數(shù)學(xué)第五章 空間與圖形 5.3 解直角三角形（試卷部分）

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1、5.3解直角三角形中考數(shù)學(xué)中考數(shù)學(xué) (北京專用)2014-20182014-2018年年北京北京中考題組中考題組五年中考1.(2012北京,19,5分)如圖,在四邊形ABCD中,對角線AC,BD交于點E,BAC=90,CED=45,DCE=30,DE=,BE=2.求CD的長和四邊形ABCD的面積. 22解析解析過點D作DFAC于點F.在RtDEF中,DFE=90,DEF=45,DE=,DF=EF=1.在RtCFD中,CFD=90,DCF=30,CD=2DF=2.FC=.在RtABE中,BAE=90,AEB=CED=45,BE=2,AB=AE=2.AC=AE+EF+FC=3+.2323S四邊形A

2、BCD=SACD+SABC=ACDF+ACAB=(3+)1+(3+)2=+.四邊形ABCD的面積是+.121212312392323923232.(2011北京,20,5分)如圖,在ABC中,AB=AC,以AB為直徑的O分別交AC、BC于點D、E,點F在AC的延長線上,且CBF=CAB.(1)求證:直線BF是O的切線;(2)若AB=5,sinCBF=,求BC和BF的長. 1255解析解析(1)證明:連接AE.AB是O的直徑,AEB=90.1+2=90.AB=AC,1=CAB.CBF=CAB,1=CBF,CBF+2=90,即ABF=90.AB是O的直徑,直線BF是O的切線.(2)過點C作CGAB

3、于點G.1212sinCBF=,1=CBF,sin1=.AEB=90,AB=5,BE=ABsin1=.AB=AC,AEB=90,BC=2BE=2.在RtABE中,由勾股定理得AE=2,sin2=,cos2=.在RtCBG中,可求得GC=4,GB=2,AG=3.GCBF,AGCABF,=,BF=.55555522ABBE52 5555GCBFAGABGC ABAG203評析評析將解直角三角形與圓、相似等知識結(jié)合在一起考查是北京市中考命題常采用的形式.教師專用題組教師專用題組考點一銳角三角函數(shù)考點一銳角三角函數(shù)1.(2018云南,12,4分)在RtABC中,C=90,AC=1,BC=3,則A的正切

4、值為()A.3 B. C. D. 1310103 1010答案答案 AAC=1,BC=3,C=90,tan A=3.BCAC2.(2018貴州貴陽,7,3分)如圖,A,B,C是小正方形的頂點,且每個小正方形的邊長都為1,則tanBAC的值為()A. B.1 C. D. 12333答案答案 B如圖,連接BC.在ABD和BCE中,ABD BCE(SAS),AB=BC,ABD=BCE.BCE+CBE=90,ABD+CBE=90,即ABC=90,tanBAC=1,故選B. ,90 ,ADBEADBBECBDCE BCAB3.(2017黑龍江哈爾濱,8,3分)在RtABC中,C=90,AB=4,AC=1

5、,則cos B的值為()A. B. C. D. 1541415154 1717答案答案 A由勾股定理可得BC=,所以cos B=.故選A.15BCAB1544.(2017甘肅蘭州,3,4分)如圖,一個斜坡長130 m,坡頂離水平地面的距離為50 m,那么這個斜坡與水平地面夾角的正切值等于()A. B. C. D. 51312135121312答案答案 C在直角三角形中,根據(jù)勾股定理可知水平的直角邊長為120 m,故這個斜坡與水平地面夾角的正切值等于=,故選C.50120512思路分析思路分析 先利用勾股定理求得第三邊的長,再利用正切的定義求正切值.5.(2016福建福州,9,3分)如圖,以O(shè)為

6、圓心,1為半徑的弧交坐標(biāo)軸于A,B兩點,P是上一點(不與A,B重合),連接OP,設(shè)POB=,則點P的坐標(biāo)是()A.(sin ,sin ) B.(cos ,cos )C.(cos ,sin ) D.(sin ,cos )AB答案答案 C過P作PQOB,交OB于點Q,在RtOPQ中,OP=1,POQ=,sin =,cos =,即PQ=sin ,OQ=cos ,點P的坐標(biāo)為(cos ,sin ).故選C.PQOPOQOP6.(2016廣東,8,3分)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,點A的坐標(biāo)為(4,3),那么cos 的值是()A. B. C. D. 34433545答案答案 D過點A作AB垂直x軸于B,則

7、AB=3,OB=4.由勾股定理得OA=5.cos =.故選D. OBOA457.(2015甘肅蘭州,4,4分)如圖,ABC中,B=90,BC=2AB,則cos A= ()A. B. C. D. 52122 5555答案答案 D設(shè)AB=k(k0),則BC=2k,B=90,AC=k,cos A=,故選D.22ABBC5ABAC5kk558.(2015河北,9,3分)已知:島P位于島Q的正西方,由島P,Q分別測得船R位于南偏東30和南偏西45方向上.符合條件的示意圖是() 答案答案 D本題考查方向角的簡單識別,選D.9.(2014浙江杭州,3,3分)在直角三角形ABC中,已知C=90,A=40,BC

8、=3,則AC=()A.3sin 40 B.3sin 50 C.3tan 40 D.3tan 50答案答案 DC=90,A=40,B=50,又tan B=,AC=BCtan B=3tan 50,故選D.ACBC10.(2017山西,15,3分)一副三角板按如圖方式擺放,得到ABD和BCD,其中ADB=BCD=90,A=60,CBD=45.E為AB的中點,過點E作EFCD于點F.若AD=4 cm,則EF的長為 cm. 答案答案(+)26解析解析如圖,連接DE,過點E作EMBD于點M,設(shè)EF交BD于點N,AD=4 cm,A=60,AB=8 cm,DB=4 cm,點E為AB的中點,EMBD,DE=AB

9、=4 cm,EM=AD=2 cm,由等腰直角三角形的性質(zhì)可知ENM=FND=45,在RtENM中,EN=EM=2 cm,MN=EM=2 cm,DN=DM-MN=DB-MN=(2-2)cm,在RtDFN中,FN=DN=(-)cm,EF=EN+FN=2+-=(+)cm. 3121222123226226226一題多解一題多解 過點A作AGCD的延長線于點G,CDB=CBD=45,ADB=90,ADG=45,AG=2 cm,ABD=30,BD=AD=4 cm,CBD=45,BC=2 cm,AGCG,EFCG,CBCG,AGEFBC,E是AB的中點,點F為CG的中點,EF=(AG+BC)=(2+2)=

