廣東省高三數(shù)學 第2章第3節(jié) 函數(shù)的單調性復習課件 文

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1、21.0,2 A1 BC.45 Dyxyxyxxyx 下列函數(shù)中，在區(qū)間上為增函數(shù)的是. . . 0,2ABCD以上函數(shù)在上的單調性依次解析：為遞減； 遞增； 遞減； 遞減B 2.log(01)(0)(1)2 (1)2(1)2(1)2 af xx aaf afAf afBf afCf afD設函數(shù)，且在 ，上單調遞增，則 與的大小關系是 不能確定B (0).(0)0111 2.(0)(1)2yxf xaaf xf xf af易知 在 ，上是減函數(shù)又已知在 ，上單調遞增，故 ，從而 又因為是偶函數(shù)，所以在 ，上單調遞解減所以 析： 23.|1| . f xxx函數(shù)=-+ 的單調遞增區(qū)間為11,1

2、,)2 2222 11115().1124151(1 1).24)1,)2(xxyxxxxyxxxf xf x當或 時， 當時，- 作解析：單調遞增區(qū)間為出函數(shù)的圖， ，象 如圖 ，可以知道數(shù)函的 (3- )4(1)4.log(1).aa xaxf xRxxa 已知=是 上的增函數(shù)，那么實數(shù) 的取值范圍是1, 3130.3 50 13aaaa由題意解析：解得 知， 25.21,21 .af xxaxg xxa若函數(shù)=-+與=在區(qū)間上都是減函數(shù)，則 的取值范圍是(0,1 222 2()1,211,20.10,1af xxaxx aaaag xax=-+=-+在區(qū)間上是減函數(shù)，解析：綜合得則；=在

3、上是減函數(shù)，則 10afxxax討論函數(shù) 的例題 ：單調性函數(shù)單調性的判斷與證明 12212121122112121221121221(0)(0)100-()01 )0.(f xxxxxxaaf xf xxxx xaxxx xxxax xaf xf xf xaxxx xaf xf xf xa定義法：函數(shù)的定義域為 ，當時，設，則 于是當時，則所以在 ，上是減函數(shù)；當時，解析：在，則上是法以方所增函數(shù)： 12212121122112121221121221200.1()00)( ),0),(0,(,(,)fxxxxxaf xf xxxx xaxxx xaxxx xaf xfxaaxf xaxxa

4、x xaf xf xfaaax當時，設則 于是當時，則所以在，上是函數(shù)在上是減函數(shù)減函數(shù)；當時，則所以在 ，在 ，上是上是增函數(shù)綜上，增函數(shù)0)x 由于函數(shù)是奇函數(shù)，其實只需討論的情況即可 2201.0.)(0 0(0) (0,)2()0)axfxxfxaxxaf xaf xf xaaaxxaaaf當時，令，得，則于是在，上是增函數(shù)；同理可得在 ，上是減函數(shù)當時，由奇函數(shù)的性質知函數(shù)在 ，上是增函數(shù)綜上，函數(shù)在，上是減函數(shù)，在 ，在，上是減，方法 ：導數(shù)法：上是函數(shù)增函數(shù)2112122()“”“”f xf xx xaxxxaxaxa研究函數(shù)的單調性一般有兩種方法，即定義法和導數(shù)法定義法是基礎，

5、掌握定義法的關鍵是作差，運算的結果可以判斷正、負本題判斷正、負的依據(jù)是代數(shù)式，處理這個代數(shù)式的符號是一個難點，要有一定的數(shù)學功底作基礎把 、 看成自變量，則轉化為判斷的符號，于是轉化為判斷的符號，自然過渡到 是函數(shù)單調區(qū)間的分界點第二種方法是導數(shù)法反思小結：導數(shù)是000研究函數(shù)圖象上某點的切線斜率的變化大小的，當某點的導數(shù)為 時，斜率為 ，所以導數(shù)為 是函數(shù)單調區(qū)間的分界點，用導數(shù)法可以克服推理運算中的難點掌握導數(shù)法在函數(shù)單調性研究中的運用，能收到事半功倍的效果 11( ,0,)xxxxabf xa babab判拓展練斷函數(shù)的習：單調性 21122112211212121221+.1+01.1

