《高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 17-18版 第9章 熱點(diǎn)探究課6 高考中的圓錐曲線問題》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 17-18版 第9章 熱點(diǎn)探究課6 高考中的圓錐曲線問題（20頁珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、熱點(diǎn)探究課(六)高考中的圓錐曲線問題命題解讀圓錐曲線是平面解析幾何的核心內(nèi)容，每年高考必考一道解答題，常以求圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程、位置關(guān)系、定點(diǎn)、定值、最值、范圍、探索性問題為主這些試題的命題有一個(gè)共同的特點(diǎn)，就是起點(diǎn)低，但在第(2)問中一般都伴有較為復(fù)雜的運(yùn)算，對(duì)考生解決問題的能力要求較高熱點(diǎn)1圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與性質(zhì)圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程在高考中占有十分重要的地位一般地，求圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是作為解答題中考查“直線與圓錐曲線”的第一小題，最常用的方法是定義法與待定系數(shù)法離心率是高考對(duì)圓錐曲線考查的另一重點(diǎn)，涉及a，b，c三者之間的關(guān)系另外拋物線的準(zhǔn)線，雙曲線的漸近線也是命題的熱點(diǎn)如圖1，橢圓1(
2、ab0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過F2的直線交橢圓于P，Q兩點(diǎn)，且PQPF1.圖1(1)若PF12，PF22，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若PF1PQ，求橢圓的離心率e. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：62172279】解(1)由橢圓的定義，2aPF1PF2(2)(2)4，故a2.設(shè)橢圓的半焦距為c，由已知PF1PF2，因此2cF1F22.3分即c，從而b1，故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為y21.5分(2)連結(jié)F1Q，如圖，由橢圓的定義知PF1PF22a，QF1QF22a，又PF1PQPF2QF2(2aPF1)(2aQF1)，可得QF14a2PF1. 又因?yàn)镻F1PQ且PF1PQ，所以QF1PF1.8分由可得PF1(4
3、2)a，從而PF22aPF1(22)a.由PF1PF2，知PFPFF1F，即(42)2a2(22)2a24c2，12分可得(96)a2c2，即96，因此e.14分規(guī)律方法1.用定義法求圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是常用的方法，同時(shí)應(yīng)注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用2圓錐曲線的離心率刻畫曲線的扁平程度，只需明確a，b，c中任意兩量的關(guān)系都可求出離心率，但一定注意不同曲線離心率取值范圍的限制對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1已知橢圓中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，離心率為，它的一個(gè)頂點(diǎn)為拋物線x24y的焦點(diǎn)(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若直線yx1與拋物線相切于點(diǎn)A，求以A為圓心且與拋物線的準(zhǔn)線相切的圓的方程解(1)橢圓中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸
4、上設(shè)橢圓的方程為1(ab0)，因?yàn)閽佄锞€x24y的焦點(diǎn)為(0,1)，所以b1.2分由離心率e，a2b2c21c2，從而得a，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為y21.6分(2)由解得所以點(diǎn)A(2,1).8分因?yàn)閽佄锞€的準(zhǔn)線方程為y1，所以圓的半徑r1(1)2，所以圓的方程為(x2)2(y1)24.14分熱點(diǎn)2圓錐曲線中的定點(diǎn)、定值問題定點(diǎn)、定值問題一般涉及曲線過定點(diǎn)、與曲線上的動(dòng)點(diǎn)有關(guān)的定值問題以及與圓錐曲線有關(guān)的弦長、面積、橫(縱)坐標(biāo)等的定值問題角度1圓錐曲線的定值問題(2016北京高考)已知橢圓C：1過A(2,0)，B(0,1)兩點(diǎn)(1)求橢圓C的方程及離心率；(2)設(shè)P為第三象限內(nèi)一點(diǎn)且在橢圓C上，
