數(shù)學(xué)建模論文 兩種隨機(jī)存貯管理模型的建立和求解

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1、兩種隨機(jī)存貯管理模型的建立和求解 摘 要：本文建立了倉庫容量有限條件下單品種、多品種的允許缺貨隨機(jī)存貯模型。采用連續(xù)的時(shí)間變量更合理地描述了問題，簡化了模型的建立。模型的求解是一個(gè)以分段的平均損失費(fèi)用函數(shù)作為目標(biāo)的帶約束最優(yōu)化問題。針對(duì)題目中的具體數(shù)據(jù)對(duì)隨機(jī)量送貨滯后時(shí)間的密度函數(shù)進(jìn)行了估計(jì)，解出了單品種、多品種條件下最優(yōu)訂貨點(diǎn)的值和存貯方案。通過分情況討論把單品種存貯模型推廣為多品種（種）存貯模型，論證了目標(biāo)函數(shù)的獨(dú)立變量為個(gè),使模型更加清晰、求解方便。類比控制論中的相關(guān)理論提出了一定條件下多品種存貯的最優(yōu)性原理，給出了證明，指出該原理簡化模型和驗(yàn)證模型求解結(jié)果的作用。討論了銷售速率具有隨機(jī)

2、性時(shí)的存貯模型，實(shí)際當(dāng)中調(diào)整修正訂貨點(diǎn)的方法，以及倉庫最大存貯量的一種預(yù)測(cè)辦法。最后指出了模型的優(yōu)缺點(diǎn)。 0問題重述工廠生產(chǎn)需定期地定購各種原料，商家銷售要成批地購進(jìn)各種商品。無論是原料或商品，都有一個(gè)怎樣存貯的問題。存得少了無法滿足需求，影響利潤；存得太多，存貯費(fèi)用就高。因此說存貯管理是降低成本、提高經(jīng)濟(jì)效益的有效途徑和方法。問題1 某商場(chǎng)銷售的某種商品。市場(chǎng)上這種商品的銷售速率假設(shè)是不變的，記為；每次進(jìn)貨的訂貨費(fèi)為常數(shù)與商品的數(shù)量和品種無關(guān)；使用自己的倉庫存貯商品時(shí)，單位商品每天的存貯費(fèi)用記為，由于自己的倉庫容量有限，超出時(shí)需要使用租借的倉庫存貯商品，單位商品每天的存貯費(fèi)用記為，且；允許商

3、品缺貨，但因缺貨而減少銷售要造成損失，單位商品的損失記為；每次訂貨，設(shè)貨物在天后到達(dá)，交貨時(shí)間是隨機(jī)的；自己的倉庫用于存貯該商品的最大容量為，每次到貨后使這種商品的存貯量補(bǔ)充到固定值為止，且；在銷售過程中每當(dāng)存貯量降到時(shí)即開始訂貨。 請(qǐng)你給出求使總損失費(fèi)用達(dá)到最低的訂貨點(diǎn)（最優(yōu)訂貨點(diǎn)）的數(shù)學(xué)模型。問題2 現(xiàn)給出來自某個(gè)大型超市的關(guān)于三種商品的真實(shí)數(shù)據(jù)，按你的模型分別計(jì)算出這三種商品各自相應(yīng)的最優(yōu)訂貨點(diǎn)。問題3 問題1是只有一種商品需要訂貨的情形。實(shí)際上常遇到在庫存容量有限的情況下，有多種商品需要同時(shí)訂貨的情形，這時(shí)需考慮充分利用存貯體積的問題。設(shè)有種商品需要訂貨，它們每次一同從一個(gè)供應(yīng)站訂貨，

4、每次進(jìn)貨的訂貨費(fèi)為常數(shù)與商品的數(shù)量和品種無關(guān)；訂購的貨物同時(shí)到達(dá)，到貨天數(shù)如問題1所述是隨機(jī)的。這種商品的銷售速率分別為（袋或盒/天），每袋（或盒）的體積分別為。使用自己的倉庫和租借的倉庫時(shí)單位體積商品每天的存貯費(fèi)分別記成和，單位體積商品每天的缺貨損失記成，自己的倉庫用于存貯這種商品的總體積容量為，每次到貨后這種商品的存貯量總體積補(bǔ)充到固定體積容量為止，且。每當(dāng)這種商品的存貯量總體積降到時(shí)即開始訂貨。試通過建立數(shù)學(xué)模型說明應(yīng)如何確定最優(yōu)訂貨點(diǎn)和自己的倉庫用于存貯這種商品的各自體積容量以及在訂貨到達(dá)時(shí)使這種商品各自存貯量補(bǔ)充到的固定體積 ，才能使總損失費(fèi)用達(dá)到最低？問題4 如果把問題2中的三種商

5、品按問題3的方法同時(shí)訂貨，其中立方米，立方米，立方米，自己的倉庫用于存貯這3種商品的總體積容量立方米，每次到貨后這3種商品的存貯量總體積補(bǔ)充到固定體積容量立方米為止，且該供應(yīng)站從接到訂貨通知到貨物送達(dá)商場(chǎng)的天數(shù)服從在1天到3天之間的均勻分布。其余數(shù)據(jù)同問題2中相應(yīng)的商品中所列出的數(shù)據(jù)。試按問題3的模型求出這3種商品的最優(yōu)訂貨點(diǎn)和自己的倉庫用于存貯這3種商品的各自體積容量以及在訂貨到達(dá)時(shí)使這3種商品各自存貯量補(bǔ)充到的固定體積 。問題5商品的銷售經(jīng)常是隨機(jī)的、訂貨情況在一段時(shí)間后是會(huì)發(fā)生變化的，相應(yīng)地商家就應(yīng)該調(diào)整訂貨和存貯策略。你們能否對(duì)此建立數(shù)學(xué)模型加以討論。1問題假設(shè)1不考慮商品銷售率的變化

