高考數(shù)學(xué)大二輪刷題首選卷理數(shù)文檔:第一部分 考點(diǎn)十四 空間中的平行與垂直關(guān)系 Word版含解析

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1、考點(diǎn)十四空間中的平行與垂直關(guān)系 一、選擇題1已知平面平面,若兩條直線m,n分別在平面,內(nèi),則m,n的關(guān)系不可能是()A平行B相交C異面D平行或異面答案B解析由知,.又m,n,故mn.故選B.2設(shè)直線m與平面相交但不垂直,則下列說法正確的是()A在平面內(nèi)有且只有一條直線與直線m垂直B過直線m有且只有一個(gè)平面與平面垂直C與直線m垂直的直線不可能與平面平行D與直線m平行的平面不可能與平面垂直答案B解析可以通過觀察正方體ABCDA1B1C1D1進(jìn)行判斷,取BC1為直線m,平面ABCD為平面,由AB,CD均與m垂直知,A錯(cuò)誤;由D1C1與m垂直且與平面平行知,C錯(cuò)誤;由平面ADD1A1與m平行且與平面垂

2、直知,D錯(cuò)誤故選B.3(2019東北三省四市一模)已知m,n為兩條不重合直線,為兩個(gè)不重合平面,下列條件中,一定能推出的是()Amn,m,nBmn,m,nCmn,m,nDmn,m,n答案B解析當(dāng)mn時(shí),若m,可得n.又n,可知,故選B.4(2019湖南長沙一中模擬一)在正方體ABCDA1B1C1D1中,點(diǎn)O是四邊形ABCD的中心,關(guān)于直線A1O,下列說法正確的是()AA1ODCBA1OBCCA1O平面B1CD1DA1O平面ABD答案C解析顯然A1O與DC是異面直線,故A錯(cuò)誤;假設(shè)A1OBC,結(jié)合A1ABC可得BC平面A1ACC1,則可得BCAC,顯然不正確,故假設(shè)錯(cuò)誤,即B錯(cuò)誤;在正方體ABC

3、DA1B1C1D1中,點(diǎn)O是四邊形ABCD的中心,A1DB1C,ODB1D1,A1DDOD,B1D1B1CB1,平面A1DO平面B1CD1,A1O平面A1DO,A1O平面B1CD1,故C正確;又A1A平面ABD,過一點(diǎn)作平面ABD的垂線有且只有一條,則D錯(cuò)誤,故選C.5下列命題中錯(cuò)誤的是()A如果平面平面,那么平面內(nèi)一定存在直線平行于平面B如果平面不垂直于平面,那么平面內(nèi)一定不存在直線垂直于平面C如果平面平面,平面平面,l,那么l平面D如果平面平面,那么平面內(nèi)所有直線都垂直于平面答案D解析對(duì)于D,若平面平面,則平面內(nèi)的直線可能不垂直于平面,甚至可能平行于平面,其余選項(xiàng)均是正確的6. 如圖,在空

4、間直角坐標(biāo)系中,有直三棱柱ABCA1B1C1,CACC12CB,則異面直線BC1與AB1所成角的余弦值為()ABCD答案A解析設(shè)CB1,則(2,2,1),(0,2,1),則cos,.故選A.7(2017全國卷)如圖,在下列四個(gè)正方體中,A,B為正方體的兩個(gè)頂點(diǎn),M,N,Q為所在棱的中點(diǎn),則在這四個(gè)正方體中,直線AB與平面MNQ不平行的是()答案A解析A項(xiàng),作如圖所示的輔助線,其中D為BC的中點(diǎn),則QDAB.QD平面MNQQ,QD與平面MNQ相交,直線AB與平面MNQ相交B項(xiàng),作如圖所示的輔助線,則ABCD,CDMQ,ABMQ.又AB平面MNQ,MQ平面MNQ,AB平面MNQ.C項(xiàng),作如圖所示的

5、輔助線,則ABCD,CDMQ,ABMQ.又AB平面MNQ,MQ平面MNQ,AB平面MNQ.D項(xiàng),作如圖所示的輔助線,則ABCD,CDNQ,ABNQ.又AB平面MNQ,NQ平面MNQ,AB平面MNQ.故選A.8如圖,在四邊形ABCD中,ADBC,ADAB,BCD45,BAD90.將ADB沿BD折起,使平面ABD平面BCD,構(gòu)成三棱錐ABCD,則在三棱錐ABCD中,下列命題正確的是()A平面ABD平面ABCB平面ADC平面BDCC平面ABC平面BDCD平面ADC平面ABC答案D解析因?yàn)樵谒倪呅蜛BCD中,ADBC,ADAB,BCD45,BAD90,所以BDCD,又平面ABD平面BCD,且平面ABD

