新版新課標(biāo)高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第7篇 第7節(jié) 立體幾何中的向量方法課時(shí)訓(xùn)練 理

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1、 1 1【導(dǎo)與練】（新課標(biāo)）20xx屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第7篇 第7節(jié) 立體幾何中的向量方法課時(shí)訓(xùn)練 理 【選題明細(xì)表】知識(shí)點(diǎn)、方法題號(hào)利用向量證明空間線(xiàn)面位置關(guān)系1、3、5、7、13利用空間向量求空間角2、4、6、8利用空間向量求距離9利用空間向量解決綜合性問(wèn)題10、11、12、14、15基礎(chǔ)過(guò)關(guān)一、選擇題1.若直線(xiàn)l的方向向量為a,平面的法向量為n,有可能使l的是(D)(A)a=(1,0,0),n=(-2,0,0)(B)a=(1,3,5),n=(1,0,1)(C)a=(0,2,1),n=(-1,0,-1)(D)a=(1,-1,3),n=(0,3,1)解析:若l,則an=0.而選項(xiàng)A中an=

2、-2.選項(xiàng)B中an=1+5=6.選項(xiàng)C中an=-1,選項(xiàng)D中an=-3+3=0,故選D.2.(20xx海南?？谀M)在空間中,已知AB=(2,4,0),DC=(-1,3,0),則異面直線(xiàn)AB與DC所成角的大小為(A)(A)45(B)90(C)120(D)135解析:AB=(2,4,0),DC=(-1,3,0),cos=ABDC|AB|DC|=12-22510=22.=45.即AB與DC所成的角為45.3.(20xx陜西西安模擬)如圖所示,正方體ABCDA1B1C1D1的棱長(zhǎng)為a,M、N分別為A1B和AC上的點(diǎn),A1M=AN=23a,則MN與平面BB1C1C的位置關(guān)系是(B)(A)相交(B)平行

3、(C)垂直(D)不能確定解析:分別以C1B1、C1D1、C1C所在直線(xiàn)為x,y,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,如圖所示.A1M=AN=23a,M(a,23a,a3),N(23a,23a,a),MN=(-a3,0,23a).又C1(0,0,0),D1(0,a,0),C1D1=(0,a,0),MNC1D1=0,MNC1D1.C1D1是平面BB1C1C的法向量,且MN平面BB1C1C,MN平面BB1C1C.4.(20xx山東濰坊模擬)正三棱柱ABCA1B1C1中,AB=AA1,則AC1與平面BB1C1C所成角的正弦值為(C)(A)22(B)155(C)64(D)63解析:建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,設(shè)

4、AB=2,則C1(3,1,0),A(0,0,2),AC1=(3,1,-2),平面BB1C1C的一個(gè)法向量為n=(1,0,0),所以AC1與平面BB1C1C所成的角的正弦值為|AC1n|AC1|n|=38=64.5.如圖所示,在正方體ABCDA1B1C1D1中,O是底面正方形ABCD的中心,M是D1D的中點(diǎn),N是A1B1的中點(diǎn),則直線(xiàn)NO、AM的位置關(guān)系是(C)(A)平行(B)相交(C)異面垂直(D)異面不垂直解析:建立坐標(biāo)系如圖,設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2,則A(2,0,0),M(0,0,1),O(1,1,0),N(2,1,2),NO=(-1,0,-2),AM=(-2,0,1),NOAM=0,則直線(xiàn)N

5、O、AM的位置關(guān)系是異面垂直.6.(20xx大連模擬)在四棱錐PABCD中,底面ABCD是正方形,側(cè)棱PD平面ABCD,AB=PD=a.點(diǎn)E為側(cè)棱PC的中點(diǎn),又作DFPB交PB于點(diǎn)F.則PB與平面EFD所成角為(D)(A)30(B)45(C)60(D)90解析:建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Dxyz,D為坐標(biāo)原點(diǎn).則P(0,0,a),B(a,a,0),PB=(a,a,-a),又DE=(0,a2,a2),PBDE=0+a22-a22=0,所以PBDE,由已知DFPB,且DFDE=D,所以PB平面EFD,所以PB與平面EFD所成角為90.二、填空題7.(20xx大慶模擬)已知平面和平面的法向量分別為

6、a=(1,1,2),b=(x,-2,3),且,則x=.解析:由題意得ab=x-2+6=0,x=-4.答案:-48.等邊三角形ABC與正方形ABDE有一公共邊AB,二面角CABD的余弦值為33,M、N分別是AC、BC的中點(diǎn),則EM、AN所成角的余弦值等于.解析:過(guò)C點(diǎn)作CO平面ABDE,垂足為O,取AB中點(diǎn)F,連接CF、OF,則CFO為二面角CABD的平面角,設(shè)AB=1,則CF=32,OF=CFcosCFO=12,OC=22,則O為正方形ABDE的中心,如圖所示建立直角坐標(biāo)系Oxyz,則E0,-22,0,M24,0,24,A22,0,0,N0,24,24,EM=24,22,24,AN=-22,2

