑業(yè)增加值億元，x4為人口數(shù)萬人，x5為社會消費總額億元，x6為受災(zāi)面積萬公頃。據(jù)中國統(tǒng)計年鑒獲得19781998年共21個年份的統(tǒng)計數(shù)據(jù)，見表5.4P167。由定性分析知，所有自變量都與y有較強(qiáng)的相關(guān)性，分別用后退法和逐步回歸法作自變量選元。解：后退法SPSS輸出結(jié)果：逐步回歸法二者結(jié)果一樣，回歸方程為：但是回歸系數(shù)的解釋不合理。表5.5的數(shù)據(jù)

45、是19681983年期間與線制造有關(guān)的數(shù)據(jù)，各變量的含義如下：x1年份；x2國民生產(chǎn)總值10億美元；x3新房動工數(shù)單位：1000；x4失業(yè)率；x5滯后6個月的最惠利率；x6用戶用線增量；y年銷量百萬尺雙線。1建立y對x2x6的線性回歸方程。SPSS輸出結(jié)果如下：回歸方程為：其中x2、 x5的系數(shù)未通過檢驗。(2)用后退法選擇自變量。后退法剔除P值最大的剔除x5，模型的參數(shù)均通過顯著性檢驗。顯著性水平0.05，得回歸方程為：模型明確年銷量y與國民生產(chǎn)總值、新房動工數(shù)、失業(yè)率、用戶用線增量有顯著的線性關(guān)系。3用逐步回歸法選擇自變量逐步回歸法引入x3,x5,x4進(jìn)入回歸模型，沒有剔除變量，保存x3,

46、x5,x4作為最終模型?；貧w方程為：模型明確年銷量y與新房動工費、失業(yè)率、滯后6個月的最惠利率 有顯著的線性關(guān)系。4根據(jù)以上計算結(jié)果分析后退法和逐步回歸法的差異答：兩個方法得到的最終模型是不同的，后退法首先剔除了x5，而逐步回歸法在第二步引入了x5，說明兩種方法對自變量選取的方法是不同的，這與自變量之間的相關(guān)性有關(guān)。相比之下，后退法首先做全模型的回歸，每個自變量都有機(jī)會展示自己的作用，所得結(jié)果更值得信服。從本例看，x5是滯后6個月的最惠利率，對因變量的影響似乎不大。第6章 多重共線性的情形與其處理思考與練習(xí)參考答案6.1 試舉一個產(chǎn)生多重共線性的經(jīng)濟(jì)實例。答：例如有人建立某地區(qū)糧食產(chǎn)量回歸模型

47、，以糧食產(chǎn)量為因變量Y，化肥用量為X1，水澆地面積為X2，農(nóng)業(yè)投入資金為X3。由于農(nóng)業(yè)投入資金X3與化肥用量X1，水澆地面積X2有很強(qiáng)的相關(guān)性，所以回歸方程效果會很差。再例如根據(jù)某行業(yè)企業(yè)數(shù)據(jù)資料擬合此行業(yè)的生產(chǎn)函數(shù)時，資本投入、勞動力投入、資金投入與能源供應(yīng)都與企業(yè)的生產(chǎn)規(guī)模有關(guān)，往往出現(xiàn)高度相關(guān)情況，大企業(yè)二者都大，小企業(yè)都小。6.2多重共線性對回歸參數(shù)的估計有何影響？答：1、完全共線性下參數(shù)估計量不存在；2、近似共線性下OLS估計量非有效；3、參數(shù)估計量經(jīng)濟(jì)含義不合理；4、變量的顯著性檢驗失去意義；5、模型的預(yù)測功能失效。6.3 具有嚴(yán)重多重共線性的回歸方程能不能用來做經(jīng)濟(jì)預(yù)測？答：雖然

48、參數(shù)估計值方差的變大容易使區(qū)間預(yù)測的“區(qū)間變大，使預(yù)測失去意義。但如果利用模型去做經(jīng)濟(jì)預(yù)測，只要保證自變量的相關(guān)類型在未來期中一直保持不變，即使回歸模型中包含嚴(yán)重多重共線性的變量，也可以得到較好預(yù)測結(jié)果；否如此會對經(jīng)濟(jì)預(yù)測產(chǎn)生嚴(yán)重的影響。6.4多重共線性的產(chǎn)生于樣本容量的個數(shù)n、自變量的個數(shù)p有無關(guān)系？答：有關(guān)系，增加樣本容量不能消除模型中的多重共線性，但能適當(dāng)消除多重共線性造成的后果。當(dāng)自變量的個數(shù)p較大時，一般多重共線性容易發(fā)生，所以自變量應(yīng)選擇少而精。6.5 自己找一個經(jīng)濟(jì)問題來建立多元線性回歸模型，怎樣選擇變量和構(gòu)造設(shè)計矩陣X才可能防止多重共線性的出現(xiàn)？答：請參考第三次上機(jī)實驗題機(jī)場吞

49、吐量的多元線性回歸模型，注意利用二手?jǐn)?shù)據(jù)很難防止多重共線性的出現(xiàn)，所以一般利用逐步回歸和主成分回歸消除多重共線性。如果進(jìn)展自己進(jìn)展試驗設(shè)計如正交試驗設(shè)計，并收集數(shù)據(jù)，選擇向量使設(shè)計矩陣X的列向量即X1，X2， Xp不相關(guān)。6.6對第5章習(xí)題9財政收入的數(shù)據(jù)分析多重共線性，并根據(jù)多重共線性剔除變量。將所得結(jié)果與逐步回歸法所得的選元結(jié)果相比擬。附5.9 在研究國家財政收入時，我們把財政收入按收入形式分為：各項稅收收入、企業(yè)收入、債務(wù)收入、國家能源交通重點建設(shè)收入、根本建設(shè)貸款歸還收入、國家預(yù)算調(diào)節(jié)基金收入、其他收入等。為了建立國家財政收入回歸模型，我們以財政收入y億元為因變量，自變量如下：x1為農(nóng)業(yè)增加值億元，x2為工業(yè)增加值億元，x3為建筑業(yè)增加值億元，x4為人口數(shù)萬人，x5為社會消費總額億元，x6為受災(zāi)面積萬公頃。據(jù)中國統(tǒng)計年鑒獲得19781998年共21個年份的統(tǒng)計數(shù)據(jù)，見表5.4P167。由定性