6、平面BCDBD,所以CD平面ABD,則CDAB,又ADAB,所以AB平面ADC,則平面ABC平面ADC,故選D.二、填空題9如圖,P為正方體ABCDA1B1C1D1體對(duì)角線BD1上的一點(diǎn),且,若BD1平面PAC,則_.答案解析以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn),DA,DC,DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系不妨設(shè)正方體的棱長為1,則A(1,0,0),B(1,1,0),D1(0,0,1),設(shè)P(x,y,z),則由得(x1,y1,z)(1,1,1),所以P(1,1,),則(,1,),又因?yàn)锽D1平面PAC,所以10,解得.10(2019黑龍江大慶一中四模)給出下列四個(gè)命題:如果平面外一條直線a與

7、平面內(nèi)一條直線b平行,那么a;過空間一定點(diǎn)有且只有一條直線與已知平面垂直;如果一條直線垂直于一個(gè)平面內(nèi)的無數(shù)條直線,那么這條直線與這個(gè)平面垂直;若兩個(gè)相交平面都垂直于第三個(gè)平面,則這兩個(gè)平面的交線垂直于第三個(gè)平面其中真命題的序號(hào)為_答案解析命題是線面平行的判定定理,正確;命題因?yàn)榇怪蓖黄矫娴膬蓷l直線平行,所以過空間一定點(diǎn)有且只有一條直線與已知平面垂直,故正確;命題平面內(nèi)無數(shù)條直線均平行時(shí),不能得出直線與這個(gè)平面垂直,故不正確;命題因?yàn)閮蓚€(gè)相交平面都垂直于第三個(gè)平面,從而交線垂直于第三個(gè)平面,故正確故答案為.11. 如圖,在正三棱柱ABCA1B1C1中,已知AB1,點(diǎn)D在棱BB1上,且BD1,

8、則AD與平面AA1C1C所成角的正弦值為_答案解析如圖,取C1A1,CA的中點(diǎn)E,F(xiàn),連接B1E,BF,EF,則B1E平面CAA1C1.過點(diǎn)D作DHB1E,則DH平面CAA1C1.連接AH,則DAH為AD與平面AA1C1C所成角DHB1E,DA,所以sinDAH.12(2019全國卷)已知ACB90,P為平面ABC外一點(diǎn),PC2,點(diǎn)P到ACB兩邊AC,BC的距離均為,那么P到平面ABC的距離為_答案解析如圖,過點(diǎn)P作PO平面ABC于O,則PO為P到平面ABC的距離再過O作OEAC于E,OFBC于F,連接PC,PE,PF,則PEAC,PFBC.又PEPF,所以O(shè)EOF,所以CO為ACB的平分線,

9、即ACO45.在RtPEC中,PC2,PE,所以CE1,所以O(shè)E1,所以PO.三、解答題13(2019福建3月質(zhì)檢)如圖,三棱柱ABCA1B1C1中,底面ABC是等邊三角形,側(cè)面BCC1B1是矩形,ABA1B,N是B1C的中點(diǎn),M是棱AA1上的點(diǎn),且AA1CM.(1)證明:MN平面ABC;(2)若ABA1B,求二面角ACMN的余弦值解(1)證明:如圖1,在三棱柱ABCA1B1C1中,連接BM,因?yàn)锽CC1B1是矩形,所以BCBB1,因?yàn)锳A1BB1,所以AA1BC,又因?yàn)锳A1MC,BCMCC,所以AA1平面BCM,所以AA1MB,又因?yàn)锳BA1B,所以M是AA1的中點(diǎn),取BC的中點(diǎn)P,連接N

10、P,AP,因?yàn)镹是B1C的中點(diǎn),則NPBB1且NPBB1,所以NPMA且NPMA,所以四邊形AMNP是平行四邊形,所以MNAP,又因?yàn)镸N平面ABC,AP平面ABC,所以MN平面ABC.(2)因?yàn)锳BA1B,所以ABA1是等腰直角三角形,設(shè)ABa,則AA12a,BMAMa.在RtACM中,ACa,所以MCa.在BCM中,CM2BM22a2BC2,所以MCBM,由(1)知,則MCAA1,BMAA1,如圖2,以M為坐標(biāo)原點(diǎn),的方向分別為x軸、y軸、z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系,則M(0,0,0),C(0,0,a),B1(2a,a,0)所以N,則(0,0,a),設(shè)平面CMN的法向量為n1(x,y,

