高等數(shù)學上冊教案[共91頁]

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1、高等數(shù)學教案一、課程的性質(zhì)與任務(wù)高等數(shù)學是計算機科學與技術(shù)；信息管理與信息系統(tǒng)兩個專業(yè)的一門重要的基礎(chǔ)理論課，通過本課程的學習，也是該專業(yè)的核心課程。要使學生獲得“向量代數(shù)”與“空間解析幾何”，“微積分”，“常微分方程與無窮級數(shù)”等方面的基本概論、基本理論與基本運算；同時要通過各個教學環(huán)節(jié)逐步培訓(xùn)學生的抽象概括能力、邏輯推理能力、空間想象能力和自學能力。在傳授知識的同時，要著眼于提高學生的數(shù)學素質(zhì)，培養(yǎng)學生用數(shù)學的方法去解決實際問題的意識、興趣和能力。第一章：函數(shù)與極限教學目的與要求 18學時 1.解函數(shù)的概念，掌握函數(shù)的表示方法，并會建立簡單應(yīng)用問題中的函數(shù)關(guān)系式。2.解函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性

2、、周期性和有界性。3.理解復(fù)合函數(shù)及分段函數(shù)的概念，了解反函數(shù)及隱函數(shù)的概念。4.掌握基本初等函數(shù)的性質(zhì)及其圖形。5.理解極限的概念，理解函數(shù)左極限與右極限的概念，以及極限存在與左、右極限之間的關(guān)系。6.掌握極限的性質(zhì)及四則運算法則。7.了解極限存在的兩個準則，并會利用它們求極限，掌握利用兩個重要極限求極限的方法。8.理解無窮小、無窮大的概念，掌握無窮小的比較方法，會用等價無窮小求極限。9.理解函數(shù)連續(xù)性的概念（含左連續(xù)與右連續(xù)），會判別函數(shù)間斷點的類型。10.了解連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)和初等函數(shù)的連續(xù)性，了解閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并會應(yīng)用這些性質(zhì)。第一節(jié)：映

3、射與函數(shù)一、集合1、 集合概念具有某種特定性質(zhì)的事物的總體叫做集合。組成這個集合的事物稱為該集合的元素表示方法：用A，B，C，D表示集合；用a，b，c，d表示集合中的元素1)2)元素與集合的關(guān)系： 一個集合，若它只含有有限個元素，則稱為有限集；不是有限集的集合稱為無限集。常見的數(shù)集：N，Z，Q，R，N+元素與集合的關(guān)系： A、B是兩個集合，如果集合A的元素都是集合B的元素，則稱A是B的子集，記作。如果集合A與集合B互為子集，則稱A與B相等，記作若作且則稱A是B的真子集?？占?2、 集合的運算并集 ：交集 ： 差集 ：全集I 、E 補集： 集合的并、交、余運算滿足下列法則：交換律、 結(jié)合律、

4、分配律 對偶律 ( 笛卡兒積AB3、 區(qū)間和鄰域開區(qū)間 閉區(qū)間 半開半閉區(qū)間 有限、無限區(qū)間鄰域： a 鄰域的中心 鄰域的半徑 去心鄰域 左、右鄰域二、映射1. 映射概念定義 設(shè)X，Y是兩個非空集合，如果存在一個法則，使得對X中的每一個元素，按法則，在Y中有唯一確定的元素與之對應(yīng)，則稱為從X到Y(jié)的映射，記作 其中 稱為元素的像，并記作，即 注意：1）集合X；集合Y；對應(yīng)法則 2）每個X有唯一的像；每個Y的原像不唯一 3) 單射、滿射、雙射2、 映射、復(fù)合映射三、函數(shù)1、 函數(shù)的概念：定義：設(shè)數(shù)集，則稱映射為定義在D上的函數(shù) 記為 自變量、因變量、定義域、值域、函數(shù)值用、 函數(shù)相等：定義域、對應(yīng)

