數(shù)學(xué)第十章 概率與統(tǒng)計(jì) 第六節(jié) 概率與統(tǒng)計(jì)的綜合問題 文

第六節(jié)概率與統(tǒng)計(jì)的綜合問題總綱目錄考點(diǎn)突破考點(diǎn)二考點(diǎn)二頻率分布直方圖與概率的綜合問題考點(diǎn)一莖葉圖與概率的綜合問題考點(diǎn)三考點(diǎn)三折線圖與概率的綜合問題考點(diǎn)一莖葉圖與概率的綜合問題考點(diǎn)一莖葉圖與概率的綜合問題考點(diǎn)突破考點(diǎn)突破典例典例1(2016北京東城一模)“愛心包裹”是中國(guó)扶貧基金會(huì)依托中國(guó)郵政發(fā)起的一項(xiàng)全民公益活動(dòng),社會(huì)各界愛心人士只需通過(guò)中國(guó)郵政網(wǎng)點(diǎn)捐購(gòu)統(tǒng)一的愛心包裹,就可以一對(duì)一地將自己的關(guān)愛送給需要幫助的人.某高校青年志愿者協(xié)會(huì)響應(yīng)號(hào)召,組織大一學(xué)生作為志愿者,開展一次愛心包裹勸募活動(dòng).將派出的志愿者分成甲、乙兩個(gè)小組,分別在兩個(gè)不同的場(chǎng)地進(jìn)行勸募,每個(gè)小組各6人.愛心人士每捐購(gòu)一個(gè)愛心包裹,志愿者就將送出一個(gè)鑰匙扣作為紀(jì)念.以下莖葉圖記錄了這兩個(gè)小組成員某天勸募包裹時(shí)送出鑰匙扣的個(gè)數(shù),且圖中甲組的一個(gè)數(shù)據(jù)模糊不清,用x表示.已知甲組送出鑰匙扣的平均數(shù)比乙組的平均數(shù)少1個(gè).甲組乙組9808x4126810211(1)求圖中x的值;(2)“愛心包裹”分為價(jià)值100元的學(xué)習(xí)包和價(jià)值200元的“學(xué)習(xí)+生活”包,在乙組勸募的愛心包裹中100元和200元的比為3 1,若乙組送出的鑰匙扣的個(gè)數(shù)即為愛心包裹的個(gè)數(shù),求乙組全體成員勸募的愛心包裹的價(jià)值總額;(3)在甲組中任選2位志愿者,求他們送出的鑰匙扣個(gè)數(shù)都多于乙組的平均數(shù)的概率.解析解析(1)由莖葉圖可知乙組送出的鑰匙扣的平均個(gè)數(shù)為=16.則甲組送出的鑰匙扣的平均個(gè)數(shù)為15.由8+9+14+(10+x)+20+21=156,解得x=8.(2)乙組送出鑰匙扣的個(gè)數(shù)為96,即勸募的總包裹數(shù)為96,則價(jià)值100元的包裹有72個(gè),價(jià)值200元的包裹有24個(gè),故所求愛心包裹的價(jià)值總額為72100+24200=12000元.(3)乙組送出鑰匙扣的平均數(shù)為16個(gè),甲組送出鑰匙扣的個(gè)數(shù)分別為8,9,14,18,20,21.若從甲組中任取兩個(gè)數(shù)字,所有的基本事件為(8,9),(8,14),(8,18),(8,20),(8,21),(9,14),(9,18),(9,20),(9,21),(14,18),(14,20),(14,21),(18,20),(18,21),8 12 16 1821216(20,21),共15個(gè)基本事件.其中符合條件的基本事件是(18,20),(18,21),(20,21),共3個(gè)基本事件,故所求概率為P=.31515規(guī)律總結(jié)規(guī)律總結(jié)解決此類問題的關(guān)鍵是根據(jù)莖葉圖正確讀取相關(guān)數(shù)據(jù).1-1 (2016北京朝陽(yáng)二模)某城市要建宜居新城,準(zhǔn)備引進(jìn)優(yōu)秀企業(yè)進(jìn)行城市建設(shè).這個(gè)城市的甲區(qū)、乙區(qū)分別對(duì)6個(gè)企業(yè)進(jìn)行評(píng)估,綜合得分情況如莖葉圖所示.甲區(qū)企業(yè)乙區(qū)企業(yè)539569848346978(1)根據(jù)莖葉圖,分別求甲、乙兩區(qū)引進(jìn)企業(yè)得分的平均值;(2)規(guī)定85分以上(含85分)為優(yōu)秀企業(yè).若從甲、乙兩個(gè)區(qū)準(zhǔn)備引進(jìn)的優(yōu)秀企業(yè)中各隨機(jī)選取1個(gè),求這兩個(gè)企業(yè)得分的差的絕對(duì)值不超過(guò)5分的概率.解析解析(1)=88(分),=87(分).(2)甲區(qū)優(yōu)秀企業(yè)得分分別為88,89,93,95,共4個(gè)優(yōu)秀企業(yè),乙區(qū)優(yōu)秀企業(yè)得分分別為86,95,96,共3個(gè)優(yōu)秀企業(yè).從兩個(gè)區(qū)各選一個(gè)優(yōu)秀企業(yè),所有基本事件有(88,86),(88,95),(88,96),(89,86),(89,95),(89,96),(93,86),(93,95),(93,96),(95,86),(95,95),(95,96),共12個(gè).