6、；2當(dāng)訂購貨物到達(dá)時(shí)，可無限量瞬時(shí)補(bǔ)充，直至，即不考慮供給方的供給能力限制；3時(shí)間是連續(xù)變化的；4. 不考慮從倉庫到超市的時(shí)間延遲和運(yùn)輸費(fèi)用，即認(rèn)為倉庫和超市是一體的；5在多品種存貯問題中不考慮倉庫之間的動(dòng)態(tài)調(diào)配；2 單存貯隨機(jī)問題2.1符號(hào)約定商品的銷售速率：（）；每次進(jìn)貨的訂貨費(fèi)：（元）；使用自己倉庫存貯時(shí)，單位商品每天的存貯費(fèi)：（）；租借倉庫存貯時(shí)，單位商品每天的存貯費(fèi)：（）；缺貨時(shí)單位商品的損失為：（）每次訂貨交貨時(shí)間為：（天）；每次交貨時(shí)間為的概率密度：；自己倉庫最大容量：（盒）；商品存貯量達(dá)到的固定值：（盒）；訂貨點(diǎn)：（盒）2.2單品種存貯問題分析問題1、2屬于運(yùn)籌學(xué)中存貯論一支，

7、是一個(gè)倉庫容量有限、單品種隨機(jī)存貯的最優(yōu)化問題?？梢酝ㄟ^建立起目標(biāo)規(guī)劃模型進(jìn)行求解。它以總損失費(fèi)用最低作為目標(biāo)，訂貨點(diǎn)為要其中的變量。總損失費(fèi)用由三個(gè)方面組成：訂貨費(fèi)用、倉庫貯存費(fèi)、缺貨費(fèi)。訂貨費(fèi)用每次都是固定的，即不考慮訂貨費(fèi)用與訂貨數(shù)量、品種的關(guān)系。由于自己倉庫容量有限，所以要租借外面的倉庫存貯。存貯費(fèi)用包括兩個(gè)方面：使用自己倉庫的存貯費(fèi)和租借倉庫的存貯費(fèi)。而租借倉庫存貯費(fèi)用要高于自己倉庫費(fèi)用，即，所以在銷售時(shí)應(yīng)該先售出外倉庫內(nèi)存貯部分，再售出自己倉庫存貯部分。給定一個(gè)訂貨點(diǎn)，當(dāng)存貯量降到訂貨點(diǎn)時(shí)要發(fā)出訂貨單。題中訂貨不是立即送到，而是需要一定時(shí)間的，在存貯論中將這段時(shí)間稱為滯后期，在后面

8、的論文當(dāng)中都將采用該名詞來描述訂貨送到時(shí)間。滯后期的取值是隨機(jī)的，因此不能保證在訂貨到達(dá)時(shí)商品一定還有剩余，而有可能出現(xiàn)訂貨未到時(shí)商品已全部售出，從而發(fā)生商品短缺現(xiàn)象。而商品的短缺直接造成了商家的損失，這一損失有因?yàn)闇p少銷售帶來的損失、商家信譽(yù)受損、客戶減少等。題中給出了缺貨時(shí)單位商品每天的損失費(fèi)用，說明當(dāng)天缺少的商品其影響會(huì)延續(xù)到后面的時(shí)間中，直到得到補(bǔ)償。在此只考慮因?yàn)闇p少銷售帶來的損失，缺貨量增加的速率為銷售速率。題中指出，每次訂貨到達(dá)后將商品存貯量補(bǔ)充到固定值為止。所以對(duì)于滯后期內(nèi)的缺貨量，在補(bǔ)充貨物時(shí)不考慮進(jìn)行補(bǔ)償。滯后期的不確定，還使得訂貨到達(dá)時(shí)商品的剩余量是不確定的，即在訂貨時(shí)商

9、家不能給出具體的訂貨量，而要在送貨到達(dá)時(shí)保證商品能夠補(bǔ)充到固定值，則送貨廠商必須要具有一定的供給能力，在題中將不考慮廠商供給能力的限制，而認(rèn)為它是無限大的，商品必能補(bǔ)充至。因?yàn)槊看斡?、送貨情況不一樣，交貨時(shí)間是隨機(jī)的，使得唯一的訂貨點(diǎn)不能保證每次的損失都是最低的，故采用一個(gè)概率平均值來描述損失費(fèi)用。在概率平均的情況下，以連續(xù)兩次收到補(bǔ)充訂貨的時(shí)間間隔作為一個(gè)時(shí)間周期。則應(yīng)取損失費(fèi)=，即用單位時(shí)間（題中取天）內(nèi)的平均損失費(fèi)用來進(jìn)行評(píng)價(jià)。利用該損失值最小的約束條件來得出最優(yōu)訂貨點(diǎn)?，F(xiàn)先討論一個(gè)周期內(nèi)商品的總損失。商品的總損失由三部分組成：1） 每次進(jìn)貨時(shí)的訂貨費(fèi)用；2） 商品在未賣出時(shí)需要存貯而由

10、此產(chǎn)生的存貯費(fèi)用；3） 因缺貨減少了銷售量，由此造成的損失費(fèi)。則總費(fèi)用表示為，其中、分別表示上述各項(xiàng)的費(fèi)用。由題知，每次進(jìn)貨的訂貨量為常數(shù)，即是固定的，它不受送貨時(shí)間隨機(jī)性的影響。存貨費(fèi)用由兩部分組成：租借倉庫存貯費(fèi)+自己倉庫存貯費(fèi)，表示為。滯后期的改變會(huì)使得一個(gè)周期的長度改變，即商品存貯時(shí)間發(fā)生變化，這使的值是不固定的。是滯后期變化的。缺貨損失費(fèi)用是由滯后期的隨機(jī)性引起的，它也是的函數(shù)。故要使一周內(nèi)的總損失最小，只需考慮存貨費(fèi)用和缺貨損失費(fèi)的影響。下面將對(duì)它們進(jìn)行具體的討論分析，建立起總損失費(fèi)用的具體模型。2.3單品種存貯模型的建立在問題2中給出的滯后期是一些離散數(shù)據(jù)，由之得到的滯后期隨機(jī)分