7、4,24,cos=EMAN|EM|AN|=16.答案:169.如圖所示,正方體ABCDA1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1,E是A1B1上的點(diǎn),則點(diǎn)E到平面ABC1D1的距離是.解析:法一以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn),DA,DC,DD1所在直線(xiàn)為x,y,z軸,建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系,設(shè)點(diǎn)E(1,a,1)(0a1),連接D1E,則D1E=(1,a,0).連接A1D,易知A1D平面ABC1D1,則DA1=(1,0,1)為平面ABC1D1的一個(gè)法向量.點(diǎn)E到平面ABC1D1的距離是d=|D1EDA1|DA1|=22.法二點(diǎn)E到平面ABC1D1的距離,即B1到BC1的距離,易得點(diǎn)B1到BC1的距離為22.答案:22三、

8、解答題10.(20xx高考遼寧卷)如圖,ABC和BCD所在平面互相垂直,且AB=BC=BD=2,ABC=DBC=120,E、F分別為AC、DC的中點(diǎn).(1)求證:EFBC;(2)求二面角EBFC的正弦值.(1)證明:法一過(guò)E作EOBC,垂足為O,連OF.由ABCDBC可證出EOCFOC.所以EOC=FOC=2,即FOBC.又EOBC,因此BC平面EFO,又EF平面EFO,所以EFBC.法二由題意,以B為坐標(biāo)原點(diǎn),在平面DBC內(nèi)過(guò)B作垂直BC的直線(xiàn)為x軸,BC所在直線(xiàn)為y軸,在平面ABC內(nèi)過(guò)B作垂直BC的直線(xiàn)為z軸,建立如圖2所示空間直角坐標(biāo)系.易得B(0,0,0),A(0,-1,3),D(3,

9、-1,0),C(0,2,0).因而E(0,12,32),F(32,12,0),所以EF=(32,0,-32),BC=(0,2,0),因此EFBC=0.從而EFBC,所以EFBC.(2)解:法一在圖1中,過(guò)O作OGBF,垂足為G,連EG.由平面ABC平面BDC,從而EO平面BDC,又OGBF,由三垂線(xiàn)定理知EGBF.因此EGO為二面角EBFC的平面角.在EOC中,EO=12EC=12BCcos 30=32,由BGOBFC知,OG=BOBCFC=34,因此tanEGO=EOOG=2,從而sinEGO=255,即二面角EBFC的正弦值為255.法二在圖2中,平面BFC的一個(gè)法向量為n1=(0,0,1

10、).設(shè)平面BEF的法向量為n2=(x,y,z),又BF=(32,12,0),BE=(0,12,32).由n2BF=0,n2BE=0,得其中一個(gè)n2=(1,-3,1).設(shè)二面角EBFC的大小為,且由題意知為銳角,則cos =|cos=|n1n2|n1|n2|=15,因此sin =25=255,即所求二面角的正弦值為255.11.(20xx河北石家莊二模)如圖,在三棱錐PABC中,PA底面ABC,ACBC,H為PC的中點(diǎn),M為AH的中點(diǎn),PA=AC=2,BC=1.(1)求證:AH平面PBC;(2)求PM與平面AHB成角的正弦值;(3)設(shè)點(diǎn)N在線(xiàn)段PB上,且PNPB=,MN平面ABC,求實(shí)數(shù)的值.(

11、1)證明:因?yàn)镻A底面ABC,BD底面ABC,所以PABC,又因?yàn)锳CBC,PAAC=A,所以BC平面PAC,又因?yàn)锳H平面PAC,所以BCAH.因?yàn)镻A=AC,H是PC中點(diǎn),所以AHPC,又因?yàn)镻CBC=C,所以AH平面PBC.(2)解:在平面ABC中,過(guò)點(diǎn)A作ADBC,因?yàn)锽C平面PAC,所以AD平面PAC,又PA底面ABC,得PA,AC,AD兩兩垂直,所以以A為原點(diǎn),AD,AC,AP所在直線(xiàn)分別為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標(biāo)系則A(0,0,0),P(0,0,2),B(1,2,0),C(0,2,0),H(0,1,1),M(0,12,12).設(shè)平面AHB的法向量為n=(x,y,z),AH

