【名校資料】高考數(shù)學(xué)理一輪資源庫(kù) 第6章學(xué)案29

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1、+二一九高考數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)資料+學(xué)案29等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和導(dǎo)學(xué)目標(biāo): 1.理解等比數(shù)列的概念.2.掌握等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式.3.了解等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系.4.能在具體的問題情境中識(shí)別數(shù)列的等比關(guān)系,并能用等比數(shù)列的有關(guān)知識(shí)解決相應(yīng)的問題自主梳理1等比數(shù)列的定義如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起,每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一常數(shù)(不為零),那么這個(gè)數(shù)列叫做等比數(shù)列,這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的_,通常用字母_表示(q0)2等比數(shù)列的通項(xiàng)公式設(shè)等比數(shù)列an的首項(xiàng)為a1,公比為q,則它的通項(xiàng)an_.3等比中項(xiàng):如果在a與b中間插入一個(gè)數(shù)G,使a,G,b成等比數(shù)列,那么G叫做a與b的等比中項(xiàng)4等比數(shù)列的常

2、用性質(zhì)(1)通項(xiàng)公式的推廣:anam_ (n,mN*)(2)若an為等比數(shù)列,且klmn (k,l,m,nN*),則_(3)若an,bn(項(xiàng)數(shù)相同)是等比數(shù)列,則an (0),a,anbn,仍是等比數(shù)列(4)單調(diào)性:或an是_數(shù)列;或an是_數(shù)列;q1an是_數(shù)列;q1,令bnan1 (n1,2,),若數(shù)列bn有連續(xù)四項(xiàng)在集合53,23,19,37,82中,則6q_.4若數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn3na,數(shù)列an為等比數(shù)列,則實(shí)數(shù)a的值為_5設(shè)f(n)2242723n1 (nN*),則f(n)_.探究點(diǎn)一等比數(shù)列的基本量運(yùn)算例1已知正項(xiàng)等比數(shù)列an中,a1a52a2a6a3a7100,a2a42a

3、3a5a4a636,求數(shù)列an的通項(xiàng)an和前n項(xiàng)和Sn.變式遷移1在等比數(shù)列an中,a1an66,a2an1128,Sn126,求n和q.探究點(diǎn)二等比數(shù)列的判定例2已知數(shù)列an的首項(xiàng)a15,前n項(xiàng)和為Sn,且Sn12Snn5,nN*.(1)證明:數(shù)列an1是等比數(shù)列;(2)求an的通項(xiàng)公式以及Sn.變式遷移2設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,已知a12a23a3nan(n1)Sn2n(nN*)(1)求a2,a3的值;(2)求證:數(shù)列Sn2是等比數(shù)列探究點(diǎn)三等比數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用例3在等比數(shù)列an中,a1a2a3a4a58,且2,求a3.變式遷移3(1)已知等比數(shù)列an中,有a3a114a7,數(shù)列bn是等

4、差數(shù)列,且b7a7,求b5b9的值;(2)在等比數(shù)列an中,若a1a2a3a41,a13a14a15a168,求a41a42a43a44.分類討論思想與整體思想例(14分)設(shè)首項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為80,它的前2n項(xiàng)和為6 560,且前n項(xiàng)中數(shù)值最大的項(xiàng)為54,求此數(shù)列的第2n項(xiàng)【答題模板】解設(shè)數(shù)列an的公比為q,若q1,則Snna1,S2n2na12Sn.S2n6 5602Sn160,q1,4分由題意得6分將整體代入得80(1qn)6 560,qn81.8分將qn81代入得a1(181)80(1q),a1q1,由a10,得q1,數(shù)列an為遞增數(shù)列10分ana1qn1qn8154.

5、12分與a1q1聯(lián)立可得a12,q3,a2n232n1 (nN*)14分【突破思維障礙】(1)分類討論的思想:利用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式時(shí)要分公比q1和q1兩種情況討論;研究等比數(shù)列的單調(diào)性時(shí)也應(yīng)進(jìn)行討論:當(dāng)a10,q1或a10,0q1時(shí)為遞增數(shù)列;當(dāng)a11或a10,0q1時(shí)為遞減數(shù)列;當(dāng)q0且q1)常和指數(shù)函數(shù)相聯(lián)系(3)整體思想:應(yīng)用等比數(shù)列前n項(xiàng)和時(shí),常把qn,當(dāng)成整體求解本題條件前n項(xiàng)中數(shù)值最大的項(xiàng)為54的利用是解決本題的關(guān)鍵,同時(shí)將qn和的值整體代入求解,簡(jiǎn)化了運(yùn)算,體現(xiàn)了整體代換的思想,在解決有關(guān)數(shù)列求和的題目時(shí)應(yīng)靈活運(yùn)用1等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式分別為ana1qn1,Sn2