其中得分的差的絕對(duì)值不超過(guò)5分的基本事件有(88,86),(89,86),(93,95),(93,96),(95,95),(95,96),共6個(gè).則這兩個(gè)企業(yè)得分的差的絕對(duì)值不超過(guò)5分的概率P=.x甲7984888993956x乙788384869596661212典例典例2(2018北京西城高三期末)某市高中全體學(xué)生參加某項(xiàng)測(cè)評(píng),按得分評(píng)為A,B兩類(評(píng)定標(biāo)準(zhǔn)如表).根據(jù)男女學(xué)生比例,使用分層抽樣的方法隨機(jī)抽取了10000名學(xué)生的得分?jǐn)?shù)據(jù),其中等級(jí)為A1的學(xué)生中有40%是男生,等級(jí)為A2的學(xué)生中有一半是女生.等級(jí)為A1和A2的學(xué)生統(tǒng)稱為A類學(xué)生,等級(jí)為B1和B2的學(xué)生統(tǒng)稱為B類學(xué)生.整理這10000名學(xué)生的得分?jǐn)?shù)據(jù),得到如圖所示的頻率分布直方圖.考點(diǎn)二頻率分布直方圖與概率的綜合問題考點(diǎn)二頻率分布直方圖與概率的綜合問題類別得分(x)BB180 x90B270 x80AA150 x70A220 x50(1)已知該市高中學(xué)生共20萬(wàn)人,試估計(jì)在該項(xiàng)測(cè)評(píng)中被評(píng)為A類學(xué)生的人數(shù);(2)某5人得分分別為45,50,55,75,85.從這5人中隨機(jī)選取2人組成甲組,另外3人組成乙組,求“甲、乙兩組各有1名B類學(xué)生”的概率;(3)在這10000名學(xué)生中,男生占總數(shù)的比例為51%,B類女生占女生總數(shù)的比例為k1,B類男生占男生總數(shù)的比例為k2,判斷k1與k2的大小.(只需寫出結(jié)論)解析解析(1)依題意得,樣本中B類學(xué)生所占比例為(0.02+0.04)10=60%,所以A類學(xué)生所占比例為40%.因?yàn)槿懈咧猩?0萬(wàn)人,所以在該項(xiàng)測(cè)評(píng)中被評(píng)為A類學(xué)生的人數(shù)約為8萬(wàn)人.(2)由題表得,在5人(記為a,b,c,d,e)中,B類學(xué)生有兩人(不妨設(shè)為b,d).將他們按要求分成兩組,分組的方法數(shù)為10種.依次為(ab,cde),(ac,bde),(ad,bce),(ae,bcd),(bc,ade),(bd,ace),(be,acd),(cd,abe),(ce,abd),(de,abc).所以“甲、乙兩組各有一名B類學(xué)生”的概率為=.(3)k1k2.61035規(guī)律總結(jié)規(guī)律總結(jié)概率統(tǒng)計(jì)解答題的主要依托點(diǎn)是統(tǒng)計(jì)圖表,正確認(rèn)識(shí)和使用這些圖表是解決問題的關(guān)鍵.2-1(2016北京石景山一模)交通擁堵指數(shù)是綜合反映道路網(wǎng)暢通或擁堵的概念,記交通擁堵指數(shù)為T,其范圍為0,10,分別有五個(gè)級(jí)別:T0,2)暢通;T2,4)基本暢通;T4,6)輕度擁堵;T6,8)中度擁堵;T8,10嚴(yán)重?fù)矶?晚高峰時(shí)段(T2),從某市交通指揮中心選取了市區(qū)20個(gè)交通路段,依據(jù)其交通擁堵指數(shù)數(shù)據(jù)繪制的直方圖如圖所示.(1)求輕度擁堵,中度擁堵,嚴(yán)重?fù)矶侣范胃饔卸嗌賯€(gè);(2)用分層抽樣的方法從交通擁堵指數(shù)在4,6),6,8),8,10的路段中共抽取6個(gè)路段,求依次抽取的三個(gè)級(jí)別路段的個(gè)數(shù);(3)從(2)中抽出的6個(gè)路段中任取2個(gè),求至少有1個(gè)路段為輕度擁堵的概率.解析解析(1)由直方圖可知:(0.1+0.2)120=6,(0.25+0.2)120=9,(0.1+0.05)120=3.所以這20個(gè)路段中,輕度擁堵,中度擁堵,嚴(yán)重?fù)矶侣范畏謩e有6個(gè),9個(gè),3個(gè).(2)由(1)知擁堵路段共有6+9+3=18個(gè),用分層抽樣的方法從18個(gè)路段中抽取6個(gè),則6=2,9=3,3=1,依次抽取的三個(gè)級(jí)別路段的個(gè)數(shù)為2,3,1.