11、布函數(shù)也是一些離散的值，但是考慮到實(shí)際情況缺貨半天和缺貨一天的損失肯定是不同的。以及我們已經(jīng)假設(shè)倉庫與超市是一體的，那么超市的貨物是隨時(shí)可以補(bǔ)充的，所以我們?cè)诮⒛Ｐ偷臅r(shí)候，將時(shí)間看作是連續(xù)的，采用連續(xù)的方法來進(jìn)行分析建模，將庫存量、缺貨量、庫存費(fèi)用、缺貨費(fèi)用、滯后期分布函數(shù)等在時(shí)間上進(jìn)行連續(xù)化。這樣對(duì)模型進(jìn)行分析和求解也比較簡單。由于自己倉庫容量的限制，需要租借倉庫來進(jìn)行存貯，這與只存在就增加了問題的經(jīng)分析，根據(jù)訂貨點(diǎn)的取值將問題分為兩種情況：；。1，訂貨點(diǎn)大于自己倉庫的最大容量這又可以分為兩種情況，分別如圖2-1中左、右所示。圖2-1 時(shí)庫存量及日損失費(fèi)隨時(shí)間的變化曲線I：，即不會(huì)發(fā)生缺貨

12、現(xiàn)象，在送貨到達(dá)時(shí)商品還有剩余或恰好售完。這一情況如圖2-1中左邊部分所示。看左上圖，以每個(gè)周期開始時(shí)刻為0點(diǎn)，此時(shí)總的庫存量為，它以不變的銷售速率均勻減少。到時(shí)刻降為，也即租借倉庫內(nèi)的商品銷售完全。時(shí)刻庫存降至，此時(shí)發(fā)出訂貨單。在時(shí)刻，商品仍有庫存或恰好售完，而補(bǔ)充貨物送到，將其補(bǔ)充至，故也即下一周期的起點(diǎn)。段長度即為滯后時(shí)間。定義一個(gè)日損失費(fèi)，它是指單位時(shí)間（天）內(nèi)除訂貨費(fèi)之外其他損失費(fèi)之和。這一值是隨著時(shí)間改變的。在一個(gè)周期的時(shí)間上對(duì)它進(jìn)行積分，可得到一個(gè)周期存貯和缺貨損失費(fèi)之和。在時(shí)段內(nèi)，單位時(shí)間內(nèi)自己倉庫內(nèi)的庫存不變，其單位時(shí)間內(nèi)的損失費(fèi)用不變，為；而租借倉庫內(nèi)的商品以速率減少，其庫

13、存費(fèi)用的減少速率為，在左下圖中即表現(xiàn)為AB段的斜率為。在A即周期起點(diǎn)處，總庫存為，其中部分存在自己倉庫內(nèi)，部分存在租借倉庫內(nèi)，。在時(shí)段，庫存只剩下自己倉庫里的，日庫存費(fèi)用從以速率減少，至?xí)r刻庫存降為。而點(diǎn)為該周期的終點(diǎn)，此時(shí)送貨到達(dá)，而。很直觀地，段的累積損失費(fèi)為梯形A0B的面積，段累積損失費(fèi)用為梯形BC的面積，段的累積損失費(fèi)用為梯形CD的面積。計(jì)算如下：則在無缺貨情況下， 一個(gè)周期內(nèi)總的損失費(fèi)用是面積、之和加上訂貨費(fèi)，即：（2-1）II：，要發(fā)生缺貨的情況。、段與I的情況相同，時(shí)刻庫存降至0，而訂貨尚未送到，此后時(shí)段都處于缺貨狀態(tài)，單位時(shí)間的缺貨費(fèi)用（即缺貨費(fèi)用的變化率）是由0開始按的速率增

14、加。在時(shí)段，右上圖庫存量變化折線延伸到了0點(diǎn)以下，但它并不表示庫存量為負(fù)，而是為了體現(xiàn)出缺貨的狀態(tài)。到時(shí)刻訂貨送達(dá)，缺貨狀態(tài)解除，而此時(shí)缺貨費(fèi)用增長到最高，。三角形DE的面積即該周期內(nèi)總的缺貨損失費(fèi)。同上可計(jì)算得出：故在有缺貨時(shí)，一個(gè)周期內(nèi)總的損失費(fèi)為面積、之和加上訂貨費(fèi)。（2-2）觀察發(fā)現(xiàn)，I、II情況中求得的總損失費(fèi)用表達(dá)式的右端存在著相同的部分，即其是相等的，表示租借倉庫存貯量至銷售完時(shí)所積累存貯費(fèi)用與自己倉庫存貯量降至?xí)r積累存貯費(fèi)之和。不同的只是滯后時(shí)間部分，該部分開始時(shí)間是存貯量降為的時(shí)刻，結(jié)束時(shí)間為送貨到達(dá)時(shí)刻。對(duì)于情況I，不包含缺貨費(fèi)用，而II中多了缺貨費(fèi)用一項(xiàng)。故可以把式子寫成

15、： （2-3）其中，。在上面的式子當(dāng)中，費(fèi)用是送貨時(shí)間的函數(shù)，即在每一個(gè)周期里，如果確定了，就能確定。而如題中所述，是一個(gè)隨機(jī)變量，對(duì)于損失費(fèi)用的評(píng)價(jià)最好使用一個(gè)概率平均值。在的密度函數(shù)已知情況下，可得到損失費(fèi)用為 （2-4）2，訂貨點(diǎn)大于自己倉庫的最大容量圖2-2 時(shí)庫存量及日損失費(fèi)隨時(shí)間的變化曲線如圖2-2所示，此時(shí)還要分三種情況考慮：I：，送貨到達(dá)時(shí)租借倉庫內(nèi)仍然存有商品，無缺貨；II：，送貨到達(dá)時(shí)租借倉庫內(nèi)已無存貯商品，而自己倉庫內(nèi)還存有部分商品，無缺貨；III：，送貨到達(dá)時(shí)租借倉庫和自己倉庫內(nèi)均空，有缺貨現(xiàn)象。下面分別加以推導(dǎo)這三種情況下總損失費(fèi)用表達(dá)式。I：由于分析過程與時(shí)相同，故