11、z),則即取x1得y2.故平面CMN的一個(gè)法向量為n1(1,2,0),因?yàn)槠矫鍭CM的一個(gè)法向量為n2(0,1,0),則cosn1,n2.因?yàn)槎娼茿CMN為鈍角,所以二面角ACMN的余弦值為.14(2019廣東湛江高考測試二)三棱錐ABCD中,底面BCD是等腰直角三角形,BCBD2,AB,且ABCD,O為CD的中點(diǎn),如圖(1)求證:平面ABO平面BCD;(2)若二面角ACDB的大小為,求AD與平面ABC所成角的正弦值解(1)證明:BCD是等腰直角三角形,BCBD2,O為CD的中點(diǎn),BOCD,ABCD,ABBOB,CD平面ABO,CD平面BCD,平面ABO平面BCD.(2)CD平面ABO,CD

12、AOAOB為二面角ACDB的平面角,AOB,BO,ABBO,ABO為等邊三角形,以B為原點(diǎn),建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則B(0,0,0),C(2,0,0),A,D(0,2,0),(2,0,0),設(shè)平面ABC的法向量n(x,y,z),則即取n(0,1),設(shè)AD與平面ABC所成角為,則sin|cosn,|,故AD與平面ABC所成角的正弦值為.一、選擇題1設(shè)直線l與平面平行,直線m在平面內(nèi),那么()A直線l不平行于直線mB直線l與直線m異面C直線l與直線m沒有公共點(diǎn)D直線l與直線m不垂直答案C解析直線l與平面平行,由線面平行的定義可知,直線l與平面無公共點(diǎn),又直線m在平面內(nèi),直線l與直線m沒有公

13、共點(diǎn),故選C.2(2019河北石家莊二模)設(shè)l表示直線,表示不同的平面,則下列命題中正確的是()A若l且,則lB若且,則C若l且l,則D若且,則答案B解析在A中,若l且,則l,則l與可能相交、平行或l;在B中,若且,則,由面面平行的性質(zhì)可得;在C中,若l且l,則,則與相交或平行;在D中,若且,則,則與相交或平行,故選B.3(2019安徽江南十校3月綜合素質(zhì)檢測)如圖所示,正方體ABCDA1B1C1D1中,點(diǎn)E,F(xiàn),G,P,Q分別為棱AB,C1D1,D1A1,D1D,C1C的中點(diǎn)則下列敘述中正確的是()A直線BQ平面EFGB直線A1B平面EFGC平面APC平面EFGD平面A1BQ平面EFG答案B

14、解析過點(diǎn)E,F(xiàn),G的截面如圖所示(H,I分別為AA1,BC的中點(diǎn)),A1BHE,A1B平面EFG,HE平面EFG,A1B平面EFG,故選B.4設(shè)正三棱錐PABC的高為H,且此棱錐的內(nèi)切球的半徑為R,若二面角PABC的正切值為,則()A5B6C7D8答案C解析取線段AB的中點(diǎn)D,設(shè)P在底面ABC的射影為O,設(shè)ABa,則ODaa,PDC為二面角PABC的平面角,tanPDC,PD6ODa,設(shè)正三棱錐PABC的表面積為S,則R,7.5已知長方體ABCDA1B1C1D1中,AA1,AB4,若在棱AB上存在點(diǎn)P,使得D1PPC,則AD的取值范圍是()A(0,1B(0,2C(1,D1,4)答案B解析連接D

15、P,由D1PPC,DD1PC,且D1P,DD1是平面DD1P上兩條相交直線,得PC平面DD1P,PCDP,即點(diǎn)P在以CD為直徑的圓上,又點(diǎn)P在AB上,則AB與圓有公共點(diǎn),即090;若點(diǎn)G在球外,則EGF90;根據(jù)題意,可判斷,此球與面ABCD,面A1B1C1D1分別相切;與其余面均無公共點(diǎn)因此,當(dāng)點(diǎn)G恰為切點(diǎn)時(shí),EGF取得最大值90,故選D.解法二:以點(diǎn)D為原點(diǎn),DA,DC,DD1所在直線分別為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,則E,F(xiàn),由圖易得當(dāng)點(diǎn)G位于長方體的四個(gè)側(cè)面時(shí),所處情況相同,則不妨設(shè)G(2,y,z),y0,2,z0,1,(y1)22,當(dāng)且僅當(dāng)y1,z,即點(diǎn)G為AB1的中點(diǎn)時(shí)等號(hào)

