高考數(shù)學導學練系列 導數(shù)及其應用教案 蘇教版

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1、導數(shù)及其應用考綱導讀1了解導數(shù)概念的某些實際背景（如瞬時速度，加速度，光滑曲線切線的斜率等）；掌握函數(shù)在一點處的導數(shù)的定義和導數(shù)的幾何意義；理解導函數(shù)的概念.2. 熟記八個基本導數(shù)公式(c,(m為有理數(shù))， 的導數(shù))；掌握兩個函數(shù)和、差、積、商的求導法則，了解復合函數(shù)的求導法則，會求某些簡單函數(shù)的導數(shù).3理解可導函數(shù)的單調(diào)性與其導數(shù)的關系；了解可導函數(shù)在某點取得極值的必要條件和充分條件(導數(shù)在極值點兩側異號)；會求一些實際問題(一般指單峰函數(shù))的最大值和最小值知識網(wǎng)絡高考導航導數(shù)的應用價值極高，主要涉及函數(shù)單調(diào)性、極大（?。┲担约白畲螅ㄐ。┲档?，遇到有關問題要能自覺地運用導數(shù).第1課時 變化

2、率與導數(shù)、導數(shù)的計算基礎過關1導數(shù)的概念：函數(shù)y的導數(shù)，就是當0時，函數(shù)的增量y與自變量的增量的比的 ，即 2導函數(shù)：函數(shù)y在區(qū)間(a, b)內(nèi) 的導數(shù)都存在，就說在區(qū)間( a, b )內(nèi) ，其導數(shù)也是(a ,b )內(nèi)的函數(shù)，叫做的 ，記作或，函數(shù)的導函數(shù)在時的函數(shù)值 ，就是在處的導數(shù).3導數(shù)的幾何意義：設函數(shù)y在點處可導，那么它在該點的導數(shù)等于函數(shù)所表示曲線在相應點處的 .4求導數(shù)的方法(1) 八個基本求導公式 ； ；(nQ) ， ， ， (2) 導數(shù)的四則運算 ， (3) 復合函數(shù)的導數(shù)設在點x處可導，在點處可導，則復合函數(shù)在點x處可導， 且 ，即.典型例題例1求函數(shù)y=在x0到x0+x之

3、間的平均變化率.解 y= 變式訓練1. 求y=在x=x0處的導數(shù).解 例2. 求下列各函數(shù)的導數(shù)： （1） （2） （3） （4） 解 (1) y （2）方法一 y=（x2+3x+2）（x+3）=x3+6x2+11x+6，y=3x2+12x+11. 方法二 =（x+3）+（x+1）（x+2）=（x+2+x+1）（x+3）+（x+1）（x+2）=（2x+3）（x+3）+（x+1）（x+2）=3x2+12x+11.（3）y=（4） ，變式訓練2：求y=tanx的導數(shù). 解 y例3. 已知曲線y=（1）求曲線在x=2處的切線方程；（2）求曲線過點（2，4）的切線方程. 解 （1）y=x2,在點P（2

4、，4）處的切線的斜率k=|x=2=4. 曲線在點P（2，4）處的切線方程為y-4=4(x-2),即4x-y-4=0. （2）設曲線y=與過點P（2，4）的切線相切于點，則切線的斜率k=|=. 切線方程為即 點P（2，4）在切線上，4=即(x0+1)(x0-2)2=0,解得x0=-1或x0=2,故所求的切線方程為4x-y-4=0或x-y+2=0. 變式訓練3：若直線y=kx與曲線y=x3-3x2+2x相切，則k= . 答案 2或例4. 設函數(shù) (a,bZ)，曲線在點處的切線方程為y=3.（1）求的解析式；（2）證明：曲線上任一點的切線與直線x=1和直線y=x所圍三角形的面積為定值，并求出此定值.

