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1、章末歸納總結(jié)章末歸納總結(jié) 導數(shù)是微積分的初步知識，是研究函數(shù)，解決實際問題的有力工具 1導數(shù)的應用主要有以下幾個方面： (1)利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求單調(diào)區(qū)間； (2)利用導數(shù)求函數(shù)的極值和最值； (3)利用導數(shù)研究函數(shù)、方程、不等式和曲線切線問題； (4)利用導數(shù)研究實際問題 利用導數(shù)刻畫函數(shù)的方法比初等方法精確細微；利用導數(shù)可用于研究平面曲線的切線；在實際問題中，主要是利用導數(shù)求實際問題的最大(小)值，將實際問題數(shù)學化后，常見的情形是，該數(shù)學問題用初等方法求解往往技巧性要求較高，而用導數(shù)方法則顯得簡便 另外，導數(shù)與解析幾何或函數(shù)圖象的混合問題是一種重要類型高考中常用這種題目考查學生的綜
2、合能力 1應熟練掌握導數(shù)的四則運算法則 2熟練掌握導數(shù)在常見問題中的一般方法，這是正確解題的關(guān)鍵 2導數(shù)的意義 (1)幾何意義：函數(shù)yf(x)在點x0處的導數(shù)f(x0)就是曲線yf(x)在點P(x0，f(x0)處的切線的斜率k，即kf(x0) (2)物理意義：函數(shù)ss(t)在點t處的導數(shù)s(t)，就是當物體的運動方程為ss(t)時，物體運動在時刻t時的瞬時速度v，即vs(t)而函數(shù)vv(t)在t處的導數(shù)v(t)，就是物體運動在時刻t時的瞬時加速度a，即av(t) 答案4xy40 用導數(shù)解決不等式問題是指運用導數(shù)求解不等式、比較大小、證明不等式等；用導數(shù)研究方程問題，主要是指根據(jù)方程構(gòu)造函數(shù)，然
3、后利用導數(shù)，研究得到函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值，從而結(jié)合函數(shù)圖象來研究方程的根的個數(shù)、大小等問題這是導數(shù)的重要應用之一，也是高考的重點和熱點內(nèi)容 xx0是其方程的唯一實數(shù)根 即方程f(x)g(x)3在區(qū)間1，)上恰有一個實數(shù)根 利用導數(shù)研究函數(shù)的極大(小)值，函數(shù)在閉區(qū)間a，b上的最大(小)值是本章的重點，求函數(shù)的最大值和最小值需要先確定函數(shù)的極大值和極小值，因此，求函數(shù)的極值是關(guān)鍵 求函數(shù)極值的一般步驟： (1)確定函數(shù)的定義域； (2)求方程f(x)0的根； (3)用方程f(x)0的根，順次將函數(shù)的定義域分成若干個開區(qū)間，并判斷f(x)在各區(qū)間的符號； (4)結(jié)合f(x)在方程f(x)0的根
4、左右兩側(cè)的符號，來判斷f(x)在這個根處取極值的情況，并求出這個極值 (2010安徽理，17)設(shè)a為實數(shù)，函數(shù)f(x)ex2x2a，xR. (1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間及極值； (2)求證：當aln21且x0時，exx22ax1. 解析本題考查導數(shù)的運算，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求函數(shù)的極值和證明函數(shù)不等式，考查運算能力、綜合分析和解決問題的能力 解題思路是：(1)利用導數(shù)的符號判定函數(shù)的單調(diào)性，進而求出函數(shù)的極值(2)將不等式轉(zhuǎn)化構(gòu)造函數(shù)，再利用函數(shù)的單調(diào)性證明 (1)解：由f(x)ex2x2a，xR知f(x)ex2，xR. 令f(x)0，得xln2.于是當x變化時，f(x)，f(x)的變
5、化情況如下表：x(，ln2)ln2(ln2，)f(x)0f(x)單調(diào)遞減2(1ln2a)單調(diào)遞增 故f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(，ln2)，單調(diào)遞增區(qū)間是(ln2，)， f(x)在xln2處取得極小值，極小值為f(ln2)eln22ln22a2(1ln2a) (2)證明：設(shè)g(x)exx22ax1，xR，于是g(x)ex2x2a，xR. 由(1)知當aln21時，g(x)最小值為g(ln2)2(1ln2a)0. 于是對任意xR，都有g(shù)(x)0，所以g(x)在R內(nèi)單調(diào)遞增 于是當aln21時，對任意x(0，)，都有g(shù)(x)g(0) 而g(0)0，從而對任意x(0，)，g(x)0. 即exx22ax10，故exx22ax1.
高中數(shù)學 3章末課件 新人教B版選修1
