【名校資料】高考數(shù)學(xué)理一輪資源庫第十章 第5講直線與圓錐曲線

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1、+二一九高考數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)資料+第5講 直線與圓錐曲線一、填空題1已知雙曲線x21的一條漸近線與直線x2y30垂直,則a_.解析 由雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程特征知a0,其漸近線方程為xy0,可得漸近線xy0與直線x2y30垂直,所以a4.答案 42以雙曲線x24y24的中心頂點(diǎn),右焦點(diǎn)為焦點(diǎn)的拋物線方程是_解析 設(shè)拋物線的方程為y22px,則由焦點(diǎn)相同的條件可知p2,所以拋物線的方程為y24x.答案 y24x3過拋物線y24x的焦點(diǎn)作直線交拋物線于點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2),若AB7,則AB的中點(diǎn)M到拋物線準(zhǔn)線的距離為_解析由題知拋物線的焦點(diǎn)為(1,0),準(zhǔn)線方程為x1.由拋物線定義知:ABAFBF

2、x1x2x1x2p,即x1x227,得x1x25,于是弦AB的中點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為,因此M到拋物線準(zhǔn)線的距離為1.答案4設(shè)雙曲線1(a0,b0)的一條漸近線與拋物線yx21只有一個公共點(diǎn),則雙曲線的離心率為_解析雙曲線1的一條漸近線為yx,由方程組消去y得,x2x10有唯一解,所以240,2,e .答案5若斜率為1的直線l與橢圓y21交于不同兩點(diǎn)A、B,則AB的最大值為_解析設(shè)直線l的方程為yxt,代入y21消去y得x22txt210,由題意得(2t)25(t21)0,即t25,弦長AB.答案6已知雙曲線方程是x21,過定點(diǎn)P(2,1)作直線交雙曲線于P1,P2兩點(diǎn),并使P(2,1)為P1P2的中

3、點(diǎn),則此直線方程是_解析設(shè)點(diǎn)P1(x1,y1),P2(x2,y2),則由x1,x1,得k4,從而所求方程為4xy70.將此直線方程與雙曲線方程聯(lián)立得14x256x510,0,故此直線滿足條件答案4xy707已知橢圓1(ab0),A為左頂點(diǎn),B為短軸一頂點(diǎn),F(xiàn)為右焦點(diǎn),且,則此橢圓的離心率為_解析 AB,BFa,AFac.又,AB2BF2AF2,即2a2b2a2c22ac,c2aca20,.所求的離心率為.答案 8已知點(diǎn)A(0,2),拋物線y22px(p0)的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線為l,線段FA交拋物線于點(diǎn)B,過B作l的垂線,垂足為M,若AMMF,則p_.解析依題意,設(shè)點(diǎn)B,點(diǎn)F,M,則,.由得(2)(

4、y12)0,即yy1p20.由AMMF得y1(y12)0,即y2y10,由得y1,把代入,解得p.答案9已知橢圓x22y220的兩個焦點(diǎn)為F1,F(xiàn)2,B為短軸的一個端點(diǎn),則BF1F2的外接圓方程是_解析 F1(1,0),F(xiàn)2(1,0),設(shè)B(0,1),則BF1F2為等腰直角三角形,故它的外接圓方程為x2y21.來源答案 x2y2110已知拋物線y24x,過點(diǎn)P(4,0)的直線與拋物線相交于A(x1,y1),B(x2,y2)兩點(diǎn),則xx的最小值是_解析設(shè)過點(diǎn)P的直線為yk(x4),當(dāng)k不存在時,A(4,4),B(4,4),則xx32,當(dāng)k存在時,有k2x2(8k24)x16k20,則x1x28,

5、x1x216,故xx(x1x2)22x1x23232,故(xx)min32.答案32二、解答題11如圖,在直角坐標(biāo)系xOy中,點(diǎn)P(1,)到拋物線C:y22px(p0)的準(zhǔn)線的距離為.點(diǎn)M(t,1)是C上的定點(diǎn),A,B是C上的兩動點(diǎn),且線段AB被直線OM平分(1)求p,t的值;(2)求ABP面積的最大值解 (1)由題意知得(2)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),線段AB的中點(diǎn)為Q(m,m)由題意知,設(shè)直線AB的斜率為k(k0)由得(y1y2)(y1y2)x1x2,故k2m1,所以直線AB的方程為ym(xm),即x2my2m2m0.由消去x,整理得y22my2m2m0,所以4m4m20,y1

