數學第五章 平面向量 第二節(jié) 平面向量基本定理及坐標表示 文

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1、第二節(jié)平面向量基本定理及坐標表示總綱目錄教材研讀1.平面向量的基本定理考點突破2.平面向量的坐標運算3.平面向量共線的坐標表示考點二平面向量的坐標運算考點一平面向量基本定理及其應用考點三平面向量共線的坐標表示1.平面向量的基本定理平面向量的基本定理如果e1、e2是同一平面內的兩個不共線不共線向量,那么對于這一平面內的任一向量a,有且只有有且只有一對實數1、2,使a=1e1+2e2.其中,不共線的向量e1、e2叫做表示這一平面內所有向量的一組基底基底.教材研讀教材研讀2.平面向量的坐標運算平面向量的坐標運算(1)向量加法、減法、數乘及向量的模設a=(x1,y1),b=(x2,y2),則a+b=(

2、x1+x2,y1+y2),a-b=(x1-x2,y1-y2),a=(x1,y1),|a|=.(2)向量坐標的求法(i)若向量的起點是坐標原點,則終點坐標即為向量的坐標.(ii)設A(x1,y1),B(x2,y2),則=(x2-x1,y2-y1),|=.2211xyABAB222121()()xxyy3.平面向量共線的坐標表示平面向量共線的坐標表示設a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b0,則abx1y2-x2y1=0.1.如果e1,e2是平面內一組不共線的向量,那么下列四組向量中,不能作為平面內所有向量的一組基底的是()A.e1與e1+e2B.e1-2e2與e1+2e2C.e1+e2與

3、e1-e2D.e1+3e2與6e2+2e1D答案答案D選項A中,設e1+e2=e1,則無解;1,10,選項B中,設e1-2e2=(e1+2e2),則無解;選項C中,設e1+e2=(e1-e2),則無解;選項D中,e1+3e2=(6e2+2e1),所以兩向量是共線向量,不能作為平面內所有向量的基底.1,22 , 1,1, 122.已知點A(0,1),B(3,2),向量=(-4,-3),則向量=()A.(-7,-4)B.(7,4)C.(-1,4)D.(1,4)ACBC答案答案A根據題意得=(3,1),=-=(-4,-3)-(3,1)=(-7,-4).故選A.ABBCACABA3.已知點M(5,-6

4、)和向量a=(1,-2),若=-3a,則點N的坐標為()A.(2,0)B.(-3,6)C.(6,2)D.(-2,0)MNA答案答案A=-3a=-3(1,-2)=(-3,6),設N(x,y),則=(x-5,y+6)=(-3,6),所以即故點N的坐標為(2,0).MNMN53,66,xy 2,0.xy4.若向量a=(2,1),b=(-1,2),c=,則c可用向量a,b表示為()A.a+bB.-a-bC.a+bD.a-b50,2121232123212A答案答案A設c=xa+yb,則=(2x-y,x+2y),所以解得則c=a+b.50,220,52,2xyxy1,21,xy125.向量a,b滿足a+

5、b=(-1,5),a-b=(5,-3),則b=.(-3,4)答案答案(-3,4)解析解析由a+b=(-1,5),a-b=(5,-3),得2b=(-1,5)-(5,-3)=(-6,8),所以b=(-6,8)=(-3,4).126.已知向量=(k,12),=(4,5),=(-k,10),且A、B、C三點共線,則k=.OAOBOC答案答案-23解析解析=-=(4-k,-7),=-=(-2k,-2),因為A、B、C三點共線,即與共線,所以=(k0),解得k=-.ABOBOAACOCOAABAC42kk7223典例典例1(1)在ABC中,點D在邊AB上,CD平分ACB.若=a,=b,|a|=1,|b|=

6、2,則=()A.a+bB.a+bC.a+bD.a+b(2)在平行四邊形ABCD中,E和F分別是邊CD和BC的中點,有=+,其中,R,則+=.CBCACD1323231335454535ACAEAF考點一平面向量基本定理及其應用考點一平面向量基本定理及其應用考點突破考點突破答案答案(1)B(2)43解析解析(1)由題意得|=2|,即有=(-)=(a-b).從而=+=b+(a-b)=a+b.故選B.(2)如圖.四邊形ABCD為平行四邊形,且E、F分別為CD、BC的中點,=+=(-)+(-)ADDBAD23AB23CBCA23CDCAAD232313ACADABAEDEAFBF=(+)-(+)=(+

7、)-,=(+),=,+=.AEAF12DCBCAEAF12ACAC23AEAF2343規(guī)律總結規(guī)律總結用平面向量基本定理解決問題的一般思路(1)先選擇一組基底,并運用平面向量基本定理將條件和結論表示成該組基底的線性組合,再進行向量的運算.(2)在基底未給出的情況下,合理地選取基底會給解題帶來方便,另外,要熟練運用線段中點的向量表達式.提醒:零向量和共線向量不能作基底.1-1如圖所示,已知向量=2,=a,=b,=c,則下列等式中成立的是()A.c=b-aB.c=2b-aC.c=2a-bD.c=a-bABBCOAOBOC32123212A答案答案A由=2得+=2(+),即2=-+3,所以=-,即c

8、=b-a.故選A.ABBCAOOBBOOCOCOAOBOC32OB12OA32121-2如圖,正方形ABCD中,M是BC的中點,若=+,其中,R,則+等于()A.B.C.D.2ACAMBD4353158B答案答案B因為=+=(+)+(+)=+(-+)=(-)+,=+,所以解得+=.故選B.ACAMBDABBMBAAD12ABADABADAB12ADACABAD1,11,24,31,353考點二平面向量的坐標運算考點二平面向量的坐標運算命題方向一已知向量的坐標進行運算命題方向一已知向量的坐標進行運算典例典例2已知A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4),設=a,=b,=c,且=3c,=-