10、(+)cm. 2AD2332BD61212262611.(2017四川綿陽,18,3分)如圖,過銳角ABC的頂點A作DEBC,AB恰好平分DAC,AF平分EAC交BC的延長線于點F,在AF上取點M,使得AM=AF,連接CM并延長交直線DE于點H.若AC=2,AMH的面積是,則的值是 . 131121tanACH答案答案8- 15解析解析過H作HGAC于點G,如圖.AF平分EAC,EAF=CAF.DEBF,EAF=AFC,CAF=AFC,CF=CA=2.AM=AF,AM MF=1 2.DEBF,=,AH=1,SAHC=3SAHM=,2GH=,GH=,13AHCFHMMCAMMF121412141

11、4在RtAHG中,AG=,GC=AC-AG=2-=,=8-.22AHGH15415481541tanACHGCGH15解題思路解題思路 過H作HGAC于點G,構(gòu)造直角三角形,再分別求出相應(yīng)的邊即可.12.(2018四川成都,18,8分)由我國完全自主設(shè)計、自主建造的首艘國產(chǎn)航母于2018年5月成功完成第一次海上試驗任務(wù).如圖,航母由西向東航行,到達A處時,測得小島C位于它的北偏東70方向,且與航母相距80海里,再航行一段時間后到達B處,測得小島C位于它的北偏東37方向.如果航母繼續(xù)航行至小島C的正南方向的D處,求還需航行的距離BD的長.(參考數(shù)據(jù):sin 700.94,cos 700.34,t

12、an 702.75,sin 370.60,cos 370.80,tan 370.75)解析解析由題可知ACD=70,BCD=37,AC=80.在RtACD中,cosACD=,0.34,CD27.2,在RtBCD中,tanBCD=,0.75,BD20.4.答:還需要航行的距離BD的長為20.4海里.CDAC80CDBDCD27.2BD13.(2018吉林,21,7分)數(shù)學(xué)活動小組的同學(xué)為測量旗桿高度,制定了如下測量方案,使用的工具是測角儀和皮尺,請幫助組長林平完成方案內(nèi)容,用含a,b,的代數(shù)式表示旗桿AB的高度.數(shù)學(xué)活動方案活動時間:2018年4月2日活動地點:學(xué)校操場填表人:林平課題測量學(xué)校旗

13、桿的高度活動目的運用所學(xué)數(shù)學(xué)知識及方法解決實際問題方案示意圖測量步驟(1)用 測得ADE=;(2)用 測得BC=a米,CD=b米.計算過程 解析解析測量步驟:(1)測角儀.(1分)(2)皮尺.(2分)計算過程:由題意可知ADE=,DE=BC=a,BE=CD=b.在RtADE中,AED=90.tanADE=,AE=DEtanADE.(4分)AE=atan .AB=AE+BE=(b+atan )米.(7分)評分說明:計算結(jié)果沒寫單位或不加括號不扣分.AEDE14.(2017黑龍江哈爾濱,22,7分)如圖,方格紙中每個小正方形的邊長均為1,線段AB的兩個端點均在小正方形的頂點上.(1)在圖中畫出以A

14、B為底、面積為12的等腰ABC,且點C在小正方形的頂點上;(2)在圖中畫出平行四邊形ABDE,且點D和點E均在小正方形的頂點上,tanEAB=.連接CD,請直接寫出線段CD的長. 32解析解析(1)正確畫圖.(2)正確畫圖.CD=. 2615.(2017福建,22,10分)小明在某次作業(yè)中得到如下結(jié)果:sin27+sin2830.122+0.992=0.994 5,sin222+sin2680.372+0.932=1.001 8,sin229+sin2610.482+0.872=0.987 3,sin237+sin2530.602+0.802=1.000 0,sin245+sin245=+=1

15、.據(jù)此,小明猜想:對于任意銳角,均有sin2+sin2(90-)=1.(1)當(dāng)=30時,驗證sin2+sin2(90-)=1是否成立;(2)小明的猜想是否成立?若成立,請給予證明;若不成立,請舉出一個反例.222222解析解析(1)當(dāng)=30時,sin2+sin2(90-)=sin230+sin260=+=+=1.所以,當(dāng)=30時,sin2+sin2(90-)=1成立.(2)小明的猜想成立.證明如下:如圖,ABC中,C=90,設(shè)A=,則B=90-.sin2+sin2(90-)=+=1. 21223214342BCAB2ACAB222BCACAB22ABAB16.(2014重慶,20,7分)如圖,

16、ABC中,ADBC,垂足是D,若BC=14,AD=12,tanBAD=,求sin C的值. 34解析解析ADBC,tanBAD=,(1分)tanBAD=,AD=12,=,(2分)BD=9.(3分)CD=BC-BD=14-9=5,(4分)在RtADC中,AC=13,(6分)sin C=.(7分)BDAD343412BD22ADCD22125ADAC1213考點二解直角三角形考點二解直角三角形1.(2016重慶,11,4分)某數(shù)學(xué)興趣小組同學(xué)進行測量大樹CD高度的綜合實踐活動.如圖,在點A處測得直立于地面的大樹頂端C的仰角為36.然后沿在同一剖面的斜坡AB行走13米至坡頂B處,然后再沿水平方向行走

17、6米至大樹底端D處,斜面AB的坡度(或坡比)i=1 2.4,那么大樹CD的高度約為(參考數(shù)據(jù):sin 360.59,cos 360.81,tan 360.73)()A.8.1米 B.17.2米 C.19.7米 D.25.5米答案答案 A作BFAE于F,如圖所示,易知四邊形BDEF為矩形,則FE=BD=6米,DE=BF,斜面AB的坡度i=1 2.4,AF=2.4BF,設(shè)BF=x米,則AF=2.4x米,在RtABF中,x2+(2.4x)2=132,解得x=5,DE=BF=5米,AF=12米,AE=AF+FE=18米,在RtACE中,CE=AEtan 36180.73=13.14米,CD=CE-DE