16、成立;當(dāng)點(diǎn)G位于長方體的上下底面時(shí),所處情況相同,則不妨設(shè)G(x,y,0),x,y0,2,則(x1)2(y1)20,當(dāng)且僅當(dāng)xy1,即點(diǎn)G為AC的中點(diǎn)時(shí)等號(hào)成立,所以的最小值為0,即EGF的最大值為90,故選D.8(2019安徽泗縣一中最后一模)如圖,已知正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為2,E為棱CC1的中點(diǎn),F(xiàn)為棱AA1上的點(diǎn),且滿足A1FFA12,點(diǎn)F,B,E,G,H為過三點(diǎn)B,E,F(xiàn)的平面BMN與正方體ABCDA1B1C1D1的棱的交點(diǎn),則下列說法錯(cuò)誤的是()AHFBEB三棱錐的體積VB1BMN4C直線MN與平面A1B1BA的夾角是45DD1GG1C13答案C解析由于平面ADD1A

17、1平面BCC1B1,而平面BMN與這兩個(gè)平面分別交于HF和BE,根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理可知HFBE,故A正確;由于A1FFA12,而E是CC1的中點(diǎn),故MA11,HD1,D1G,GC1,C1N2,VB1BMNVBMNB1MB1NB1BB13424,故B正確;對(duì)于C,由于B1N平面A1B1BA,所以直線MN與平面A1B1BA所成角為NMB1,且tanNMB11,故C錯(cuò)誤;對(duì)于D,根據(jù)前面計(jì)算的結(jié)果可知D1G,GC1,故D正確,故選C.二、填空題9(2019北京高考)已知l,m是平面外的兩條不同直線給出下列三個(gè)論斷:lm;m;l.以其中的兩個(gè)論斷作為條件,余下的一個(gè)論斷作為結(jié)論,寫出一個(gè)正確的命題

18、:_.答案若m且l,則lm成立(或若lm,l,則m)解析已知l,m是平面外的兩條不同直線,由lm與m,不能推出l,因?yàn)閘可以與平行,也可以與相交不垂直;由lm與l能推出m;由m與l可以推出lm.故正確的命題是或.10已知四邊形ABCD是矩形,AB4,AD3.沿AC將ADC折起到ADC,使平面ADC平面ABC,F(xiàn)是AD的中點(diǎn),E是AC上一點(diǎn),給出下列結(jié)論:存在點(diǎn)E,使得EF平面BCD;存在點(diǎn)E,使得EF平面ABC;存在點(diǎn)E,使得DE平面ABC;存在點(diǎn)E,使得AC平面BDE.其中正確的結(jié)論是_(寫出所有正確結(jié)論的序號(hào))答案解析對(duì)于,存在AC的中點(diǎn)E,使得EFCD,利用線面平行的判定定理可得EF平面

19、BCD;對(duì)于,過點(diǎn)F作EFAC,垂足為E,利用面面垂直的性質(zhì)定理可得EF平面ABC;對(duì)于,過點(diǎn)D作DEAC,垂足為E,利用面面垂直的性質(zhì)定理可得DE平面ABC;對(duì)于,因?yàn)锳BCD是矩形,AB4,AD3,所以B,D在AC上的射影不是同一點(diǎn),所以不存在點(diǎn)E,使得AC平面BDE.11(2019河南洛陽第三次統(tǒng)考)在底面是邊長為2的正方形的四棱錐PABCD中,頂點(diǎn)P在底面的射影H為正方形ABCD的中心,異面直線PB與AD所成角的正切值為2,若四棱錐PABCD的內(nèi)切球半徑為r,外接球的半徑為R,則Rr_.答案解析如圖,E,F(xiàn)分別為AB,CD的中點(diǎn),由題意,PABCD為正四棱錐,底面邊長為2,BCAD,P