16、以下只給出計(jì)算表達(dá)式，而不給出推導(dǎo)過程。；：總的損失費(fèi)用為： （2-5）II：；： （2-6）III：；： （2-7）觀察三種情況下的總費(fèi)用的表達(dá)式，發(fā)現(xiàn)它們有共同的一項(xiàng)，其相同。對(duì)總費(fèi)用求其期望值得到如下： （2-8）其中，至此，一個(gè)周期內(nèi)總損失費(fèi)用的數(shù)學(xué)模型建立起來。要對(duì)總損失進(jìn)行評(píng)價(jià)，應(yīng)該取單位時(shí)間內(nèi)的平均總損失費(fèi)用，故有，表示單位時(shí)間內(nèi)總損失費(fèi)用的概率平均值，為上面所求一個(gè)周期內(nèi)的總損失費(fèi)用概率平均值，而周期取的是概率平均值，此處表示送貨時(shí)間的數(shù)值期望。訂貨點(diǎn)在之下和訂貨點(diǎn)在之上有不同的表達(dá)式。表達(dá)式中除，和外所有其他量均為已知定值。為一積分變量，若、確定，則通過積分可消去。而的概率密

17、度在具體的題目中可由多次訂送貨相關(guān)資料求得，在此視為已知量。這就說明，表達(dá)式中只有是變量，它的取值決定了總損失費(fèi)用的大小。確定了，總損失費(fèi)用就可以確定。得到一個(gè)目標(biāo)函數(shù)：（2-9）在此目標(biāo)函數(shù)中具有積分項(xiàng)，它是一個(gè)非線性目標(biāo)優(yōu)化模型。通過求解該優(yōu)化模型可得出的最優(yōu)解即最低訂貨點(diǎn)，它使得總損失費(fèi)用最小。至此，問題1得到解答。2.4單品種存貯問題的求解與結(jié)果1概率密度函數(shù)的確定：題中指出為隨機(jī)變量，沒有具體給出其變化規(guī)律，但在問題2中各個(gè)具體商品卻提供了一些滯后期的數(shù)據(jù)。通過這些數(shù)據(jù)，可以確定出的分布函數(shù)，即其概率密度函數(shù)。1）商品一：康師傅精裝巧碗香菇燉雞面統(tǒng)計(jì)連續(xù)的36次訂貨后到達(dá)時(shí)間天數(shù)紀(jì)錄

18、，得到表2-1。表2-1 商品一交貨時(shí)間X在不同時(shí)間點(diǎn)的概率分布時(shí)間/天01234567出現(xiàn)次數(shù)245155311概率5.56%11.11%13.89%41.67%13.89%8.33%2.78%2.78%采用SAS軟件對(duì)進(jìn)行正態(tài)分布的假設(shè)檢驗(yàn)，其結(jié)果如圖2-3和圖2-4所示。由QQ圖可見各點(diǎn)基本在直線附近，說明分布的正態(tài)性較好。利用統(tǒng)計(jì)學(xué)中的參數(shù)估計(jì)得知該樣本符合均值為2.9722，方差為1.521的正態(tài)分布。圖2-3 商品一交貨時(shí)間的概率密度圖圖2-4 驗(yàn)證商品一交貨時(shí)間是否正態(tài)分布的QQ圖2）商品二：心相印手帕紙統(tǒng)計(jì)連續(xù)的43次訂貨后到達(dá)時(shí)間天數(shù)紀(jì)錄，得到表2-2。表2-2商品二交貨時(shí)間

19、x在不同時(shí)間點(diǎn)的概率分布時(shí)間天數(shù)12345出現(xiàn)次數(shù)2231251概率4.65%53.49%27.91%11.63%2.33%由QQ圖可知商品二的交貨時(shí)間服從威布爾分布。其密度分布函數(shù)，由最大似然估計(jì)確定Welbull分布參數(shù)a=0.0380 ，b=3.1434。圖2-5 商品二交貨時(shí)間的概率密度圖圖2-6 驗(yàn)證商品二交貨時(shí)間是否威布爾分布的QQ圖3）商品三：中匯香米5KG裝表2-3商品三交貨時(shí)間x在不同時(shí)間點(diǎn)的概率分布時(shí)間天數(shù)123456出現(xiàn)次數(shù)27208321概率44.26%32.79%27.91%13.11%3.28%1.64%采用與（2）相同的方法得到圖2-7和2-8，圖2-8QQ圖可知

20、商品三的交貨時(shí)間也服從威布爾分布，其分布參數(shù)為a= 0.2312 ，b= 1.8424。圖2-7商品三交貨時(shí)間的概率密度圖圖2-8 驗(yàn)證商品三交貨時(shí)間是否正態(tài)分布的QQ圖2求解方法和結(jié)果：該問題是一個(gè)比較復(fù)雜的單變量求極值的問題，因?yàn)楹袕?fù)雜而繁瑣的積分項(xiàng)，常用的通過求導(dǎo)找解析解的方法就難以適用。對(duì)于問題2中給出的具體問題，由于數(shù)據(jù)取值均不大，可以采用遍歷搜索方法。從=0開始直至=，依次得出不同值下的總損失費(fèi)用，比較選出其中最小值即為最低總損失費(fèi)用，此時(shí)對(duì)應(yīng)的即為最低訂貨點(diǎn)。另外，從優(yōu)化角度看，本題屬于非線性優(yōu)化問題，也可從利用matlab中的相關(guān)函數(shù)，將上面列出的目標(biāo)函數(shù)及其約束條件代入求解

