高等數(shù)學(xué)備課教案：第三章 中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 第三節(jié)泰勒公式

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1、第三節(jié) 泰勒公式對(duì)于一些比較復(fù)雜的函數(shù),為了便于研究,往往希望用一些簡(jiǎn)單的函數(shù)來近似表達(dá). 多項(xiàng)式函數(shù)是最為簡(jiǎn)單的一類函數(shù),它只要對(duì)自變量進(jìn)行有限次的加、減、乘三種算術(shù)運(yùn)算,就能求出其函數(shù)值,因此,多項(xiàng)式經(jīng)常被用于近似地表達(dá)函數(shù),這種近似表達(dá)在數(shù)學(xué)上常稱為逼近. 英國(guó)數(shù)學(xué)家泰勒（Taylor. Brook, 1685-1731）在這方面作出了不朽的貢獻(xiàn). 其研究結(jié)果表明: 具有直到階導(dǎo)數(shù)的函數(shù)在一個(gè)點(diǎn)的鄰域內(nèi)的值可以用函數(shù)在該點(diǎn)的函數(shù)值及各階導(dǎo)數(shù)值組成的次多項(xiàng)式近似表達(dá). 本節(jié)我們將介紹泰勒公式及其簡(jiǎn)單應(yīng)用.分布圖示 引言 多項(xiàng)式逼近 泰勒中值定理 例1 例2 例3 常用函數(shù)的麥克勞林公式 例

2、4 例5 例6 例7 內(nèi)容小結(jié) 課堂練習(xí) 習(xí)題3-3 返回內(nèi)容要點(diǎn)一、問題：設(shè)函數(shù)在含有的開區(qū)間(a, b)內(nèi)具有直到階導(dǎo)數(shù), 問是否存在一個(gè)n次多項(xiàng)式函數(shù) (3.1)使得 , (3.2)且誤差是比高階的無窮小,并給出誤差估計(jì)的具體表達(dá)式. 二、泰勒中值公式 (3.6)拉格朗日型余項(xiàng) (3.7)皮亞諾形式余項(xiàng) (3.9)帶有皮亞諾型余項(xiàng)的麥克勞林公式 (3.12)從公式(3.11)或 (3.12)可得近似公式 (3.13)誤差估計(jì)式(3.8)相應(yīng)變成 (3.14)例題選講直接展開法例1 (E01) 寫出函數(shù)在處的四階泰勒公式.解 于是其中在1與之間.例2 (E02) 求的n階麥克勞林公式.解

3、注意到代入泰勒公式，得 由公式可知其誤差取得 其誤差 例3 (E03) 求的n階麥克勞林公式.解 由此得的各階導(dǎo)數(shù)依序循環(huán)地取四個(gè)數(shù)令則其中 取的近似函數(shù)與原函數(shù)圖像比較.常用初等函數(shù)的麥克勞林公式：簡(jiǎn)介展開法在實(shí)際應(yīng)用中, 上述已知初等函數(shù)的麥克勞林公式常用于間接地展開一些更復(fù)雜的函數(shù)的麥克勞林公式, 以及求某些函數(shù)的極限等.例4 (E05) 求 在的泰勒展開式.解 例5 (E04) 求函數(shù) 的階麥克勞林公式.解法一 利用求積的高階導(dǎo)數(shù)的萊布尼茨公式，得于是余項(xiàng) 因此，的階麥克勞林公式為或具有皮亞諾余項(xiàng)的階麥克勞林公式為解法二 利用的階麥克勞林公式，可間接得到函數(shù)的階麥克勞林公式例6 求的到

4、麥克勞林展開式.解 因?yàn)樗远肮?例7 (E06) 計(jì)算 .解 從而課堂練習(xí)1. 利用泰勒公式求極限.泰勒（Taylor, Brook，16851731）簡(jiǎn)介：泰勒(Taylor,Brook)英國(guó)數(shù)學(xué)家。1685年8月18日生于英格蘭德爾塞克斯郡的埃德蒙頓市；1731年12月29日卒于倫敦。泰勒出生于英格蘭一個(gè)富有的且有點(diǎn)貴族血統(tǒng)的家庭。父親約翰來自肯特郡的比夫隆家庭。泰勒是長(zhǎng)子。進(jìn)大學(xué)之前，泰勒一直在家里讀書。泰勒全家尤其是他的父親，都喜歡音樂和藝術(shù)，經(jīng)常在家里招待藝術(shù)家。這時(shí)泰勒一生的工作造成的極大的影響，這從他的兩個(gè)主要科學(xué)研究課題：弦振動(dòng)問題及透視畫法，就可以看出來 。1701年，泰

