新版浙江高考數(shù)學(xué)理二輪專題訓(xùn)練:第1部分 專題七 第2講 不等式選講選修45

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1、 1 1考 點(diǎn) 考 情 絕對值不等式的求解高考對本講內(nèi)容的考查主要有:(1)不等式性質(zhì)的應(yīng)用,絕對值不等式的解法,如陜西T15A.(2)不等式的證明,如江蘇T21D.(3)與絕對值不等式有關(guān)的參數(shù)問題的求解.與絕對值不等式有關(guān)的參數(shù)范圍問題不等式的證明與綜合應(yīng)用1(20xx福建高考)設(shè)不等式|x2|a(aN*)的解集為A,且A,A.(1)求a的值;(2)求函數(shù)f(x)|xa|x2|的最小值解:(1)因?yàn)锳,且A,所以a,且a,解得0,求證:2a3b32ab2a2b.證明:2a3b3(2ab2a2b)2a(a2b2)b(a2b2)(a2b2)(2ab)(ab)(ab)(2ab)因?yàn)閍b0,所以a

2、b0,ab0,2ab0,從而(ab)(ab)(2ab)0,即2a3b32ab2a2b.3(20xx福建高考)已知函數(shù)f(x)m|x2|,mR,且f(x2)0的解集為1,1(1)求m的值;(2)若a,b,cR,且m,求證:a2b3c9.解:(1)因?yàn)閒(x2)m|x|,所以f(x2)0等價(jià)于|x|m,由|x|m有解,得m0,且其解集為x|mxm又因?yàn)閒(x2)0的解集為1,1,故m1.(2)證明:由(1)知1,又a,b,cR,由柯西不等式得a2b3c(a2b3c)29.1絕對值不等式定理1:如果a,b是實(shí)數(shù),則|ab|a|b|,當(dāng)且僅當(dāng)ab0時(shí),等號成立定理2:如果a,b,c是實(shí)數(shù),那么|ac|

3、ab|bc|,當(dāng)且僅當(dāng)(ab)(bc)0時(shí),等號成立2|axb|c(c0)和|axb|c(c0)型不等式的解法(1)|axb|c(c0)caxbc.(2)|axb|c(c0)axbc或axbc.3|xa|xb|c(c0)和|xa|xb|c(c0)型不等式的解法(1)利用絕對值不等式幾何意義求解,體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想(2)利用“零點(diǎn)分段法”求解,體現(xiàn)分類討論思想(3)通過構(gòu)建函數(shù),利用函數(shù)圖像求解,體現(xiàn)函數(shù)與方程思想4證明不等式的基本方法(1)比較法;(2)綜合法;(3)分析法;(4)反證法;(5)放縮法5二維形式的柯西不等式若a,b,c,dR,則(a2b2)(c2d2)(acbd)2,當(dāng)且僅當(dāng)ad

4、bc時(shí)等號成立.熱點(diǎn)一絕對值不等式的求解例1(20xx遼寧高考)已知函數(shù)f(x)|xa|,其中a1.(1)當(dāng)a2時(shí),求不等式f(x)4|x4|的解集;(2)已知關(guān)于x的不等式|f(2xa)2f(x)|2的解集為x|1x2,求a的值自主解答(1)當(dāng)a2時(shí),f(x)|x4|當(dāng)x2時(shí),由f(x)4|x4|得2x64,解得x1;當(dāng)2x0,則|axb|ccaxbc,|axb|caxbc或axbc,然后根據(jù)a,b的取值求解即可;(2)若c0,則|axb|c的解集為,|axb|c的解集為R.2.|xa|xb|c,|xa|xb|c型不等式的解法(1)令每個(gè)絕對值符號里的一次式為0,求出相應(yīng)的根;(2)把這些根

5、由小到大排序,它們把數(shù)軸分為若干個(gè)區(qū)間;(3)在所分區(qū)間上,根據(jù)絕對值的定義去掉絕對值符號,討論所得的不等式在這個(gè)區(qū)間上的解集;(4)這些解集的并集就是原不等式的解集.1已知函數(shù)f(x)|x2|x5|.(1)證明:3f(x)3;(2)求不等式f(x)x28x15的解集解:(1)證明:當(dāng)x2時(shí),f(x)2x(5x)3;當(dāng)2x5時(shí),f(x)x2(5x)2x7,所以3f(x)3;當(dāng)x5時(shí),f(x)x2(x5)3.所以3f(x)3.(2)由(1)可知,當(dāng)x2時(shí),f(x)x28x15x28x180(x4)220,無解,所以f(x)x28x15的解集為空集;當(dāng)2x5時(shí),f(x)x28x15x210x220

6、5x5,所以f(x)x28x15的解集為x|5x5;當(dāng)x5時(shí),f(x)x28x15x28x1202x6,所以f(x)x28x15的解集為x|5x6綜上,不等式f(x)x28x15的解集為x|5x6熱點(diǎn)二與絕對值不等式有關(guān)的參數(shù)范圍問題例2(20xx新課標(biāo)全國卷)已知函數(shù)f(x)|2x1|2xa|,g(x)x3.(1)當(dāng)a2時(shí),求不等式f(x)g(x)的解集;(2)設(shè)a1,且當(dāng)x時(shí),f(x)g(x),求a的取值范圍自主解答(1)當(dāng)a2時(shí),不等式f(x)g(x)化為|2x1|2x2|x30.設(shè)函數(shù)y|2x1|2x2|x3,則y其圖像如圖所示從圖像可知,當(dāng)且僅當(dāng)x(0,2)時(shí),ya恒成立f(x)mi

7、na;f(x)a恒成立f(x)maxa有解f(x)maxa;f(x)a有解f(x)mina無解f(x)maxa;f(x)5的解集為x|x2或x5得ax4或ax5的解集為x|x2或x0時(shí),解得x或x0.(ab)(3a22b2)0.3a32b33a2b2ab2.(2)a68b6c63 3a2b2c22a2b2c2,a68b6c62a2b2c2.(3)a24b224ab,a29c226ac,4b29c2212bc,2a28b218c24ab6ac12bc,a24b29c22ab3ac6bc.熱點(diǎn)四不等式的綜合應(yīng)用例4已知a,b為正實(shí)數(shù)(1)求證:ab;(2)利用(1)的結(jié)論,求函數(shù)y(0x0,b0,

8、(ab)a2b2a2b22ab(ab)2.ab,當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)等號成立法二:(ab),又a0,b0,0,當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)等號成立ab.(2)0x0,由(1)的結(jié)論,得函數(shù)y(1x)x1,當(dāng)且僅當(dāng)1xx,即x時(shí)等號成立函數(shù)y(0x1)的最小值為1.規(guī)律總結(jié)基本不等式和柯西不等式在解決多變量代數(shù)式的最值問題中有著重要的應(yīng)用,運(yùn)用基本不等式時(shí)應(yīng)注意其條件“一正、二定、三相等”;運(yùn)用柯西不等式求最值時(shí),關(guān)鍵是進(jìn)行巧妙的拼湊,構(gòu)造出柯西不等式的形式4已知函數(shù)f(x)2.(1)求證:f(x)5,并說明等號成立的條件;(2)若關(guān)于x的不等式f(x)|m2|恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍解:(1)證明:由柯西不等式得(2)2(2212)()2()225,所以f(x)25,當(dāng)且僅當(dāng),即x4時(shí)等號成立(2)由(1)知f(x)5,又不等式f(x)|m2|恒成立,所以|m2|5,解得m7或m3,故m的取值范圍是(,37,)

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