21、。表2-4中列出了三種商品在采用遍歷搜索和優(yōu)化方法求解的結(jié)果?？梢钥闯鰞烧呦嗖畈淮?，但優(yōu)化方法能找到更精確的解。在附表中給出了遍歷搜索的過程。表2-4 題目2的求解結(jié)果遍歷搜索方法優(yōu)化方法訂貨點(diǎn)周期日平均損失費(fèi)訂貨點(diǎn)周期日平均損失費(fèi)康師傅444.30563.389743.99664.30563.3897心相印443.60164.346944.47473.56994.3459中匯香米352.200811.358235.15352.193111.35803 多品種存貯問題 3.1符號(hào)約定：商品種類；：第種商品的銷售速率（），；：第種商品單個(gè)商品的體積（）；：體積的銷售速率（），;：每次進(jìn)貨的定貨費(fèi)

22、（元）；：使用自己倉庫存貯時(shí)，第種商品每天的存貯費(fèi)（），；：租借倉庫存貯時(shí)，第種商品每天的存貯費(fèi)（），；：缺貨時(shí)第種商品的損失為（），；：每次訂貨后交貨的滯后時(shí)間為（天）；：的概率密度函數(shù)；：自己倉庫最大容量（）；：自己倉庫用于存貯第種商品的最大容量（），；：商品存貯量達(dá)到的固定值（）；：第種商品訂貨到達(dá)時(shí)存貯量達(dá)到的固定值（），；：訂貨點(diǎn)（）；：達(dá)到訂貨點(diǎn)時(shí)每種商品的庫存量（），；：總?cè)站鶕p失費(fèi)用；：每種商品的日均損失費(fèi)用， ；3.2多品種存貯問題的分析和建模1 問題分析和模型建立同第一題中的分析，這里仍然認(rèn)為時(shí)間和庫存量都是連續(xù)的變量?？倱p失費(fèi)用最低等價(jià)于單位時(shí)間（即天）的平均損失費(fèi)用（即

23、日均損失費(fèi)用）最低。當(dāng)有種商品同時(shí)訂貨時(shí)，單獨(dú)看每種商品的進(jìn)貨、存貯、銷售、訂貨、缺貨流程和第一題中建立的模型是相同的，故當(dāng)和時(shí)，的表達(dá)式推導(dǎo)過程與單品種模型中完全相同，這里就不再做討論了。在第一題中不會(huì)出現(xiàn)商品缺貨了還沒有訂貨的情況，同理在這個(gè)問題中也不會(huì)出現(xiàn)種商品都缺貨了還沒有訂貨的情況。但是也有兩點(diǎn)不同：1）這里的存貯費(fèi)用和缺貨費(fèi)用都是按體積衡量的，而不是按袋（盒）。2）在這里由于目標(biāo)函數(shù)是多種商品的費(fèi)用總和的平均，要進(jìn)行總體的規(guī)劃使總費(fèi)用最小，當(dāng)某種商品的缺貨費(fèi)用較低時(shí)也可能出現(xiàn)這種商品已經(jīng)缺貨，但別的商品仍在銷售，訂貨還沒有發(fā)出。即相對(duì)于第一題的模型，不僅可能出現(xiàn)，的情況，還可能出現(xiàn)

24、的情況。類似于第一題，作圖進(jìn)行分析: 圖3-1 物品庫存量及日損失費(fèi)隨時(shí)間的變化曲線上圖3-1是一個(gè)周期內(nèi)物品庫存量和損失費(fèi)用變化速率隨時(shí)間的變化曲線。對(duì)應(yīng)租借倉庫的貨恰銷售完，而自己倉庫庫存為的時(shí)刻；對(duì)應(yīng)物品存貯貨物全部售完的時(shí)刻；為總庫存降至訂貨點(diǎn)，發(fā)出訂貨單的時(shí)刻；為訂貨到達(dá)的時(shí)刻。在整個(gè)周期內(nèi)，庫存量以速率減少。在段內(nèi)，物品保持缺貨狀態(tài)，但是訂貨單未發(fā)出。段長度為滯后期。設(shè)，即從0時(shí)刻開始至發(fā)出訂貨單經(jīng)歷了時(shí)間。這一時(shí)間可由訂貨點(diǎn)不為0的物品求出。設(shè)物品有，則。A點(diǎn)日損失費(fèi)為，B點(diǎn)為，C點(diǎn)為0，D點(diǎn)。與單物品存貯模型相同方法分析，算得：則時(shí)，在一個(gè)周期內(nèi)的總損失費(fèi)用為： （3-1）這里

25、沒有把訂貨費(fèi)用寫進(jìn)，這是因?yàn)檫@種商品只付一次訂貨費(fèi)用就可以了。這樣對(duì)第種商品，在一個(gè)周期內(nèi)的平均每天損失費(fèi)用為 （3-2）其中：下標(biāo)區(qū)分不同的商品種類，上標(biāo)區(qū)分的不同取值范圍,前兩種情形下的計(jì)算式完全類似于第一題中得到的計(jì)算式，且有： 。，得到這種商品平均損失費(fèi)用為 （3-3）對(duì)的說明：記維向量，則的表達(dá)式與每一個(gè)分量的取值范圍都有關(guān)。其中每一個(gè)的取值范圍都有三種，根據(jù)排列組合理論的取值范圍有種，再減掉同時(shí)為0，即同時(shí)賣完貨時(shí)才訂貨的那種可能性，的表達(dá)式共有種可能。不同的表達(dá)式對(duì)應(yīng)的取值范圍不同，這種可能涵蓋了所有的取值。在的每一個(gè)取值范圍內(nèi)即的表達(dá)式是確定的，即是一個(gè)分段函數(shù)，它的表達(dá)式具體