5、法則相等 自然定義函數(shù)；單值函數(shù)；多值函數(shù)、單值分枝. 例：) 2) 3) 符號函數(shù)4) 取整函數(shù) （階梯曲線）5) 分段函數(shù) 2、 函數(shù)的幾種特性1） 函數(shù)的有界性 (上界、下界；有界、無界)有界的充要條件：既有上界又有下界。注：不同函數(shù)、不同定義域，有界性變化。 2) 函數(shù)的單調(diào)性 （單增、單減）在x1、x2點比較函數(shù)值 與的大?。ㄗⅲ号c區(qū)間有關(guān)）3) 函數(shù)的奇偶性(定義域?qū)ΨQ、與關(guān)系決定) 圖形特點 (關(guān)于原點、Y軸對稱) 4)函數(shù)的周期性(定義域中成立：)3、 反函數(shù)與復(fù)合函數(shù) 反函數(shù)：函數(shù)是單射，則有逆映射，稱此映射為函數(shù)的反函數(shù)函數(shù)與反函數(shù)的圖像關(guān)于對稱 復(fù)合函數(shù)：函數(shù)定義域為D1

6、，函數(shù)在D上有定義、且。則為復(fù)合函數(shù)。(注意：構(gòu)成條件)4、 函數(shù)的運算 和、差、積、商(注：只有定義域相同的函數(shù)才能運算)5、 初等函數(shù)：1) 冪函數(shù)： 2)指數(shù)函數(shù)： 3) 對數(shù)函數(shù) 4)三角函數(shù) 5) 反三角函數(shù)， 以上五種函數(shù)為基本初等函數(shù) 6) 雙曲函數(shù) 注：雙曲函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性。雙曲函數(shù)公式反雙曲函數(shù)：作業(yè)： 同步練習冊練習一第二節(jié)：數(shù)列的極限一、數(shù)列 數(shù)列就是由數(shù)組成的序列。 1）這個序列中的每個數(shù)都編了號。2）序列中有無限多個成員。一般寫成：縮寫為例 1 數(shù)列是這樣一個數(shù)列，其中 ，也可寫為：可發(fā)現(xiàn)：這個數(shù)列有個趨勢，數(shù)值越來越小，無限接近0，記為1、 極限的定義：則稱數(shù)列

7、的極限為，記成 也可等價表述：1） 2）極限是數(shù)列中數(shù)的變化總趨勢，因此與數(shù)列中某個、前幾個的值沒有關(guān)系。二、收斂數(shù)列的性質(zhì)定理1：如果數(shù)列收斂，那么它的極限是唯一定理2 如果數(shù)列收斂，那么數(shù)列一定有界定理3：如果且a0(a0，當nN時，定理4、如果數(shù)列收斂于a那么它的任一子 數(shù)列也收斂,且收斂于a。第三節(jié)：函數(shù)的極限 一、極限的定義1、在點的極限1）可在函數(shù)的定義域內(nèi)，也可不在，不涉及在有沒有定義，以及函數(shù)值的大小。只要滿足：存在某個使：。2）如果自變量趨于時，相應(yīng)的函數(shù)值 有一個總趨勢-以某個實數(shù)為極限 ，則記為 ：。形式定義為： 注：左、右極限。單側(cè)極限、極限的關(guān)系2、的極限 設(shè)：如果當

8、時函數(shù)值 有一個總趨勢-該曲線有一條水平漸近線-則稱函數(shù)在無限遠點有極限。記為： 在無窮遠點的左右極限： 關(guān)系為：二、函數(shù)極限的性質(zhì)1、 極限的唯一性2、 函數(shù)極限的局部有界性3、 函數(shù)極限的局部保號性4、 函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系第四節(jié)：無窮小與無窮大一、無窮小定義定義：對一個數(shù)列，如果成立如下的命題： 則稱它為無窮小量，即注： 1、的意義；2、可寫成； 3、上述命題可翻譯成：對于任意小的正數(shù)，存在一個號碼N，使在這個號碼以后的所有的號碼，相應(yīng)的與極限0的距離比這個給定的還小。它是我們在直觀上對于一個數(shù)列趨于0的認識。定理1 在自變量的同一變化過程（或中，函數(shù)具有極限A的充分必要條件是，其中

9、是無窮小。二、無窮大定義 一個數(shù)列，如果成立：那么稱它為無窮大量。記成：。 特別地，如果，則稱為正無窮大，記成特別地，如果，則稱為負無窮大，記成注：無法區(qū)分正負無窮大時就籠統(tǒng)地稱之為無窮大量。三、無窮小和無窮大的關(guān)系定理2 在自變量的同一變化過程中，如果為無窮大，則為無窮?。环粗?，如果為無窮小，且則為無窮大即：非零的無窮小量與無窮大量是倒數(shù)關(guān)系：當時：有 注意是在自變量的同一個變化過程中第五節(jié)：極限運算法則1、無窮小的性質(zhì)設(shè)和是無窮小量于是：（1）兩個無窮小量的和差也是無窮小量： （2）對于任意常數(shù)C，數(shù)列也是無窮小量： （3）也是無窮小量，兩個無窮小量的積是一個無窮小量。 （4）也是無窮小量

