《信號(hào)與線性系統(tǒng)分析》重要公式匯總

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1、大家論壇 17 / 17信號(hào)與線形系統(tǒng)重要公式第一章：信號(hào)與系統(tǒng)1.1單位階躍函數(shù)e(t) 單位沖激函數(shù)d(t) 1.2沖激函數(shù)的性質(zhì)： 1.3線形系統(tǒng)的性質(zhì)：齊次性 可加性 零輸入響應(yīng)，零狀態(tài)響應(yīng)，全響應(yīng) 第二章 連續(xù)系統(tǒng)的時(shí)域分析法全解=齊次解（自由響應(yīng)）+特解（強(qiáng)迫響應(yīng)） 全響應(yīng)=零輸入響應(yīng) +零狀態(tài)響應(yīng)= 零輸入響應(yīng)是指激勵(lì)為零，僅由系統(tǒng)的初始狀態(tài)所引起的響應(yīng)，用 表示。零狀態(tài)響應(yīng)是指初始狀態(tài)為零，僅由激勵(lì)所 引起的響應(yīng)，用表示。 和都為待定系數(shù)2.2沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng) 一個(gè)LTI系統(tǒng)，當(dāng)其初始狀態(tài)為零，輸入為單位沖激函數(shù)時(shí)所引起的響應(yīng)，簡(jiǎn)稱為沖激響應(yīng)。用表示，即沖激響應(yīng)為激勵(lì)為時(shí)的零

2、狀態(tài)響應(yīng)。一個(gè)LTI系統(tǒng)，當(dāng)其初始狀態(tài)為零、輸入為單位 階躍函數(shù) 時(shí)所引起的響應(yīng)，稱為單位階躍響應(yīng)， 簡(jiǎn)稱階躍響應(yīng)。用g(t)表示。階躍響應(yīng)是 時(shí)，系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)。沖激響應(yīng)與階躍響應(yīng)的關(guān)系： 同一系統(tǒng)階躍響應(yīng)與沖激響應(yīng)的關(guān)系 2.3卷積積分零狀態(tài)響應(yīng)的另一種方法2.4卷積積分性質(zhì)函數(shù)與沖激函數(shù)的卷積卷積的微分與積分第三章 離散系統(tǒng)的時(shí)域分析31全響應(yīng)=零輸入響應(yīng)+零狀態(tài)響應(yīng) 差分方程的經(jīng)典解全解=齊次解+特解不同特征根所對(duì)應(yīng)的齊次解特征根特解單實(shí)根重實(shí)根一對(duì)共軛復(fù)根 或重共軛復(fù)根不同激勵(lì)所對(duì)應(yīng)的特解激勵(lì)特解所有特征根均不為1有為1的特征根當(dāng)?shù)扔谔卣鲿r(shí)當(dāng)是特征單根時(shí)當(dāng)是重特征根時(shí)。當(dāng)所有特征根

3、均不等于32單位序列和單位序列響應(yīng)當(dāng)LTI離散系統(tǒng)的激勵(lì)為單位序列時(shí)，系統(tǒng)的 零狀態(tài)響應(yīng)稱為單位序列響應(yīng)，用表示。當(dāng)LTI離散系統(tǒng)的激勵(lì)為單位階躍序列 時(shí)， 系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)，稱為單位階躍響應(yīng)，簡(jiǎn)稱階躍響 應(yīng)，用表示。單位序列響應(yīng)與階躍響應(yīng)的關(guān)系連續(xù)系統(tǒng)沖激響應(yīng)與階躍響應(yīng)的關(guān)系幾種數(shù)列的求和公式序號(hào)公式說(shuō)明123 4 56733卷積和卷積和的性質(zhì)任一序列與單位序列的卷積第四章 傅里葉變換和系統(tǒng)的頻域分析4.1 信號(hào)分解為正交函數(shù)4.2 傅里葉級(jí)數(shù) 其中為傅里葉系數(shù)， 43傅里葉級(jí)數(shù)的指數(shù)形式 令 44傅立葉變換和逆變換 在f(t)是實(shí)函數(shù)時(shí)： (1)若f(t)為t的偶函數(shù)，即f(t)=f(-t

