數(shù)學(xué)第五章 平面向量 5.1 平面向量的概念、線性運(yùn)算及平面向量的坐標(biāo)表示

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1、第五章平面向量5.1平面向量的概念、線性運(yùn)算及平面向量的坐標(biāo)表示高考數(shù)學(xué)高考數(shù)學(xué)知識清單3.共線向量定理向量a(a0)與向量b共線,當(dāng)且僅當(dāng)有唯一一個(gè)實(shí)數(shù),使b=a.4.平面向量基本定理及坐標(biāo)表示(1)平面向量基本定理如果e1、e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量,那么對于這一平面內(nèi)的任一向量a,有且只有一對實(shí)數(shù)1、2,使a=1e1+2e2.其中,不共線的向量e1、e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底.(2)平面向量的正交分解把一個(gè)向量分解為兩個(gè)互相垂直的向量,叫做把向量正交分解.(3)平面向量的坐標(biāo)表示在平面直角坐標(biāo)系中,分別取與x軸、y軸方向相同的兩個(gè)單位向量i,j作為基底,對于平面內(nèi)的一

2、個(gè)向量a,由平面向量基本定理可知,有且只有一對實(shí)數(shù)x,y,使a=xi+yj,這樣,平面內(nèi)的任一向量a都可由x,y唯一確定,我們把有序數(shù)對(x,y)叫做向量a的坐標(biāo),記作a=(x,y),其中x叫做a在x軸上的坐標(biāo),y叫做a在y軸上的坐標(biāo).設(shè)=xi+yj,則向量的坐標(biāo)(x,y)就是終點(diǎn)A的坐標(biāo),即若=(x,y),則A點(diǎn)坐標(biāo)為(x,y),反之亦成立(O是坐標(biāo)原點(diǎn)).5.平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算(1)向量的加法、減法、數(shù)乘運(yùn)算及求向量的模設(shè)a=(x1,y1),b=(x2,y2),則a+b=(x1+x2,y1+y2),a-b=(x1-x2,y1-y2),a=(x1,y1),|a|=.OAOAOA2211xy(

3、2)向量坐標(biāo)的求法已知A(x1,y1),B(x2,y2),則=(x2-x1,y2-y1),即一個(gè)向量的坐標(biāo)等于該向量終點(diǎn)的坐標(biāo)減去始點(diǎn)的坐標(biāo).若向量的起點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn),則終點(diǎn)坐標(biāo)即為向量的坐標(biāo).AB 平面向量的線性運(yùn)算平面向量的線性運(yùn)算1.用已知向量來表示其他向量是解決向量問題的常用方法,要盡可能地將相關(guān)向量轉(zhuǎn)化到平行四邊形或三角形中去.2.解決點(diǎn)共線或向量共線問題時(shí),要結(jié)合共線向量定理進(jìn)行,但應(yīng)注意向量共線與三點(diǎn)共線的區(qū)別與聯(lián)系,當(dāng)兩個(gè)向量共線且有公共點(diǎn)時(shí),才能得到三點(diǎn)共線.3.要注意待定系數(shù)法和方程思想的運(yùn)用.例1如圖所示,在ABO中,=,=,AD與BC相交于點(diǎn)M.設(shè)=a,=b.OC14OA

4、OD12OBOAOB方法技巧方法1(1)試用a和b表示向量;(2)在線段AC上取一點(diǎn)E,在線段BD上取一點(diǎn)F,使EF過點(diǎn)M,設(shè)=,=,當(dāng)EF為AD時(shí),=1,=,此時(shí)+=7;當(dāng)EF為CB時(shí),=,=1,此時(shí)+=7,有人得出如下結(jié)論:無論E、F在線段AC、BD上如何變動(dòng),+=7總成立.試問他的這個(gè)結(jié)論對嗎?請說明理由.OMOEOAOFOB1213141313解析(1)設(shè)=ma+nb,則=-=ma+nb-a=(m-1)a+nb,=-=-=-a+b.A、M、D三點(diǎn)共線,與共線.故存在實(shí)數(shù)t,使得=t,即(m-1)a+nb=t,(m-1)a+nb=-ta+tb.消去t得m-1=-2n,即m+2n=1.=-

5、=ma+nb-a=a+nb,=-=b-a=-a+b,C、M、B三點(diǎn)共線,OMAMOMOAADODOA12OBOA12AMADAMAD12ab 121,2mttn CMOMOC1414mCBOBOC1414與共線,可得4m+n=1.聯(lián)立,解得m=,n=.故=a+b.(2)他的結(jié)論是對的.理由如下:=-=a+b-a=a+b,=-=-=-a+b,E、M、F三點(diǎn)共線,與共線.故存在實(shí)數(shù)k,使得=k,即a+b=k(-a+b)=-ka+kb,消去k得-=-.整理得+=7.CMCB1737OM1737EMOMOE17371737EFOFOEOBOAEFEMEMEF17371,73,7kk 173713 平面

6、向量的坐標(biāo)運(yùn)算平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算1.向量的坐標(biāo)運(yùn)算使向量的運(yùn)算完全代數(shù)化,將數(shù)與形有機(jī)結(jié)合起來.2.根據(jù)平行的條件建立方程求參數(shù)是解決向量共線問題的常用方法,充分體現(xiàn)了方程思想在向量中的應(yīng)用.例2平面內(nèi)給定三個(gè)向量a=(3,2),b=(-1,2),c=(4,1).(1)求滿足a=mb+nc的實(shí)數(shù)m、n;(2)若(a+kc)(2b-a),求實(shí)數(shù)k;(3)設(shè)d=(x,y),滿足(d-c)(a+b)且|d-c|=1,求d.方法2解析(1)由題意得(3,2)=m(-1,2)+n(4,1),所以解得(2)由題意知a+kc=(3+4k,2+k),2b-a=(-5,2),(a+kc)(2b-a),2(3+4k)-(-5)(2+k)=0,k=-.(3)由題意知d-c=(x-4,y-1),a+b=(2,4),因?yàn)?d-c)(a+b)且|d-c|=1,43,22,mnmn5,98.9mn1613224(4)2(1)0,(4)(1)1,xyxy解得或d=或.54,52 515xy 54,52 51,5xy 205 52 5,55205 52 5,55