6、等比數(shù)列的判定方法:(1)定義法:即證明q (q0,nN*) (q是與n值無(wú)關(guān)的常數(shù))(2)中項(xiàng)法:證明一個(gè)數(shù)列滿足aanan2 (nN*且anan1an20)3等比數(shù)列的性質(zhì):(1)anamqnm (n,mN*);(2)若an為等比數(shù)列,且klmn (k,l,m,nN*),則akalaman;(3)設(shè)公比不為1的等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,則Sn,S2nSn,S3nS2n仍成等比數(shù)列,其公比為qn.4在利用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式時(shí),一定要對(duì)公比q1或q1作出判斷;計(jì)算過程中要注意整體代入的思想方法5等差數(shù)列與等比數(shù)列的關(guān)系是:(1)若一個(gè)數(shù)列既是等差數(shù)列,又是等比數(shù)列,則此數(shù)列是非零常數(shù)列;

7、(2)若an是等比數(shù)列,且an0,則lg an構(gòu)成等差數(shù)列(滿分:90分)一、填空題(每小題6分,共48分)1(2010遼寧)設(shè)an是由正數(shù)組成的等比數(shù)列,Sn為其前n項(xiàng)和已知a2a41,S37,則S5_.2(2010浙江)設(shè)Sn為等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和,8a2a50,則_.3在各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列an中,a13,前三項(xiàng)的和S321,則a3a4a5_.4(2011無(wú)錫模擬)等比數(shù)列an前n項(xiàng)的積為Tn,若a3a6a18是一個(gè)確定的常數(shù),那么數(shù)列T10,T13,T17,T25中也是常數(shù)的項(xiàng)是_5記等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,若S32,S618,則_.6設(shè)an是公比為正數(shù)的等比數(shù)列,若a11,

8、a516,則數(shù)列an前7項(xiàng)的和為_7在等比數(shù)列an中,公比q2,前99項(xiàng)的和S9930,則a3a6a9a99_.8(2010福建)在等比數(shù)列an中,若公比q4,且前3項(xiàng)之和等于21,則該數(shù)列的通項(xiàng)公式an_.二、解答題(共42分)9(12分)(2010陜西)已知an是公差不為零的等差數(shù)列,a11,且a1,a3,a9成等比數(shù)列(1)求數(shù)列an的通項(xiàng);(2)求數(shù)列2an的前n項(xiàng)和Sn.10(14分)已知數(shù)列l(wèi)og2(an1)為等差數(shù)列,且a13,a25.(1)求證:數(shù)列an1是等比數(shù)列;(2)求的值11(16分)已知等差數(shù)列an的首項(xiàng)a11,公差d0,且第2項(xiàng)、第5項(xiàng)、第14項(xiàng)分別是等比數(shù)列bn的

9、第2項(xiàng)、第3項(xiàng)、第4項(xiàng)(1)求數(shù)列an與bn的通項(xiàng)公式;(2)設(shè)數(shù)列cn對(duì)nN*均有an1成立,求c1c2c3c2 010.答案 自主梳理1公比q2.a1qn14.(1)qnm(2)akalaman(4)遞增遞減常擺動(dòng)6.qn自我檢測(cè)13解析由等比數(shù)列的性質(zhì)可得ac(1)(9)9,b29且b與奇數(shù)項(xiàng)的符號(hào)相同,故b3.28n1解析因?yàn)閍n為等比數(shù)列,所以(a2)2(a2)(a8),解得a10,a28,q,ana1qn18n1.39解析由題意:等比數(shù)列an有連續(xù)四項(xiàng)在集合54,24,18,36,81中,由等比數(shù)列的定義知:四項(xiàng)是兩個(gè)正數(shù)、兩個(gè)負(fù)數(shù),故24,36,54,81,符合題意,則q,6q9

10、.41解析可用特殊值法,由Sn得a13a,a26,a318,由等比數(shù)列的性質(zhì)可知a1.5.(8n11)解析由題意可知,f(n)即為一個(gè)以2為首項(xiàng),公比q238,項(xiàng)數(shù)為n1的等比數(shù)列的和由公式可得f(n)Sn1(8n11)課堂活動(dòng)區(qū)例1解題導(dǎo)引(1)在等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式中共有a1,an,q,n,Sn五個(gè)量,知道其中任意三個(gè)量,都可以求出其余兩個(gè)量解題時(shí),將已知條件轉(zhuǎn)化為基本量間的關(guān)系,然后利用方程組的思想求解;(2)本例可將所有項(xiàng)都用a1和q表示,轉(zhuǎn)化為關(guān)于a1和q的方程組求解;也可利用等比數(shù)列的性質(zhì)來轉(zhuǎn)化,兩種方法目的都是消元轉(zhuǎn)化解方法一由已知得:,得4aq664,aq616.代

11、入,得21616q2100.解得q24或q2.又?jǐn)?shù)列an為正項(xiàng)數(shù)列,q2或.當(dāng)q2時(shí),可得a1,an2n12n2,Sn2n1;當(dāng)q時(shí),可得a132.an32n126n.Sn6426n.方法二a1a5a2a4a,a2a6a3a5,a3a7a4a6a,由可得即解得或當(dāng)a38,a52時(shí),q2.q0,q,由a3a1q28,得a132,an32n126n.Sn6426n.當(dāng)a32,a58時(shí),q24,且q0,q2.由a3a1q2,得a1.an2n12n2.Sn2n1.變式遷移1解由題意得解得或若則Sn126,解得q,此時(shí),an264n1,n6.若則Sn126,q2.an6422n1.n6.綜上n6,q2或