18、=13.14-58.1米,故選A.2.(2015江蘇蘇州,10,3分)如圖,在一筆直的海岸線l上有A、B兩個觀測站,AB=2 km,從A測得船C在北偏東45的方向,從B測得船C在北偏東22.5的方向,則船C離海岸線l的距離(即CD的長)為()A.4 kmB.(2+)kmC.2 kmD.(4-)km222答案答案 B如圖,在RtABE中,AEB=45,AB=EB=2 km,AE=2 km,EBC=22.5,ECB=AEB-EBC=22.5,EBC=ECB,EB=EC=2 km,AC=AE+EC=(2+2)km.在RtADC中,CAD=45,AD=DC=(2+)km.即點C到l的距離為(2+)km

19、,故選B. 22223.(2015四川綿陽,10,3分)如圖,要在寬為22米的九洲大道AB兩邊安裝路燈,路燈的燈臂CD長2米,且與燈柱BC成120角,路燈采用圓錐形燈罩,燈罩的軸線DO與燈臂CD垂直.當(dāng)燈罩的軸線DO通過公路路面的中心線時照明效果最佳.此時,路燈的燈柱BC高度應(yīng)該設(shè)計為()A.(11-2)米 B.(11-2)米C.(11-2)米 D.(11-4)米23233答案答案 D延長BC、OD交于點E,CDOD,DCB=120,E=30,B=90,OB=22=11米,EB=11 米,在RtDCE中,CE=2DC=4米.BC=EB-CE=(11-4)米,故選D.12334.(2015江西南

20、昌,12,3分)圖1是小志同學(xué)書桌上的一個電子相框,將其側(cè)面抽象為如圖2所示的幾何圖形,已知AB=AC=15 cm,BAC=40,則點A到BC的距離為 cm(參考數(shù)據(jù):sin 200.342,cos 200.940,sin 400.643,cos 400.766.結(jié)果精確到0.1 cm,可用科學(xué)計算器). 答案答案14.1解析解析過點A作ADBC于點D,因為AB=AC,BAC=40,所以DAC=BAC=20.在RtADC中,AD=ACcos 20150.940=14.1 cm.125.(2014浙江寧波,17,4分)為解決停車難的問題,在如圖一段長56米的路段開辟停車位,每個車位是長5米、寬2

21、.2米的矩形,矩形的邊與路的邊緣成45角,那么這個路段最多可以劃出 個這樣的停車位.(1.4) 2解析解析如圖,易知BC=2.2cos 45=2.21.54米,CE=5sin 45=53.5米,則BE=BC+CE=5.04米,EF=2.2sin 45=2.23.14米,(56-5.04)3.14+1=50.963.14+116+1=17(個).故這個路段最多可以劃出17個這樣的停車位.222222答案答案176.(2018天津,22,10分)如圖,甲、乙兩座建筑物的水平距離BC為78 m,從甲的頂部A處測得乙的頂部D處的俯角為48,測得底部C處的俯角為58,求甲、乙建筑物的高度AB和DC(結(jié)果

22、取整數(shù)).參考數(shù)據(jù):tan 481.11,tan 581.60. 解析解析如圖,過點D作DEAB,垂足為E.則AED=BED=90.由題意可知,BC=78,ADE=48,ACB=58,ABC=90,DCB=90.可得四邊形BCDE為矩形.ED=BC=78,DC=EB.在RtABC中,tanACB=,AB=BCtan 58781.60125.在RtAED中,tanADE=,AE=EDtan 48.DC=EB=AB-AE=BCtan 58-EDtan 48781.60-781.1138.ABBCAEED答:甲建筑物的高度AB約為125 m,乙建筑物的高度DC約為38 m.思路分析思路分析 過點D作

23、DEAB,構(gòu)造直角ADE和矩形BCDE,通過解直角ABC和直角ADE可求出答案.7.(2018貴州貴陽,20,10分)如圖,在平行四邊形ABCD中,AE是BC邊上的高,點F是DE的中點,AB與AG關(guān)于AE對稱,AE與AF關(guān)于AG對稱.(1)求證:AEF是等邊三角形;(2)若AB=2,求AFD的面積. 解析解析(1)證明:AE是BC邊上的高,AEB=90.四邊形ABCD是平行四邊形,ADBC,EAD=AEB=90,AED是直角三角形.F是ED的中點,AF=EF=FD.AE與AF關(guān)于AG對稱,AE=AF,AE=AF=EF,AEF是等邊三角形.(2)由(1)知AEF是等邊三角形,EFA=EAF=AE

24、F=60.又AB與AG關(guān)于AE對稱,AE與AF關(guān)于AG對稱,BAE=GAE=GAF=30,AGEF,設(shè)垂足為點N,B=90-BAE=60.在RtABE中,AE=ABsin B=,FD=AE=.在RtAEN中,AN=AEsinAEN=,SAFD=FDAN=.333212123323 348.(2018貴州貴陽,18,8分)如圖,在RtABC中,以下是小亮探索與之間關(guān)系的方法:sin A=,sin B=,c=,c=,=.根據(jù)你掌握的三角函數(shù)知識,在圖的銳角ABC中,探索,之間的關(guān)系,并寫出探索過程. sinaAsinbBacbcsinaAsinbBsinaAsinbBsinaA sinbB sin

25、cC解析解析如圖1,過點A作BC邊上的高AD,圖1在RtABD中,sin B=,在RtACD中,sin C=,AD=csin B,AD=bsin C,csin B=bsin C,=.同理,如圖2,過點B作AC邊上的高BE,圖2ADcADbsinbBsincC在RtABE中,sin A=,在RtBCE中,sin C=,BE=csin A,BE=asin C,csin A=asin C,=.綜上,=.BEcBEasinaAsincCsinaAsinbBsincC9.(2018安徽,19,10分)為了測量豎直旗桿AB的高度,某綜合實踐小組在地面D處豎直放置標(biāo)桿CD,并在地面上水平放置一個平面鏡E,使

26、得B,E,D在同一水平線上,如圖所示.該小組在標(biāo)桿的F處通過平面鏡E恰好觀測到旗桿頂A(此時AEB=FED).在F處測得旗桿頂A的仰角為39.3,平面鏡E的俯角為45,FD=1.8米,問旗桿AB的高度約為多少米?(結(jié)果保留整數(shù))(參考數(shù)據(jù):tan 39.30.82,tan 84.310.02) 解析解析解法一:由題意知,AEB=FED=45,AEF=90.在RtAEF中,=tanAFE=tan 84.3,在ABE和FDE中,ABE=FDE=90,AEB=FED,ABEFDE,=tan 84.3,AB=FDtan 84.31.810.02=18.03618(米).答:旗桿AB的高度約為18米.(