5、直線PA與y軸交于點(diǎn)M，直線PB與x軸交于點(diǎn)N，求證：四邊形ABNM的面積為定值解(1)由題意得a2，b1，所以橢圓C的方程為y21.3分又c，所以離心率e.5分(2)證明：設(shè)P(x0，y0)(x00，y00)，則x4y4.又A(2,0)，B(0,1)，所以直線PA的方程為y(x2).7分令x0，得yM，從而BM1yM1.直線PB的方程為yx1.9分令y0，得xN，從而AN2xN2.所以四邊形ABNM的面積SANBM2.從而四邊形ABNM的面積為定值.14分規(guī)律方法1.求定值問題的常用方法：(1)從特殊入手，求出定值，再證明這個(gè)值與變量無關(guān)(2)直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算推理的過程中消去變量，從
6、而得到定值2定值問題就是在運(yùn)動(dòng)變化中尋找不變量的問題，基本思路是使用參數(shù)表示要解決的問題，證明要解決的問題與參數(shù)無關(guān)在這類問題中選擇消元的方法是非常關(guān)鍵的角度2圓錐曲線中的定點(diǎn)問題設(shè)橢圓E：1(ab0)的離心率為e，且過點(diǎn).(1)求橢圓E的方程；(2)設(shè)橢圓E的左頂點(diǎn)是A，若直線l：xmyt0與橢圓E相交于不同的兩點(diǎn)M，N(M，N與A均不重合)，若以MN為直徑的圓過點(diǎn)A，試判定直線l是否過定點(diǎn)，若過定點(diǎn)，求出該定點(diǎn)的坐標(biāo). 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：62172280】解(1)由e2，可得a22b2，2分橢圓方程為1，代入點(diǎn)可得b22，a24，故橢圓E的方程為1.5分(2)由xmyt0得xmyt，把它代入E的方
7、程得(m22)y22mtyt240，設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，則y1y2，y1y2，x1x2m(y1y2)2t，x1x2(my1t)(my2t)m2y1y2tm(y1y2)t2.8分因?yàn)橐訫N為直徑的圓過點(diǎn)A，所以AMAN，所以(x12，y1)(x22，y2)x1x22(x1x2)4y1y2240.10分因?yàn)镸，N與A均不重合，所以t2，所以t，直線l的方程是xmy，直線l過定點(diǎn)T，由于點(diǎn)T在橢圓內(nèi)部，故滿足判別式大于0，所以直線l過定點(diǎn)T.14分規(guī)律方法1.假設(shè)定點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)題意選擇參數(shù)，建立一個(gè)直線系或曲線系方程，而該方程與參數(shù)無關(guān)，故得到一個(gè)關(guān)于定點(diǎn)坐標(biāo)的方程組，以這個(gè)方程組
8、的解為坐標(biāo)的點(diǎn)即所求定點(diǎn)2從特殊位置入手，找出定點(diǎn)，再證明該點(diǎn)適合題意對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2已知橢圓E：1，A，B分別是橢圓E的左、右頂點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)M在射線l：x4(y0)上運(yùn)動(dòng)，MA交橢圓E于點(diǎn)P，MB交橢圓E于點(diǎn)Q.(1)若MAB垂心的縱坐標(biāo)為4，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(2)試問：直線PQ是否過定點(diǎn)？若過定點(diǎn)，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不過定點(diǎn)，請(qǐng)說明理由解(1)由題意知A(2，0)，B(2，0)設(shè)MAB的垂心為H，因?yàn)锳B邊上的高所在的直線方程為l：x4，且MAB垂心的縱坐標(biāo)為4，所以H(4，4)所以直線BH的斜率為kBH，所以直線AM的方程為y()(x2)由或4分所以P點(diǎn)的坐標(biāo)為.6分(2)設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為(x1，y1)
9、，Q點(diǎn)的坐標(biāo)為(x2，y2)，則y(8x)，y(8x)，直線AP的方程為y(x2)由M.8分由于M，B，Q三點(diǎn)共線，所以kBMkBQ，從而，即，兩邊平方得，整理得2x1x25(x1x2)160.(*)設(shè)直線PQ的方程為ykxm.由(12k2)x24kmx2m280，所以x1x2，x1x2，代入(*)得m25km8k20，解得mk，或m4k.當(dāng)mk時(shí)，直線PQ的方程為ykxk，即yk(x)，恒過點(diǎn)(，0)；當(dāng)m4k，直線PQ的方程為ykx4k，即yk(x4)，恒過點(diǎn)(4，0)，此種情況不合題意綜上可知，直線PQ恒過點(diǎn)(，0).16分熱點(diǎn)3圓錐曲線中的最值、范圍問題圓錐曲線中的最值問題大致可分為兩