12、.例2解題導(dǎo)引(1)證明數(shù)列是等比數(shù)列的兩個(gè)基本方法:q (q為與n值無(wú)關(guān)的常數(shù))(nN*)aanan2 (an0,nN*)(2)證明數(shù)列不是等比數(shù)列,可以通過具體的三個(gè)連續(xù)項(xiàng)不成等比數(shù)列來證明,也可用反證法解(1)由已知Sn12Snn5,nN*,可得n2時(shí),Sn2Sn1n4,兩式相減得Sn1Sn2(SnSn1)1,即an12an1,從而an112(an1),當(dāng)n1時(shí),S22S115,所以a2a12a16,又a15,所以a211,從而a212(a11),故總有an112(an1),nN*,又a15,a110,從而2,即數(shù)列an1是首項(xiàng)為6,公比為2的等比數(shù)列(2)由(1)得an162n1,所以

13、an62n11,于是Snn62nn6.變式遷移2解(1)a12a23a3nan(n1)Sn2n(nN*),當(dāng)n1時(shí),a1212;當(dāng)n2時(shí),a12a2(a1a2)4,a24;當(dāng)n3時(shí),a12a23a32(a1a2a3)6,a38.(2)a12a23a3nan(n1)Sn2n(nN*),當(dāng)n2時(shí),a12a23a3(n1)an1(n2)Sn12(n1)得nan(n1)Sn(n2)Sn12n(SnSn1)Sn2Sn12nanSn2Sn12.Sn2Sn120,即Sn2Sn12,Sn22(Sn12)S1240,Sn120,2,故Sn2是以4為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列例3解題導(dǎo)引在解決等比數(shù)列的有關(guān)問題時(shí),

14、要注意挖掘隱含條件,利用性質(zhì),特別是性質(zhì)“若mnpq,則amanapaq”,可以減少運(yùn)算量,提高解題速度解由已知得2,a4,a32.若a32,設(shè)數(shù)列的公比為q,則22q2q28,即1qq2224.此式顯然不成立,經(jīng)驗(yàn)證,a32符合題意,故a32.變式遷移3解(1)a3a11a4a7,a70,a74,b74,bn為等差數(shù)列,b5b92b78.(2)a1a2a3a4a1a1qa1q2a1q3aq61.a13a14a15a16a1q12a1q13a1q14a1q15aq548.:q488q162,又a41a42a43a44a1q40a1q41a1q42a1q43aq166aq6q160(aq6)(q

15、16)1012101 024.課后練習(xí)區(qū)1.解析an是由正數(shù)組成的等比數(shù)列,且a2a41,設(shè)an的公比為q,則q0,且a1,即a31.S37,a1a2a317,即6q2q10.故q或q(舍去),a14.S58(1).211解析由8a2a50,得8a1qa1q40,所以q2,則11.384解析由題可設(shè)等比數(shù)列的公比為q,則211qq27q2q60(q3)(q2)0,根據(jù)題意可知q0,故q2.所以a3a4a5q2S342184.4T17解析a3a6a18aq2517(a1q8)3a,即a9為定值,所以下標(biāo)和為9的倍數(shù)的積為定值,可知T17為定值533解析因?yàn)榈缺葦?shù)列an中有S32,S618,即1q

16、39,故q2,從而1q512533.6127解析公比q416,且q0,q2,S7127.7.解析S9930,即a1(2991)30,數(shù)列a3,a6,a9,a99也成等比數(shù)列且公比為8,a3a6a9a9930.84n1解析等比數(shù)列an的前3項(xiàng)之和為21,公比q4,不妨設(shè)首項(xiàng)為a1,則a1a1qa1q2a1(1416)21a121,a11,an14n14n1.9解(1)由題設(shè)知公差d0,由a11,a1,a3,a9成等比數(shù)列,得,(4分)解得d1或d0(舍去)故an的通項(xiàng)an1(n1)1n.(7分)(2)由(1)知2an2n,由等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式,得Sn222232n2n12.(12分)10(1)

17、證明設(shè)log2(an1)log2(an11)d (n2),因?yàn)閍13,a25,所以dlog2(a21)log2(a11)log24log221,(3分)所以log2(an1)n,所以an12n,所以2 (n2),所以an1是以2為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列(6分)(2)解由(1)可得an1(a11)2n1,所以an2n1,(8分)所以1.(14分)11解(1)由已知有a21d,a514d,a14113d,(14d)2(1d)(113d)解得d2(d0舍)(2分)an1(n1)22n1.(5分)又b2a23,b3a59,數(shù)列bn的公比為3,bn33n23n1.(8分)(2)由an1得當(dāng)n2時(shí),an.兩式相減得:當(dāng)n2時(shí),an1an2.(10分)cn2bn23n1 (n2)又當(dāng)n1時(shí),a2,.(12分)c1c2c3c2 01033(332 010)32 010.(16分)高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)精品高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)精品

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