26、寫出為： （3-4）其中，代表周期平均值，()的表達(dá)式見式（3-2）。得到了目標(biāo)函數(shù)，再加上根據(jù)題意得到的各個(gè)變量約束條件，則可以得到一個(gè)多變量的最優(yōu)化問題： （3-5）2 對(duì)于上述最優(yōu)化問題自由變量個(gè)數(shù)的討論 在上述最有化問題中，目標(biāo)函數(shù)中含有個(gè)變量，。它們有隱含的互相決定關(guān)系。比如當(dāng)確定，確定時(shí)（個(gè)變量），所有的就是唯一確定的。這是因?yàn)楦鞣N商品的最初存貯體積確定，體積銷售速率已知，則每種商品的存貯量變化曲線是確定的，則總存貯量的變化曲線也是確定的（把各種商品的銷售曲線按相同時(shí)間點(diǎn)相加即可），則唯一地對(duì)應(yīng)于一個(gè)時(shí)刻，在每一種商品的銷售曲線上，對(duì)應(yīng)的存貯量就是。當(dāng)自己倉庫的存貯量（個(gè)變量）也確

27、定時(shí)，目標(biāo)函數(shù)的值即日均損失費(fèi)用也就確定了。即自由變量為個(gè)。再根據(jù)模型中還有兩個(gè)等式約束，得到所建立的最優(yōu)化模型的目標(biāo)函數(shù)的自由變量為個(gè)。3 模型的求解思路解法一：用現(xiàn)成軟件的帶約束最優(yōu)化函數(shù)求解上面的最優(yōu)化模型，因?yàn)閷?shí)際上商品的體積是離散的，不可能有半個(gè)商品出現(xiàn)，還需要再將得到的最優(yōu)解轉(zhuǎn)換為相應(yīng)的離散最優(yōu)解。解法二：分別寫出每一個(gè)取值范圍上的的表達(dá)式，和相應(yīng)的約束條件。選取合適的個(gè)變量目標(biāo)函數(shù)分別對(duì)它們求偏導(dǎo)，令結(jié)果為0，則可以解出此范圍內(nèi)使最小的解。將所有種情形都求解之后，進(jìn)行比較，最小的值對(duì)應(yīng)的就是這個(gè)問題的最優(yōu)解。但是這種方法只適用于取值小而且密度函數(shù)的表示比較簡單的情形。3.4多品種

28、存貯問題的求解與結(jié)果可以利用以上建立的多品種存貯模型來求解具體的問題。下面將對(duì)問題4進(jìn)行求解。1 具體問題的分析及模型簡化針對(duì)題目四提供的相關(guān)數(shù)據(jù)，分析得到下表 所示的三重商品各類費(fèi)用比較?？梢钥闯鋈魏我环N商品的缺貨費(fèi)用都遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于其他費(fèi)用。如果某種商品出現(xiàn)了缺貨，缺貨費(fèi)的增加是其他存儲(chǔ)費(fèi)的減少所不能抵消的；另一方面，缺貨的出現(xiàn)會(huì)使銷售周期增大，日平均訂貨費(fèi)用會(huì)相應(yīng)減少，但是本題中一次訂貨、也就是一個(gè)周期內(nèi)的訂貨費(fèi)用為10元，故日平均訂貨費(fèi)用的減少也遠(yuǎn)不足以抵消缺貨費(fèi)的增加。也就是說，本題中要實(shí)現(xiàn)總損失費(fèi)用降低，在訂貨時(shí)各種商品都要有一定量的存儲(chǔ)，也即訂貨點(diǎn)都大于0。表3-1三種商品單位時(shí)間內(nèi)各

29、類費(fèi)用的比較商品（元/日）（元/日）（元/日）康師傅面0.240.1211.4心相印手帕紙0.450.1522.5中匯香米1.61.225另外，如前面分析，3種商品有23-1=5個(gè)自由變量。這里取為、，其他的參數(shù)可以通過這5個(gè)自由變量求取：記訂貨時(shí)，各產(chǎn)品已銷售的時(shí)間為，易知，。將、代入式（3-2）得到商品一的損失費(fèi)用，同理可得商品二、三的損失費(fèi)用、，至此得到數(shù)學(xué)模型如下：(，) （3-6）2 滯后期概率密度題中指出滯后期服從在1天到3天之間的均勻分布，我們采用連續(xù)的方法來處理問題，認(rèn)為的取值在1天至3天內(nèi)是連續(xù)的。在下圖給出了取1天至3天的概率密度，01之間表示1天，12表示2天，23表示3

30、天。圖3-2 滯后期的概率密度曲線寫成表達(dá)式為：3 求解結(jié)果Matlab優(yōu)化工具箱中有函數(shù)fmincon，它可以用于求解非線性帶約束條件最優(yōu)化問題。對(duì)于問題3中建立起來的模型，將問題4中給出的具體數(shù)據(jù)帶入，調(diào)用此函數(shù)得到的結(jié)果如下。表3-2尋優(yōu)結(jié)果（單位：）商品康師傅面1.45161.37172.0334心相印手帕紙1.42951.36712.0114中匯香米4.01533.26145.9552總計(jì)6.8967610從表中看出，各個(gè)量的取值均精確到了小數(shù)點(diǎn)后四位，而、，、應(yīng)為的整數(shù)倍。所以要把表格中的各值調(diào)整到相應(yīng)的整數(shù)倍。于是得到表3-3。表3-3調(diào)整結(jié)果（單位：）商品康師傅面1.451.4

