2018年中考數(shù)學(xué)試題分類匯編 知識(shí)點(diǎn)29 等腰三角形與等邊三角形

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1、 知識(shí)點(diǎn)29 等腰三角形與等邊三角形 一、選擇題 1. （2018四川綿陽(yáng)，11，3分） 如圖，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，CA=CB，CE=CD，△ACB的頂點(diǎn)A在△ECD的斜邊DE上，若AE=，AD=，則兩個(gè)三角形重疊部分的面積為 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】解：過(guò)A點(diǎn)作AF⊥CE于點(diǎn)F，設(shè)AB與CD的交點(diǎn)為M，過(guò)M點(diǎn)作MN⊥AC于點(diǎn)N，如圖所示. ∵△ECD為等腰直角三角形， ∴∠E=45°. ∵AE=，AD=， ∴AF=EF=1,CE=CD==， ∴CF=, ∴AC==2，∠ACF=30° ∴∠ACD=60

2、°. 設(shè)MN=x， ∵△ABC為等腰直角三角形， ∴∠CAB=45°， ∴AN=MN=x，CN==x， ∴AC=AN+CN=x+x=2， 解得x=3-， ∴S△ACM=×AC×MN=3-. 故選D. 【知識(shí)點(diǎn)】等腰直角三角形的性質(zhì)，含30°角的直角三角形性質(zhì)，勾股定理，三角形面積計(jì)算 2. （2018山東臨沂，11，3分）如圖，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分別是點(diǎn)D，E.AD＝3，BE＝1.則DE的長(zhǎng)是( ) 第11題圖 A． B．2 C. D． 【答案】B

3、 【解析】∵AD⊥CE，BE⊥CE，∴∠ADC=∠CEB=90°，∠DAC＋∠DCA=90°，∵∠ACB＝90°，∴∠ECB＋∠DCA=90°，∴∠DCA=∠ECB，∵AC=CB，∴△ACD≌△CBE，∴AD=CE=3，CD=BE=1，∴DE=CE－CD=3－1=2，故選B. 【知識(shí)點(diǎn)】等腰直角三角形 全等三角形的判定和性質(zhì) 3. （2018山東省淄博市，11，4分）如圖，在Rt△ABC中，CM平分∠ACB交AB于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)M作MN∥BC交AC于點(diǎn)N，且MN平分∠AMC，若AN=1，則BC的長(zhǎng)為 （A）4 （B） 6 （C）4

4、 （D）8 【答案】B 【思路分析】由已知MN∥BC和CM平分∠ACB可證MN=NC，∠ANM=∠ACB，∠NMC=∠MCB，再由MN平分∠AMC可得∠ANM=∠ACB，從而得到∠ANM=2∠AMN，可得∠AMN=30°，再利用直角三角形中30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半求出MN，進(jìn)而得到NC，求得AC，從而求出BC. 【解題過(guò)程】∵M(jìn)N∥BC，∴∠ANM=∠ACB，∠NMC=∠MCB，∵CM平分∠ACB，∴∠MCB=∠MCN=∠ACB，∴∠NMC=∠NCM，∴MN=NC，∵M(jìn)N平分∠AMC，∴∠AMN=∠NMC=∠AMC，∴∠AMN=∠ACB=∠ANM，∵∠A

5、=90°，∴∠AMN=30°，∵AN=1，∴MN=2，∴NC=2，∴AC=3，∵∠B=∠AMN=30°，∴BC=2AC=6，故選B. 【知識(shí)點(diǎn)】平行線的性質(zhì)；等腰三角形判定；解直角三角形 4. （2018浙江湖州，5，3）如圖，AD，CE分別是△ABC的中線和角平分線．若AB＝AC，∠CAD＝20°，則 ∠ACE的度數(shù)是（ ） A．20° B．35° C．40° D．70° 【答案】B 【解析】∵AB＝AC，AD是△ABC的中線，∴AD⊥BC．∵∠CAD＝20°，∴∠ACD＝70

6、°．∵CE是∠ABC的平分線，∴∠ACE＝35°．故選B. 【知識(shí)點(diǎn)】等腰三角形，角平分線，中線 1. （2018福建A卷，5，4）如圖，等邊三角形ABC中，AD⊥BC，垂足為D，點(diǎn)E在線段AD上，∠EBC=45°，則∠ACE等于( ) A．15° B.30° C. 45° D. 60° 【答案】A 【解析】解：∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABC=∠ACB=60°，∵AD⊥BC，∴BD=CD，AD是BC的垂直平分線，∴BE=CE，∴∠EBC=∠ECB=45°，∴∠ECA=-60°-45°=15°