(3)記(2)中抽出的2個(gè)輕度擁堵路段為A1,A2,抽出的3個(gè)中度擁堵路段為B1,B2,B3,抽出的1個(gè)嚴(yán)重?fù)矶侣范螢镃,則從6個(gè)路段選取2個(gè)路段的可能情況如下:618618618(A1,A2),(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A1,C),(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),(A2,C),(B1,B2),(B1,B3),(B1,C),(B2,B3),(B2,C),(B3,C),共15種,其中至少有1個(gè)輕度擁堵的情況有(A1,A2),(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A1,C),(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),(A2,C),共9種.至少有1個(gè)路段為輕度擁堵的概率為=.91535考點(diǎn)三折線圖與概率的綜合問題考點(diǎn)三折線圖與概率的綜合問題典例典例3(2016北京西城一模)某校高一年級(jí)學(xué)生全部參加了體育科目的達(dá)標(biāo)測(cè)試,現(xiàn)從中隨機(jī)抽取40名學(xué)生的測(cè)試成績(jī),整理數(shù)據(jù)并按分?jǐn)?shù)段40,50),50,60),60,70),70,80),80,90),90,100進(jìn)行分組,假設(shè)同一組中的每個(gè)數(shù)據(jù)可用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代替,則得到體育成績(jī)的折線圖(如下).(1)體育成績(jī)大于或等于70分的學(xué)生常被稱為“體育良好”.已知該校高一年級(jí)有1000名學(xué)生,試估計(jì)高一年級(jí)中“體育良好”的學(xué)生人數(shù);(2)為分析學(xué)生平時(shí)的體育活動(dòng)情況,現(xiàn)從體育成績(jī)?cè)?0,70)和80,90)的學(xué)生中隨機(jī)抽取2人,求在抽取的2名學(xué)生中,至少有1人體育成績(jī)?cè)?0,70)的概率;(3)假設(shè)甲、乙、丙三人的體育成績(jī)分別為a,b,c,且分別在70,80),80,90),90,100三組中,其中a,b,cN.當(dāng)數(shù)據(jù)a,b,c的方差s2最大時(shí),寫出a,b,c的值.(不要求證明)注:s2=(x1-)2+(x2-)2+(xn-)2,其中為數(shù)據(jù)x1,x2,xn的平均數(shù)1nxxxx解析解析(1)由折線圖,知樣本中體育成績(jī)大于或等于70分的學(xué)生有30人,所以該校高一年級(jí)學(xué)生中“體育良好”的學(xué)生人數(shù)大約有1000=750人.(2)記“至少有1人體育成績(jī)?cè)?0,70)”為事件M,記體育成績(jī)?cè)?0,70)的學(xué)生為A1,A2,體育成績(jī)?cè)?0,90)的學(xué)生為B1,B2,B3,則從這兩組學(xué)生中隨機(jī)抽取2人,所有可能的結(jié)果有10種,它們是(A1,A2),(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),(B1,B2),(B1,B3),(B2,B3).而事件M的結(jié)果有7種,它們是(A1,A2),(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),3040因此事件M的概率P(M)=.(3)a,b,c的值分別為70,80,100.710規(guī)律總結(jié)規(guī)律總結(jié)折線圖與概率的綜合問題的解題關(guān)鍵是正確根據(jù)折線圖讀取信息,然后轉(zhuǎn)化為基本的統(tǒng)計(jì)與概率的綜合問題求解.3-1 (2016北京豐臺(tái)一模)下圖是某行業(yè)網(wǎng)站統(tǒng)計(jì)的某一年1月到12月(共12個(gè)月)的山地自行車銷售量(1k代表1000輛)折線圖,其中橫軸代表月份,縱軸代表銷售量,由折線圖提供的數(shù)據(jù)回答下列問題:(1)在一年中隨機(jī)取一個(gè)月的銷售量,估計(jì)銷售量不足200k的概率;(2)在一年中隨機(jī)取連續(xù)兩個(gè)月的銷售量,估計(jì)這連續(xù)兩個(gè)月銷售量遞增(如2月到3月遞增)的概率;(3)根據(jù)折線圖,估計(jì)年平均銷售量在哪兩條相鄰水平平行線之間(只寫出結(jié)果,不要過(guò)程).解析解析(1)設(shè)銷售量不足200k為事件A,一年共有12個(gè)月,其中1月,2月,6月,11月共4個(gè)月的銷售量不足200k,所以P(A)=.(2)設(shè)連續(xù)兩個(gè)月銷售量遞增為事件B,在這一年中隨機(jī)取連續(xù)兩個(gè)月的銷售量,有1,2月;2,3月;3,4月;4,5月;5,6月;6,7月;7,8月;8,9月;9,10月;10,11月;11,12月,共11種取法,其中2,3月;3,4月;4,5月;6,7月;7,8月;8,9月;11,12月,共7種情況的銷售量遞增,所以P(B)=.(3)在200k250k這兩條水平平行線之間.41213711