27、10分)解法二:作FGAB于點G,AEFEABFDAEFE由題意知,ABE和FDE均為等腰直角三角形,AB=BE,DE=FD=1.8,FG=DB=DE+BE=AB+1.8,AG=AB-GB=AB-FD=AB-1.8.在RtAFG中,=tanAFG=tan 39.3,即=tan 39.3,解得AB=18.218(米).答:旗桿AB的高度約為18米.(10分)AGFG1.81.8ABAB思路分析思路分析 思路一:由題意可確定AEF=90,從而可推出ABEFDE,最后由相似三角形中對應(yīng)邊的比相等求解;思路二:作FGAB于點G,由題意可推出ABE和FDE均為等腰直角三角形,在直角三角形AFG中由銳角三

28、角函數(shù)求出AB.10.(2018湖北武漢,23,10分)在ABC中,ABC=90.(1)如圖1,分別過A、C兩點作經(jīng)過點B的直線的垂線,垂足分別為M、N,求證:ABMBCN;(2)如圖2,P是邊BC上一點,BAP=C,tanPAC=,求tan C的值;(3)如圖3,D是邊CA延長線上一點,AE=AB,DEB=90,sinBAC=,=,直接寫出tanCEB的值. 2 5535ADAC25解析解析(1)證明:M=N=ABC=90,MAB+MBA=NBC+MBA=90,MAB=NBC,ABMBCN.(2)過點P作PMAP交AC于點M,過點M作MNPC交BC于點N,則PMNAPB.=tanPAC=,設(shè)

29、PN=2t,則AB=t.BAP+APB=MPC+APB=90,BAP=C,MPC=C,CN=PN=2t.易得ABPCBA,AB2=BPBC,(t)2=BP(BP+4t),BP=t,BC=5t,tan C=.PNABPMAP2 555555(3)在RtABC中,sinBAC=,tanBAC=.過點A作AGBE于點G,過點C作CHBE交EB的延長線于點H,DEB=90,CHAGDE,=,同(1)的方法得,ABGBCH,=,設(shè)BG=4m,CH=3m,AG=4n,BH=3n,GH=BG+BH=4m+3n,AB=AE,AGBE,EG=BG=4m,=,n=2m,EH=EG+GH=4m+4m+3n=8m+3

30、n=8m+6m=14m,在RtCEH中,tanCEB=.BCAC35BCAB34GHEGACAD52BGCHAGBHABBC43GHEG434mnm52CHEH314 思路分析思路分析 (1)利用同角的余角相等判斷出MAB=NBC,即可得出結(jié)論;(2)作PMAP,MNPC,先判斷出PMNAPB,得出=,設(shè)PN=2t,則AB=t,再判斷出ABPCBA,設(shè)PN=2t,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可求得BP=t,則BC=5t,即可得出結(jié)論;(3)作AGBE,CHBE,先判斷出=,同(1)的方法得,ABGBCH,所以=,設(shè)BG=4m,CH=3m,AG=4n,BH=3n,進一步得出關(guān)于m,n的等式,解得n=2m

31、,最后得出結(jié)論.PNABPMAP2 555GHEGACAD52BGCHAGBHABBC43方法指導(dǎo)方法指導(dǎo) 幾何中的類比探究關(guān)鍵在于找到解決每一問的通法,本題涉及的相似三角形,要尋找的比例關(guān)系或添加的輔助線均類似.同時要注意挖掘題干中不變的幾何特征,根據(jù)特征尋方法.11.(2018重慶,10,4分)如圖,旗桿及升旗臺的剖面和教學(xué)樓的剖面在同一平面上,旗桿與地面垂直,在教學(xué)樓底部E點處測得旗桿頂端的仰角AED=58,升旗臺底部到教學(xué)樓底部的距離DE=7米,升旗臺坡面CD的坡度i=1 0.75,坡長CD=2米,若旗桿底部到坡面CD的水平距離BC=1米,則旗桿AB的高度約為()(參考數(shù)據(jù):sin 5

32、80.85,cos 580.53,tan 581.6)A.12.6米 B.13.1米 C.14.7米 D.16.3米答案答案 B如圖,延長AB交ED的延長線于M,作CJDM于J.則四邊形BMJC是矩形.在RtCJD中,=,設(shè)CJ=4k,DJ=3k,k0,已知CD=2,則有9k2+16k2=4,解得k=,BM=CJ=,DJ=,又BC=MJ=1,EM=MJ+DJ+DE=,在RtAEM中,tanAEM=,tan 58=1.6,解得AB13.1(米),故選B.CJDJ10.7543258565465AMEM85465AB思路分析思路分析 延長AB交ED的延長線于M,作CJDM于J,則四邊形BMJC是矩

33、形.在RtCJD中求出CJ、DJ的長,再根據(jù)tanAEM=即可解決問題.AMEM方法總結(jié)方法總結(jié) 解直角三角形的實際應(yīng)用問題的關(guān)鍵是根據(jù)實際情況建立數(shù)學(xué)模型,正確畫出圖形,找到直角三角形.根據(jù)題目中的已知條件,將實際問題抽象為解直角三角形的數(shù)學(xué)問題,畫出平面幾何圖形,弄清已知條件中各量之間的關(guān)系,若圖中有直角三角形,根據(jù)邊角關(guān)系進行計算即可;若圖中沒有直角三角形,可通過添加輔助線構(gòu)造直角三角形來解決.12.(2018河南,20,9分)“高低杠”是女子體操特有的一個競技項目,其比賽器材由高、低兩根平行杠及若干支架組成,運動員可根據(jù)自己的身高和習(xí)慣在規(guī)定范圍內(nèi)調(diào)節(jié)高、低兩杠間的距離.某興趣小組根據(jù)

34、高低杠器材的一種截面圖編制了如下數(shù)學(xué)問題,請你解答.如圖所示,底座上A,B兩點間的距離為90 cm.低杠上點C到直線AB的距離CE的長為155 cm,高杠上點D到直線AB的距離DF的長為234 cm,已知低杠的支架AC與直線AB的夾角CAE為82.4,高杠的支架BD與直線AB的夾角DBF為80.3.求高、低杠間的水平距離CH的長.(結(jié)果精確到1 cm.參考數(shù)據(jù):sin 82.40.991,cos 82.40.132,tan 82.47.500,sin 80.30.983,cos 80.30.168,tan 80.35.850) 解析解析在RtCAE中,AE=20.7.(3分)在RtDBF中,B