20、BC即為PB與AD所成角,可得斜高為2,PEF為正三角形,正四棱錐PABCD的內(nèi)切球半徑即為PEF的內(nèi)切圓半徑,所以(2)22r3,可得r1,設(shè)O為外接球球心,在RtOHA中,R2()2(3R)2,解得R,Rr1.12. 如圖,已知點(diǎn)D,E分別是三棱柱ABCA1B1C1的棱BC,A1B1的中點(diǎn),給出以下命題:BB1平面C1DE;DE平面ACC1A1;平面ADE平面BCC1B1;VEABD2VEDCC1.其中真命題是_(填上所有真命題的序號(hào))答案解析因?yàn)镃C1與平面C1DE相交,且CC1BB1,所以BB1也與平面C1DE相交,故錯(cuò)誤;取A1C1的中點(diǎn)F,連接EF,CF,由EFDC,且EFDC知四

21、邊形EFCD是平行四邊形,所以EDFC,又FC平面ACC1A1,ED平面ACC1A1,所以DE平面ACC1A1,故正確;因?yàn)轭}中沒有任何垂直關(guān)系,故錯(cuò)誤;設(shè)該三棱柱的高為h,則VEABDSABDhSABChV三棱柱取AB的中點(diǎn)G,連接EG,則EG平面BCC1B1,所以VEDCC1VGDCC1VC1DCGSDCGhSABChV三棱柱,所以VEABD2VEDCC1,故正確所以真命題是.三、解答題13如圖,直角梯形BDFE中,EFBD,BEBD,EF2,等腰梯形ABCD中,ABCD,ACBD,AB2CD4,且平面BDFE平面ABCD.(1)求證:AC平面BDFE;(2)若BF與平面ABCD所成角為,

22、求二面角BDFC的余弦值解(1)證明:平面BDFE平面ABCD,平面BDFE平面ABCDBD,AC平面ABCD,且ACBD,AC平面BDFE.(2)設(shè)ACBDO,四邊形ABCD為等腰梯形,DOC,AB2CD4,ODOC,OBOA2,F(xiàn)E綊OB,四邊形BOFE為平行四邊形,OFBE,又BE平面ABCD,OF平面ABCD,F(xiàn)BO為BF與平面ABCD所成的角,F(xiàn)BO,又FOB,OFOB2.以O(shè)為原點(diǎn),OA為x軸,OB為y軸,OF為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,則B(0,2,0),D(0,0),F(xiàn)(0,0,2),C(,0,0),A(2,0,0),(0,2),(,0),AC平面BDFE,平面BDF的法向量為

23、m(1,0,0)設(shè)平面DFC的一個(gè)法向量為n(x,y,z),由得令x2得n(2,2,1),cosn,m.二面角BDFC的余弦值為.14(2019河北武邑中學(xué)三模)如圖,在棱長均為2的三棱柱ABCA1B1C1中,點(diǎn)C在平面A1ABB1內(nèi)的射影O為AB1與A1B的交點(diǎn),E,F(xiàn)分別為BC,A1C1的中點(diǎn)(1)求證:四邊形A1ABB1為正方形;(2)求直線EF與平面A1ACC1所成角的正弦值;(3)在線段AB1上是否存在一點(diǎn)D,使得直線EF與平面A1CD沒有公共點(diǎn)?若存在,求出的值解(1)證明:連接CO,因?yàn)镃在平面A1ABB1內(nèi)的射影O為AB1與A1B的交點(diǎn),所以CO平面A1ABB1.由已知三棱柱A

24、BCA1B1C1各棱長均相等,所以ACBC,且A1ABB1為菱形由勾股定理得OAOB,即AB1A1B,所以四邊形A1ABB1為正方形(2)由(1)知CO平面A1ABB1,COOA,COOA1.在正方形A1ABB1中,OA1OA.如圖建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz.由題意得O(0,0,0),A1(,0,0),A(0,0),B(,0,0),C(0,0,),C1(,),E,F(xiàn).所以(,0),(0,)設(shè)平面A1ACC1的法向量為m(x,y,z),則即令x1,則y1,z1.于是m(1,1,1)又因?yàn)?,設(shè)直線EF與平面A1ACC1所成角為,則sin|cosm,|.所以直線EF與平面A1ACC1所成角的正弦值為.(3)直線EF與平面A1CD沒有公共點(diǎn),即EF平面A1CD.設(shè)D點(diǎn)坐標(biāo)為(0,y0,0),D與O重合時(shí)不符合題意,所以y00.因?yàn)?,y0,0),(,0,)設(shè)n(x1,y1,z1)為平面A1CD的法向量,則即令x11,則y1,z11.于是n,若EF平面A1CD,n0,又,所以0,解得y0,此時(shí)EF平面A1CD,所以AD,DB1.所以.

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