10、類：一是涉及距離、面積的最值以及與之相關(guān)的一些問題；二是求直線或圓錐曲線中幾何元素的最值以及這些元素存在最值時(shí)求解與之有關(guān)的一些問題平面直角坐標(biāo)系xOy中，過橢圓M：1(ab0)右焦點(diǎn)的直線xy0交M于A，B兩點(diǎn)，P為AB的中點(diǎn)，且OP的斜率為.(1)求M的方程；(2)C，D為M上的兩點(diǎn)，若四邊形ACBD的對(duì)角線CDAB，求四邊形ACBD面積的最大值解(1)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)，則1，1，1，由此可得1.因?yàn)閤1x22x0，y1y22y0，所以a22b2.又由題意知，M的右焦點(diǎn)為(，0)，故a2b23.因此a26，b23.所以M的方程為1.8分(2)由解得或因
11、此AB.由題意可設(shè)直線CD的方程為yxn，設(shè)C(x3，y3)，D(x4，y4)由得3x24nx2n260.于是x3,4.因?yàn)橹本€CD的斜率為1，所以CD|x4x3|.由已知，四邊形ACBD的面積SCDAB，當(dāng)n0時(shí)，S取得最大值，最大值為，所以四邊形ACBD面積的最大值為.16分規(guī)律方法范圍(最值)問題的主要求解方法：(1)幾何法，若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征及意義，則考慮利用圖形性質(zhì)來解決(2)代數(shù)法，若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關(guān)系，則可先建立起目標(biāo)函數(shù)或等量關(guān)系，利用判別式、基本不等式、函數(shù)的性質(zhì)、導(dǎo)數(shù)法進(jìn)行求解對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練3已知橢圓C：1(ab0)的焦距為4，且過點(diǎn)(，2
12、)(1)求橢圓C的方程；(2)過橢圓焦點(diǎn)的直線l與橢圓C分別交于點(diǎn)E，F(xiàn)，求的取值范圍解由橢圓C：1(ab0)的焦距為4.得曲線C的焦點(diǎn)F1(0，2)，F(xiàn)2(0,2).2分又點(diǎn)(，2)在橢圓C上，2a4，所以a2，b2，即橢圓C的方程是1.5分(2)若直線l垂直于x軸，則點(diǎn)E(0,2)，F(xiàn)(0，2)，8.若直線l不垂直于x軸，設(shè)l的方程為ykx2，點(diǎn)E(x1，y1)，F(xiàn)(x2，y2)，將直線l的方程代入橢圓C的方程得到：(2k2)x24kx40，則x1x2，x1x2，8分所以x1x2y1y2(1k2)x1x22k(x1x2)448.10分因?yàn)?10，所以8b0)的離心率是，點(diǎn)P(0,1)在短軸
13、CD上，且1.(1)求橢圓E的方程；(2)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)P的動(dòng)直線與橢圓交于A，B兩點(diǎn)是否存在常數(shù)，使得為定值？若存在，求的值；若不存在，請(qǐng)說明理由圖2解(1)由已知，點(diǎn)C，D的坐標(biāo)分別為(0，b)，(0，b)又點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0,1)，且1，于是解得a2，b.4分所以橢圓E的方程為1.5分(2)當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí)，設(shè)直線AB的方程為ykx1，A，B的坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)聯(lián)立得(2k21)x24kx20.8分其判別式(4k)28(2k21)0，所以x1x2，x1x2.從而，x1x2y1y2x1x2(y11)(y21)(1)(1k2)x1x2k(x1x2)12.所以，
14、當(dāng)1時(shí)，23.10分此時(shí)，3為定值當(dāng)直線AB斜率不存在時(shí)，直線AB即為直線CD.此時(shí)，213.故存在常數(shù)1，使得為定值3.14分熱點(diǎn)探究訓(xùn)練(六)A組基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)(建議用時(shí)：30分鐘)1(2017揚(yáng)州模擬)如圖3，已知橢圓1(ab0)的左、右焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，P是橢圓上一點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，M在PF1上，(R)，POF2M.圖3(1)若橢圓方程為1，P(2，)，求點(diǎn)M的橫坐標(biāo)；(2)若2，求橢圓離心率e的取值范圍. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：62172281】解(1)1，F(xiàn)1(2,0)，F(xiàn)2(2,0)，kOP，kF2M，kF1M.直線F2M的方程為y(x2)，直線F1M的方程為：y(x2)由解得x，點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為.