10、： （5）無窮小與有界函數(shù)的積為無窮小。2、函數(shù)極限的四則運算1、 若函數(shù)和在點有極限，則2、 函數(shù)在點有極限，則對任何常數(shù)成立 3、若函數(shù)和在點有極限，則 3、 若函數(shù)和在點有極限，并且，則 極限的四則運算成立的條件是若函數(shù)和在點有極限例：求下述極限 4、 復(fù)合函數(shù)的極限運算法則定理6 設(shè)函數(shù)是由函數(shù)與復(fù)合而成，在點的 某去心鄰域內(nèi)有定義，若，且存在，當時，有，則第六節(jié)：極限存在準則 兩個重要極限 定理1 夾逼定理 ：三數(shù)列、和，如果從某個號碼起成立：1），并且已知和收斂， 2），則有結(jié)論： 定理2 單調(diào)有界數(shù)列一定收斂。 單調(diào)增加有上界的數(shù)列一定收斂；單調(diào)減少有下界的數(shù)列一定收斂。例：證明

11、：例： 證明：有界。求 的極限 第七節(jié)：無窮小的比較定義：若為無窮小且 高階、低階、同階、k階、等價 1、 若為等價無窮小則 2、 若 、且存在，則： 例： 第八節(jié)：函數(shù)的連續(xù)性與間斷點一、 函數(shù)在一點的連續(xù)性函數(shù)在點連續(xù)，當且僅當該點的函數(shù)值 、左極限與右極限三者相等： 或者：當且僅當函數(shù)在點有極限且此極限等于該點的函數(shù)值 。 其形式定義如下：函數(shù)在區(qū)間（a,b）連續(xù)指：區(qū)間中每一點都連續(xù)。函數(shù)在區(qū)間a,b連續(xù)時注意端點。注：左右連續(xù)，在區(qū)間上連續(xù)(注意端點) 連續(xù)函數(shù)的圖像是一條連續(xù)且不間斷的曲線 二、間斷點 若：中有某一個等式不成立，就間斷，分為：1、 第一類間斷點：可去型：但跳躍型：即

12、函數(shù)在點的左右極限皆存在但不相等，曲線段上出現(xiàn)一個跳躍。2 、第二類間斷點：左極限與右極限兩者之中至少有一個不存在（無窮型間斷點和振蕩型間斷點） 例：見教材第九節(jié)：連續(xù)函數(shù)的運算與初等函數(shù)的連續(xù)性一、 連續(xù)函數(shù)的四則運算1.且，2且，3. 且， 反函數(shù)連續(xù)定理：如果函數(shù)是嚴格單調(diào)增加（減少）并且連續(xù)的，則存在它的反函數(shù)：并且也是嚴格單調(diào)增加（減少）并且連續(xù)的。注： 1）反函數(shù)的定義域就是原來的值域。2）通常慣用X表示自變量，Y表示因變量。反函數(shù)也可表成 復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性定理： 設(shè)函數(shù)和滿足復(fù)合條件，若函數(shù)在點x0連續(xù)；，又若函數(shù)在點連續(xù)，則復(fù)合函數(shù)在點連續(xù)。 注：復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性可以保證極限號

13、與函數(shù)符號的交換：從這些基本初等函數(shù)出,通過若干次四則運算以及復(fù)合，得到的種種函數(shù)統(tǒng)稱為初等函數(shù)，并且：初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)連續(xù)。第十節(jié)：閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) 一、 最大、最小值設(shè)函數(shù)：在上有界，現(xiàn)在問在值域中是否有一個最大的實數(shù)？如果存在，譬如說它是某個點的函數(shù)值 ，則記叫做函數(shù)在D上的最大值。 類似地，如果 中有一個最小實數(shù)，譬如說它是某個點的函數(shù)值，則記稱為函數(shù)在上的最小值 。二、有界性有界性定理：如果函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，則它在上有界。三、零點、介值定理最大值和最小值定理：如果函數(shù) 在閉區(qū)間上連續(xù)則它在上有最大值和最小值，也就是說存在兩個點和，使得亦即 若x0使，則稱x0為函數(shù)的零點

