高考數(shù)學難點41講難點38分類討論思想

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1、難點38 分類討論思想分類討論思想就是根據(jù)所研究對象的性質(zhì)差異,分各種不同的情況予以分析解決.分類討論題覆蓋知識點較多,利于考查學生的知識面、分類思想和技巧;同時方式多樣,具有較高的邏輯性及很強的綜合性,樹立分類討論思想,應注重理解和掌握分類的原則、方法與技巧、做到“確定對象的全體,明確分類的標準,分層別類不重復、不遺漏的分析討論.”難點磁場1.()若函數(shù)在其定義域內(nèi)有極值點,則a的取值為.2.()設函數(shù)f(x)=x2+xa+1,xR.(1)判斷函數(shù)f(x)的奇偶性;(2)求函數(shù)f(x)的最小值.案例探究例1已知an是首項為2,公比為的等比數(shù)列,Sn為它的前n項和.(1)用Sn表示Sn+1;(

2、2)是否存在自然數(shù)c和k,使得成立.命題意圖:本題主要考查等比數(shù)列、不等式知識以及探索和論證存在性問題的能力,屬級題目.知識依托:解決本題依據(jù)不等式的分析法轉(zhuǎn)化,放縮、解簡單的分式不等式;數(shù)列的基本性質(zhì).錯解分析:第2問中不等式的等價轉(zhuǎn)化為學生的易錯點,不能確定出.技巧與方法:本題屬于探索性題型,是高考試題的熱點題型.在探討第2問的解法時,采取優(yōu)化結(jié)論的策略,并靈活運用分類討論的思想:即對雙參數(shù)k,c輪流分類討論,從而獲得答案.解:(1)由Sn=4(1),得,(nN*)(2)要使,只要因為所以,(kN*)故只要Sk2cSk,(kN*)因為Sk+1Sk,(kN*)所以Sk2S12=1.又Sk4,

3、故要使成立,c只能取2或3.當c=2時,因為S1=2,所以當k=1時,cSk不成立,從而不成立.當k2時,因為,由SkSk+1(kN*)得Sk2Sk+12故當k2時,Sk2c,從而不成立.當c=3時,因為S1=2,S2=3,所以當k=1,k=2時,cSk不成立,從而不成立因為,又Sk2Sk+12所以當k3時,Sk2c,從而成立.綜上所述,不存在自然數(shù)c,k,使成立.例2給出定點A(a,0)(a0)和直線l:x=1,B是直線l上的動點,BOA的角平分線交AB于點C.求點C的軌跡方程,并討論方程表示的曲線類型與a值的關系.命題意圖:本題考查動點的軌跡,直線與圓錐曲線的基本知識,分類討論的思想方法.

4、綜合性較強,解法較多,考查推理能力和綜合運用解析幾何知識解題的能力.屬級題目.知識依托:求動點軌跡的基本方法步驟.橢圓、雙曲線、拋物線標準方程的基本特點.錯解分析:本題易錯點為考生不能巧妙借助題意條件,構(gòu)建動點坐標應滿足的關系式和分類討論軌跡方程表示曲線類型.技巧與方法:精心思考,發(fā)散思維、多途徑、多角度的由題設條件出發(fā),探尋動點應滿足的關系式.巧妙地利用角平分線的性質(zhì).解法一:依題意,記B(1,b),(bR),則直線OA和OB的方程分別為y=0和y=bx.設點C(x,y),則有0xa,由OC平分AOB,知點C到OA、OB距離相等.根據(jù)點到直線的距離公式得y=依題設,點C在直線AB上,故有由x

5、a0,得將式代入式,得y2(1a)x22ax+(1+a)y2=0若y0,則(1a)x22ax+(1+a)y2=0(0xa)若y=0則b=0,AOB=,點C的坐標為(0,0)滿足上式.綜上,得點C的軌跡方程為(1a)x22ax+(1+a)y2=0(0xa(i)當a=1時,軌跡方程化為y2=x(0x1此時方程表示拋物線弧段;(ii)當a1,軌跡方程化為所以當0a1時,方程表示橢圓弧段;當a1時,方程表示雙曲線一支的弧段.解法二:如圖,設D是l與x軸的交點,過點C作CEx軸,E是垂足.(i)當BD0時,設點C(x,y),則0xa,y0由CEBD,得.COA=COB=CODBOD=COABOD2COA