5、（1）解 ，于是解得或因為a,bZ，故（2）證明 在曲線上任取一點由知，過此點的切線方程為令x=1，得，切線與直線x=1交點為令y=x，得，切線與直線y=x的交點為直線x=1與直線y=x的交點為(1,1)從而所圍三角形的面積為所以，所圍三角形的面積為定值2.變式訓練4：偶函數(shù)f（x）=ax4+bx3+cx2+dx+e的圖象過點P（0，1），且在x=1處的切線方程為y=x-2，求y=f（x）的解析式.解 f（x）的圖象過點P（0，1），e=1. 又f（x）為偶函數(shù)，f（-x）=f（x）.故ax4+bx3+cx2+dx+e=ax4-bx3+cx2-dx+e.b=0，d=0. f（x）=ax4+cx

6、2+1.函數(shù)f（x）在x=1處的切線方程為y=x-2，可得切點為（1，-1）.a+c+1=-1. =(4ax3+2cx)|x=1=4a+2c，4a+2c=1. 由得a=，c=.函數(shù)y=f（x）的解析式為小結歸納1理解平均變化率的實際意義和數(shù)學意義。2要熟記求導公式，對于復合函數(shù)的導數(shù)要層層求導.3搞清導數(shù)的幾何意義，為解決實際問題，如切線、加速度等問題打下理論基礎.第2課時 導數(shù)的概念及性質基礎過關1 函數(shù)的單調(diào)性 函數(shù)y在某個區(qū)間內(nèi)可導，若0，則為 ；若0，則為 .（逆命題不成立）(2) 如果在某個區(qū)間內(nèi)恒有，則 .注：連續(xù)函數(shù)在開區(qū)間和與之相應的閉區(qū)間上的單調(diào)性是一致的.(3) 求可導函數(shù)

7、單調(diào)區(qū)間的一般步驟和方法： 確定函數(shù)的 ； 求，令 ，解此方程，求出它在定義區(qū)間內(nèi)的一切實根； 把函數(shù)的間斷點（即的無定義點）的橫坐標和上面的各個實根按由小到大的順序排列起來，然后用這些點把函數(shù)的定義區(qū)間分成若干個小區(qū)間； 確定在各小開區(qū)間內(nèi)的 ，根據(jù)的符號判定函數(shù)在各個相應小開區(qū)間內(nèi)的增減性.2可導函數(shù)的極值 極值的概念設函數(shù)在點附近有定義，且對附近的所有點都有 （或 ），則稱為函數(shù)的一個極大（?。┲捣Q為極大（?。┲迭c. 求可導函數(shù)極值的步驟： 求導數(shù)； 求方程0的 ； 檢驗在方程0的根左右的符號，如果在根的左側附近為正，右側附近為負，那么函數(shù)y在這個根處取得 ；如果在根的左側附近為負，右側

8、為正，那么函數(shù)y在這個根處取得 .3函數(shù)的最大值與最小值： 設y是定義在區(qū)間a ,b 上的函數(shù)，y在(a ,b )內(nèi)有導數(shù)，則函數(shù)y在a ,b 上 有最大值與最小值；但在開區(qū)間內(nèi) 有最大值與最小值(2) 求最值可分兩步進行： 求y在(a ,b )內(nèi)的 值； 將y的各 值與、比較，其中最大的一個為最大值，最小的一個為最小值.(3) 若函數(shù)y在a ,b 上單調(diào)遞增，則為函數(shù)的 ，為函數(shù)的 ；若函數(shù)y在a ,b 上單調(diào)遞減，則為函數(shù)的 ，為函數(shù)的 .典型例題例1. 已知f(x)=ex-ax-1.（1）求f(x)的單調(diào)增區(qū)間；（2）若f(x）在定義域R內(nèi)單調(diào)遞增，求a的取值范圍；（3）是否存在a,使f

9、(x)在（-，0上單調(diào)遞減，在0，+）上單調(diào)遞增？若存在，求出a的值；若不存在，說明理由.解：=ex-a.（1）若a0，=ex-a0恒成立，即f(x)在R上遞增.若a0,ex-a0,exa,xlna.f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(lna,+).（2）f（x）在R內(nèi)單調(diào)遞增，0在R上恒成立.ex-a0，即aex在R上恒成立.a（ex）min，又ex0，a0.（3）方法一 由題意知ex-a0在（-，0上恒成立.aex在（-，0上恒成立.ex在（-，0上為增函數(shù).x=0時，exx-a0在0，+）上恒成立.aex在0，+）上恒成立.a1，a=1.方法二 由題意知，x=0為f(x)的極小值點.=0,即e0-