4、)，則f(t)的頻譜函數(shù)F(j)為的實(shí)函數(shù)， 且為的偶函數(shù)。 (2) 若f(t)為t的奇函數(shù)，即f(-t)=-f(t)，則f(t)的頻譜函數(shù)F(j)為的虛函數(shù)，且為的奇函數(shù)。表 4-1 常用傅里葉變換編號(hào)123456789101112131415164.5 傅里葉變換的性質(zhì)1線形2奇偶性實(shí)部虛部實(shí)部和虛部分別為 頻譜函數(shù)的模和相角分別為 1、若 f(t) 是時(shí)間 t 的實(shí)函數(shù)，則頻譜函數(shù)的 實(shí)部是角頻率的偶函數(shù)，虛部是角頻率的奇函數(shù)， 是的偶函數(shù)， 是的奇函數(shù)。2、如果是時(shí)間 的實(shí)函數(shù)，并且是偶函數(shù)，則 頻譜函數(shù)等于 ，它是的實(shí)偶函數(shù)3、如果是時(shí)間的實(shí)函數(shù)，并且是奇函數(shù)，則 頻譜函數(shù)等于 ，它

5、是 的虛奇函數(shù)。 4、的傅里葉變換若 f(t) 是時(shí)間 t 的實(shí)函數(shù)則有（1）（2）（3） 若 f(t) 是時(shí)間 t 的實(shí)函數(shù)（1）（2）3對(duì)稱性4尺度變換5時(shí)移特性6頻移特性7卷積定理時(shí)域卷積定理頻域卷積定理其中8時(shí)域微分時(shí)域積分9頻域微分頻域積分10能量譜功率譜傅里葉變換的性質(zhì) 4.6 周期信號(hào)的傅里葉變換一、 正、余弦函數(shù)的傅里葉變換47LTI系統(tǒng)的頻域分析1、 虛指數(shù)函數(shù)作用于LTI系統(tǒng)所引起的零狀態(tài)響應(yīng)，設(shè)沖擊響應(yīng)h(t)2、任意信號(hào)輸入時(shí)的響應(yīng)第五章 拉普拉斯變換51在頻域分析中，我們以 為基本信號(hào)，在復(fù)頻域分析中，我們以 為基本信號(hào) ，由于當(dāng)，稱為雙邊拉普拉斯變換對(duì)； 稱為的雙邊

6、拉氏變換（或象函數(shù)）； 稱為 的雙邊拉氏逆變換（或原函數(shù)）。（單邊） 拉普拉斯變換， ， ， ，52 拉普拉斯變換的性質(zhì) 1線形2尺度變換3時(shí)移特性4復(fù)頻移特性5時(shí)域微分特性如果是因果信號(hào)，則由于有 6時(shí)域積分定理其收斂域至少是和 相重疊的 部分。 7卷積定理時(shí)域卷積定理復(fù)頻域卷積定理8s域微分和積分5.3 拉普拉斯逆變換 5.4 復(fù)頻域分析1用拉普拉斯變換求系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng) 代入中有 為零輸入響應(yīng)的象函數(shù) 為零狀態(tài)響應(yīng)的象函數(shù)一般題目中有和的值，如果只有和的值，那么先算出的函數(shù)，在根據(jù)函數(shù)，計(jì)算和的值，可得出的函數(shù)2系統(tǒng)函數(shù)系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)的象函數(shù)與激勵(lì)的象函數(shù) 之比，稱為系統(tǒng)函數(shù)

7、。用 表示。，僅與系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)，元件參數(shù)有關(guān)，而與激勵(lì)及初始狀態(tài)無(wú)關(guān)第六章 離散系統(tǒng)的z域分析61 稱為序列f(k)的雙邊z變換 稱為序列f(k)的單邊z變換Z變換簡(jiǎn)記為：常用序列的z變換：因果序列：a為正實(shí)數(shù) 令a=1，則單位階躍序列的z變換：令 則有反因果序列：b為正實(shí)數(shù)， 令b=1，則有 6.2 z變換的性質(zhì)1線形若且有任意常數(shù)則有，收斂域至少為和的相交部分2移位特性若，且有整數(shù)，則3序列乘的尺度變換若，有常數(shù)，則4卷積定理若則收斂域至少為和的相交部分5序列乘k若則 ，特例 6序列若，且有整數(shù)，且，則 7 k域反轉(zhuǎn)若則8部分和若則第七章 系統(tǒng)函數(shù)71系統(tǒng)函數(shù)的零點(diǎn)與極點(diǎn)對(duì)于連續(xù)系統(tǒng) 為零點(diǎn)