5、勒進(jìn)劍橋大學(xué)的圣約翰學(xué)院學(xué)習(xí)。1709年，他獲得法學(xué)學(xué)士學(xué)位。1714年獲法學(xué)博士學(xué)位。1712年，他被選為英國(guó)皇家學(xué)會(huì)會(huì)員，同年進(jìn)入促裁牛頓和萊布尼茲發(fā)明微積分優(yōu)先權(quán)爭(zhēng)論的委員會(huì)。從1714年起擔(dān)任皇家學(xué)會(huì)第一秘書，1718年以健康為由辭去這一職務(wù)。泰勒后期的家庭生活是不幸的。1721年，因和一位據(jù)說是出身名門但沒有財(cái)才的女人結(jié)婚，遭到父親的嚴(yán)厲反對(duì)，只好離開家庭。兩年后，妻子在生產(chǎn)中死去，才又回到家里，1725年，在征得父親同意后，他第二次結(jié)婚，并于1729年繼承了父親在肯特郡的財(cái)才。1730年，第二個(gè)妻子也在生產(chǎn)中死去，不過這一次留下了一個(gè)女兒。妻子的死深深地刺激了他，第二年他也去了，安

6、葬在倫敦圣.安教堂墓地。由于工作及健康上的原因，泰勒曾幾次訪問法國(guó)并和法國(guó)數(shù)學(xué)家蒙莫爾多次通信討論級(jí)數(shù)問題和概率論的問題。1708年，23歲的泰勒得到了“振動(dòng)中心問題”的解，引起了人們的注意，在這個(gè)工作中他用了牛頓的瞬的記號(hào)。從1714年到1719年，是泰勒在數(shù)學(xué)牛頓產(chǎn)的時(shí)期。他的兩本著作：正和反的增量法及直線透視都出版于1715年，它們的第二版分別出于1717和1719年。從1712到1724年，他在哲學(xué)會(huì)報(bào)上共發(fā)表了13篇文章，其中有些是通信和評(píng)論。文章中還包含毛細(xì)管現(xiàn)象、磁學(xué)及溫度計(jì)的實(shí)驗(yàn)記錄。在生命的后期，泰勒轉(zhuǎn)向宗教和哲學(xué)的寫作，他的第三本著作哲學(xué)的沉思在他死后由外孫W.楊于1793

7、年出版。泰勒以微積分學(xué)中將函數(shù)展開成無窮級(jí)數(shù)的定理著稱于世。這條定理大致可以敘述為：函數(shù)在一個(gè)點(diǎn)的鄰域內(nèi)的值可以用函數(shù)在該點(diǎn)的值及各階導(dǎo)數(shù)值組成的無窮級(jí)數(shù)表示出來。然而，在半個(gè)世紀(jì)里，數(shù)學(xué)家們并沒有認(rèn)識(shí)到泰勒定理的重大價(jià)值。這一重大價(jià)值是后來由拉格朗日發(fā)現(xiàn)的，他把這一定理刻畫為微積分的基本定理。泰勒定理的嚴(yán)格證明是在定理誕生一個(gè)世紀(jì)之后，由柯西給出的。麥克勞林（Maclaurin, Colin，16891746）簡(jiǎn)介：麥克勞林（Maclaurin,Colin）是英國(guó)數(shù)學(xué)家。1689年2月生于蘇格蘭的基爾莫登；1746年1月卒于愛丁堡。麥克勞林是一位牧師的兒子，半歲喪父，9歲喪母。由其叔父撫養(yǎng)成