6、1.11111(1)()001(1)()0.xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxba baf xbabab ccf xccacab cab cac ccxxf xf xcccccccc cccccc cc 原函數(shù)化為設 ，得，且 且設 ，則因為當 時，則 ；當 時，則 解析：所以 21101ccf xf xf xR不論 還是 ，恒有故是 上的增函數(shù) 212 log (43)2-fxxx例 題求 函 數(shù)的：單 調 區(qū) 間 復合函數(shù)的單調區(qū)間 2221212121243014.32543(),log.243( 1234)23120 xxxu xxxxyuxu xxu xxxu xu xu xy

7、y由 ，得令 則原函數(shù)化為 易知，當 , 時，是增函數(shù)；當, 時，是減函數(shù)故當時，因為是增函數(shù)，解析：所以，所以； 1212122123log (43)( 123 ,4)3420.2xxu xu xu xyyfxxx故函數(shù)在 ,上是減函數(shù)，在當時，因為是減函數(shù)，所以，所以上是增函數(shù) 21212 43log34)23( 1log(0)2u xxxyuu xyu復合函數(shù)的單調區(qū)間的求解可分為四步：求函數(shù)的定義域；把復合函數(shù)分解成兩個常見函數(shù),本題中， 是二次函數(shù), 是對數(shù)函數(shù)；分別求各函數(shù)的單調區(qū)間本題中,的單調遞減區(qū)間為，單調遞增區(qū)間為 ， , 是 ，上的減函數(shù)；根據(jù)復合函數(shù)單調性的判斷法則寫出

8、單反思小結：調區(qū)間 2log (3 2) 01af xx xa求函數(shù)-的單拓展練習：調區(qū)間 22320(3,1)1 1,1) log (32) 01(31 1,(131log01)aauxxxuxf xxuaayxu設 ，則由于函數(shù) 的圖象的對稱軸為直線 ，所以函數(shù) 在上是減函數(shù)，在 ， 上是增函數(shù)解析：所以函數(shù) 的單調遞減區(qū)間為 , ,單調遞增區(qū)間又因是為函數(shù) 是減函數(shù)，22log (3 )2)3yxaxaa若函數(shù) 在 ，上是增函數(shù)，求實數(shù) 的例題 ：取值范圍利用單調性討論參數(shù)的值222230)2loglog (3 )2)uxaxaauyuyxaxa設 ，則函數(shù) 在,上是增函數(shù)又 是增函數(shù)，

9、根據(jù)復合函數(shù)的單調性，要使函數(shù) 在 ，上是解析：增函數(shù)，22,),),230(2,)42,24230(2)044.(4,4auxaxaxaaaaaaau 只需即即,所以實數(shù) 的取值范圍是 解得 2 1302)2)2320.uxaxaau利用函數(shù)單調性討論參數(shù)的取值范圍高考試題考查能力的知識結合點，一般要弄清三個環(huán)節(jié)：考慮函數(shù)的定義域，保證研究過程有意義本題中，不能忽視 ；保證常見函數(shù)的單調區(qū)間與題目給出的單調區(qū)間的同一性本題中， ，上是單調增區(qū)間與 ，一致；注意防止擴大參數(shù)的取值范圍本題中，反思小結： 9log (8)1)af xxxa函數(shù)=+ -在 ,+上是增函數(shù)拓展練習：,求 的取值范圍

10、91212121212128.log (8)1)1)1)101 809.1188()(1)0.ag xxxaf xxxg xg xgaaxxg xg xaaaxxxxxxx x設 因為函數(shù) 在 ，上是增函數(shù)，所以在 ，上是增函數(shù)，且在 ，上的最小值，即 ，所以對任意的，由，得 方法 ：即解，析：1212121212121212211288()(1)0. 1010,9)1.11.aaaxxxxxxx xaxxx xaax xx xxxax xaa得 ，即因為 ，所以，即綜上，得 的，得因為，所以要使恒成立，取值范圍為只要 22 ()81)101)1)1.1)101809 1,:.9)2ag xx