15、6分(2)設(shè)P(x0，y0)，M(xM，yM)，2，(x0c，y0)(xMc，yM)，M，.POF2M，(x0，y0)，x0y0，即xy2cx0.聯(lián)立方程得，消去y0得：c2x2a2cx0a2(a2c2)0.解得x0或x0.ax0a，x0(0，a)，0a2ac.綜上，橢圓離心率e的取值范圍為.14分2(2017無錫期末)已知橢圓M：1(ab0)的離心率為，一個(gè)焦點(diǎn)到相應(yīng)的準(zhǔn)線的距離為3，圓N的方程為(xc)2y2a2c2(c為半焦距)，直線l ：ykxm(k0)與橢圓M和圓N均只有一個(gè)公共點(diǎn)，分別設(shè)為A，B.(1)求橢圓方程和直線方程；(2)試在圓N上求一點(diǎn)P，使2.解(1)由題意知解得a2，
16、c1，所以b，所以橢圓M的方程為：1.圓N的方程為(x1)2y25.由直線l：ykxm與橢圓M只有一個(gè)公共點(diǎn)，所以由得(34k2)x28kmx4m2120，所以64k2m24(34k2)(4m212)0得m234k2.由直線l：ykxm與N只有一個(gè)公共點(diǎn)，得，即k22kmm255k2，將代入得km1，由，且k0，得：k，m2.所以直線方程為：yx2.6分(2)將k，m2代入可得A，又過切點(diǎn)B的半徑所在的直線l為：y2x2，所以得交點(diǎn)B(0,2)，設(shè)P(x，y)，因?yàn)?，則8，化簡得：7x7y16x020y0220，又P(x，y)滿足xy2x04，將7得：3x02y050，即y0.將代入得：13
17、x22x090，解得x01或x0，所以P(1,1)或P.14分B組能力提升(建議用時(shí)：15分鐘)1(2017泰州中學(xué)高三摸底考試)已知橢圓：y21.(1)橢圓的短軸端點(diǎn)分別為A，B(如圖4)，直線AM，BM分別與橢圓交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，其中點(diǎn)M滿足m0，且m.證明直線EF與y軸交點(diǎn)的位置與m無關(guān)；若BME面積是AMF面積的5倍，求m的值(2)若圓O：x2y24.l1，l2是過點(diǎn)P(0，1)的兩條互相垂直的直線，其中l(wèi)1交圓O于T，R兩點(diǎn)，l2交橢圓于另一點(diǎn)Q.求TRQ面積取最大值時(shí)直線l1的方程. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：62172282】圖4解(1)因?yàn)锳(0,1)，B(0，1)，M，且m0，直線AM的斜率為
18、k1，直線BM的斜率為k2，直線AM的方程為yx1，直線BM的方程為yx1，由得(m21)x24mx0，x0，x，E，由得(m29)x212mx0，x0或x，F(xiàn)；據(jù)已知m0，m23，直線EF的斜率k，直線EF的方程為y，令x0，得y2，EF與y軸交點(diǎn)的位置與m無關(guān)SAMFMAMFsin AMF，SBMEMBMEsin BME，AMFBME，5SAMFSBME，5MAMFMBME，.m0，整理方程得1，即(m23)(m21)0，又有m，m230，m21，m1為所求.8分(2)因?yàn)橹本€l1l2，且都過點(diǎn)P(0，1)，所以設(shè)直線l1：ykx1，即kxy10，直線l2：yx1，即xkyk0，所以圓心(
19、0,0)到直線l1：ykx1，即kxy10的距離d，所以直線l1被圓x2y24所截的弦TR2；由得k2x24x28kx0，所以xQxp，所以QP，所以STRQQPTR，當(dāng)，即k2，解得k時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)直線l1：yx1.16分2(2017蘇北四市期末)如圖5，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C：1(ab0)的離心率e，左頂點(diǎn)為A(4,0)，過點(diǎn)A作斜率為k(k0)的直線l交橢圓C于點(diǎn)D，交y軸于點(diǎn)E.圖5(1)求橢圓C的方程；(2)已知點(diǎn)P為AD的中點(diǎn)，是否存在定點(diǎn)Q，對(duì)于任意的k(k0)都有OPEQ？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，說明理由；(3)若過點(diǎn)O作直線l的平行線交橢圓C于點(diǎn)M，
20、求的最小值解(1)因?yàn)樽箜旤c(diǎn)為A(4,0)，所以a4，又e，所以c2，b2a2c212，所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.(2)直線l的方程為yk(x4)，由消元得，1.化簡得(x4)(4k23)x16k2120，所以x14，x2.8分當(dāng)x時(shí)，yk，所以D.因?yàn)镻為AD的中點(diǎn)，所以P的坐標(biāo)為，kOP(k0)，直線l的方程為yk(x4)，令x0得E點(diǎn)坐標(biāo)為(0,4k)，假設(shè)存在定點(diǎn)Q(m，n)(m0)，使得OPEQ，則kOPkEQ1，即1恒成立，所以(4m12)k3n0恒成立，所以即所以存在定點(diǎn)Q，對(duì)于任意的k(k0)都有OPEQ，且定點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(3,0).12分(3)因?yàn)镺Ml，所以O(shè)M的方程可設(shè)為ykx，由得M點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x，由OMl，得2，當(dāng)且僅當(dāng)即k時(shí)取等號(hào)，所以當(dāng)k時(shí)，的最小值為2.16分
高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 17-18版 第9章 熱點(diǎn)探究課6 高考中的圓錐曲線問題
