新編高考數(shù)學(xué)理一輪資源庫第九章 第2講兩條直線的位置關(guān)系

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1、新編高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料 第2講 兩條直線的位置關(guān)系 一、填空題 1． “直線：x＋(a－1)y＋1＝0與直線：ax＋2y＋2＝0垂直”的充要條件是________． 解析　由a＋2(a－1)＝0，得a＝. 答案　a＝ 2．平面直角坐標(biāo)系中，與點(diǎn)A(1,1)的距離為1，且與點(diǎn)B(－2，－3)的距離為6的直線條數(shù)為________． 解析 ∵|AB|＝5，∴以A為圓心，半徑為1的圓(x－1)2＋(y－1)2＝1與以B為圓心，半徑為6的圓(x＋2)2＋(y＋3)2＝36內(nèi)切． ∴與A距離為1，與B距離為6的直線只有過兩圓公共切點(diǎn)并與兩圓都相切的一條直線． 答案 1 3．經(jīng)過兩

2、條直線2x－3y＋3＝0，x－y＋2＝0的交點(diǎn)，且與直線x－3y－1＝0平行的直線一般式方程為________． 解析 兩條直線2x－3y＋3＝0，x－y＋2＝0的交點(diǎn)為(－3，－1)，所以與直線x－3y－1＝0平行的直線為y＋1＝(x＋3)，即x－3y＝0. 答案 x－3y＝0 4．已知曲線f(x)＝xsin x＋1在點(diǎn)(，1)處的切線與直線ax－y＋1＝0互相垂直，則實(shí)數(shù)a＝________. 解析 f ′(x)＝sin x＋xcos x， ∴f ′()＝1.∴a＝－1. 答案 －1 5．點(diǎn)P是曲線y＝x2－ln x上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線y＝x＋2的最小距離為___

3、_____． 解析 當(dāng)點(diǎn)P為直線y＝x＋2平移到與曲線y＝x2－ln x相切的切點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)P到直線y＝x＋2的距離最?。O(shè)點(diǎn)P(x0，y0)，f(x)＝x2－ln x，則f′(x0)＝1.∵f′(x)＝2x－，∴2x0－＝1.又x0>0，∴x0＝1.∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1,1)，此時(shí)點(diǎn)P到直線y＝x＋2的距離為＝. 答案 6．已知＋＝1(a＞0，b＞0)，點(diǎn)(0，b)到直線x－2y－a＝0的距離的最小值為________． 解析　點(diǎn)(0，b)到直線x－2y－a＝0的距離為d＝＝(a＋2b)＝≥(3＋2)＝，當(dāng)a2＝2b2且a＋b＝ab，即a＝1＋，b＝時(shí)取等號(hào)． 答案　 7．若三條

4、直線l1：4x＋y＝4，l2：mx＋y＝0，l3：2x－3my＝4不能圍成三角形，則實(shí)數(shù)m的取值最多有________個(gè)． 解析　三條直線不能圍成三角形，則至少有兩條直線平行或三條直線相交于同一點(diǎn)．若l1∥l2，則m＝4；若l1∥l3，則m＝－；若l2∥l3，則m的值不存在；若三條直線相交于同一點(diǎn)，則m＝－1或，故實(shí)數(shù)m的取值最多有4個(gè)． 答案　4 8．已知0＜k＜4，直線l1：kx－2y－2k＋8＝0和直線l2：2x＋k2y－4k2－4＝0與兩坐標(biāo)軸圍成一個(gè)四邊形，則使得這個(gè)四邊形面積最小的k值為________． 解析　由題意知直線l1，l2恒過定點(diǎn)P(2,4)，直線l1的縱截距為

