新編湘教版高考數(shù)學文一輪題庫 第3章第8節(jié)正弦定理和余弦定理的應用

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1、新編高考數(shù)學復習資料 高考真題備選題庫 第3章 三角函數(shù)、解三角形 第8節(jié) 正弦定理和余弦定理的應用 考點 解三角形在實際中的應用 1.(2013江蘇,16分)如圖,游客從某旅游景區(qū)的景點A處下山至C處有兩種路徑.一種是從A沿直線步行到C,另一種是先從A沿索道乘纜車到B,然后從B沿直線步行到C.現(xiàn)有甲、乙兩位游客從A處下山,甲沿AC勻速步行,速度為50 m/min.在甲出發(fā)2 min后,乙從A乘纜車到B,在B處停留1 min后,再從B勻速步行到C.假設纜車勻速直線運行的速度為130 m/min,山路AC長為1 260 m,經(jīng)測量,cos A=,cos C=. (1)求

2、索道AB的長; (2)問乙出發(fā)多少分鐘后,乙在纜車上與甲的距離最短? (3)為使兩位游客在C處互相等待的時間不超過3分鐘,乙步行的速度應控制在什么范圍內(nèi)? 解:本題考查正弦、余弦定理,二次函數(shù)的最值,兩角和的正弦公式,不等式的解法,意在考查考生閱讀審題建模的能力和解決實際問題的能力. (1)在△ABC中,因為cos A=,cos C=,所以 sin A=,sin C=. 從而sin B=sin[π-(A+C)]=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C=×+×=. 由正弦定理=,得AB=×sin C=×=1 040(m). 所以索道AB的長為1 040 m.

3、 (2)假設乙出發(fā)t分鐘后,甲、乙兩游客距離為d,此時,甲行走了(100+50t)m,乙距離A處130t m,所以由余弦定理得 d2=(100+50t)2+(130t)2-2×130t×(100+50t)×=200(37t2-70t+50), 因0≤t≤,即0≤t≤8,故當t=(min)時,甲、乙兩游客距離最短. (3)由正弦定理=,得BC=×sin A=×=500(m). 乙從B出發(fā)時,甲已走了50×(2+8+1)=550(m),還需走710 m才能到達C. 設乙步行的速度為v m/min,由題意得-3≤-≤3,解得≤v≤,所以為使兩位游客在C處互相等待的時間不超過3 min,乙

4、步行的速度應控制在,(單位:m/min)范圍內(nèi). 2.(2010福建,12分)某港口O要將一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的輪船上.在小艇出發(fā)時,輪船位于港口O北偏西30°且與該港口相距20海里的A處,并正以30海里/小時的航行速度沿正東方向勻速行駛.假設該小艇沿直線方向以v海里/小時的航行速度勻速行駛,經(jīng)過t小時與輪船相遇. (1)若希望相遇時小艇的航行距離最小,則小艇航行速度的大小應為多少? (2)假設小艇的最高航行速度只能達到30海里/小時,試設計航行方案(即確定航行方向和航行速度的大小),使得小艇能以最短時間與輪船相遇,并說明理由. 解:法一:(1)設相遇時小艇航行的距離為S

5、海里,則 S== = . 故當t=時,Smin=10,此時v==30. 即,小艇以30海里/小時的速度航行,相遇時小艇的航行距離最小. (2)設小艇與輪船在B處相遇.則 v2t2=400+900t2-2·20·30t·cos(90°-30°),故v2=900-+. ∵0

6、距離最小,又輪船沿正東方向勻速行駛,則小艇航行方向為正北方向. 設小艇與輪船在C處相遇.在Rt△OAC中,OC=20cos 30°=10,AC=20sin 30°=10. 又AC=30t,OC=vt. 此時,輪船航行時間t==,v==30. 即,小艇以30海里/小時的速度航行,相遇時小艇的航行距離最?。? (2)猜想v=30時,小艇能以最短時間與輪船在D處相遇,此時AD=DO=30t. 又∠OAD=60°,所以AD=DO=OA=20,解得t=. 據(jù)此可設計航行方案如下: 航行方向為北偏東30°,航行速度的大小為30海里/小時,這樣,小艇能以最短時間與輪船相遇. 證明如下: 如

7、圖,由(1)得OC=10,AC=10;故OC>AC,且對于線段AC上任意點P,有OP≥OC>AC.而小艇的最高航行速度只能達到30海里/小時,故小艇與輪船不可能在A,C之間(包含C)的任意位置相遇. 設∠COD=θ(0°<θ<90°),則在Rt△COD中,CD=10tan θ,OD=. 由于從出發(fā)到相遇,輪船與小艇所需要的時間分別為 t=和t=, 所以,=. 由此可得,v=. 又v≤30,故sin(θ+30°)≥. 從而,30°≤θ<90°. 由于θ=30°時,tanθ取得最小值,且最小值為. 于是,當θ=30°時,t=取得最小值,且最小值為. 法三:(1)同法一或法二.

8、 (2)設小艇與輪船在B處相遇.依據(jù)題意得: v2t2=400+900t2-2·20·30t·cos(90°-30°), (v2-900)t2+600t-400=0. (ⅰ)若0. (ⅱ)若v=30,則t=; 綜合(ⅰ)、(ⅱ)可知,當v=30時,t取最小值,且最小值等于. 此時,在△OAB中,OA=OB=AB=20,故可設計航行方案如下: 航行方向為北偏東30°,航行速度為30海里/小時,小艇能以最短時間與輪船相遇.

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