35、F=40.(6分)EF=AE+AB+BF=20.7+90+40=150.7151.四邊形CEFH為矩形,CH=EF=151.即高、低杠間的水平距離CH的長約是151 cm.(9分)tanCECAE155tan82.41557.500tanDFDBF234tan80.32345.850思路分析思路分析 根據(jù)RtCAE和RtDBF中的邊和角的數(shù)值,用正切函數(shù)分別求得AE,BF的長度,得EF=AE+AB+BF,由矩形的性質(zhì)可知CH=EF,可以求出問題的答案.方法總結(jié)方法總結(jié) 解直角三角形的應(yīng)用問題,一般根據(jù)題意抽象出幾何圖形,結(jié)合所給的線段或角,借助邊角關(guān)系、三角函數(shù)的定義解題,若幾何圖形中無直角三

36、角形,則需要根據(jù)條件構(gòu)造直角三角形,再解直角三角形,求出實際問題的答案.13.(2018湖北黃岡,21,7分)如圖,在大樓AB正前方有一斜坡CD,坡角DCE=30,樓高AB=60米,在斜坡下的點C處測得樓頂B的仰角為60,在斜坡上的D處測得樓頂B的仰角為45,其中點A,C,E在同一直線上.(1)求坡底C點到大樓距離AC的值;(2)求斜坡CD的長度. 解析解析(1)在RtABC中,AB=60米,ACB=60,AC=20 米.(2)過點D作DFAB于點F,則四邊形AEDF為矩形,AF=DE,DF=AE.設(shè)CD=x米,在RtCDE中,DE=x米,CE=x米,在RtBDF中,BDF=45,BF=DF=

37、AB-AF=米,DF=AE=AC+CE,20+x=60-x,解得x=80-120,即CD=(80-120)米.tan60AB312321602x332123314.(2018山西,19,8分)祥云橋位于省城太原南部,該橋塔主體由三根曲線塔柱組合而成,全橋共設(shè)13對直線型斜拉索,造型新穎,是“三晉大地”的一種象征.某數(shù)學(xué)“綜合與實踐”小組的同學(xué)把“測量斜拉索頂端到橋面的距離”作為一項課題活動,他們制訂了測量方案,并利用課余時間借助該橋斜拉索完成了實地測量.測量結(jié)果如下表:項目內(nèi)容課題測量斜拉索頂端到橋面的距離測量示意圖說明:兩側(cè)最長斜拉索AC,BC相交于點C,分別與橋面交于A,B兩點,且點A,B

38、,C在同一豎直平面內(nèi)測量數(shù)據(jù)A的度數(shù)B的度數(shù)AB的長度3828234米(1)請幫助該小組根據(jù)上表中的測量數(shù)據(jù),求斜拉索端點C到AB的距離(參考數(shù)據(jù):sin 380.6,cos 380.8,tan 380.8,sin 280.5,cos 280.9,tan 280.5);(2)該小組要寫出一份完整的課題活動報告,除上表的項目外,你認為還需要補充哪些項目(寫出一個即可).解析解析(1)如圖,過點C作CDAB于點D.(1分)設(shè)CD=x米,在RtADC中,ADC=90,A=38.tan 38=,AD=x.(2分)在RtBDC中,BDC=90,B=28.tan 28=,BD=2x.(3分)AD+BD=A

39、B=234,x+2x=234.(5分)解得x=72.(6分)答:斜拉索端點C到AB的距離為72米.(7分)(2)答案不唯一,還需要補充的項目可為測量工具,計算過程,人員分工,指導(dǎo)教師,活動感受等.(8分)CDADtan38CD0.8x54CDBDtan28CD0.5x5415.(2018江西,19,8分)圖1是一種折疊門,由上下軌道和兩扇長寬相等的活頁門組成,整個活頁門的右軸固定在門框上,通過推動左側(cè)活頁門開關(guān).圖2是其俯視簡化示意圖,已知軌道AB=120 cm,兩扇活頁門的寬OC=OB=60 cm,點B固定,當(dāng)點C在AB上左右運動時,OC與OB的長度不變(所有結(jié)果保留小數(shù)點后一位).(1)若

40、OBC=50,求AC的長;(2)當(dāng)點C從點A向右運動60 cm時,求O在此過程中運動的路徑長.參考數(shù)據(jù):sin 500.77,cos 500.64,tan 501.19,取3.14. 解析解析(1)如圖,過點O作ODAB于點D,在RtOBD中,BD=OBcosOBD=60cos 50600.64=38.4(cm).OC=OB,BC=2BD.AC=AB-BC=120-238.4=43.2(cm).(2)如圖,AB=120 cm,AC=60 cm,BC=AB-AC=60 cm.OC=OB=60 cm,BC=OC=OB,OBC為等邊三角形,OBC=60.點O的運動路徑為,點O運動的路徑長為=20=6

41、2.8(cm).OC6060180思路分析思路分析 (1)過點O作ODAB于點D,先根據(jù)OBC的余弦求出BD,然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求得BC,進而求得AC的長;(2)點O運動路徑是以點B為圓心,OB長為半徑的圓弧,先確定當(dāng)點C從點A向右運動60 cm后OBC的大小,進而利用弧長公式求出結(jié)果.解題關(guān)鍵解題關(guān)鍵 解決本題的關(guān)鍵是把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題,根據(jù)實際情況建立數(shù)學(xué)模型,正確理解點O的運動路徑.16.(2018云南昆明,19,7分)小婷在放學(xué)路上,看到隧道上方有一塊宣傳“中國南亞博覽會”的豎直標(biāo)語牌CD,她在A點測得標(biāo)語牌頂端D處的仰角為42,測得隧道底端B處的俯角為30(B,C,D在同

