高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 17-18版 第5章 第23課 兩角和與差的正弦、余弦和正切公式

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1、第23課兩角和與差的正弦、余弦和正切公式最新考綱內(nèi)容要求ABC兩角和(差)的正弦、余弦及正切1兩角和與差的正弦、余弦、正切公式(1)sin()sin_cos_cos_sin_；(2)cos()cos_cos_sin_sin_；(3)tan().2有關(guān)公式的變形和逆用(1)公式T()的變形：tan tan tan()(1tan_tan_)；tan tan tan()(1tan_tan_)3輔助角公式asin bcos sin().1(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“”)(1)存在實(shí)數(shù)，使等式sin()sin sin 成立()(2)在銳角ABC中，sin Asin B和cos

2、 Acos B大小不確定()(3)公式tan()可以變形為tan tan tan()(1tan tan )，且對(duì)任意角，都成立()(4)公式asin xbcos xsin(x)中的取值與a，b的值無(wú)關(guān)()答案(1)(2)(3)(4)2(教材改編)sin 20cos 10cos 160sin 10_.sin 20cos 10cos 160sin 10sin 20cos 10cos 20sin 10sin(2010)sin 30.3(2017蘇州模擬)若(0，)，cos ，則tan _.(0，)，cos ，sin ，tan .tan.4若sin cos 1，且，則_.sin cos 2sin1，s

3、in，又，.5若tan ，tan( )，則tan _.tan tan().三角函數(shù)公式的基本應(yīng)用(2014江蘇高考)已知，sin .(1)求sin的值；(2)求cos的值解(1)因?yàn)?，sin ，所以cos .故sinsincos cos sin .(2)由(1)知sin 22sin cos 2，cos 212sin2122，所以coscoscos 2sin sin 2.規(guī)律方法1.使用兩角和與差的三角函數(shù)公式，首先要記住公式的結(jié)構(gòu)特征2使用公式求值，應(yīng)先求出相關(guān)角的函數(shù)值，再代入公式求值變式訓(xùn)練1(1)若，tan，則sin _.(2)已知cos，則cos xcos的值是_(1)(2)1(1)t

4、an，tan ，cos sin .又sin2cos21，sin2.又，sin .(2)cos xcoscos xcos xsin xcos xsin xcos1.三角函數(shù)公式的逆用及變形應(yīng)用(1)若銳角，滿足tan tan tan tan ，則_. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：62172128】(2)sin 50(1tan 10)_.(1)(2)1(1)tan().又，(0，)，.(2)sin 50(1tan 10)sin 50sin 50sin 501.規(guī)律方法1.逆用公式應(yīng)準(zhǔn)確找出所給式子與公式的異同，創(chuàng)造條件逆用公式2tan tan ，tan tan (或tan tan )，tan()(或tan()三者中

5、可以知二求一，注意公式的正用、逆用和變形使用變式訓(xùn)練2(1)sin(65x)cos(x20)cos(65x)cos(110x)的值為_(kāi)(2)在斜三角形ABC中，sin Acos Bcos C，且tan Btan C1，則角A的值為_(kāi)(1)(2)(1)原式sin(65x)cos(x20)cos(65x)cos90(x20)sin(65x)cos(x20)cos(65x)sin(x20)sin(65x)(x20)sin 45.(2)由題意知：sin Acos Bcos Csin(BC)sin Bcos Ccos Bsin C，在等式兩邊同除以cos Bcos C得tan Btan C，又tan(B

6、C)1tan A，所以A.角的變換問(wèn)題(1)設(shè)，都是銳角，且cos ，sin()，則cos _. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：62172129】(2)若0，0，cos，cos，則cos等于_(1)(2)(1)依題意得sin ，cos().又，均為銳角，所以0cos()因?yàn)椋詂os().于是cos coscos()cos sin()sin .(2)0，所以由cos，得sin，又0，且cos，sin，故coscoscoscossinsin.規(guī)律方法1.解決三角函數(shù)的求值問(wèn)題的關(guān)鍵是把“所求角”用“已知角”表示(1)當(dāng)“已知角”有兩個(gè)時(shí)，“所求角”一般表示為兩個(gè)“已知角”的和或差的形式；(2)當(dāng)“已知角”有一個(gè)時(shí)

7、，此時(shí)應(yīng)著眼于“所求角”與“已知角”的和或差的關(guān)系，然后應(yīng)用誘導(dǎo)公式把“所求角”變成“已知角”2常見(jiàn)的配角技巧：2()()，()，等變式訓(xùn)練3定義運(yùn)算adbc.若cos ，0，則等于_依題意有sin cos cos sin sin()，又0，0，故cos()，而cos ，sin ，于是sin sin()sin cos()cos sin().故.思想與方法1三角恒等變換的變“角”與變“名”問(wèn)題的解題思路(1)角的變換：明確各個(gè)角之間的關(guān)系(包括非特殊角與特殊角、已知角與未知角)，熟悉角的拆分與組合的技巧，半角與倍角的相互轉(zhuǎn)化，如：2()()，()()，406020，2等(2)名的變換：明確各個(gè)三