14、 零點定理：如果函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，且在區(qū)間的兩個端點異號：則至少有一個零點，使中值定理：如果函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，則在上能取到它的最大值 和最小 值 之間的任何一個中間值。 作業(yè)：見課后各章節(jié)練習。第二章 導(dǎo)數(shù)與微分教學目的與要求 22學時 1、 理解導(dǎo)數(shù)和微分的概念與微分的關(guān)系和導(dǎo)數(shù)的幾何意義，會求平面曲線的切線方程和法線方程，了解導(dǎo)數(shù)的物理意義，會用導(dǎo)數(shù)描述一些物理量，理解函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性之間的的關(guān)系。2、 熟練掌握導(dǎo)數(shù)的四則運算法則和復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，熟練掌握基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，了解微分的四則運算法則和一階微分形式的不變性，會求函數(shù)的微分。3、 了解高階導(dǎo)數(shù)的概念，會求某些簡單

15、函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù)。4、 會求分段函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。5、 會求隱函數(shù)和由參數(shù)方程確定的函數(shù)的一階、二階導(dǎo)數(shù)，會求反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。一、導(dǎo)數(shù)概念（）1、定義 左導(dǎo)數(shù)右導(dǎo)數(shù) 可以證明：可導(dǎo)連續(xù)。即可導(dǎo)是連續(xù)的充分條件。 連續(xù)是可導(dǎo)的必要條件。 左右導(dǎo)數(shù)(注：與左右極限關(guān)系)2、導(dǎo)數(shù)的幾何意義曲線在點處切線： 例1：討論在x=0處可導(dǎo)性解： 在x = 0連續(xù)不存在在x = 0不可導(dǎo)例2：已知存在則= 例3：設(shè)函數(shù)可微， 則例4： 設(shè) 為使在x = x0 處可導(dǎo)，應(yīng)如何選取常數(shù)a、b解：首先必須在x0連續(xù) （由得）存在 從而例5： = x (x-1)(x-2)(x-9) , 則 例6：設(shè)在x = 0 領(lǐng)域內(nèi)連續(xù)，

16、則 （分母0） 例7：設(shè)函數(shù) f (1+x) = a f ( x ) ， 且 (a , b 0)， 問 存在否?解： 二、導(dǎo)數(shù)的求法 1、顯函數(shù)導(dǎo)數(shù)求一個顯函數(shù)的導(dǎo)數(shù)需解決： 基本初等函數(shù)導(dǎo)數(shù)(P64); 導(dǎo)數(shù)四則運算法則(P65); 復(fù)合函數(shù)與反函數(shù)求導(dǎo)法則(P66)。定理：在X有導(dǎo)數(shù)，在對應(yīng)點u有導(dǎo)數(shù)，則復(fù)合函數(shù)在X處也有導(dǎo)數(shù)，。例1：求解： 例2：求解： 例3：求解： 例4：求解： 例5：求解： 例6：求解： 例7：求解： 例8： 求解： 例9：求解： 高階導(dǎo)數(shù)、二階： 例10：， 求解： 先講微分（后頁）2、 隱函數(shù)導(dǎo)數(shù)參數(shù)方程導(dǎo)數(shù) 如方程F(x，y)=0確定了y=y(x)，只需方程兩

17、邊對x求導(dǎo)，注意y=y(x)例10：求下列隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（1）設(shè)求解： 方程兩邊對x求導(dǎo)， （2）設(shè)是由方程所確定的隱函數(shù)， 求解： 由原方程知當x=0時， 方程兩邊對x求導(dǎo)。 ，將x=0，代入得：(3) 是由方程所確定的隱函數(shù), 試求,。解: 方程兩邊對x求導(dǎo)： 方程兩邊再對x求導(dǎo)： 由原方程知，當時，代入得再將，代入式，得 (4) 設(shè)求解： (5) 設(shè)是由方程組所確定的函數(shù)，求：。解： 3、 分段函數(shù)的導(dǎo)數(shù)1) 設(shè)求：解：當 不存在，故 高階導(dǎo)數(shù)（n階）略， 例 2) 設(shè)在（）上具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且，對函數(shù) (1) 確定的值，使在（）上連續(xù)(2) 對（1）中確定的，證明在（）上 一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)