42、一條直線上),AB=10 m,隧道高6.5 m(即BC=6.5 m),求標(biāo)語牌CD的長(結(jié)果保留小數(shù)點后一位).(參考數(shù)據(jù):sin 420.67,cos 420.74,tan 420.90,1.73) 3解析解析如圖,過點A作AEBD于點E,(1分)由題意得DAE=42,EAB=30,在RtABE中,AEB=90,AB=10,EAB=30,BE=AB=10=5.(2分)cosEAB=,AE=ABcos 30=10=5.(4分)在RtDEA中,DEA=90,DAE=42,tanDAE=,DE=AEtan 4250.90=,(5分)1212AEAB323DEAE39 32CD=BE+ED-BC=5

43、+-6.56.3(m).(6分)答:標(biāo)語牌CD的長約為6.3 m.(7分)9 32思路分析思路分析 作AEBD于點E,構(gòu)造直角DEA和直角ABE,解直角DEA和直角ABE,求得BE,DE的長,進而可求出CD的長度.方法總結(jié)方法總結(jié) 解直角三角形的應(yīng)用問題時,一般根據(jù)題意抽象地畫出幾何圖形,結(jié)合所給的線段或角,借助邊角關(guān)系、銳角三角函數(shù)的定義解題,若幾何圖形中無直角三角形,則需要根據(jù)條件構(gòu)造直角三角形,再解直角三角形,求出實際問題的答案.17.(2017天津,22,10分)(本小題10分)如圖,一艘海輪位于燈塔P的北偏東64方向,距離燈塔120海里的A處,它沿正南方向航行一段時間后,到達位于燈塔

44、P的南偏東45方向上的B處,求BP和BA的長(結(jié)果取整數(shù)).參考數(shù)據(jù):sin 640.90,cos 640.44,tan 642.05,取1.414.2解析解析如圖,過點P作PCAB,垂足為C,由題意可知,A=64,B=45,PA=120,在RtAPC中,sin A=,cos A=,PC=PAsin A=120sin 64,AC=PAcos A=120cos 64.PCPAACPA在RtBPC中,sin B=,tan B=,BP=153(海里),BC=PC=120sin 64,BA=BC+AC=120sin 64+120cos 641200.90+1200.44161(海里).答:BP的長約為

45、153海里,BA的長約為161海里.PCBPPCBCsinPCB120 sin64sin45120 0.9022tanPCBtan45PC思路分析思路分析 在RtAPC中,利用A的三角函數(shù)求出PC和AC;在RtPCB中利用B的三角函數(shù)求出BC和PB即可解決問題.解題關(guān)鍵解題關(guān)鍵 解此題的關(guān)鍵是把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題,根據(jù)實際情況建立數(shù)學(xué)模型,正確畫出圖形,找準三角形.18.(2017貴州貴陽,20,8分)貴陽市某消防支隊在一幢居民樓前進行消防演習(xí),如圖所示,消防官兵利用云梯成功救出在C處的求救者后,發(fā)現(xiàn)在C處正上方17米的B處又有一名求救者,消防官兵立刻升高云梯將其救出.已知點A與居民樓的水

46、平距離是15米,且在A點測得第一次施救時云梯與水平線的夾角CAD=60.求第二次施救時云梯與水平線的夾角BAD的度數(shù).(結(jié)果精確到1) 解析解析如圖,延長AD,交BC所在的直線于點E,由題意,得BC=17米,AE=15米,CAE=60,AEB=90,在RtACE中,tanCAE=,CE=AEtan 60=15(米),在RtABE中,tanBAE=,BAE71.答:第二次施救時云梯與水平線的夾角BAD的度數(shù)約為71.CEAE3BEAEBCCEAE1715 31519.(2017安徽,17,8分)如圖,游客在點A處坐纜車出發(fā),沿ABD的路線可至山頂D處.假設(shè)AB和BD都是直線段,且AB=BD=60

47、0 m,=75,=45,求DE的長.(參考數(shù)據(jù):sin 750.97,cos 750.26,1.41) 2解析解析在RtBDF中,由sin =可得,DF=BDsin =600sin 45=600=300423(m).(3分)在RtABC中,由cos =可得,BC=ABcos =600cos 756000.26=156(m).(6分)所以DE=DF+EF=DF+BC=423+156=579(m).(8分)DFBD222BCAB20.(2017河南,19,9分)如圖所示,我國兩艘海監(jiān)船A,B在南海海域巡航,某一時刻,兩船同時收到指令,立即前往救援遇險拋錨的漁船C.此時,B船在A船的正南方向5海里處

48、,A船測得漁船C在其南偏東45方向,B船測得漁船C在其南偏東53方向.已知A船的航速為30海里/小時,B船的航速為25海里/小時,問C船至少要等待多長時間才能得到救援?參考數(shù)據(jù):sin 53,cos 53,tan 53,1.41 4535432解析解析 過點C作CDAB交AB延長線于點D,則CDA=90.(1分)已知CAD=45,設(shè)CD=x海里,則AD=CD=x海里.BD=AD-AB=(x-5)海里.(3分)在RtBDC中,CD=BDtan 53,即x=(x-5)tan 53,x=20.(6分)BC=20=25海里.B船到達C船處約需時間:2525=1(小時).(7分)在RtADC中,AC=x

49、1.4120=28.2海里,A船到達C船處約需時間:28.230=0.94(小時).(8分)而0.941,所以C船至少要等待0.94小時才能得到救援.(9分)5tan53tan531453413sin53CDsin53x452解題技巧解題技巧 本題是解三角形兩種典型問題中的一種.以下介紹兩種典型問題:(1)如圖,當(dāng)BC=a時,設(shè)AD=x,則CD=,BD=.CD+BD=a,+=a,x=.(2)如圖,當(dāng)BC=a時,設(shè)AD=x,則BD=,CD=,CD-BD=a,-=a,x=.tanxtanxtanxtanxtantantantanatanxtanxtanxtanxtantantantana 21.(

50、2015江蘇南京,23,8分)如圖,輪船甲位于碼頭O的正西方向A處,輪船乙位于碼頭O的正北方向C處,測得CAO=45.輪船甲自西向東勻速行駛,同時輪船乙沿正北方向勻速行駛,它們的速度分別為45 km/h和36 km/h.經(jīng)過0.1 h,輪船甲行駛至B處,輪船乙行駛至D處,測得DBO=58.此時B處距離碼頭O有多遠?(參考數(shù)據(jù):sin 580.85,cos 580.53,tan 581.60) 解析解析設(shè)B處距離碼頭Ox km.在RtCAO中,CAO=45,tanCAO=,CO=AOtanCAO=(450.1+x)tan 45=4.5+x.(2分)在RtDBO中,DBO=58,tanDBO=,D

