高中數(shù)學 332利用導數(shù)研究函數(shù)的極值課件 新人教B版選修1

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1、 1知識與技能 了解函數(shù)在某點取得極值的條件，會用導數(shù)求多項式函數(shù)的極大值、極小值，以及閉區(qū)間上多項式函數(shù)的最大值、最小值 2過程與方法 通過本節(jié)課的學習，掌握用導數(shù)求函數(shù)極大值、極小值和閉區(qū)間上的最大值、最小值的方法 3情感、態(tài)度與價值觀 通過本節(jié)課的學習，體會導數(shù)方法在研究函數(shù)性質(zhì)中的一般性和有效性，通過對函數(shù)的極值與最值的類比，體驗知識間的聯(lián)系，逐步提高科學地分析、解決問題的能力 本節(jié)重點：利用導數(shù)的知識求函數(shù)的極值 本節(jié)難點：函數(shù)的極值與導數(shù)的關(guān)系 利用函數(shù)的導數(shù)求極值時，首先要確定函數(shù)的定義域；其次，為了清楚起見，可用導數(shù)為零的點，將函數(shù)的定義域分成若干小開區(qū)間，并列成表格，判斷導函

2、數(shù)在各個小開區(qū)間的符號 求函數(shù)的最大值和最小值，需要先確定函數(shù)的極大值和極小值，極值是一個局部概念并且不唯一，極大值與極小值之間無確定的大小關(guān)系，極大值可能比極小值大，也可能比極小值小 f(x0)0只是函數(shù)f(x)在x0取得極值的必要條件，不是充分條件例如：函數(shù)f(x)x3，f(0)0，但x0不是f(x)x3的極值點 1已知函數(shù)yf(x)及其定義域內(nèi)一點x.對于包含x0在內(nèi)的開區(qū)間內(nèi)的所有點x，如果都有，則稱函數(shù)f(x)在點x0處取得，并把x0稱為函數(shù)f(x)的一個 ；如果都有，則稱函數(shù)f(x)在點x0處取得，并把x0稱為函數(shù)f(x)的一個極大值與極小值統(tǒng)稱為，極大值點與極小值點統(tǒng)稱為f(x)

3、f(x0)極小值極小值點極值極值點 2假設(shè)函數(shù)yf(x)在閉區(qū)間a，b上的圖象是一條 ，該函數(shù)在a，b上一定能夠取得 與，該函數(shù)在(a，b)內(nèi)是 ，該函數(shù)的最值必在取得連續(xù)不斷的曲線最大值最小值可導的極值點或區(qū)間端點 3當函數(shù)f(x)在點x0處連續(xù)時，判斷f(x0)是否存在極大(小)值的方法是： (1)如果在x0附近的左側(cè)，右側(cè)，那么f(x0)是極大值； (2)如果在x0附近的左側(cè)，右側(cè)，那么f(x0)是極值； (3)如果f(x)在點x0的左右兩側(cè)符號不變，則f(x0)函數(shù)f(x)的極值f(x)0f(x)0f(x)0小不是 例1求函數(shù)yx312x6的極值 解析(1)y3x2123(x2)令y0

4、，解得x12，x22.當x變化時，y，y的變化情況如下表：x(，2)2(2,2)2(2，)y00y極小值10極大值22 當x2時，y有極小值，并且y極小值f(2)10； 而當x2時，y有極大值，并且y極大值f(2)22. 規(guī)律方法一般地，求函數(shù)yf(x)的極值的步驟是： (1)求函數(shù)yf(x)的導數(shù)f(x)； (2)解方程f(x)0，得方程的根x0(可能不止一個)； (3)如果在x0附近的左側(cè)f(x)0，右側(cè)f(x)0，那么f(x0)是極大值如果在x0附近的左側(cè)f(x)0，那么f(x0)是極小值 求函數(shù)f(x)x33x29x5的極值 解析f(x)3x26x9. 解方程3x26x90，得x11，

5、x23. 當x變化時，f(x)與f(x)的變化情況如下表：x(，1)1(1,3)3(3，)f(x)00f(x)單調(diào)遞增10單調(diào)遞減22單調(diào)遞增 因為，當x1時函數(shù)取得極大值，且極大值為f(1)10；當x3時函數(shù)取得極小值，且極小值為f(3)22. 例2已知f(x)ax5bx3c在x1處有極大值為4，極小值為0，試確定a、b、c值 分析對參數(shù)的分類討論是本題的難點 解析f(x)5ax43bx2x2(5ax23b)由題意，f(x)0應(yīng)有根x1，故5a3b，于是f(x)5ax2(x21) (1)當a0時，x(，1)1(1,1)1(1，)f(x)00f(x)極大值極小值 (2)當a0時，x(，1)1(