18、解： 即當 在連續(xù)， 也就是在（）連續(xù) 而在連續(xù),即在連續(xù)三、 微分 一階微分形式不變 （自變量） 如 (中間變量)例： ， ， 可導(dǎo) 可微第三章微分中值定理導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用教學目的與要求1掌握并會應(yīng)用羅爾定理、拉格朗日中值定理，了解柯西中值定理和泰勒中值定理。2理解函數(shù)的極值概念，掌握用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性和求函數(shù)極值的方法，掌握函數(shù)最大值和最小值的求法及其簡單應(yīng)用。3 用二階導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)圖形的凹凸性，會求函數(shù)圖形的拐點以及水平、鉛直和斜漸近線，會描繪函數(shù)的圖形。4 握用洛必達法則求未定式極限的方法。5 道曲率和曲率半徑的概念，會計算曲率和曲率半徑。6 了解方程近似解的二分法及切線法。一、中值定理

19、，泰勒公式（放入泰勒級數(shù)中講）1 羅爾定理如滿足：（1）在連續(xù). （2）在可導(dǎo). （3） 則至少存在一點 使例 設(shè)，則 在區(qū)間（-1，0）內(nèi)，方程 有2個實根；在（-1，1）內(nèi)有2個根例 設(shè)在0，1可導(dǎo)，且， 證明存在，使。證： 設(shè)在a,b可導(dǎo)， 存在使 即例 設(shè)在0，1可導(dǎo)，且, 證明存在 。解: 設(shè)，且 由羅爾定理 存在 使 即， 亦即例 習題6 設(shè)（復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)）2、 拉格朗日中值定理如滿足：在a,b連續(xù)；在（a,b）連續(xù)，則存在使。推論： 如果在區(qū)間I上，則 如果在區(qū)間I上， 在單增（減）例對任意滿足的x， 都有設(shè) 例 設(shè)，證明求導(dǎo)證明作業(yè)：見各章節(jié)課后習題。二、洛必達法則未定形：如下

20、的函數(shù)極限都是未定形。 1、型： 如：型：2、型： 如：3、型： 如：4、型：如：5、 型： 如：6、 型： 如：7、 型： 如：它們的計算不能用函數(shù)極限的四則運算法則，且它們只表示類型，沒有具體意義。 1、 （）型的洛必達法則(同理)定理：對函數(shù)和，如果：（1）, （2）在某個鄰域內(nèi)（后）有導(dǎo)數(shù)和，且；（3）存在（或無窮），則成立：=例：1) 2) 3) 例： 1) 2) 3) (0)3、其它類型1) 2) 3) 4) 解法同3） 例 ： 1) 2) 3) 4) 三、泰勒公式 一、多項式： 在點的各階導(dǎo)數(shù)： 得：二、泰勒中值定理：如果函數(shù)在含有的某個開區(qū)間有直到階的導(dǎo)數(shù)，則對任一有：1、（N

21、階泰勒公式）稱為余項。（1）（ 在與之間）拉格朗日型余項（2） 皮亞諾余項。2、當?shù)名溈藙诹止剑喝⒊Ｒ姾瘮?shù)的泰勒展開1) 2) 3) 四、函數(shù)的性態(tài)1、極值1）定義：如在鄰域內(nèi)，恒有， ，則稱為函數(shù)的一個極大（小）值。可能極值點， 不存在的點與的點。（駐點）駐點 極值點2）判別方法、導(dǎo)數(shù)變號。 極小值極大值、，例1、 設(shè)滿足關(guān)系式，且, ，則在點處 A A、取得極大值 B、取得最小值 C、在某鄰域內(nèi)單增 D、在某鄰域內(nèi)單減例2已知函數(shù)對一切滿足 如，則 A A、 是的極小值B、是的極大值 C、是曲線的拐點D、不是的極值，也不是曲線 的拐點。例3 設(shè)函數(shù)在的某鄰域內(nèi)可導(dǎo)，則是的極 大 值。2

22、、函數(shù)的最大值與最小值（1）求出內(nèi)可能的極值點，不需判別極大還是極小，求出它們的函數(shù)值，再與端點的函數(shù)值進行比較，其中最大的（小）為最大（?。┲怠＃?）在內(nèi)可能極值點唯一，如是極小值則為最小值；如是極大值則為最大值。 （3）如分別為最小, 最大值。（4）實際問題據(jù)題意可不判別。 例1、 在拋物線上的第一象限部分求一點P，過P點作切線，使該切線與坐標軸所圍成的三角形面積最小。 解：設(shè)切點為，切線方程為即 三角形面積： ，令 （唯一） 故 為所求點3、曲線的凹凸、拐點及漸近線 在I上可導(dǎo) 如則曲線是凹（凸）的, 在連續(xù)曲線上凹凸部分的分界點稱為曲線的拐點。 可能的拐點和不存在的點例1、 設(shè)，試討論