6、y22m,y1y22m2m.從而|AB| |y1y2|.設(shè)點(diǎn)P到直線AB的距離為d,則d.設(shè)ABP的面積為S,則S|AB|d|12(mm2)|.由4m4m20,得0m1.令u,0u,則Su(12u2)設(shè)S(u)u(12u2),0u,則S(u)16u2.由S(u)0,得u,所以S(u)maxS.故ABP面積的最大值為.12設(shè)A、B分別為橢圓1(a,b0)的左、右頂點(diǎn),橢圓長半軸的長等于焦距,且x4為它的右準(zhǔn)線(1)求橢圓的方程;(2)設(shè)P為右準(zhǔn)線上不同于點(diǎn)(4,0)的任意一點(diǎn),若直線AP、BP分別與橢圓相交于異于A、B的點(diǎn)M、N,證明:點(diǎn)B在以MN為直徑的圓內(nèi)(1)解依題意得a2c,4,解得a2

7、,c1,從而b.故橢圓的方程為1.(2)證明由(1)得A(2,0),B(2,0)設(shè)M(x0,y0)M點(diǎn)在橢圓上,y0(4x)又點(diǎn)M異于頂點(diǎn)A、B,2x02,由P、A、M三點(diǎn)共線可以得P.從而(x02,y0),.2x04(x43y)將代入,化簡得(2x0)2x00,0,則MBP為銳角,從而MBN為鈍角故點(diǎn)B在以MN為直徑的圓內(nèi)13已知拋物線C的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上,ABC的三個頂點(diǎn)都在拋物線上,且ABC的重心為拋物線的焦點(diǎn),若BC所在直線l的方程為4xy200.(1)求拋物線C的方程;(2)若O是坐標(biāo)原點(diǎn),P,Q是拋物線C上的兩動點(diǎn),且滿足POOQ,證明:直線PQ過定點(diǎn)(1)解設(shè)拋物線C

8、的方程為y22mx,A(x1,y1),B(x2,y2),由得2y2my20m0,0,m0或m160.解得y1,2,則y1y2,x1x210.再設(shè)C(x3,y3),由于ABC的重心為F,則解得點(diǎn)C在拋物線上,22m.m8,拋物線C的方程為y216x.(2)證明當(dāng)PQ的斜率存在時,設(shè)PQ的方程為ykxb,顯然k0,b0,POOQ,kPOkOQ1,設(shè)P(xP,yP),Q(xQ,yQ),xPxQyPyQ0,將直線ykxb代入拋物線方程,得ky216y16b0,yPyQ.從而xPxQ,0,k0,b0,直線PQ的方程為ykx16k,PQ過點(diǎn)(16,0);當(dāng)PQ的斜率不存在時,顯然PQx軸,又POOQ,PO

9、Q為等腰三角形,由得P(16,16),Q(16,16),此時直線PQ過點(diǎn)(16,0),直線PQ恒過定點(diǎn)(16,0).14在平面直角坐標(biāo)系xOy中,過點(diǎn)A(2,1)橢圓C:1(ab0)的左焦點(diǎn)為F,短軸端點(diǎn)為B1、B2,2b2.(1)求a、b的值;(2)過點(diǎn)A的直線l與橢圓C的另一交點(diǎn)為Q,與y軸的交點(diǎn)為R.過原點(diǎn)O且平行于l的直線與橢圓的一個交點(diǎn)為P.若AQAR3 OP2,求直線l的方程解 (1)因?yàn)镕(c,0),B1(0,b),B2(0,b),所以(c,b),(c,b)因?yàn)?b2,所以c2b22b2.因?yàn)闄E圓C過A(2,1),代入得,1.由解得a28,b22.所以a2,b.(2)由題意,設(shè)直線l的方程為y1k(x2)由得(x2)(4k21)(x2)(8k4)0.因?yàn)閤20,所以x2,即xQ2.由題意,直線OP的方程為ykx.由得(14k2)x28.則x.因?yàn)锳QAR3OP2.所以|xQ(2)|0(2)|3x.即|23.解得k1,或k2.當(dāng)k1時,直線l的方程為xy10,當(dāng)k2時,直線l的方程為2xy50.高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)精品高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)精品

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