8、人。叔父也是一位牧師。麥克勞林是一個(gè)“神童”，為了當(dāng)牧師，他11歲考入格拉斯哥大學(xué)學(xué)習(xí)神學(xué)，但入校不久卻對(duì)數(shù)學(xué)發(fā)生了濃厚的興趣，一年后轉(zhuǎn)攻數(shù)學(xué)。17歲取得了碩士學(xué)位并為自己關(guān)于重力作功的論文作了精彩的公開答辯；19歲擔(dān)任阿伯丁大學(xué)的數(shù)學(xué)教授并主持該校馬里歇爾學(xué)院數(shù)學(xué)第工作；兩年后被選為英國(guó)皇家學(xué)會(huì)會(huì)員；1722-1726年在巴黎從事研究工作，并在1724年因?qū)懥宋矬w碰撞的杰出論文而榮獲法國(guó)科學(xué)院資金，回車后任愛丁堡大學(xué)教授。1719年，麥克勞林在訪問倫敦時(shí)見到了牛頓，從此便成為牛頓的門生。1724年，由于牛頓的大力推薦，他繼續(xù)獲得教授席位。麥克勞林21歲時(shí)發(fā)表了第一本重要著作構(gòu)造幾何，在這本書

9、中描述了作圓錐曲線的一些新的巧妙方法，精辟地討論了圓錐曲線及高次平面曲線的種種性質(zhì)。1742年撰寫的流數(shù)論以泰勒級(jí)數(shù)作為基本工具，是對(duì)牛頓的流數(shù)法作出符合邏輯的、系統(tǒng)解釋的第一本書。此書之意是為牛頓流數(shù)法提供一個(gè)幾何框架的，以答復(fù)貝克來大主教等人對(duì)牛頓的微積分學(xué)原理的攻擊。麥克勞林也是一位實(shí)驗(yàn)科學(xué)家，設(shè)計(jì)了很多精巧的機(jī)械裝置。他不但學(xué)術(shù)成就斐然，而且關(guān)于政治，1745年參加了愛丁堡保衛(wèi)戰(zhàn)。麥克勞林終生不忘牛頓對(duì)他的栽培，并為繼承、捍衛(wèi)、發(fā)展牛頓的學(xué)說而奮斗。他曾打算寫一本關(guān)于伊薩克.牛頓爵士的發(fā)現(xiàn)說明，但未能完成便去世了。死后在他的墓碑上刻有“曾蒙牛頓推薦”，以表達(dá)他對(duì)牛頓的感激之情。皮亞諾簡(jiǎn)

10、介：皮亞諾，G. （Peano, Giuseppe） 1858年8月27日生于意大利庫(kù)內(nèi)奧（Cuneo）附近的斯皮內(nèi)塔（Spinetta）村；1932年4月20日卒于都靈（Turin）. 數(shù)學(xué)、邏輯學(xué)。皮亞諾的父母巴爾托洛梅奧（Bartolomeo）和C. 羅斯亞（Rosa）有4男1女，皮亞諾是第二個(gè)孩子。他們家以耕作為生，雖處在文盲充斥的農(nóng)村，但皮亞諾的父母有見識(shí)且很開朗，讓子女都接受教育。他家住在離省城庫(kù)內(nèi)奧3英里的地方，每天皮亞諾和其兄米切勒（Michele）必須步行去省城念書。為了方便孩子們上學(xué)，他父母把家搬到城內(nèi)，直到他最小的妹妹小學(xué)畢業(yè)，才又搬回農(nóng)場(chǎng)。他的舅舅M. 卡瓦羅（Cava

11、llo）是一位牧師和律師，住在都靈。由于皮亞諾勤學(xué)好問，成績(jī)優(yōu)異，舅舅接他去都靈讀書。開始時(shí)他接受私人教育（包括舅舅的教育）和自學(xué)，使他能于1873年通過卡沃烏爾（Cavour）學(xué)校的初中升學(xué)考試而入了學(xué)。1876年高中畢業(yè)，因成績(jī)優(yōu)異獲得獎(jiǎng)學(xué)金，進(jìn)入都靈大學(xué)讀書。他先讀工程學(xué)，在修完兩年物理與數(shù)學(xué)之后，決定專攻純數(shù)學(xué)。在校5年，他學(xué)習(xí)的科目十分廣泛。1880年7月他以高分拿到大學(xué)畢業(yè)證書，并留校當(dāng)E。奧維迪奧（Dovidio）的助教，一年后又轉(zhuǎn)為分析學(xué)家A。杰諾其（Genocchi）教授的助教。1882年春杰諾其摔壞了膝蓋骨，皮亞諾便接替他講授分析課。1884年任都靈大學(xué)微積分學(xué)講師。189