10、a=0,a=1.變式訓練1. 已知函數(shù)f(x)=x3-ax-1.（1）若f(x)在實數(shù)集R上單調(diào)遞增，求實數(shù)a的取值范圍；（2）是否存在實數(shù)a,使f(x)在（-1，1）上單調(diào)遞減？若存在，求出a的取值范圍；若不存在，說明理由；（3）證明：f(x)=x3-ax-1的圖象不可能總在直線y=a的上方.（1）解 由已知=3x2-a,f(x)在（-,+）上是單調(diào)增函數(shù)，=3x2-a0在（-,+）上恒成立，即a3x2對xR恒成立.3x20,只需a0,又a=0時，=3x20,故f(x)=x3-1在R上是增函數(shù)，則a0.（2）解 由=3x2-a0在(-1,1)上恒成立，得a3x2,x(-1,1)恒成立.-1x

11、1,3x23,只需a3.當a=3時，=3(x2-1),在x(-1,1)上，0,即f(x)在（-1，1）上為減函數(shù)，a3.故存在實數(shù)a3,使f(x)在（-1，1）上單調(diào)遞減.（3）證明 f(-1)=a-20,即e-ax(-ax2+2x)0,得0x.f(x)在（-,0),上是減函數(shù)，在上是增函數(shù).當02時,f(x）在（1，2）上是減函數(shù),f（x）max=f（1）=e-a. 當12,即1a2時，f(x)在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，f(x)max=f=4a-2e-2. 當2時，即0a1時，f(x)在（1，2）上是增函數(shù)，f（x）max=f（2）=4e-2a.綜上所述，當0a2時，f(x)的最大值為e-

12、a. 變式訓練3. 設函數(shù)f(x)=-x(x-a)2(xR),其中aR.（1）當a=1時，求曲線y=f(x)在點（2，f(2)處的切線方程；（2）當a0時，求函數(shù)f(x)的極大值和極小值.解：（1）當a=1時，f(x)=-x(x-1)2=-x3+2x2-x,f(2)=-2,=-3x2+4x-1,-12+8-1=-5,當a=1時，曲線y=f(x)在點（2,f(2)處的切線方程為5x+y-8=0.（2）f(x)=-x(x-a)2=-x3+2ax2-a2x,=-3x2+4ax-a2=-(3x-a)(x-a),令=0,解得x=或x=a.由于a0，以下分兩種情況討論.若a0，當x變化時，的正負如下表：x

13、(-,)(,a)a(a,+)-0+0-f(x)0因此，函數(shù)f(x)在x=處取得極小值f（），且f（）=-函數(shù)f(x)在x=a處取得極大值f(a),且f(a)=0.若a0,=0時,x=12，當0x0,當x12時，0(0)的x的取值范圍導數(shù)及其應用單元檢測題一、選擇題1.曲線y=ex在點（2，e2）處的切線與坐標軸所圍三角形的面積為（ ）A.e22 C.e2 D.2.如果函數(shù)y=f(x)的圖象如圖所示，那么導函數(shù)y=的圖象可能是 ( )3.設f(x)=x2(2-x),則f(x)的單調(diào)增區(qū)間是 （ ）A.(0, B.(+) C.(-,0) D.(-,0)(,+）4.設aR,若函數(shù)y=ex+ax,xR

14、有大于零的極值點，則 ( )A.a-1 C.a-5.已知函數(shù)y=f(x)=x3+px2+qx的圖象與x軸切于非原點的一點，且y極小值=-4，那么p、q的值分別為 （ ）A.6,9 B.9,6 C.4,2 D.8,66.已知x0,y0，x+3y=9,則x2y的最大值為 （ ）A.36 B.18 C.25 D.427.下列關于函數(shù)f(x)=(2x-x2)ex的判斷正確的是 （ ）f(x)0的解集是x|0x2;f(-)是極小值，f()是極大值；f(x)沒有最小值，也沒有最大值. A. B. C. D.8.函數(shù)f(x)的圖象如圖所示，下列數(shù)值排序正確的是 ( )A.0f(3)-f(2)B.0f(3)-

15、f(2) C.0f(3)f(3)-f(2)D.0f(3)-f(2)9.若函數(shù)f(x)=x3-ax2+1在（0，2）內(nèi)單調(diào)遞減，則實數(shù)a的取值范圍為 （ ）A.a3 B.a=3 C.a3 D.0a310.函數(shù)f(x)=x3-ax2-bx+a2,在x=1時有極值10，則a、b的值為 （ ）A.a=3,b=-3，或a=-4,b=11 B.a=-4,b=11C.a=3,b=-3 D.以上都不正確11.使函數(shù)f(x)=x+2cosx在0，上取最大值的x為 （ ）A.0 B. C. D.12.若函數(shù)f(x)=x3-3bx+3b在（0，1）內(nèi)有極小值，則 （ ）A.0b1 B.b0 D.b二、填空題 13.