51、O=BOtanDBO=xtan 58.(4分)DC=DO-CO,360.1=xtan 58-(4.5+x).x=13.5.因此,B處距離碼頭O大約13.5 km.(8分)COAODOBO36 0.1 4.5tan58136 0.1 4.51.60 122.(2015重慶,24,10分)某水庫大壩的橫截面是如圖所示的四邊形ABCD,其中ABCD.大壩頂上有一錡望臺PC,PC正前方有兩艘漁船M,N,觀察員在錡望臺頂端P處觀測到漁船M的俯角為31,漁船N的俯角為45.已知MN所在直線與PC所在直線垂直,垂足為E,且PE長為30米.(1)求兩漁船M,N之間的距離(結(jié)果精確到1米);(2)已知壩高24米

52、,壩長100米,背水坡AD的坡度i=1 0.25.為提高大壩防洪能力,請施工隊將大壩的背水坡通過填筑土石方進行加固,壩底BA加寬后變?yōu)锽H,加固后背水坡DH的坡度i=1 1.75,施工隊施工10天后,為盡快完成加固任務(wù),施工隊增加了機械設(shè)備,工作效率提高到原來的2倍,結(jié)果比原計劃提前20天完成加固任務(wù).施工隊原計劃平均每天填筑土石方多少立方米?(參考數(shù)據(jù):tan 310.60,sin 310.52) 解析解析(1)由題意得,E=90,PME=31,PNE=45,PE=30米.在RtPEN中,PE=NE=30(米).(2分)在RtPEM中,tan 31=,ME=50(米).(4分)MN=ME-N

53、E=50-30=20(米).答:兩漁船M,N之間的距離約為20米.(5分)(2)過點D作DGAB于G,壩高DG=24米.背水坡AD的坡度i=1 0.25,DG AG=1 0.25,AG=6(米).加固后背水坡DH的坡度i=1 1.75,DG GH=1 1.75,GH=42(米).AH=GH-GA=42-6=36(米).(6分)SADH=AHDG=3624=432(平方米).PEME300.601212需要填筑土石方432100=43 200(立方米).(7分)設(shè)施工隊原計劃平均每天填筑土石方x立方米,根據(jù)題意,得10+=-20.(9分)解方程,得x=864.經(jīng)檢驗,x=864是原方程的根且符合

54、題意.答:施工隊原計劃平均每天填筑土石方864立方米.(10分)43 200 102xx43 200 x23.(2014浙江寧波,21,8分)如圖,從A地到B地的公路需經(jīng)過C地,圖中AC=10千米,CAB=25,CBA=37.因城市規(guī)劃的需要,將在A,B兩地之間修建一條筆直的公路.(1)求改直后的公路AB的長;(2)問公路改直后比原來縮短了多少千米?(sin 250.42,cos 250.91,sin 370.60,tan 370.75) 解析解析(1)作CHAB于點H,在RtACH中,(1分)CH=ACsinCAB=ACsin 25100.42=4.2(千米),(2分)AH=ACcosCAB

55、=ACcos 25100.91=9.1(千米),(3分)在RtBCH中,BH=CHtan 374.20.75=5.6(千米),(4分)AB=AH+BH=9.1+5.6=14.7(千米).(5分)(2)在RtBCH中,BC=CHsin 374.20.60=7.0(千米),(6分)AC+BC-AB=10+7-14.7=2.3(千米).答:改直后比原來縮短了2.3千米.(8分)24.(2014安徽,18,8分)如圖,在同一平面內(nèi),兩條平行高速公路l1和l2間有一條“Z”型道路連通,其中AB段與高速公路l1成30角,長為20 km;BC段與AB、CD段都垂直,長為10 km;CD段長為30 km,求兩

56、高速公路間的距離(結(jié)果保留根號). 解析解析如圖,過點A作AB的垂線交DC的延長線于點E,過點E作l1的垂線與l1、l2分別交于點H、F,則HFl2.由題意知ABBC,BCCD,又AEAB,四邊形ABCE為矩形,AE=BC,AB=EC.(2分)DE=DC+CE=DC+AB=50.又AB與l1成30角,EDF=30,EAH=60.在RtDEF中,EF=DEsin 30=50=25,(5分)在RtAEH中,EH=AEsin 60=10=5,12323所以HF=EF+HE=25+5.答:兩高速公路間的距離為(25+5)km.(8分)33考點一銳角三角函數(shù)考點一銳角三角函數(shù)三年模擬A A組組 2016

57、 201620182018年模擬年模擬基礎(chǔ)題組基礎(chǔ)題組1.(2018北京燕山一模,6)如圖,在RtABC中,ACB=90,CD是AB邊上的中線,AC=8,BC=6,則ACD的正切值是()A. B. C. D. 43355334答案答案 DACB=90,CD是AB邊上的中線,AD=CD,ACD=A,tanACD=tanA=.BCAC68342.(2017北京西城一模,7)如圖,小明在地面上放了一個平面鏡,選擇合適的位置,剛好在平面鏡中看到旗桿的頂部,此時小明與平面鏡的水平距離為2 m,旗桿底部與平面鏡的水平距離為16 m.若小明的眼睛與地面的距離為1.5 m,則旗桿的高度為(單位:m)()A.

58、B.9 C.12 D. 163643答案答案 C如圖:由題意得=,=.DE=12 m.故選C.ABBCDECD1.5216DE思路分析思路分析 通過讀題,首先要標(biāo)清邊角條件,并借助解直角三角形的相關(guān)知識來解題.解題關(guān)鍵解題關(guān)鍵 解決本題的關(guān)鍵是要明確平面鏡的性質(zhì),從而得到反射角等于入射角,進而才能借助解直角三角形或相似的相關(guān)知識來解決.3.(2016北京延慶一模,6)如圖,在44的正方形網(wǎng)格中,tan 的值等于()A.2 B. C. D. 12552 55答案答案 A如圖,設(shè)每個小正方形邊長為1,則AB=2,CB=1,tan =2.故選A. ABBC考點二解直角三角形考點二解直角三角形1.(2