23、的性態(tài)。x(-,-2)-2(-2,0)0(0,1)1(1,+ )y+0-間斷+0+y-0+y 單調(diào)增上凸極大值 單減上凸單增上凸拐點(1,0) 單增下凸?jié)u近線如 則稱為水平漸近線如 則稱為垂直漸近線漸近線可能沒有，或多條。例2、求漸近線（斜漸近線不討論）解： 為水平漸近線 垂直漸近線例2、 曲線的漸近線有 4 條4證明不等式（1）利用中值定理（R，L）；（2）利用函數(shù)單調(diào)性；（3）利用最值；（4）引入輔助函數(shù)把常值不等式變成函數(shù)不等式；（5）利用函數(shù)凹凸性；（6）利用泰勒公式。例1、 當，試即證：證： 設(shè)，在連續(xù)，可導(dǎo)，由拉格朗日中值定理 即 例2、設(shè)，證明證： 設(shè)單增，當 設(shè) 單增，當 例3

24、、當證明 證： 令 令得 駐點唯一， 極小 為最小值即 例4、 當 證明 證: 設(shè) 令 , 駐點唯一 當 , 在上最大值為 ,最小值為 例5、 設(shè)，證明證明：即 證 設(shè) ， 時 單減 當 即 例6、 設(shè)在上可導(dǎo)，且單調(diào)減，證明： ，。 證： 令 單調(diào)減 ， ， ，即單調(diào)減 ， 即 作業(yè)：見課后習題第四章不定積分教學目的與要求 1理解原函數(shù)概念、不定積分和定積分的概念。2 掌握不定積分的基本公式，掌握不定積分和定積分的性質(zhì)及定積分中值定理，掌握換元積分法與分部積分法。3 求有理函數(shù)、三角函數(shù)有理式和簡單無理函數(shù)的積分。一、一元函數(shù)積分的概念、性質(zhì)與基本定理 1、原函數(shù)、不定積分 在區(qū)間上，如，稱

25、為的導(dǎo)函數(shù)，稱為的原函數(shù)，原函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)是一種互逆關(guān)系。 如為的一個原函數(shù)，則為的全體原函數(shù)。記為，即=不定積積分性質(zhì)(1) 或(2) (3) (4) 原函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)有互逆關(guān)系,由導(dǎo)數(shù)表可得積分表。例、已知是的一個原函數(shù)， 求：解： 例、的導(dǎo)函數(shù)是 ，則的原函數(shù)，(、為任意常數(shù))例、在下列等式中，正確的結(jié)果是 C A、 B、C、 D、例、 2、計算方法10 換元法第一類換元法（湊微分法）常用湊微分形式 例：1、2、 3、4、5、6、7、8、 9、10、 11、12、 13、 14、 15、 16、 17、 18、 19、 解： 20、解： 21、 22、設(shè)，則二第二換元法定理2 除了湊微分法外

26、其它常用變量代換(1)被積函數(shù)中含有二次根式，令，令，令如是配方1例1、令xt 解：原式 例2、二種解法 （2）被積函數(shù)中含一般根式例3、解：令原式 例4、令原式例5、解：令 原式 20分部積分如、均具有連續(xù)的導(dǎo)函數(shù)，則例1、 例2、 例3、例4、 例5、 例6、 例7、 例8、 例9、 例10、 例11、 30有理函數(shù)的積分 有理函數(shù)的積分方法：真分式部分分式 部分分式： 其中：確定常數(shù)的值；再積分。例： 1) 2) 3) 4) 5)解： 令 令 6) 40 三角有理式積分令 7、 8、 9、設(shè)的原函數(shù)恒正，且，當，有，求解： 由得C=1 例：1) 2) 3) 4) 5) 作業(yè)：見課后習題第

27、五章 定積分的概念教學目的與要求：1 解變上限定積分定義的函數(shù)，及其求導(dǎo)數(shù)定理，掌握牛頓萊布尼茨公式。2 解廣義積分的概念并會計算廣義積分。3掌握用定積分表達和計算一些幾何量與物理量（平面圖形的面積、平面曲線的弧長、旋轉(zhuǎn)體的體積及側(cè)面積、平行截面面積為已知的立體體積、變力做功、引力、壓力和函數(shù)的平均值等）。一、定義及性質(zhì)：， 注意(1)積分區(qū)間有限，被積函數(shù)有界； (2)與“分法”、“取法”無關(guān)； (3)定積分的值與積分變量的選取無關(guān)； (4)在有界是在可積的必要條件，在連續(xù)是在可積的充分條件。：在幾何上表示介于，之間各部分面積的代數(shù)和。補充規(guī)定 性質(zhì)（1）（9）（1-7省略）其中(8)為估計