5、4－k，直線l2的橫截距為2k2＋2，所以四邊形的面積S＝×2×(4－k)＋×4×(2k2＋2)＝4k2－k＋8，故面積最小時(shí)，k＝. 答案　 9．直線2x－y－4＝0上有一點(diǎn)P，它與兩定點(diǎn)A(4，－1)，B(3,4)的距離之差最大，則P點(diǎn) 的坐標(biāo)是________． 解析 易知A(4，－1)，B(3,4)在直線l：2x－y－4＝0的兩側(cè)．作A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)A1(0,1)，當(dāng)A1，B，P共線時(shí)距離之差最大．[來源:] 答案 (5,6) 10．設(shè)直線l經(jīng)過點(diǎn)A(－1,1)，則當(dāng)點(diǎn)B(2，－1)與直線l的距離最遠(yuǎn)時(shí)，直線l的方程為________． 解析 設(shè)B(2，－1)到直

6、線l的距離為d， 當(dāng)d＝|AB|時(shí)取得最大值， 此時(shí)直線l垂直于直線AB，kl＝－＝， ∴直線l的方程為y－1＝(x＋1)， 即3x－2y＋5＝0. 答案 3x－2y＋5＝0 二、解答題 11．求直線a：2x＋y－4＝0關(guān)于直線l：3x＋4y－1＝0對(duì)稱的直線b的方程． 解 由得直線a與直線l的交點(diǎn)P(3，－2)． 在直線a：2x＋y－4＝0上找一點(diǎn)A(2,0)． 設(shè)點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)B的坐標(biāo)為(x0，y0)，則[K] 解得B. 由兩點(diǎn)式，得直線b的方程為＝，即2x＋11y＋16＝0. 12．已知兩直線l1：ax－by＋4＝0和l2：(a－1)x＋y＋b＝

7、0，求滿足下列條件的a，b的值． (1)l1⊥l2，且直線l1過點(diǎn)(－3，－1)； (2)l1∥l2，且坐標(biāo)原點(diǎn)到這兩條直線的距離相等． 解　(1)∵l1⊥l2，∴a(a－1)－b＝0. 又∵直線l1過點(diǎn)(－3，－1)， ∴－3a＋b＋4＝0.故a＝2，b＝2. (2)∵直線l2的斜率存在，l1∥l2， ∴直線l1的斜率存在．∴k1＝k2，即＝1－a. 又∵坐標(biāo)原點(diǎn)到這兩條直線的距離相等， ∴l(xiāng)1，l2在y軸上的截距互為相反數(shù)，即＝b. 故a＝2，b＝－2或a＝，b＝2. 13．過點(diǎn)P(0,1)作直線l使它被直線l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的線段被

8、點(diǎn)P平分，求直線l的方程． 解　設(shè)l1與l的交點(diǎn)為A(a,8－2a)，則由題意知，點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)P的對(duì)稱點(diǎn)B(－a,2a－6)在l2上， 代入l2的方程得－a－3(2a－6)＋10＝0， ∴a＝4，即點(diǎn)A(4,0)在直線l上， 又∵l過點(diǎn)P(0,1)．所以直線l的方程為x＋4y－4＝0. 14. 如圖，函數(shù)f(x)＝x＋的定義域?yàn)?0，＋∞)．設(shè)點(diǎn)P是函數(shù)圖象上任一點(diǎn)，過點(diǎn)P分別作直線y＝x和y軸的垂線，垂足分別為M，N.　 (1)證明：PM·PN為定值； (2)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求四邊形OMPN面積的最小值． (1)證明　設(shè)P(x0>0)． 則PN＝x0，PM＝＝，因此PM·PN＝1. (2)解　直線PM的方程為y－x0－＝－(x－x0)， 即y＝－x＋2x0＋. 解方程組得x＝y(tǒng)＝x0＋， S四邊形OMPN＝S△NPO＋S△OPM＝PN·ON＋PM·OM ＝x0＋ ＝＋≥1＋， 當(dāng)且僅當(dāng)x0＝，即x0＝1時(shí)等號(hào)成立， 因此四邊形OMPN的最小值為1＋.