16、若f(x)=x3+3ax2+3(a+2)x+1沒有極值，則a的取值范圍為 .14.如圖是y=f(x)導數(shù)的圖象，對于下列四個判斷：f(x）在-2，-1上是增函數(shù)；x=-1是f(x)的極小值點；f(x)在-1，2上是增函數(shù)，在2，4上是減函數(shù)；x=3是f(x)的極小值點.其中判斷正確的是 .15.函數(shù)f(x)的導函數(shù)y=的圖象如右圖，則函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為 .16.已知函數(shù)f(x)的導函數(shù)為,且滿足f(x)=3x2+2x,則= .三、解答題17.已知函數(shù)f(x)=x3-x2+bx+c.(1)若f(x)在（-，+）上是增函數(shù)，求b的取值范圍;(2)若f(x)在x=1處取得極值，且x-1,2

17、時，f(x)c2恒成立，求c的取值范圍.18.設p:f(x)=(x2-4)(x-a)在(-,-2)和(2,+）上是單調(diào)增函數(shù)；q:不等式x2-2xa的解集為R.如果p與q有且只有一個正確，求a的取值范圍.19.已知函數(shù)f(x)=x(x-1)(x-a)在（2，+）上是增函數(shù)，試確定實數(shù)a的取值范圍.R上的函數(shù)f(x)=-2x3+bx2+cx(b,cR)，函數(shù)F(x)=f(x)-3x2是奇函數(shù)，函數(shù)f(x)在x=-1處取極值.（1）求f(x)的解析式；（2）討論f(x)在區(qū)間-3，3上的單調(diào)性.21.如圖所示，P是拋物線C：y=x2上一點，直線l過點P并與拋物線C在點P的切線垂直，l與拋物線C相交

18、于另一點Q，當點P在拋物線C上移動時，求線段PQ的中點M的軌跡方程，并求點M到x軸的最短距離. 22.已知某質點的運動方程為s(t)=t3+bt2+ct+d，下圖是其運動軌跡的一部分，若t，4時，s(t)3d2恒成立，求d的取值范圍.導數(shù)及其應用單元檢測題答案一、選擇題1.答案D2答案A3.答案 A4.答案A5.答案A6.答案A7.答案 D8.答案B9.答案A10.答案B11.答案B12.答案A二、填空題 13.答案 -1，214.答案 15.答案 -1，0和2，+）16.答案 6三、解答題17.解 （1）=3x2-x+b,因f(x)在（-，+）上是增函數(shù)，則2-x+b0,bx-3x2在（-，

19、+）恒成立.設g(x)=x-3x2.當x=時，g(x)max=,b.(2)由題意知=0，即3-1+b=0，b=-2.x-1,2時，f(x)c2恒成立，只需f(x)在-1，2上的最大值小于c2=3x2-x-2,令=0,得x=1或x=-.f(1)=-+c,f(-f(2)=2+c.f(x)max=f(2)=2+c,2+c2或c-1，所以c的取值范圍為（-，-1）（2，+）.18.解 命題p:由原式得f(x)=x3-ax2-4x+4a,=3x2-2ax-4,y的圖象為開口向上且過點（0，-4）的拋物線.由條件得0且0,即-2a2.命題q:該不等式的解集為R，a-1.當p正確q不正確時,-1a2;當p不正確q正確時，a0,y=x2+12上式等號僅當x2=,即x=時成立，所以點M到x軸的最短距離是+1.22. 解 =3t2+2bt+c.由圖象可知，s(t)在t=1和t=3處取得極值.則=0, =0.即解得=3t2-12t+9=3(t-1)(t-3).當t，1）時，0.當t(1,3)時，0.則當t=1時，s(t)取得極大值為4+d.又s(4)=4+d，故t，4時，s(t)的最大值為4+d.已知s(t)3d2在，4上恒成立，s(t)max3d2.即4+d或d或d-1.