28、定理：在，則 (9)中值定理：如在連續(xù)，使例1利用定積分幾何意義，求定積分值 上式表示介于, , , 之間面積例2、（估計積分值） 證明 證：在 上最大值為，最小值為2 二、基本定理 牛頓萊伯尼茲公式 10變上限積分基本定理：設(shè)在連續(xù)，為上任意一點，則是可導(dǎo)函數(shù)，且 即說明為的一個原函數(shù)。例3、已知, , , ， 求：解：例4、 例5、有極大值的點為 D A. B. C. D. 例6、如 ,則 B A. B. C. D.例7、 設(shè)在上連續(xù)，且,證明：若f(x)為偶函數(shù)，則F(x)也是偶函數(shù)。證： 20 定積分計算 牛頓萊伯尼茲公式設(shè)在連續(xù)。為在上的任意一個原函數(shù)，則有 定積分換元法與分部積分法

29、30 奇偶函數(shù)在對稱區(qū)間積分性質(zhì)，周期函數(shù)積分性質(zhì)(1) 在連續(xù)，當為偶數(shù)，則當為奇函數(shù)，則(2) ，以T為周期說明在任何長度為T的區(qū)間上的積分值是相等的。例9、原式 例10、例11、 例12、設(shè)則 A、 B、 C、 D、 例13、法一 設(shè)法二設(shè)原式例14、設(shè)為連續(xù)函數(shù)，且 求解： 設(shè)則兩邊積分 例15、(、在連續(xù)，且 求、的表達式。答案： )例16、設(shè)，求解： 令 ()例17、設(shè)求解：例18、已知在上二階可導(dǎo)，且，及求解：原式例19、設(shè)在連續(xù)證明：證：右邊 =例20、設(shè)求解： 例21、設(shè)連續(xù)，且求，并討論在處連續(xù)性解：得 令 在連續(xù)即在連續(xù)例22、試證方程在內(nèi)有且僅有一實根證：設(shè)在連續(xù)且：由

30、介值定理，使F()=0即F(x)=0有根又 ，單增 根唯一例23、設(shè)在，連續(xù)試證：內(nèi)至少一點，使證：設(shè)則在可導(dǎo)中值 在上滿足羅爾定理條件至少存在一點，使即亦即 例24、 例25：設(shè)在連續(xù)，可導(dǎo)，且，證明在內(nèi)，有證： 在單調(diào)減，故作業(yè)：各章節(jié)課后習題。第六章 定積分應(yīng)用1平面圖形面積 ()直角坐標： 例1：求拋物線及其點和處的切線所圍成圖形的面積解：在點處，切線方程 在點處，切線方程 得交點 （ii）極坐標 例2、求由曲線所圍圖形公共部分的面積解：兩曲線的交點+ 2旋轉(zhuǎn)體體積由所圍平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周所生成的立體體積，由所圍平面圖形繞旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體體積例3、過點作拋物線的切線，求該切線與拋物

31、線及軸所圍平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體體積解：設(shè)切點為切線方程Q 切點在切線上，（3,1）0 1 2 3 ， 切線方程：30平面曲線弧長(1) 曲線： (2) (3) 例 求下類平面曲線的弧長1. 曲線相應(yīng)于的一段2. 心形線的全長 3. 擺線 的一拱解：1. 2. 3. 40向變力沿直線作功,液體的水壓力 作業(yè)見課后練習第七章 空間解析幾何教學目的與要求 14學時 1 解空間直角坐標系，理解向量的概念及其表示。2 握向量的運算（線性運算、數(shù)量積、向量積、混合積），掌握兩個向量垂直和平行的條件。3 解單位向量、方向數(shù)與方向余弦、向量的坐標表達式，熟練掌握用坐標表達式進行向量運算的方法。4 掌握