11、xagxxxaxag xgaaa用導數(shù)求解依題意， 在 ，上是增函數(shù)，故 在 ，上恒成立，即當，時，恒成立，所以又在 ，上的最小值，即 ，所以故 的取值為范圍方法221(04)22xyxxx例題4：求函數(shù) 的值域函數(shù)的值域與最值 22121(04)1,9,2411613()221 31322413.1 13 139136131,92 131242txtxtxttyttttttttttt設，則，且 從而原函數(shù)可化為 可證得 在 ，上是減函數(shù),在，上是增函數(shù).故當時, ， ,進而解析：，可求得原函數(shù)的值域為 x求函數(shù)的最值或值域是中學數(shù)學里非常重要的一個內容，盡管其方法多樣，但利用函數(shù)的單調性是其

12、中最重要的方法之一本題由于受自變量的取值范圍的限制，不宜采用判別式法來求該函數(shù)的值域,若轉化為關于 的一元二次方程，然后結合二次方程根的分布的有關知識來解，盡管也行得通,但計算量也較大.利用單調性來求解本題不失為一種不錯反思小結：的方法 log (1)0,1xaf xaxaa函數(shù) 在上的最大與最小值拓展練的和為 ，求習：的值 maxmaxminmax1( )log 2,( )1,log 2 1,log 2110121log 221.log 21aaaaaaf xf xaf xaaaaf xf xaf xaaa 若，則為增函數(shù)，所以依題意,得即 ,解得 ,矛盾當時，則為減函數(shù)，所以 ，依題意，得

13、 ，于是解析： (0)101221(8425)f xxf xx yf xyf xfyf xff xfxx已知函數(shù)的定義域為 ,，當時,且對于任意的正數(shù) ,都有證明：函數(shù)在定義域例題 ：上是增函數(shù)；如果 且，求 的取值范圍抽象函數(shù)的單調性 1222111122111110.()()()xxxf xf xfxf xxxxff xf xfxx證明：設則解析： 221121221()00.2(84)(84 )22248440,1.801)4xxfxxf xf xf xfxfxxfffxxxxxfxxx因為，所以，所以因為 故在定義域上是增函數(shù)故實數(shù) 的取值范圍是 ，所以 滿足解得 12()31123(

14、f xyf xf yff xyf xf y抽象函數(shù)單調性問題的特點是：給出定義域；給出滿足函數(shù)意義的表達式 本題是；討論函數(shù)的單調性和不等式求解等問題處理方法：在定義域內任意取值，找出某些具體的函數(shù)值，如等；抓住關系式，如，進行適當?shù)馁x值和配湊；從函數(shù)值的大小關系中，根據(jù)單調性，脫掉函數(shù)符號，轉化為自變量間的大小關系，但要注意自變量的取值必須在定義域內，最后通過解思小結：不等式反)組 來完成 200.01()1023()1yf xfxf xxyf xyf xfyxf xf xf xf xxxRRRR定義在 上的函數(shù) ，當時，且對任意的 ，都有 證明：對任意的，；證明：是 上拓展的增函數(shù)；若，求

15、 的取練習：值范圍 1000001.1() 1.001()1.0.0 xyffffyxf xfxf xfxxxfxf xxf xfx R證明：令 ，得，所以令 ，得 ，所以設，則，所以由 ，解析：對任意的，故得 12212111211121121211212222()() () 10()1003()(2 )102020.(2,0)xxf xf xf xxxf xf xxf xf xf xxf xxxf xxf xf xf xf xf xxf xxfxxxf xxR證明：設，則 因為 ，所以，且，所以，故由 ，得 ，函數(shù)在 上是增函數(shù)所以 的取值是得解范圍 1212212121122121211