6、=BOD整理,得(1a)x22ax+(1+a)y2=0(0xa)(ii)當BD=0時,BOA=,則點C的坐標為(0,0),滿足上式.綜合(i)、(ii),得點C的軌跡方程為(1a)x22ax+(1+a)y2=0(0xa)以下同解法一.解法三:設C(x,y)、B(1,b),則BO的方程為y=bx,直線AB的方程為當b0時,OC平分AOB,設AOC=,直線OC的斜率為k=tan,OC的方程為y=kx于是又tan2=bb=C點在AB上由、消去b,得又,代入,有整理,得(a1)x2(1+a)y2+2ax=0 當b=0時,即B點在x軸上時,C(0,0)滿足上式:a1時,式變?yōu)楫?a1時,表示橢圓弧段;當

7、a1時,表示雙曲線一支的弧段;當a=1時,表示拋物線弧段.錦囊妙計分類討論思想就是依據(jù)一定的標準,對問題分類、求解,要特別注意分類必須滿足互斥、無漏、最簡的原則.分類討論常見的依據(jù)是:1.由概念內(nèi)涵分類.如絕對值、直線的斜率、指數(shù)對數(shù)函數(shù)、直線與平面的夾角等定義包含了分類.2.由公式條件分類.如等比數(shù)列的前n項和公式、極限的計算、圓錐曲線的統(tǒng)一定義中圖形的分類等.3.由實際意義分類.如排列、組合、概率中較常見,但不明顯、有些應用問題也需分類討論.在學習中也要注意優(yōu)化策略,有時利用轉(zhuǎn)化策略,如反證法、補集法、變更多元法、數(shù)形結(jié)合法等簡化甚至避開討論.殲滅難點訓練一、選擇題1.()已知其中aR,則

8、a的取值范圍是( )A.a0 B.a2或a2C.2a2 D.a2或a22.()四面體的頂點和各棱的中點共10個點,在其中取4個不共面的點,不同的取法共有( )A.150種 B.147種 C.144種 D.141種二、填空題3.()已知線段AB在平面外,A、B兩點到平面的距離分別為1和3,則線段AB的中點到平面的距離為.4.()已知集合A=xx23x+2=0,B=xx2ax+(a1)=0,C=xx2mx+2=0,且AB=A,AC=C,則a的值為,m的取值范圍為.三、解答題5.()已知集合A=xx2+px+q=0,B=xqx2+px+1=0,A,B同時滿足:AB,AB=2.求p、q的值.6.()已

9、知直角坐標平面上點Q(2,0)和圓C:x2+y2=1,動點M到圓C的切線長與MQ的比等于常數(shù)(0).求動點M的軌跡方程,并說明它表示什么曲線.7.()已知函數(shù)y=f(x)的圖象是自原點出發(fā)的一條折線.當nyn+1(n=0,1,2,)時,該圖象是斜率為bn的線段(其中正常數(shù)b1),設數(shù)列xn由f(xn)=n(n=1,2,)定義.(1)求x1、x2和xn的表達式;(2)計算xn;(3)求f(x)的表達式,并寫出其定義域.8.()已知a0時,函數(shù)f(x)=axbx2(1)當b0時,若對任意xR都有f(x)1,證明a2b;(2)當b1時,證明:對任意x0,1,f(x)1的充要條件是b1a2;(3)當0

10、b1時,討論:對任意x0,1,f(x)1的充要條件.參 考 答 案難點磁場1.解析:即f(x)=(a1)x2+ax=0有解.當a1=0時,滿足.當a10時,只需=a2(a1)0.答案:或a=12.解:(1)當a=0時,函數(shù)f(x)=(x)2+x+1=f(x),此時f(x)為偶函數(shù).當a0時,f(a)=a2+1,f(a)=a2+2a+1.f(a)f(a),f(a)f(a)此時函數(shù)f(x)既不是奇函數(shù),也不是偶函數(shù).(2)當xa時,函數(shù)f(x)=x2x+a+1=(x)2+a+若a,則函數(shù)f(x)在(,a上單調(diào)遞減.從而函數(shù)f(x)在(,a上的最小值為f(a)=a2+1若a,則函數(shù)f(x)在(,a上