31、02.00心相印手帕紙1.441.402.00中匯香米4.03.26.0總計(jì)6.89610表中數(shù)據(jù)雖然不是數(shù)值上的最優(yōu)解，但是符合實(shí)際情況，是最貼近最優(yōu)數(shù)值解的真實(shí)解?？梢姡顑?yōu)訂貨點(diǎn)為，中匯香米的存貯體積要比其他商品大，這是因?yàn)樗膯挝簧唐敷w積最大，而銷售速率最高。另外算得相應(yīng)的最低日平均損失為4.18元/日。3.5多品種存貯問題的最優(yōu)性原理的提出和應(yīng)用1 原理的提出和證明借鑒控制論中的最優(yōu)性原理的想法，我們提出如下最優(yōu)性原理：若模型中有一個(gè)局部的小模型，它含有個(gè)變量，是原模型所含個(gè)變量的一部分。且局部模型的變量取值對(duì)模型的其他部分無影響，則原模型的最優(yōu)解必定是局部模型的最優(yōu)解。證明：反證法

32、記為原模型的目標(biāo)函數(shù)，最優(yōu)解使取最小值。為局部模型的目標(biāo)函數(shù)，M為模型其他部分，它的值由最優(yōu)解中另外個(gè)變量決定，對(duì)它沒有影響。若原模型的最優(yōu)解的一部分，不是小模型的最優(yōu)解，則求解小模型得到一個(gè)最優(yōu)解滿足：則這個(gè)結(jié)果與是最優(yōu)解矛盾。故定理成立。根據(jù)題意，我們想找到與其他部分的費(fèi)用無關(guān)的局部模型，那么得到的最優(yōu)解必定也是使這個(gè)局部模型費(fèi)用最低的最優(yōu)解?？紤]當(dāng)模型符合在貨物送達(dá)時(shí)租借倉庫的產(chǎn)品已經(jīng)全部賣完的特定情形下，這時(shí)租借倉庫中各種貨物所占的體積除了對(duì)租借倉庫比用自己的倉庫多花的那部分貯存費(fèi)有影響之外，對(duì)其他的費(fèi)用都沒有影響。從現(xiàn)實(shí)意義上理解這主要是因?yàn)槎嗷ǖ哪遣糠仲M(fèi)用相當(dāng)于用自己的倉庫免費(fèi)、租

33、倉庫的費(fèi)率為時(shí)，存貯需要花的錢。在我們的前提假設(shè)下當(dāng)商品總量一定時(shí)貯存在那個(gè)倉庫對(duì)于銷售，缺貨等流程完全沒有影響。即這部分的費(fèi)用與其他部分的費(fèi)用是獨(dú)立的。應(yīng)用上面提出的最優(yōu)性原理，得到（3-2）的最優(yōu)解應(yīng)使 ， （3-7）也取最小值。將約束條件代入（3-2）式，則（3-2）式中含有個(gè)變量，分別對(duì)它們求偏導(dǎo)數(shù)可以得到個(gè)線性方程，解之就可以求得。2 最優(yōu)性原理的應(yīng)用1） 在滿足原理前提條件時(shí)，和可以相互決定，自由變量減少個(gè)。2） 對(duì)結(jié)果的驗(yàn)證：在第四題中用計(jì)算機(jī)程序求解得到的值為6.4254，即訂貨在租借倉庫內(nèi)的商品將要賣完時(shí)發(fā)出，而到貨時(shí)間服從1天到3天的均勻分布，我們計(jì)算時(shí)將這段時(shí)間連續(xù)化為天

34、。所以基本符合租借倉庫的商品賣完之后貨才送到的前提。將第四題中數(shù)據(jù)帶入(3-7)式中求導(dǎo)之后解線性方程可得最優(yōu)解應(yīng)當(dāng)基本滿足如下一組關(guān)系式：，列表比較如下：表3-4：在最優(yōu)方案中租借倉庫存貯量計(jì)算值和驗(yàn)證值的比較商品種類康師傅心相印中匯香米計(jì)算值0.71090.69892.5901驗(yàn)證值0.77920.62342.5974計(jì)算值與驗(yàn)證值之間稍有差別，這是因?yàn)檫@是一個(gè)隨機(jī)模型，計(jì)算滯后時(shí)間時(shí)是從0開始取的，模型有大約3%的概率不符合原理的前提。兩組數(shù)據(jù)基本相符，這從另外一方面說明了本模型的計(jì)算結(jié)果是比較可信的。4進(jìn)一步討論對(duì)于問題5將進(jìn)行討論。題中對(duì)于銷售速率、訂貨費(fèi)用、存貯費(fèi)用、缺貨費(fèi)用等假定

35、是固定的，這些都是做了一定的簡化。而實(shí)際的情況要復(fù)雜的多。以銷售速率為例，題中假設(shè)銷售速率固定，即單位時(shí)間內(nèi)銷售量不改變。而顯見的，在實(shí)際當(dāng)中，銷售情況不可能時(shí)時(shí)一樣，而是要變化三的。只能說它是以某個(gè)規(guī)律、某個(gè)分布函數(shù)隨機(jī)變化的。這一分布函數(shù)可以由商家在此前統(tǒng)計(jì)的資料進(jìn)行分析確定。假定銷售速率取值的概率密度函數(shù)為，的出現(xiàn)增加了問題的復(fù)雜度。在單品種存貯模型中，建立總損失費(fèi)用的模型為：取的是對(duì)的概率平均值，在考慮銷售速率的隨機(jī)性后，還應(yīng)該對(duì)取上的概率平均值，可得到：（3-8）至此得到考慮了銷售速率隨機(jī)性的總損失費(fèi)用模型：（3-9）同樣，多品種存貯模型里也可如上考慮。要取求得的總損失費(fèi)用在上的概率