8、角函數(shù)名稱之間的聯(lián)系，常常用到同角關(guān)系、誘導(dǎo)公式，把正弦、余弦化為正切，或者把正切化為正弦、余弦2三角恒等變換的變“形”問(wèn)題的求解思路根據(jù)三角恒等式子的“結(jié)構(gòu)特征”進(jìn)行變“形”，使得變換后的式子更接近已知的三角函數(shù)式，常用技巧有：(1)常值代換：1sin2cos2cos 22sin2tan ，sin cos ，sin cos 等(2)逆用、變用公式：sin sin cos()cos cos ，cos sin sin()sin cos ，tan tan tan()(1tan tan )等(3)通分、約分：如：1tan .(4)分解、組合：如：(sin cos )2(sin cos )22.(5)

9、平方、開(kāi)方：1sin 2(sin cos )2，1sin 2(sin cos )2，1cos 22cos2，1cos 22sin2等易錯(cuò)與防范1運(yùn)用公式時(shí)要注意審查公式成立的條件，要注意和、差、倍角的相對(duì)性，要注意升次、降次的靈活運(yùn)用，要注意“1”的各種變通2在三角函數(shù)求值時(shí)，一定不要忽視題中給出的或隱含的角的范圍課時(shí)分層訓(xùn)練(二十三)A組基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)(建議用時(shí)：30分鐘)一、填空題1設(shè)tan ，tan 是方程x23x20的兩根，則tan()的值為_(kāi)3由題意可知tan()3.2(2017鹽城模擬)tan 70tan 50tan 70tan 50的值等于_tan 120tan(5070)，tan 5

10、0tan 70tan 50tan 70，即tan 70tan 50tan 70tan 50.3在平面直角坐標(biāo)系中，角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，若角終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(2,4)，則tan_. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：62172130】3由題意可知tan 2.tan3.4若sin()sin cos()cos ，且是第二象限角，則tan等于_sin()sin cos()cos ，cos .又是第二象限角，sin ，則tan .tan.5已知sin sin (cos cos )，則sin 3sin 3_.0由已知得：sin cos cos sin ，即coscos，又，.故，即.sin 3sin 3si

11、n(3)sin 30.6若cossin ，則cos_.cossin ，cos sin ，cos sin cos.7若sin，sin()，則的值為_(kāi). 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：62172131】5由sin()，sin()得5.8(2017蘇錫常鎮(zhèn)調(diào)研二)若tan ，tan()，則tan(2)_.tan ，tan()，tan(2)tan(2)tan().9若sin 2，sin()，且，則的值是_. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：62172132】sin 2，cos 2且，又sin()，.cos().因此sin()sin()2sin()cos 2cos()sin 2，cos()cos()2cos()cos 2sin()sin 2，又

12、，所以.10(2017如皋市高三調(diào)研一)若sin 3sin(2)，則tan()tan _.0由sin 3sin(2)得sin()3sin()，cos()sin sin()cos 3sin cos()cos sin()，4cos sin()2sin cos()，tan()tan .tan()tan tan tan 0.二、解答題11已知，且sincos.(1)求cos 的值；(2)若sin()，求cos 的值解(1)因?yàn)閟incos，兩邊同時(shí)平方，得sin .又，所以cos .(2)因?yàn)?，所?又sin()，得cos().cos cos()cos cos()sin sin().12(2017啟東

13、中學(xué)高三第一次月考)在ABC中，三個(gè)內(nèi)角分別為A，B，C，已知sin2cos A.(1)求角A的值；(2)若B，且cos(AB)，求sin B.解由sin2cos A，得sin Acos A2cos A，即sin Acos A因?yàn)锳(0，)，且cos A0，所以tan A，所以A.(2)因?yàn)锽，所以ABB.因?yàn)閟in2(AB)cos2(AB)1，所以sin(AB)，所以sin Bsin(A(AB)sin Acos(AB)cos Asin(AB).B組能力提升(建議用時(shí)：15分鐘)1已知0，tan，那么sin cos _.由tan，解得tan ，即，cos sin ，sin2cos2sin2sin2sin21.0，sin ，cos ，sin cos .2若tan 2tan，則_.3coscossin，原式.又tan 2tan，原式3.3已知函數(shù)f(x)Acos，xR，且f.(1)求A的值；(2)設(shè)，f，f，求cos()的值解(1)因?yàn)閒AcosAcos A，所以A2.(2)由f2cos2cos2sin ，得sin ，又，所以cos .由f2cos2cos ，得cos ，又，所以sin ，所以cos()cos cos sin sin .4(2017泰州中學(xué)高三摸底考試)已知0.解(1)將tan 代入tan ，得tan ，又，解得cos .(2)證明：由題意易得.