59、018北京海淀二模,6)我國古代有一種通過測量日影長度來確定時間的儀器,稱為圭表.下圖是一個根據(jù)北京的地理位置設(shè)計的圭表,其中,立柱AC的高為a.已知,冬至?xí)r北京的正午日光入射角ABC約為26.5,則立柱根部與圭表的冬至線的距離(即BC的長)約為()A.asin 26.5 B.tan26.5aC.acos 26.5 D. cos26.5a答案答案 BtanABC=,BC=.故選B.ACBCtanACABCtan26.5ACtan26.5a2.(2017北京平谷一模,6)某商場一樓與二樓之間的手扶電梯如圖所示.其中AB、CD分別表示一樓、二樓地面的水平線,ABC=150,BC的長是8 m,則乘電

60、梯從點B到點C上升的高度h是()A.4 mB.8 mC. mD.4 m3833答案答案 DABC=150,CBE=30.h=BC=8=4 m.故選D. 12123.(2016北京懷柔二模,8)如圖,在地面上的點A處測得樹頂B的仰角為,AC=7米,則樹高BC為()A.7sin 米 B.7cos 米 C.7tan 米 D.(7+)米答案答案 Ctan =,BC=tan AC=7tan 米.故選C.BCAC4.(2018北京平谷二模,14)如圖,一名滑雪運動員沿著傾斜角為34的斜坡從A滑行至B,已知AB=500米,則這名滑雪運動員的高度下降了約 米.(參考數(shù)據(jù):sin 340.56,cos 340.

61、83,tan 340.67) 答案答案280解析解析 AC=ABsin 345000.56=280米.5.(2017北京豐臺二模,13)某中學(xué)初三年級的學(xué)生開展測量物體高度的實踐活動,他們要測量一幢建筑物AB的高度.如圖,他們先在點C處測得建筑物AB的頂點A的仰角為30,然后向建筑物AB前進10 m到達點D處,又測得點A的仰角為60,那么建筑物AB的高度是 m. 答案答案5 3解析解析ABC=90,DAB=30,CAB=60,CAD=30,AD=CD=10 m,AB=ADsin 60=10=5 m.3236.(2017北京豐臺一模,23)如圖,在四邊形ABCD中,ABC=90,DEAC于點E,

62、且AE=CE,DE=5,EB=12.(1)求AD的長;(2)若CAB=30,求四邊形ABCD的周長. 解析解析(1)ABC=90,AE=CE,EB=12,EB=AE=CE=12.DEAC,DE=5,在RtADE中,由勾股定理得AD=13.(2)在RtABC中,CAB=30,AC=AE+CE=24,BC=12,AB=ACcos 30=12.DEAC,AE=CE,AD=DC=13.四邊形ABCD的周長為AB+BC+CD+AD=38+12.22AEDE22125337.(2016北京延慶一模,24)如圖,甲船在港口P的南偏西60方向,距港口86海里的A處,沿AP方向以每小時15海里的速度勻速駛向港口

63、P.乙船從港口P出發(fā),沿南偏東45方向勻速駛離港口P,現(xiàn)兩船同時出發(fā),2小時后乙船在甲船的正東方向.求乙船的航行速度.(結(jié)果精確到個位,參考數(shù)據(jù):1.414,1.732,2.236) 235解析解析依題意,設(shè)乙船的航行速度為每小時x海里,2小時后甲船在點B處,乙船在點C處,則PC=2x.過P作PDBC于D,BP=86-215=56,在RtPDB中,PDB=90,BPD=60,PD=PBcos 60=28,在RtPDC中,PDC=90,DPC=45,PD=PCcos 45=2x=x,x=28,即x=1420.答:乙船的航行速度為每小時20海里.22222一、選擇題(每小題3分,共6分)B B組組

64、2016201820162018年模擬年模擬提升題組提升題組( (時間時間:35:35分鐘分值分鐘分值:40:40分分) )1.(2017北京海淀二模,10)利用量角器可以制作“銳角正弦值速查卡”.制作方法如下:如圖,設(shè)OA=1,以O(shè)為圓心,分別以0.05,0.1,0.15,0.2,0.9,0.95為半徑作半圓,再以O(shè)A為直徑作M.利用“銳角正弦值速查卡”可以讀出相應(yīng)銳角正弦的近似值.例如:sin 600.87,sin 450.71.下列角度中正弦值最接近0.94的是()答案答案 A通過量角器可以發(fā)現(xiàn),圓和度數(shù)的交點的半圓半徑即相應(yīng)銳角的正弦值的近似值.所以正弦值最接近0.94的是70,故選A

65、.A.70 B.50 C.40 D.302.(2016北京西城一模,9)某滑雪場舉辦冰雪嘉年華活動,采用直升機航拍技術(shù)拍攝活動盛況.如圖,通過直升機的鏡頭C觀測水平雪道一端A處的俯角為30,另一端B處的俯角為45.若直升機鏡頭C處的高度CD為300米,點A,D,B在同一直線上,則雪道AB的長度為()A.300米 B.150 米C.900米 D.(300+300)米23答案答案 D 由題意可知A=30,B=45,AD=300tan A=300米,DB=CD=300米.AB=(300+300)米.故選D.33二、填空題(每小題3分,共9分)3.(2018北京石景山一模,15)在距辦公樓20 m的點

66、B處,用高為0.8 m的測角儀測得辦公樓頂點C的仰角為63,則辦公樓CD的高約為 m.(精確到0.1 m,sin 630.89,cos 630.45,tan 631.96) 答案答案40.0解析解析過點A作AEBD交CD于E,tanCAE=,1.96,CE=39.2米,CD=CE+DE=39.2+0.8=40.0米.CEAECEBD20CE4.(2018北京朝陽二模,11)2017年5月5日我國自主研發(fā)的大型飛機C919成功首飛.下圖是一種機翼的示意圖,用含有m、n的式子表示AB的長: . 答案答案 m+n-n33解析解析過點C作CE垂直BA,交BA的延長線于點E,則四邊形CFBE為長方形,且長方形的長為m+n,寬為n.ACE=45,CEA為等腰直角三角形,EA=CE=n,AB的長為m+n-n.33335.(2018北京豐臺二模,15)如圖,一輛小汽車與墻平行停放,汽車靠墻一側(cè)OB與墻MN平行且距離為0.8米,小汽車車門的寬AO為1.2米,當(dāng)車門打開的角度AOB為40時,車門是否會碰到墻? (填“是”或“否”);請簡述你的理由 .(參考數(shù)據(jù):sin 400.64,cos 400.77,