12、0年12月經(jīng)過正規(guī)競(jìng)爭(zhēng)，皮亞諾成為都靈大學(xué)的臨時(shí)性教授，1895年成為正教授，他一直在都靈大學(xué)教書，直到去世。1887年皮亞諾與卡羅拉克羅西亞（CrosioCarola）結(jié)婚，她是一位畫家的女兒。他們沒有孩子。皮亞諾是許多科學(xué)協(xié)會(huì)的會(huì)員，也是意大利皇家學(xué)會(huì)會(huì)員。他在分析方面的研究頗有成績(jī)，是符號(hào)邏輯的奠基人，又是國(guó)際語(yǔ)的創(chuàng)立者。皮亞諾于1932年4月20日夜里因心絞痛逝世。按照他的意愿，葬禮非常簡(jiǎn)樸，他被葬在都靈公墓。1963年，他的遺骸被遷往老家斯皮內(nèi)塔的家族墓地。皮亞諾作為符號(hào)邏輯的先驅(qū)和公理化方法的推行人而著名。他的工作是獨(dú)立于J.W.R.戴德金（Dedekind）而做出的。雖然戴德金也

13、曾發(fā)表過一篇自然數(shù)方面的文章，觀點(diǎn)與皮亞諾的基本相同，但表達(dá)得不如皮亞諾明晰，沒有引人們注意。皮亞諾以簡(jiǎn)明的符號(hào)及公理體系為數(shù)理邏輯和數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的研究開創(chuàng)了新局面。他在邏輯方面的第一篇文章出現(xiàn)在他1888年出版的幾何演算基于格拉斯曼的“擴(kuò)張研究”(Calcolo geometrico secondo 1Ausdehnungslehre di H. Grassmann)一書中。該文獨(dú)立成章共20頁(yè)，是關(guān)于“演繹邏輯的運(yùn)算”（Operations of deductivelogic）的。皮亞諾不同意B.A.W.羅素（Russell）的觀點(diǎn)，而是G。布爾（Boole）、F.W.K.E. 施勒德（Sch

14、roder）、C.S.皮爾斯（Peirce）和H. 麥科爾（Mccoll）等人工作的綜合和發(fā)展。1889年皮亞諾的名著算術(shù)原理新方法（Arithmetices principia, nova methodo exposita）出版，在這本小冊(cè)子中他完成了對(duì)整數(shù)的公理化處理，在邏輯符號(hào)上有許多創(chuàng)新，從而使推理更加簡(jiǎn)潔。書中他給出了舉世聞名的自然數(shù)公理，成為經(jīng)典之作。1891年皮亞諾創(chuàng)建了數(shù)學(xué)雜志（Rivista di Matematica），并在這個(gè)雜志上用數(shù)理邏輯符號(hào)寫下了這組自然數(shù)公理，且證明了它們的獨(dú)立性。皮亞諾用兩個(gè)不定義的概念“1”和“后繼者”及四個(gè)公理來定義自然數(shù)，說所謂自然數(shù)是指滿

15、足以下性質(zhì)的集合N中的元素：（1）1是N的一個(gè)元，它不是N中任何元的后繼者，若a的后繼者用表示，則對(duì)于N中任何a, （2）對(duì)于N中任意元a, 存在而且僅存在一個(gè)后繼者；（3）對(duì)于N中任何, 若則（4）（歸納公理）N的一個(gè)子集合M，若具有以下性質(zhì)：當(dāng)時(shí)，有則19世紀(jì)90年代他繼續(xù)研究邏輯，并向第一屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)投了稿。1990年在巴黎的哲學(xué)大會(huì)上，皮亞諾和他的合作者C. 布拉利-福爾蒂（Burali-Forti）、A. 帕多阿（Padoa）及M. 皮耶里（Pieri）主持了討論。羅素后來寫道：“這次大會(huì)是我學(xué)術(shù)生涯的轉(zhuǎn)折點(diǎn)，因?yàn)樵谶@次大會(huì)上我遇到了皮亞諾?！?皮亞諾對(duì)20世紀(jì)中期的邏輯發(fā)展起了