12、=(0,1,1),AB=(1,2,0),由nAH=0,nAB=0,得y+z=0,x+2y=0,令z=1,得n=(2,-1,1).設(shè)PM與平面AHB所成角為,因?yàn)镻M=(0,12,-32),所以sin =|cos|=|PMn|PM|n|=|20+(-1)12+1(-32)526|即sin =21515.(3)解:因?yàn)镻B=(1,2,-2),PN=PB,所以PN=(,2,-2),又因?yàn)镻M=(0,12,-32),所以MN=PN-PM=(,2-12,32-2).因?yàn)镸N平面ABC,平面ABC的一個(gè)法向量AP=(0,0,2),所以MNAP=3-4=0,解得=34.能力提升12.(20xx吉林長(zhǎng)春模擬)

13、將正方形ABCD沿對(duì)角線(xiàn)BD折成直二面角ABDC,則下面結(jié)論錯(cuò)誤的為(C)(A)ACBD(B)ACD是等邊三角形(C)AB與平面BCD所成的角為60(D)AB與CD所成的角為60解析:取BD中點(diǎn)O,連接AO、CO,則AOBD,COBD,BD平面AOC,ACBD,又AC=2AO=AD=CD,ACD是等邊三角形,而ABD是AB與平面BCD所成的角,應(yīng)為45.又AC=AB+BD+DC(設(shè)AB=a),則a2=a2+2a2+a2+2a2a(-22)+2a2a(-22)+2a2cos,cos=12,AB與CD所成的角為60.13.空間中兩個(gè)有一條公共邊AD的正方形ABCD與ADEF,設(shè)M,N分別是BD,A

14、E的中點(diǎn),給出如下命題:ADMN;MN平面CDE;MNCE;MN,CE異面.則所有的正確命題為.解析:如圖,設(shè)AB=a、AD=b、AF=c,則ab=cb=0.MN=AN-AM=12(b+c)-12(a+b)=12(c-a),MNAD=12(c-a)b=12(cb-ab)=0,故ADMN;CE=c-a=2MN,故MNCE,故MN平面CDE,故正確;正確時(shí)一定不正確.答案:14.如圖,在長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1中,AD=AA1=1,AB=2,點(diǎn)E在棱AB上.(1)求異面直線(xiàn)D1E與A1D所成的角;(2)若二面角D1ECD的大小為45,求點(diǎn)B到平面D1EC的距離.解:建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)

15、系.(1)由A1(1,0,1),得DA1=(1,0,1),設(shè)E(1,a,0),又D1(0,0,1),則D1E=(1,a,-1).DA1D1E=1+0-1=0,DA1D1E,則異面直線(xiàn)D1E與A1D所成的角為90.(2)m=(0,0,1)為平面DEC的一個(gè)法向量,設(shè)n=(x,y,z)為平面CED1的法向量,則cos=|mn|m|n|=|z|x2+y2+z2=cos 45=22,z2=x2+y2,由C(0,2,0),得D1C=(0,2,-1),則nD1C,即nD1C=0,2y-z=0,由、,可取n=(3,1,2),又CB=(1,0,0),所以點(diǎn)B到平面D1EC的距離d=|CBn|n|=322=64

16、.探究創(chuàng)新15.(20xx高考江西卷)如圖,四棱錐PABCD中,ABCD為矩形,平面PAD平面ABCD.(1)求證:ABPD;(2)若BPC=90,PB=2,PC=2,問(wèn)AB為何值時(shí),四棱錐PABCD的體積最大?并求此時(shí)平面BPC與平面DPC夾角的余弦值.(1)證明:ABCD為矩形,故ABAD;又平面PAD平面ABCD,平面PAD平面ABCD=AD,所以AB平面PAD,故ABPD.(2)解:過(guò)P作AD的垂線(xiàn),垂足為O,過(guò)O作BC的垂線(xiàn),垂足為G,連接PG.故PO平面ABCD,BC平面POG,BCPG,在RtBPC中,PG=233,GC=263,BG=63.設(shè)AB=m,則OP=PG2-OG2=4

17、3-m2,故四棱錐PABCD的體積為V=136m43-m2=m38-6m2.因?yàn)閙8-6m2=8m2-6m4=-6(m2-23)2+83,故當(dāng)m=63,即AB=63時(shí),四棱錐PABCD的體積最大.此時(shí),建立如圖所示的坐標(biāo)系,各點(diǎn)的坐標(biāo)為O(0,0,0),B(63,-63,0),C(63,263,0),D(0,263,0),P(0,0,63).故PC=(63,263,-63),BC=(0,6,0),CD=(-63,0,0),設(shè)平面BPC的一個(gè)法向量n1=(x,y,1),則由n1PC,n1BC得63x+263y-63=0,6y=0,解得x=1,y=0,n1=(1,0,1).同理可求出平面DPC的一個(gè)法向量n2=(0,12,1).從而平面BPC與平面DPC夾角的余弦值為cos =|n1n2|n1|n2|=1214+1=105.