6、1,1)1(1，)f(x)00f(x)極小值極大值 說明本題從逆向思維的角度出發(fā)根據(jù)題設(shè)條件進行逆向聯(lián)想，合理地實現(xiàn)了問題的轉(zhuǎn)化，使抽象問題具體化 例3求函數(shù)f(x)x42x23(x3,2)的最大值和最小值 解析f(x)4x34x4x(x1)(x1) 由f(x)0得x0或x1或x1， 當x變化時，f(x)，f(x)的變化情況如下表：x3(3，1)1(1,0)0(0,1)1(1,2)2f(x)000f(x)60極大值4極小值3極大值45 當x3時，f(x)取得最小值60， 當x1或x1時，函數(shù)f(x)取得最大值4. 規(guī)律方法函數(shù)最值的求法 求函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a，b上的最值的步驟如下： (1)

7、求函數(shù)f(x)的導數(shù)f(x)； (2)解方程f(x)0，求出使得f(x)0的所有點； (3)求函數(shù)yf(x)在(a，b)內(nèi)的極值； (4)將函數(shù)yf(x)的各極值與端點處的函數(shù)值f(a)，f(b)比較，其中最大的是函數(shù)的最大值，最小的是函數(shù)的最小值 求函數(shù)f(x)x33x26x10在區(qū)間1,1上的最值 解析f(x)3x26x63(x1)23，所以f(x)0在區(qū)間1,1上恒成立，即函數(shù)f(x)在區(qū)間1,1上是單調(diào)遞增函數(shù)，故當x1時，函數(shù)取得最小值f(1)20；當x1時，函數(shù)取得最大值f(1)6. 例4設(shè)函數(shù)f(x)2x33ax23bx8c在x1及x2時取得極值 (1)求a，b的值； (2)若對

8、于任意的x0,3，都有f(x)0. 所以當x1時，f(x)取得極大值f(1)58c， 又f(0)8c，f(3)98c. 則當x0,3時，f(x)的最大值為f(3)98c， 因為對于任意的x0,3，有f(x)c2恒成立， 所以98cc2，解得c9， 因此c的取值范圍為(，1)(9，) 規(guī)律方法(1)不等式恒成立問題與函數(shù)最值有密切的關(guān)系，解決有關(guān)不等式恒成立問題，通常轉(zhuǎn)化為最值問題來解： cf(x)恒成立cf(x)max； cf(x)恒成立cf(x)min. (2)高次函數(shù)或非基本初等函數(shù)的最值問題，通常采用導數(shù)法解決 上例改為“若對任意的x0,3都有f(x)c2成立，求c的取值范圍”，如何解答

9、？ 解析由例題可知 f(x)2x39x212x8c， 若對于任意的x0,3，都有f(x)c2成立，只需f(x)在x0,3上的最小值大于c2即可 又當x1或x2時，f(x)0， 當x變化時，f(x)，f(x)的變化情況如下表：x0(0,1)1(1,2)2(2,3)3f(x)00極大值58c 可見函數(shù)f(x)在0,3上的最小值為8c， f(x)c2恒成立，等價于8cc2， 解得0c8. 例5已知f(x)x33ax2bxa2在x1時有極值為0，求常數(shù)a，b的值 誤解因為f(x)在x1時有極值為0，且f(x)3x26axb， 所以即 解得或 因此常數(shù)a1時，b3；a2時，b9. 辨析根據(jù)極值的定義，函

10、數(shù)先減后增為極小值，函數(shù)先增后減為極大值，此題未驗證x1兩側(cè)函數(shù)的單調(diào)性 正解由錯解得當a1，b3時，f(x)3x26x33(x1)20， 所以f(x)在R上為增函數(shù)，無極值，故舍去 當a2，b9時，f(x)3x212x93(x1)(x3) 當x(3，1)時，f(x)為減函數(shù)， 當x(1，)時，f(x)為增函數(shù)， 所以f(x)在x1處取得極小值，因此a2，b9. 一、選擇題 1若函數(shù)yf(x)是定義在R上的可導函數(shù)，則f(x)0是x0為函數(shù)yf(x)的極值點的() A充分不必要條件 B必要不充分條件 C充要條件 D既不充分也不必要條件 答案B 解析如yx3，y3x2，y|x00，但x0不是函數(shù)

11、yx3的極值點 答案A 答案B 二、填空題 4函數(shù)f(x)x(xm)2在x2處有極大值，則常數(shù)m的值為_ 答案6 解析f(x)x(xm)2x32mx2m2x， f(x)3x24mxm2，由題意得，f(2)0， m6或2， 當m2時，函數(shù)f(x)在x2處取極小值，故m6. 答案01 三、解答題 6已知函數(shù)f(x)x33x29x11. (1)寫出函數(shù)的遞減區(qū)間； (2)討論函數(shù)的極大值或極小值，如有試寫出極值 解析f(x)3x26x93(x1)(x3)， 令f(x)0，得x11，x23. x變化時，f(x)的符號變化情況及f(x)的增減性如下表所示：x(，1)1(1,3)1(3，)f(x)00f(x)增極大值f(1)減極小值f(3)增 (1)由表可得函數(shù)的遞減區(qū)間為(1,3) (2)由表可得，當x1時，函數(shù)有極大值為f(1)16；當x3時，函數(shù)有極小值為f(3)16.