7、. 【知識(shí)點(diǎn)】等邊三角形性質(zhì)，三線合一 2. （2018福建B卷，5，4）如圖，等邊三角形ABC中，AD⊥BC，垂足為D，點(diǎn)E在線段AD上，∠EBC=45°，則∠ACE等于( ) A．15° B.30° C. 45° D. 60° 【答案】A 【解析】解：∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABC=∠ACB=60°，∵AD⊥BC，∴BD=CD，AD是BC的垂直平分線，∴BE=CE，∴∠EBC=∠ECB=45°，∴∠ECA=-60°-45°=15°. 【知識(shí)點(diǎn)】等邊三角形性質(zhì)，三線合一 3

8、. （2018四川雅安，10題，3分）已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，∠C=72°，BC=，以點(diǎn)B為圓心，BC為半徑畫(huà)弧，交AC與點(diǎn)D，則線段AD的長(zhǎng)為 第10題圖 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】在△ABC中，AB=AC，∠C=72°，所以∠B=72°，∠A=36°，因?yàn)锽C=BD，所以∠BDC=72°，所以∠ABD=36°，所以AD=BD=BC=，故選C 【知識(shí)點(diǎn)】等腰三角形 4. （2018四川涼山州，4，4分）如圖，在△ABC中，按以下步驟作圖：①分別以A、B為圓心，大于長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于M、N兩點(diǎn)；②作直線MN交BC于D，

9、連結(jié)AD．若AD＝AC，∠B＝25°，則∠C=（ ） A.70° B.60° C.50° D.40° 【答案】C 【解析】由作圖可知MN為線段AB的垂直平分線，∴AD＝BD，∠DAB=∠B＝25°,∵∠CDA為△ABD的一個(gè)外角，∴∠CDA=∠DAB+∠B＝50°.∵AD＝AC，∴∠C=∠CDA=50°.故選擇C. 【知識(shí)點(diǎn)】尺規(guī)作圖——線段的垂直平分線，線段垂直平分線的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì). 5. （2018廣西玉林，9題，3分）如圖，∠AOB=60°，OA=OB，動(dòng)點(diǎn)C從點(diǎn)O出發(fā)

10、，沿射線OB方向移動(dòng)，以AC為邊在右側(cè)作等邊△ACD，連接BD，則BD所在直線與OA所在直線的位置關(guān)系是 A.平行 B.相交 C.垂直 D.平行、相交或垂直 第9題圖 【答案】A 【解析】由已知得△AOB為等邊三角形．所以∠O=∠OAB=60°． 易證△AOC≌△ABD，得∠ABD=60°．所以∠OAB=∠ABD，所以BD∥OA． 故選A. 【知識(shí)點(diǎn)】等邊三角形的判定；全等三角形的判定；平行線的判定 二、填空題 1. （2018四川省成都市，11，4）等腰三角形的一個(gè)底角為50° ，則它的頂角的度數(shù)為 ． 【答案】80° 【解析】解：∵等

11、腰三角形的一個(gè)底角為50° ，且兩個(gè)底角相等，∴頂角為180°－2×50°＝80°． 【知識(shí)點(diǎn)】等腰三角形性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和 1. （2018貴州遵義，14題，4分）如圖，△ABC中，點(diǎn)D在BC邊上，BD=AD=AC，E為CD的中點(diǎn)，若∠CAE=16°，則∠B為_(kāi)______度 第14題圖 【答案】37 【解析】因?yàn)锳D=AC，E為CD的中點(diǎn)，所以∠DAC=2∠CAE=32°，所以∠ADC=(180°-∠DAC)=74°，因?yàn)锽D=AD，所以∠B=∠ADC=37° 【知識(shí)點(diǎn)】等腰三角形三線合一，外角 2. （2018湖南省湘潭市，12，3分）如圖，在等邊三角形ABC中，

12、點(diǎn)D是邊BC的中點(diǎn)，則∠BAD________. 【答案】30° 【解析】∵△ABC是等邊三角形，∴∠BAC=60°，AB=AC，∵D是BC中點(diǎn)，∴AD平分∠BAC，∴∠BAD=30°. 【知識(shí)點(diǎn)】等邊三角形的性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì) 3. （2018江蘇淮安，13，3） 若一個(gè)等腰三角形的頂角等于50°，則它的底角等于 . 【答案】65° 【解析】分析：本題考查等腰三角形性質(zhì)，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和等腰三角形性質(zhì)可得結(jié)果. 解：由題意得，等腰三角形的底角＝（180°-頂角）÷2＝（180°-50°）÷2＝65°. 故答案為65° 【知識(shí)點(diǎn)】等腰三角形；

