《新版高中數學北師大版必修四教學案:第三章 167;3 第2課時 半角公式及其應用 Word版含答案》由會員分享,可在線閱讀,更多相關《新版高中數學北師大版必修四教學案:第三章 167;3 第2課時 半角公式及其應用 Word版含答案(13頁珍藏版)》請在裝配圖網上搜索。
1、新版數學北師大版精品資料
第2課時 半角公式及其應用
[核心必知]
正弦、余弦和正切的半角公式
半角的正弦公式
sin =±_
半角的余弦公式
cos =±_
半角的正切公式
tan =±==
[問題思考]
1.半角公式適用條件是什么?
提示:cos =± ,sin =± 中,α∈R,tan =± =中, α≠2kπ+π,k∈Z,tan =中,α≠kπ,k∈Z.
2.半角正切公式中的三個公式各有什么優(yōu)缺點?
提示:無理式公式的優(yōu)點是只含一個函數cos α,缺點是含有“±”號,需判斷所在的象限來確定tan 的正負;有理式公式的優(yōu)點是不用判斷
2、所在的象限,缺點是需知道sin α,cos α兩個函數的值才能計算.
講一講
1.已知cos α=,α為第四象限的角,求tan 的值.
[嘗試解答] 法一:(用tan =± 來處理).
∵α為第四象限的角,∴是第二或第四象限的角.
∴tan <0.
∴tan =- =- =-
=-
=-
=.
法二:(用tan =來處理)
∵α為第四象限的角,
∴sin α<0.
∴sin α=- =- =-.
∴tan ===.
法三:(用tan =來處理)
∵α為第四象限的角,
∴sin α<0.
∴sin α=- =-=-.
∴tan ==
=
3、=.
在求半角的正切tan 時,用tan =± 來處理,要由α所在的象限確定所在的象限,再用三角函數值的符號取舍根號前的雙重符號;而用tan =或tan =來處理,可以避免這些問題.尤其是tan =,分母是單項式,容易計算.因此常用tan =求半角的正切值.
練一練
1.已知sin α=-,180°<α<270°,求sin ,cos ,tan 的值.
解:∵180°<α<270°,∴90°<<135°.
又∵sin α=-,∴cos α=-.
∴sin = = =.
cos =- = =-.
tan ==-2.
講一講
2.設α∈(,2π),化簡:
4、.
[嘗試解答] ∵α∈,
∴cos α>0,cos <0.
故原式=
=
==|cos |
=-cos .
利用半角公式進行化簡時,應正確選用升、降冪公式:當待化簡式中含有根式時,應選用升冪公式(cos 2α=1-2sin2α=2cos2α-1)去根號;當待化簡式中含有高次式時,應選用降冪公式(sin2α=,cos2α=)降低次數以減少運算量,注意隱含條件中角的范圍.
練一練
2.化簡:(1+tan xtan ).
解:原式=(1+·)
=sin x(1+)
=sin x=tan x.
講一講
3.求證:=sin 2α.
[嘗試解答] 左邊
5、=
==
=sin αcos α=sin 2α= 右邊.
1.證明三角恒等式的實質是消除等式兩邊的差異,有目的地化繁為簡、左右歸一或變更論證.
2.常用定義法、化弦法、化切法、拆項拆角法、“1”的代換法、公式變形法,要熟練掌握基本公式,善于從中選擇巧妙簡捷的方法.
3.證明條件三角恒等式,首先應觀察條件與結論之間的差異(三角函數名及結構),從解決某一差異入手,采用條件轉化法或條件代入法.
練一練
3.求證:sin2-1=-.
證明:由sin =± ,
知sin =± ,
∴sin2=,
∴sin2-1=-1
=-,
原等式得證.
化簡:(90°
6、<α<180°).
[錯解] ∴α是第二象限角,
∴原式=
=
=
=cos α.
[錯因] 錯解中把α的范圍錯誤地當作的范圍,從而判斷cos 的符號時出現錯誤.
[正解] 原式=
=
=.
又∵90°<α<180°,
∴45°<<90°,
∴cos >0,
∴原式==-cos α.
1.tan 15°等于( )
A.2+ B.2-
C.+1 D.-1
解析:選B tan 15°=tan==2-.
2.設α∈(π,2π),則 等于( )
A.sin B.cos
7、
C.-sin D.-cos
解析:選D ∵α∈(π,2π),∴<<π.∴cos <0.
∴原式= =|cos |=-cos .
3.已知sin 2θ=,θ∈(0,),則tan θ等于( )
A. B.或
C. D.
解析:選C ∵0<θ<∴0<2θ<.
∴cos 2θ= = =.
∴tan θ===.
4.已知cos α=,270°<α<360°,那么cos 的值為________.
解析:∵270°<α<360°,∴135°<<180°,
∴cos <0.
∴cos =- =- =-.
答案: -
5.已知sin θ=且π<θ<3π,則tan =
8、________.
解析:∵<θ<3π,
∴cos θ=-,
又∵<<π,
∴tan = = =2.
答案:2
6.計算:tan +.
解:tan +=+
=+=+2+
=1++.
一、選擇題
1.已知tan =3,則cos α為( )
A. B.-
C. D.-
解析:選B 法一:cos α=cos2-sin2====-.
法二:∵tan =3,∴=9,
即1-cos α=9+9cos α,解得cos α=-.
2.已知α為第三象限角,且sin α=-,則tan 等于( )
A.
9、 B.
C.- D.-
解析:選C ∵α為第三象限角,
∴cos α=-=- =-,
tan ===-.
3.設a=cos 6°-sin 6°,
b=,c= 則有( )
A.a>b>c B.a
10、α
C.-sin 2α D.2sin 2α
解析:選B 原式=4cos2α
=2cos2αtan α=2cos2α
=2sin αcos α=sin 2α.
二、填空題
5.計算:sin =________.
解析:sin = = =.
答案:
6.在△ABC中,若cos A=,則sin2+cos 2A的值為________.
解析:∵cos A=,
∴原式=cos2+cos 2A
=+2cos2A-1
=+2×()2-1=-.
答案:-
7.化簡:·=________.
解析:原式=·
=·2tan 2α
=×2t
11、an 2α
=tan 2α.
答案:tan 2α
8.已知sin -cos =-,若450°<α<540°,則tan =________.
解析:由條件知1-2sin cos =,
∴2sin cos =,即sin α=
又450°<α<540°,cos α<0,
∴cos α=-.
tan ===2.
答案:2
三、解答題
9.求值:-sin 10°(-tan 5°).
解:原式=-sin 10°(-)
=-sin 10°
=-2cos 10°
=
=
=
=cos 30°=.
10.已知函數y=cos2x+sin xcos x+1(x∈R),求函數的最大值及對應自變量x的集合.
解:y=cos2x+sin xcos x+1
=cos 2x+sin 2x+
=sin(2x+)+,
y取最大值,只需2x+
=+2kπ(k∈Z),
即x=kπ+(k∈Z).
∴ymax=.
∴當函數y取最大值時,自變量x的集合為
.