16、1()()0()0)200Df xxxDxxf xf xf xf xf xDf xf xxxDf xf xxxxxf xDf xDfxxDfxf xD判斷函數(shù)的單調性定義法：給定區(qū)間 上的函數(shù)，若對 ，且，都有或，則函數(shù)在 上是增函數(shù) 或減函數(shù) 與定義等價的判斷，如對 ，若或，則函數(shù)在 上是增函數(shù)；導數(shù)法：設定義在區(qū)間 上，求，對，若，則函數(shù)在 上是增 ()00fxfx函數(shù) 減函數(shù) 注意若已知函數(shù)的單調性，用導數(shù)法求參數(shù)的取值范圍時，應令或，否則極可能漏解 21“ ”(0) (0)(0)(0)“”fxx.函數(shù)的單調區(qū)間函數(shù)的單調區(qū)間可能是連續(xù)的，也可能是離散的，離散的單調區(qū)間中間分別用 ，分開

17、，如 ，有兩段離散的減區(qū)間 ，不能表示成 ，單調函數(shù)的單調性是一個局部概念，定義域整體上可能并不具有單調性,所以,單調性只是函數(shù)在某一區(qū)間上的 整體 性質的表現(xiàn) 00003f xDmxDf xMxDf xMMf xxDf xMf xM.函數(shù)的最值函數(shù)的最值問題與函數(shù)的值域問題既相近，也有區(qū)別一個函數(shù)可能有最值，也可能沒有最值，但函數(shù)的值域是一定存在的設函數(shù)的定義域為 ，若存在實數(shù) ，滿足對任意的，有，且存在使得，則是函數(shù)的最大值如果沒有，使得，則函數(shù)無最大值，此時，稱為函數(shù)值域的上界如嚴格單調函數(shù)在開區(qū)間上是沒有最值的. 4“”“” “”“”yf u xu xyf uyf u xyf u x.

18、復合函數(shù)的單調性函數(shù) 稱為復合函數(shù)，其中稱為 內層函數(shù) ，稱為 外層函數(shù) 內、外層函數(shù) 的單調性相同時,函數(shù) 是增函數(shù)，相反時，函數(shù) 是減函數(shù)簡稱為 同增異減 在討論復合函數(shù)的單調性時，定義域是不能忽視的，要注意內層函數(shù)的值域是外層函數(shù)的定義域在復合函數(shù)單調性問題中，對參數(shù)的討論是一個難點，因為參數(shù)所具有的性質與單調區(qū)間有直()接關系，因此要注意兩點：一是確保單調區(qū)間上函數(shù)有意義；二是根據(jù)單調性，轉化為不等式 組 問題求解.121211.log (1)|1|;2.0,1()A BC (201 D0)xyxyxyxy給定函數(shù)： ； ； 其中在區(qū)間上單調遞減的函數(shù)的序號是 北京卷 答案：B 2.l

19、g .()A (1) B 1) C (2) D 2(2010)f xxabf af bab已知函數(shù)若且，則 的取值范圍是 ，全國大綱，卷 lglg11().0,01.1.“”0,11112.(C2)f af bababbabaaaababf aaaf af afab 因為，所以，所以 舍去 或 ，所以 設則令 由 對鉤 函數(shù)的性質，知函數(shù)在上為減函數(shù)，所以 故 的取值范圍是,解：析答案： 3.(3)e()A (2)B 0,3 C 1,4 D (2)(2010)xf xx函數(shù) 的單調遞增區(qū)間是 ，廣東卷 ， (3) e(3) e(2)e .D02.xxxfxxxxfxx令，解得解析：答案：()用函數(shù)單調性的定義來研究函數(shù)的單調區(qū)間和函數(shù)的值域或最值，是考試命題的熱點一般來說，單調性的概念的考查主要是發(fā)揮選擇題和填空題的功能，難度要求不高，背景也容易理解但把單調性與函數(shù)的其他性質 包括圖象 綜合起來，難度就會直線上升，只要多做一些典型習題，并善于結合導數(shù)的應用，是能夠選題感悟：提高的