13、等腰三角形性質(zhì)；三角形內(nèi)角和定理 4. （2018 湖南張家界，12，3分）如圖，將繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，這時(shí)點(diǎn)恰好在同一直線上，則的度數(shù)為_(kāi)_____． 【答案】15 【解析】解：∵繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到， ∴∠BAD=150°，≌. ∴AB=AD. ∴△BAD是等腰三角形. ∴∠B=∠ADB==15°. 【知識(shí)點(diǎn)】旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì). 三、解答題 1. （2018浙江紹興，22，12分）數(shù)學(xué)課上，張老師舉了下面的例題： 例1 等腰三角形中，，求的度數(shù).（答案：） 例2 等腰三角形中，，求的度數(shù).（答案：或或） 張老師啟發(fā)同學(xué)們進(jìn)行變式，小敏編了

14、如下一題： 變式 等腰三角形中，，求的度數(shù). （1）請(qǐng)你解答以上的變式題. （2）解（1）后，小敏發(fā)現(xiàn)，的度數(shù)不同，得到的度數(shù)的個(gè)數(shù)也可能不同.如果在等腰三角形中，設(shè)，當(dāng)有三個(gè)不同的度數(shù)時(shí)，請(qǐng)你探索的取值范圍. 【思路分析】（1）可分當(dāng)為頂角、當(dāng)為底角兩種情況討論，當(dāng)為頂角時(shí)，只能為底角；當(dāng)為底角時(shí)，既可以為頂角，也可以為底角所以的度數(shù)有三種情況。 （2）分兩種情況：當(dāng)時(shí)，只能為頂角，的度數(shù)只有一個(gè)；當(dāng)時(shí)，既可以是頂角，也可以是底角，當(dāng)是底角時(shí)，既可以為底角，也可以為頂角，也就是有三個(gè)不同的度數(shù)，但是當(dāng)=60°時(shí)，只能等于60°，所以當(dāng)有三個(gè)不同的度數(shù)時(shí)，的取值范圍是且。 【解題

15、過(guò)程】22.解：（1）當(dāng)為頂角，則， 當(dāng)為底角，若為頂角，則， 若為底角，則， ∴或或. （2）分兩種情況： ①當(dāng)時(shí)，只能為頂角， ∴的度數(shù)只有一個(gè). ②當(dāng)時(shí)， 若為頂角，則， 若為底角，則或， 當(dāng)且且，即時(shí)， 有三個(gè)不同的度數(shù). 綜上①②，當(dāng)且，有三個(gè)不同的度數(shù). 【知識(shí)點(diǎn)】等腰三角形的性質(zhì) 2. （2018寧波市，23題，10分） 如圖,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,D是AB邊上一點(diǎn)(點(diǎn)D與A，B不重合,連結(jié)CD,將線段CD繞點(diǎn)C按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°得到線段CE,連結(jié)DE交BC于點(diǎn)F連接BE. （1）求證:△ACD≌△BCE; （

16、2）當(dāng)AD=BF時(shí),求∠BEF的度數(shù). 【思路分析】 【解題過(guò)程】解：（1）∵線段CD繞點(diǎn)C按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°得到線段CE， ∴∠DCE=90°,CD=CE， 又∵∠ACB=90°， ∴∠ACB=∠DCE ∴∠ACD=∠BCE 在△ACD和△BCE中 ∵ ∴△ACD≌△BCE(SAS) （2） ∵∠ACB=90°,AC=BC, ∴∠A=45° ∵△ACD≌△BCE, ∴AD=BE,∠CBE=∠A=45° 又:AD=BF ∠BEF=∠BFE==67.5° 【知識(shí)點(diǎn)】全等三角形的判定、等腰三角形的性質(zhì)1. （2018武漢市，18，8分）如圖，點(diǎn)E、F在BC上，BE＝CF，AB＝DC，∠B＝∠C，AF與DE交于點(diǎn)G，求證：GE＝GF. 【思路分析】如圖，由已知條件證得△ABF≌△DCE，得∠1＝∠2，再根據(jù)等腰三角形的判定定理得GE＝GF. 【解題過(guò)程】∵BE=CF，∴BE+EF=CF+EF，∴BF=CE， 在△ABF和△DCE中 ， ∴△ABF≌△DCE（SASA）， ∴∠1＝∠2， ∴GE＝GF. 第18題答圖 【知識(shí)點(diǎn)】全等三角形的判定 全等三角形的性質(zhì) 等腰三角形的判定 11