11、的最小值為f()=+a,且f()f(a).當xa時,函數(shù)f(x)=x2+xa+1=(x+)2a+若a,則函數(shù)f(x)在a,+上的最小值為f()=a,且f()f(a);若a,則函數(shù)f(x)在a,+)單調(diào)遞增.從而函數(shù)f(x)在a,+上的最小值為f(a)=a2+1.綜上,當a時,函數(shù)f(x)的最小值為a;當a時,函數(shù)f(x)的最小值是a2+1;當a時,函數(shù)f(x)的最小值是a+.殲滅難點訓練一、1.解析:分a=2、a2和a2三種情況分別驗證.答案:C2.解析:任取4個點共C=210種取法.四點共面的有三類:(1)每個面上有6個點,則有4C=60種取共面的取法;(2)相比較的4個中點共3種;(3)一

12、條棱上的3點與對棱的中點共6種.答案:C二、3.解析:分線段AB兩端點在平面同側(cè)和異側(cè)兩種情況解決.答案:1或24.解析:A=1,2,B=x(x1)(x1+a)=0,由AB=A可得1a=1或1a=2;由AC=C,可知C=1或.答案:2或33或(2,2)三、5.解:設x0A,x0是x02+px0+q=0的根.若x0=0,則A=2,0,從而p=2,q=0,B=.此時AB=與已知矛盾,故x00.將方程x02+px0+q=0兩邊除以x02,得.即滿足B中的方程,故B.A=2,則2A,且2.設A=2,x0,則B=,且x02(否則AB=).若x0=,則2B,與2B矛盾.又由AB,x0=,即x0=1.即A=

13、2,1或A=2,1.故方程x2+px+q=0有兩個不相等的實數(shù)根2,1或2,16.解:如圖,設MN切圓C于N,則動點M組成的集合是P=MMN=MQ,0.ONMN,ON=1,MN2=MO2ON2=MO21設動點M的坐標為(x,y),則即(x21)(x2+y2)42x+(42+1)=0.經(jīng)檢驗,坐標適合這個方程的點都屬于集合P,故方程為所求的軌跡方程.(1)當=1時,方程為x=,它是垂直于x軸且與x軸相交于點(,0)的直線;(2)當1時,方程化為:它是以為圓心,為半徑的圓.7.解:(1)依題意f(0)=0,又由f(x1)=1,當0y1,函數(shù)y=f(x)的圖象是斜率為b0=1的線段,故由x1=1又由

14、f(x2)=2,當1y2時,函數(shù)y=f(x)的圖象是斜率為b的線段,故由即x2x1=x2=1+記x0=0,由函數(shù)y=f(x)圖象中第n段線段的斜率為bn1,故得又由f(xn)=n,f(xn1)=n1xnxn1=()n1,n=1,2,由此知數(shù)列xnxn1為等比數(shù)列,其首項為1,公比為.因b1,得(xkxk1)=1+即xn=(2)由(1)知,當b1時,當0b1,n, xn也趨于無窮大.xn不存在.(3)由(1)知,當0y1時,y=x,即當0x1時,f(x)=x;當nyn+1,即xnxxn+1由(1)可知f(x)=n+bn(xxn)(n=1,2,),由(2)知當b1時,y=f(x)的定義域為0,);

15、當0b1時,y=f(x)的定義域為0,+).8.(1)證明:依設,對任意xR,都有f(x)11a0,b0a2.(2)證明:必要性:對任意x0,1,f(x)11f(x),據(jù)此可以推出1f(1)即ab1,ab1對任意x0,1,f(x)1f(x)1.因為b1,可以推出f()1即a11,a2,b1a2充分性:因為b1,ab1,對任意x0,1.可以推出axbx2b(xx2)xx1即axbx21因為b1,a2,對任意x0,1,可以推出axbx22xbx21即axbx21,1f(x)1綜上,當b1時,對任意x0,1,f(x)1的充要條件是b1a2.(3)解:a0,0b1x0,1,f(x)=axbx2b1即f(x)1f(x)1f(1)1ab1即ab+1ab+1f(x)(b+1)xbx21即f(x)1所以當a0,0b1時,對任意x0,1,f(x)1的充要條件是ab+1.內(nèi)容總結(jié)(1)難點38 分類討論思想分類討論思想就是根據(jù)所研究對象的性質(zhì)差異,分各種不同的情況予以分析解決.分類討論題覆蓋知識點較多,利于考查學生的知識面、分類思想和技巧

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