16、很大作用，對(duì)數(shù)學(xué)做出了卓越的貢獻(xiàn)。皮亞諾在數(shù)學(xué)雜志上公布他和他的追隨者的邏輯與數(shù)學(xué)基礎(chǔ)方面的結(jié)果。他還在上面公布了他的數(shù)學(xué)公式（Formulario）的龐大計(jì)劃，并且在這項(xiàng)工作上花費(fèi)了26年的時(shí)間。他期望能將他的數(shù)理邏輯記號(hào)的若干基本公理出發(fā)建立整個(gè)數(shù)學(xué)體系。他使數(shù)學(xué)家的觀點(diǎn)發(fā)生了深刻變化，對(duì)布爾巴基學(xué)派產(chǎn)生了很大影響。皮亞諾的數(shù)學(xué)公式匯編（Formulario mathematico）共有5卷，18951908年出版，僅第5卷就含有4200條公式和定理，有許多還給出了證明，書中有豐富的歷史與文獻(xiàn)信息，有人稱它為“無盡的數(shù)學(xué)礦藏?！彼皇前堰壿嬜鳛檠芯康哪繕?biāo)，他只關(guān)注邏輯在數(shù)學(xué)中的發(fā)展，稱自己

17、的系統(tǒng)為數(shù)學(xué)的邏輯。皮亞諾在其他領(lǐng)域中也使用了公理化方法，特別是對(duì)幾何。從1889年開始，他對(duì)初等幾何采用公理化的處理方法，給出了幾套公理系統(tǒng)。1894年他將這種方法加以延伸，在M.帕施（Pasch）工作的基礎(chǔ)上將幾何中不可定義的項(xiàng)消減為三個(gè)（點(diǎn)、線段和運(yùn)動(dòng)），后來M. 皮耶里（Pieri）在1899年又把幾何中不可定義的項(xiàng)消減為二個(gè)（點(diǎn)和運(yùn)動(dòng)）。他的許多論文都是對(duì)已有的定義和定理給出更加清晰和嚴(yán)格的描述及應(yīng)用，例如1882年H. A. 施瓦茲（Schwarz）引入了曲面的表面積這個(gè)概念，但沒有說清楚，一年后皮亞諾獨(dú)立地將曲面表面積的概念清晰化。皮亞諾引入并推廣了“測(cè)度”的概念。1888年開始

18、他將H. G.格拉斯曼（Grassmann）的向量方法推廣應(yīng)用于幾何，他的表述比格拉斯曼清晰得多，對(duì)意大利的向量分析研究作了很大的推動(dòng)。1890年，皮亞諾發(fā)現(xiàn)一種奇怪的曲線，只要恰當(dāng)選擇函數(shù)和由定義的一條連續(xù)的參數(shù)曲線，當(dāng)參數(shù)t在0，1區(qū)間取值時(shí)，曲線將遍歷單位正方形中所有的點(diǎn)，得到一條充滿空間的曲線。稍后D。希爾伯特（Hilbert）和皮亞諾還找到另外一些這樣的曲線。皮亞諾認(rèn)為自己最重要的工作在分析方面。的確，他在分析方面的工作是非常新穎的，有不少是開創(chuàng)性的。1883年他給出了定積分的一個(gè)新定義，將黎曼積分定義為黎曼和當(dāng)其最小上界等于最大下界時(shí)所取的公共值。這是設(shè)法使積分定義擺脫極限概念所作

19、的努力。1886年他率先證出一階微分方程可解的唯一條件是f的連續(xù)性，并給出稍欠嚴(yán)格的證明。1890年他又用另一種證法把這一結(jié)果推廣到一般的微分方程組，并給出選擇公理的直接明晰的描述。這比E。F。F。策梅羅(Zermelo)早14年。但皮亞諾拒絕使用選擇公理，因?yàn)樗鰯?shù)學(xué)證明所用的普通邏輯之外。1887年他發(fā)現(xiàn)了解線性微分方程的逐次逼近法，但人們把功勞歸于比他晚一年給出此法的E。皮卡（Picard）. 皮亞諾還給出了積分方程的誤差項(xiàng)，并發(fā)展成“漸近算子”的理論，它是解決數(shù)學(xué)方程的一個(gè)新方法。19011906年之間他就保險(xiǎn)數(shù)學(xué)投過稿。作為國(guó)家委員會(huì)的一員，他曾被請(qǐng)為估計(jì)退休金的金額。1895-1

20、896年他寫過理論力學(xué)方面的文章，其中有幾篇是關(guān)于地球自轉(zhuǎn)軸的運(yùn)動(dòng)。他的工作還涉及特殊的行列式、泰勒公式及求積分公式的推廣等等。1893年，皮亞諾發(fā)表了無窮小分析教程（Lezioni di analisi infinitesimale），書中的清晰而嚴(yán)格的表述令人嘆服。它與皮亞諾編輯的杰諾其的著作微分學(xué)與積分學(xué)原理（Calcolo differenziale e Principii di calcolointegrale）被德國(guó)的數(shù)學(xué)百科全書列在“自L. 歐拉（Euler）和A. L. 柯西（Cauchy）時(shí)代以來最重要的19本微積分教科書”之中。皮亞諾撰寫的數(shù)學(xué)百科全書（Encyklopad

