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1、向量替斜率 解題免討論 江西省永豐中學(xué) 331500 劉 忠 （特級(jí)教師） （本文發(fā)表于《中學(xué)數(shù)學(xué)雜志》2009年第1期） 直線是由一個(gè)點(diǎn)和一個(gè)方向確定的，而方向又可用它的傾斜角來(lái)確定.由于斜率可以直接反映于它的方程中（特別是斜截式），所以通常用斜率來(lái)確定一條直線的方向.又由于并不是任何直線都有斜率，所以在對(duì)一些與直線斜率有關(guān)的問題的解決時(shí)就不得不分斜率存在與否進(jìn)行討論了.考慮到任何直線的方向都可由它的方向向量來(lái)確定，所以在解決一些與直線斜率有關(guān)的問題時(shí)用它的方向向量來(lái)代替斜率就可以避免繁雜的討論，而使過(guò)程簡(jiǎn)潔明快.本文介紹利用直線的方向向量和法向量來(lái)解決一些與斜率有關(guān)的問題的

2、方法，供大家參考. 1 直線的方向向量與法向量 1.1 直線：Ax+By +C =0的方向向量：若直線經(jīng)過(guò)，，則直線上的向量及與它平行的向量都稱為直線的方向向量.所以及與它平行的向量都是直線的方向向量. 當(dāng)直線與軸不垂直時(shí) ，，此時(shí)向量也是直線的方向向量 ，且它的坐標(biāo)是（其中是直線的斜率）＝. 當(dāng)直線與軸垂直時(shí) ，， ，所以是直線的方向向量，且 . 因此，是直線Ax+By+C =0的方向向量. 1.2 直線：Ax+By +C =0的法向量：如果向量與直線垂直，則稱向量為直線的法向量. 顯然，向量是直線的法向量. 雖然直線的方向向量和法向量都可由直線方程得到，但Ax+B

3、y+C=0的法向量形式更簡(jiǎn)單，更容易記憶，因此解題時(shí)通常不用直線的方向向量而改用它的法向量. 2 直線法向量的運(yùn)用 2.1 兩直線平行的必要條件的推導(dǎo) 例1 求兩直線平行的必要條件. 解：要∥，只要∥，即∥，亦即. 所以兩直線平行的必要條件是. 2.2 兩直線垂直的充要條件的推導(dǎo) 例2 求兩直線垂直的充要條件. 解：因?yàn)閮芍本€和垂直的充要條件是它們的法向量垂直，即. 故兩直線垂直的充要條件. 2.3 兩直線夾角公式的推導(dǎo) 例3 求兩直線的夾角. 解：設(shè)直線和的夾角為，它們的法向量的夾角為，則或，所以. 因?yàn)椋? 所以， 所以兩直線的夾角. 2.4 點(diǎn)到直線距離公式的推導(dǎo) 例4 求點(diǎn)到直線的距離. 解：在直線上任取一點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的距離即為在的法向量方向上的射影長(zhǎng)， 因?yàn)?，法向量，所以? 故點(diǎn)到直線的距離. 2.5 過(guò)圓上一點(diǎn)的圓的切線方程的推導(dǎo) 例5 求過(guò)圓上一點(diǎn)的切線方程. 解：顯然，是過(guò)切點(diǎn)的圓的切線的法向量，所以可以設(shè)切線方程為，因切線過(guò)點(diǎn)，所以，即，所以切線方程為. 所以過(guò)圓上一點(diǎn)的切線方程為. 3 / 3