9、2b.求:(1)3a+b-3c;(2)滿足a=mb+nc的實數m,n;(3)M,N的坐標及向量的坐標.ABBCCACMCNMN解析解析由已知得a=(5,-5),b=(-6,-3),c=(1,8).(1)3a+b-3c=3(5,-5)+(-6,-3)-3(1,8)=(15-6-3,-15-3-24)=(6,-42).(2)mb+nc=(-6m+n,-3m+8n)=(5,-5),解得(3)設O為坐標原點,=-=3c,=3c+=(3,24)+(-3,-4)=(0,20),M(0,20).又=-=-2b,=-2b+=(12,6)+(-3,-4)=(9,2),N(9,2),=(9,-18).65,385

10、,mnmn 1,1.mn CMOMOCOMOCCNONOCONOCMN典例典例3(2017課標全國,12,5分)在矩形ABCD中,AB=1,AD=2,動點P在以點C為圓心且與BD相切的圓上.若=+,則+的最大值為()A.3B.2C.D.2APABAD25命題方向二坐標法在向量中的應用命題方向二坐標法在向量中的應用A解析解析分別以CB、CD所在的直線為x軸、y軸,、的方向為x軸,y軸的正方向建立平面直角坐標系,則A(2,1),B(2,0),D(0,1).點P在以C為圓心且與BD相切的圓上,可設P.則=(0,-1),=(-2,0),=.又=+,=-sin+1,=-cos+1,+=2-sin-cos

11、=2-sin(+),其中tan=,(+)max=3.CBCD22cos ,sin55ABADAP22cos2,sin155APABAD2515251512答案答案A方法技巧方法技巧1.平面向量坐標運算的技巧(1)向量的坐標運算主要是利用向量加、減、數乘運算的法則來進行求解的,若已知有向線段兩端點的坐標,則應先求向量的坐標.(2)解題過程中,常利用向量相等則其坐標相同這一原則,通過列方程(組)進行求解.2.向量問題的坐標化當題目條件中所給的幾何圖形方便建立平面直角坐標系(如矩形、等腰三角形等)時,可建立平面直角坐標系,向量坐標化,將向量問題轉化為代數問題,更便于計算求解.2-1已知向量a=(5,

12、2),b=(-4,-3),c=(x,y),若3a-2b+c=0,則c=()A.(-23,-12)B.(23,12)C.(7,0)D.(-7,0)答案答案A由題意可得3a-2b+c=(23+x,12+y)=(0,0),所以解得所以c=(-23,-12).230,120,xy23,12,xy A2-2在平面直角坐標系xOy中,已知A(1,0),B(0,1),C(-1,c)(c0),且|=2,若=+,其中,R,則+的值為.OCOCOAOB答案答案-13解析解析因為|=2,所以|2=1+c2=4,因為c0,所以c=.因為=+,所以(-1,)=(1,0)+(0,1),所以=-1,=,所以+=-1.OCO

13、C3OCOAOB3332-3給定兩個長度為1的平面向量和,它們的夾角為,如圖所示.點C在以O為圓心的圓弧上運動.若=x+y,其中x,yR,求x+y的最大值.OAOB23ABOCOAOB解析解析如圖,以O為坐標原點,OA所在的直線為x軸,的方向為x軸的正方向建立平面直角坐標系,則可知A(1,0),B,設C(cos,sin),則有x=cos+sin,y=sin,所以x+y=cos+sin=2sin,所以當=時,x+y取得最大值2.OA13,2220,3332 33363考點三平面向量共線的坐標表示考點三平面向量共線的坐標表示典例典例4已知a=(1,0),b=(2,1).(1)當k為何值時,ka-b

14、與a+2b共線?(2)若=2a+3b,=a+mb且A,B,C三點共線,求m的值.ABBC解析解析(1)ka-b=k(1,0)-(2,1)=(k-2,-1).a+2b=(1,0)+2(2,1)=(5,2).ka-b與a+2b共線,2(k-2)-(-1)5=0,即2k-4+5=0,得k=-.(2)A,B,C三點共線,=(R).即2a+3b=(a+mb),m=.12ABBC2,3,m32規(guī)律總結規(guī)律總結平面向量共線的坐標表示問題的常見類型及解題策略(1)利用兩向量共線的條件求向量坐標.一般地,在求與一個已知向量a共線的向量時,可設所求向量為a(R),然后結合其他條件列出關于的方程,求出的值后代入a即

15、可得到所求的向量.(2)利用兩向量共線求參數.如果已知兩向量共線,求某些參數的取值時,利用“若a=(x1,y1),b=(x2,y2),則ab的充要條件是x1y2=x2y1”解題比較方便.3-1已知向量=(k,12),=(4,5),=(-k,10),且A,B,C三點共線,則k的值是()A.-B.C.D.OAOBOC23431213答案答案A=-=(4-k,-7),=-=(-2k,-2).A,B,C三點共線,共線,-2(4-k)=-7(-2k),解得k=-.ABOBOAACOCOAABAC23A3-2(2018山東濟寧質檢)已知向量m=(+1,1),n=(+2,2),若(m+n)(m-n),則=.0答案答案0解析解析因為m+n=(2+3,3),m-n=(-1,-1),又(m+n)(m-n),所以(2+3)(-1)=3(-1),解得=0.3-3已知點A(4,0),B(4,4),C(2,6),則AC與OB的交點P的坐標為.(3,3)答案答案(3,3)解析解析由O,P,B三點共線,可設=(4,4),則=-=(4-4,4).又=-=(-2,6),與共線,所以(4-4)6-4(-2)=0,解得=,所以=(3,3),所以點P的坐標為(3,3).OPOBAPOPOAACOCOAAPAC34OP34OB