36、平均值，這才是最終的目標(biāo)函數(shù)。求出的總損失費(fèi)用是單位時(shí)間內(nèi)的平均值，它是長時(shí)間內(nèi)該值的一個(gè)趨勢(shì)。而實(shí)際的，隨著時(shí)間的變化，總損失費(fèi)用是要發(fā)生變化的。商品的滯后期和銷售速率都是隨機(jī)變量，因此有可能隨著時(shí)間增加，模型變得偏離實(shí)際情況。此時(shí)就要對(duì)模型進(jìn)行修正。于是，在經(jīng)過某段時(shí)間后，商家應(yīng)根據(jù)此前搜集的各個(gè)變量的數(shù)據(jù)對(duì)模型進(jìn)行調(diào)整。按照問題1、3的方法，重新確定例如變量、的概率密度函數(shù)。再將其帶入目標(biāo)函數(shù)中對(duì)模型求解，得出新的訂貨點(diǎn)。銷售速率改變時(shí)，商品的最大存貯量也應(yīng)隨之改變。銷售速率大時(shí)，應(yīng)多存一些以備需求；銷售速率小時(shí)，應(yīng)少存一些以避免不必要的存貯費(fèi)。即存貯量要根據(jù)需求來確定。由商家的資料，可

37、以得到銷售速率關(guān)于時(shí)間的函數(shù)，利用可以對(duì)接下來一個(gè)周期內(nèi)商品最大存貯量進(jìn)行預(yù)測(cè)?？紤]單品種模型。設(shè)、為接下來一個(gè)周期的起點(diǎn)和終點(diǎn)時(shí)刻，在上對(duì)進(jìn)行積分，該積分值就是預(yù)測(cè)的下一周期的最大存貯量，即。需要說明的是，此處取周期是一個(gè)概率平均值，隨著、的變化，也要不時(shí)地進(jìn)行調(diào)整修正。5模型評(píng)價(jià)文中建立了倉庫容量有限條件下單品種隨機(jī)存貯模型和多品種隨機(jī)存貯模型。時(shí)間變量的連續(xù)化更合理地反映了實(shí)際情況。單品種問題建模時(shí)對(duì)總損失費(fèi)用取滯后時(shí)間的概率平均值，比較合理地描述了隨機(jī)存貯模型。多品種問題建模時(shí)采用分情況討論的方法把單品種模型作了推廣，并討論了目標(biāo)函數(shù)中自由變量的個(gè)數(shù)，使復(fù)雜模型清晰化，建模過程簡潔，求

38、解方便。模型的穩(wěn)定性好，實(shí)用性強(qiáng)。本模型的缺點(diǎn)是由于樣本點(diǎn)的取值比較少，概率分布密度函數(shù)估計(jì)的不夠精確，這可能會(huì)對(duì)求解結(jié)果造成比較大的影響。參考文獻(xiàn)1黃潔綱，存貯論原理及其應(yīng)用，上?？茖W(xué)技術(shù)文獻(xiàn)出版社，19842胡運(yùn)權(quán)，運(yùn)籌學(xué)基礎(chǔ)及應(yīng)用，哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社，20023韓宇鑫 孫暉 楊青雙，瞬時(shí)進(jìn)貨、允許缺貨的租賃庫存系統(tǒng)存貯模型，遼寧工學(xué)院學(xué)報(bào)，23:2，20034邢繼祥 張春蕊 徐洪澤，最優(yōu)控制應(yīng)用基礎(chǔ)，科學(xué)出版社，2003附表1 對(duì)康師傅面進(jìn)行L的遍歷搜索結(jié)果12345677.88897.80567.72227.63897.55567.47227.38899.14378.89318.64

39、708.40548.16867.93667.70958910111213147.30567.22227.13897.05566.97226.88896.80567.48757.27057.05886.85236.65136.45586.2658151617181920216.72226.63896.55566.47226.38896.30566.22226.08165.90305.73035.56355.40265.24775.0989222324252627286.13896.05565.97225.88895.80565.72225.63894.95624.81964.68924.5650

40、4.44704.33534.2297293031323334355.55565.47225.38895.30565.22225.13895.05564.13044.03743.95053.86973.79523.72673.6643363738394041424.97224.88894.80564.72224.63894.55564.47223.60793.55743.51293.47423.44143.41093.3914434445464748494.38894.30564.22224.13894.05563.97223.88893.39043.38973.39213.39393.4178

41、3.45253.4990505152535455563.80563.72223.63893.55563.47223.38893.30563.55863.63253.72223.82953.95624.10444.2765575859603.22223.13893.05562.97224.47524.70344.96435.2615附表2 對(duì)心相印面進(jìn)行L的遍歷搜索結(jié)果12345676.46826.40166.33496.26826.20166.13496.068214.053713.630013.213312.803612.401212.006411.61938910111213146.001

42、65.93495.86825.80165.73495.66825.601611.240310.869510.507110.15359.80889.47349.1474151617181920215.53495.46825.40165.33495.26825.20165.13498.83108.52458.22817.94207.66637.40137.1471222324252627285.06825.00164.93494.86824.80164.73494.66826.90396.67176.45086.24116.04275.85585.6802293031323334354.60164

43、.53494.46824.40164.33494.26824.20165.51605.36325.22175.09144.97224.86414.7668363738394041424.13494.06824.00163.93493.86823.80163.73494.68014.60404.53814.48234.43634.39994.3728434445464748493.66823.60163.53493.46823.40163.33493.26824.35494.34694.34734.35584.37474.40354.4428505152535455563.20163.13493

44、.06823.00162.93492.86822.80164.49324.55594.63204.72304.83074.95715.1046575859602.73492.66822.60162.53495.27605.47445.70345.9670附表3：對(duì)中匯香米進(jìn)行L的遍歷搜索結(jié)果12345673.90083.85083.80083.75083.70083.65083.600818.892018.523718.162117.807417.459817.119416.78658910111213143.55083.50083.45083.40083.35083.30083.250816

45、.461216.143715.834115.532615.239314.954314.6777151617181920213.20083.15083.10083.05083.00082.95082.900814.409814.150513.900013.658413.425713.202212.9879222324252627282.85082.80082.75082.70082.65082.60082.550812.783412.589312.406112.234412.075011.928411.7953293031323334352.50082.45082.40082.35082.30082.25082.200811.676611.573011.485411.414711.361811.327811.358236373839402.15082.10082.05082.00081.950811.321111.350911.404711.483911.5902