32、平面方程和直線方程及其求法。5 會求平面與平面、平面與直線、直線與直線之間的夾角，并會利用平面、直線的相互關(guān)系（平行、垂直、相交等）解決有關(guān)問題。6 會求點到直線以及點到平面的距離。7 理解曲面方程的概念，了解常用二次曲面的方程及其圖形，會求以坐標軸為旋轉(zhuǎn)軸的旋轉(zhuǎn)曲面及母線平行于坐標軸的柱面方程。8 了解空間曲線的參數(shù)方程和一般方程，了解空間曲線在坐標平面上的投影，并會求其方程10向量及其線性運算向量：有大小、方向的量。向量相等：大小、方向單位向量、零向量向量的坐標表達式及其運算1) 向量的加法、減法滿足：交換律、結(jié)合律。平行四邊形、三角形法。2) 向量的數(shù)乘滿足：結(jié)合律、分配律3) 兩向量平

33、行的充要條件：4) 空間直角坐標系(右手坐標系)5) 利用坐標作向量的線性運算1) 向量的坐標向量表示2) 對應(yīng)坐標運算。例：書上例題。6) 向量的模、方向角投影1）的模與兩點間的距離公式。 例4：1) 方向角與方向余弦 例： 例7、82) 向量在軸上的投影1) 2) 3) 20向量的數(shù)量積的向量積1）向量積 性質(zhì)：應(yīng)用：（i） （ii） （iii）例1、習題4，1選擇題（1）（2）（3） 2 填空題（3）（4）（5）例2、解： (2)向量積 右手定則即注意 應(yīng)用（i）（ii）（iii）如即利用向量積求出同時垂直兩個已知矢量的矢量。例3、習題4，5，2(4)例3、 設(shè)知量滿足，則解： 30平面

34、及其方程已知平面p過點M0（x0、y0、z0），為p的法矢量。1 點法式：A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=02 一般式：Ax+By+Cz+D=0，A、B、C不全為零。3 截距式：，a，b，分別為平面在x軸、y軸、z軸上的截距。 點M0(x0、y0、z0)到平面Ax+By+Cz+D=0的距離為例1、 求通過點P（2,-1,-1），Q（1,2,3）且垂直于平面2x+3y-5z+6=0的平面方程。解 ： ，已知平面的法矢量取所求平面為：9(x-2)-(y+1)+3(z-1)=0即：9x-y+3z-16=0例2、 解：(1)解法一：設(shè)平面方程：x+By+D=0將點M1(2,-1,0)，

35、M2(3,0,5)分別代入得平面方程為：xy3=0解法二：， 取-(x2)+(y+1)=0得平面方程：xy3=0(2)設(shè)平面方程為y+Cz+D=0即得 40直線及其方程 空間直線的一般方程L： 點向式（對稱式）直線過點M0(x0、y0、z0)，為L方向向量則L：參數(shù)式L： t為參數(shù)L1L2L1L250直線與平面關(guān)系 L即 L 點P到直線L的距離，L的方向向量，M0為L上一點例3、 習題4 2、(7)、(8)解(7)直線即所求平面法向量由點法式 -(x1)+3(y2)+(z+1)=0即x3yz+3=0（8）設(shè)平面方程為，得 點代入平面，得：所求平面平面束方程直線L：則為過直線L的除平面外的平面束

36、方程例 一平面過直線L：，且在軸有截距，求它的方程解：過直線L的平面束方程為:即據(jù)題意代入平面束方程，得：習題4 , 2 ,(9)例已知兩直線方程，則過且平行的平面方程是解： 過的平面束方程：即由平行 得所求方程為：例已知平面直線（1）直線和平面是否平行？（2）如直線與平面平行，則求直線與平面的距離，如不平行，則求與的交點。（3）求過直線且與平面垂直的平面方程解：法矢量的方向向量, 取 不平行解一、得交點（1，0，1）解二、將化為點向式，(在中令，得，即上的一點)，化為參式代入過直線的平面束方程：即 所求平面：60曲面及其方程常用二次曲面的方程及其圖形1、球面：設(shè)是球心，R是半徑，是球面上任一點，則，即2、橢球面3、旋轉(zhuǎn)曲面設(shè)L是x0z平面上一條曲線，L繞z旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)曲面：得例1、 稱為旋轉(zhuǎn)拋物面旋轉(zhuǎn)雙曲面：，(單)4、橢圓拋物面 5、單葉雙曲面 6、雙葉雙曲面 7、二次錐面 圓錐面 8、柱面 拋物柱面 橢圓柱面 圓柱面 60空間曲線及曲線在三個坐標面上投影方程一般式曲線 在三坐標面上投影方程在x0y面上投影曲線方程：在 中消去z，再與z=0聯(lián)立。其他坐標平面上的投影曲線方程求法類似。第- 91 頁