8、 為極點(diǎn)對(duì)離散系統(tǒng)零點(diǎn) 極點(diǎn)同上。系統(tǒng)函數(shù)與時(shí)域響應(yīng)結(jié)論：1.H(s)在左半開平面的極點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的響應(yīng)函數(shù)是衰減的。 當(dāng)t時(shí)，響應(yīng)趨近于零。 極點(diǎn)全部在左半開平面的系統(tǒng)（因果）是穩(wěn)定的系統(tǒng)。2. H(s)在虛軸上的一階極點(diǎn)對(duì)應(yīng)的響應(yīng)函數(shù)的幅度不隨時(shí)間變化。H(s)在虛軸上的二階及二階以上的極點(diǎn)或右半開平面 上的極點(diǎn)，其所對(duì)應(yīng)的響應(yīng)函數(shù)都隨t的增長(zhǎng)而增大。 當(dāng)t時(shí)，響應(yīng)趨于無(wú)限大。這樣的系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。離散系統(tǒng)結(jié)論：1. H(z)在單位圓內(nèi)的極點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的響應(yīng)序列都是衰減的，當(dāng)k趨于無(wú)限時(shí)，響應(yīng)趨于零。 極點(diǎn)全部在單位圓內(nèi)的系統(tǒng)(因果）是穩(wěn)定系統(tǒng)。 2. H(z)在單位圓上的一階極點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的響應(yīng)序列

9、的幅度不隨k變化。 3. H(z)在單位圓上的二階及二階以上極點(diǎn)或在單位圓外的極點(diǎn)，其所對(duì)應(yīng)的響應(yīng)序列都隨k的增大 而增大，當(dāng)k趨于無(wú)限時(shí)，它們都趨近于無(wú)限大。 這樣的系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。72系統(tǒng)的穩(wěn)定性系統(tǒng)因果性因果系統(tǒng)指的是系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)不出現(xiàn)于激勵(lì)之前的系統(tǒng)。也就是說(shuō)如果系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)都有 就稱該系統(tǒng)為因果系統(tǒng)，否則稱為非因果系統(tǒng)。連續(xù)因果系統(tǒng)的充分和必要條件是：沖激響應(yīng) 或者，系統(tǒng)函數(shù)的收斂域?yàn)殡x散因果系統(tǒng)的充分和必要條件是：或者，系統(tǒng)函數(shù)的收斂域?yàn)橄到y(tǒng)的穩(wěn)定性連續(xù)（因果）系統(tǒng)的穩(wěn)定性準(zhǔn)則連續(xù)因果系統(tǒng)的穩(wěn)定準(zhǔn)則也稱為羅斯-霍爾維茲準(zhǔn)則連續(xù)系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)，其中所有的根均在左半開平面的多項(xiàng)式稱為霍爾維 茲多項(xiàng)式。 判斷多項(xiàng)式是否為霍爾維茲多項(xiàng)式的步驟：1、 判斷多項(xiàng)式 的所有系數(shù)是否大 于0。如果 的任何一個(gè)（或多個(gè)）系數(shù)為零或負(fù)值， 那么它就不是霍爾維茲多項(xiàng)式，也就不需要進(jìn)一步 研究。但是，即使所有的系數(shù) 都是正數(shù)， 也可能還有右半開平面（或虛軸）上的根，因此還 需進(jìn)一步檢驗(yàn)。2、若所有系數(shù) 均大于0， 用羅斯準(zhǔn)則進(jìn)一步判斷。 有 羅斯準(zhǔn)則：多項(xiàng)式是霍爾維茲多項(xiàng) 式的充分和必要條件是羅斯陣列中第一列元素均大 于零。離散(因果）系統(tǒng)的穩(wěn)定性準(zhǔn)則-朱里準(zhǔn)則（略）更多精品在大家！大家網(wǎng)，大家的！