21、ie der mathematischen Wissenschaften）有很多引人注目的地方。例如對(duì)微分中值定理的推廣；多變量函數(shù)一致連續(xù)性的判定定理；隱函數(shù)存在定理以及其可微性定理的證明；部分可微但整體不可微的函數(shù)的例子；多變?cè)瘮?shù)泰勒展開的條件；當(dāng)時(shí)流行的極小理論的反例等。1900年皮亞諾對(duì)國(guó)際輔助語(yǔ)發(fā)生了興趣，因?yàn)樗恼Z(yǔ)言能力很強(qiáng)，他曾用英語(yǔ)、意大利語(yǔ)、德語(yǔ)和波蘭語(yǔ)寫各種書評(píng)。1903年他在數(shù)學(xué)雜志上發(fā)表了對(duì)國(guó)際語(yǔ)的見解。他想構(gòu)造一種對(duì)學(xué)者特別是科學(xué)家通用的國(guó)際語(yǔ)言。他認(rèn)為已經(jīng)存在著大量源于拉丁語(yǔ)的科學(xué)詞匯，試圖將選擇每個(gè)詞的合式形式。他把拉丁語(yǔ)的詞干加到德語(yǔ)或英語(yǔ)的字中，使學(xué)者們能很

22、快識(shí)別出來。他認(rèn)為最好的語(yǔ)法是無語(yǔ)法，主張取消復(fù)雜的詞尾變化。1908年皮亞諾當(dāng)選為國(guó)際語(yǔ)協(xié)會(huì)的主席，直到去世。他領(lǐng)導(dǎo)這個(gè)協(xié)會(huì)自由討論，于1919年出版了拉丁語(yǔ)意大利語(yǔ)-法語(yǔ)-英語(yǔ)-德語(yǔ)公共詞匯(Vocabulario Commune ad Latino-italiano-francais-englishdeutsch), 其中含有14000個(gè)詞條，皮亞諾把自己后期的精力絕大部分用在這項(xiàng)工作上。他被譽(yù)為國(guó)際語(yǔ)的創(chuàng)立者。皮亞諾的教學(xué)工作也很出色，因此曾被軍事學(xué)院和理工學(xué)院聘去兼課。他對(duì)教育有濃厚的興趣，并做出一些貢獻(xiàn)。他堅(jiān)決反對(duì)向?qū)W生施加過重的壓力，1912年他針對(duì)小學(xué)曾發(fā)表過“反對(duì)考試”的短文

23、，他說：“用考試來折磨可憐的學(xué)生，要他們掌握一般受過教育的成人都不知道的東西，真是對(duì)人性的犯罪。同樣的原則也適應(yīng)于中學(xué)和大學(xué)。”他很關(guān)心教學(xué)內(nèi)容的嚴(yán)謹(jǐn)性，他認(rèn)為定義一定要準(zhǔn)確清晰，證明必須正確無誤，可以省去那些困難的內(nèi)容。他在中學(xué)數(shù)學(xué)教師中間組織了一系列的討論，試圖促進(jìn)數(shù)學(xué)教育向清晰、精確和簡(jiǎn)單化方向發(fā)展。皮亞諾還注意研究數(shù)學(xué)史，他曾給出關(guān)于數(shù)學(xué)術(shù)語(yǔ)出處的精辟論述。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，他常介紹數(shù)學(xué)史知識(shí)，挖掘G。W。萊布尼茨（Leibniz）、I。牛頓（Newton）等人的數(shù)學(xué)思想，對(duì)同時(shí)代的人影響很大。皮亞諾還和他的數(shù)學(xué)公式的合作者們一趕，創(chuàng)辦了一所學(xué)校。他的學(xué)識(shí)和對(duì)學(xué)生的寬容，使他吸引了一批在數(shù)學(xué)和哲學(xué)上興趣相投的人，形成他的學(xué)派，該學(xué)派對(duì)數(shù)理邏輯與向量分析在意大利的發(fā)展起過重大作用。