平面雙連桿機械臂動態(tài)模型

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1、構建平面雙連桿機械臂動態(tài)模型 1.平面雙連桿機械臂的分析 圖1平面雙連桿機械臂 2 平面雙連桿機械臂如圖 1，圖中B 1為關節(jié)1轉(zhuǎn)角，0 2為關節(jié)2轉(zhuǎn)角，11為桿1的長度，12為 桿2的長度，r1為關節(jié)1到桿1質(zhì)心的距離，r2為關節(jié)2到桿2質(zhì)心的距離,M1為負載質(zhì)量。以圖 中的0為原點的x ° - y °為基坐標。 2.數(shù)學建模 2.1尋找動力學 末端坐標 X pl = l ! COS 3 l 2 cos( 3 ? R ) y pi = I t sin K 亠 I 2 sin( 3 ? t|2 ) 根據(jù)雅克比矩陣的形式 dx dx a 日2 J = d

2、y dy 占 日2 一 對末端坐標進行微分得到末端速度方程 x pl - -I < sin e - I 2( * r 亠心2) sin( E ? 6) y pl = — Ij、cos 冃 ? I 2(.冷？ - 2) cos( R ? v2) 其中國！ = 0，⑷2 =，將(3)、( 4)兩式聯(lián)立整理成速度雅克比矩陣形式 I 1s 1 —： I 2s12 J = 1c1 I 2c12 其中St =sin 3 , c1 = cos 匕,s2 = sin 6 ，5 二 _ I 2s 12 I 2C12 cos ■t|2 ,

3、 s12 =sin( 匕 ? v2),c12=cos( ■ v2)。 在機器人基礎坐標系中的速度與各關節(jié)速度間的關系以及手部與外界接觸力與對應各關節(jié)間的關系可 以利用雅克比矩陣來建立。對機械臂末端速度方程（ 3）、方程（4）進行求導得到末端加速度方程如下 x pi y'p (1 1S 1 1 2S 12 )「1 1 2S 12「2 =-(Il 1C 1 I 2C12)；：：1 1 2C12；：：2 ' 21 2；：： 1；：： 2C12 (l 1S1 ' 1 2S 12 ^ r-1 * 1 2S 122 - - 1 S 1 ''' 1 2S 12 1 ''' 1 2S 12

4、；：： 2 ■'' 2l 2；：：1；l 2S 12 其中r= r，:.2 =T2，上述推導的方程構成了進行動力學仿真的基礎 ，它們表明了有效負荷的加速度與 兩節(jié)點處電動機的角速度和角加速度之間的關系。 程如下 機械臂質(zhì)心位置的加速度和關節(jié)處的變量之間關系方 AC[ ,x 十r&心！ = -r&個1 AC1, y 2 —r 1C 10( 1 = —r 1S 1 ⑷ 1 2 Ac2,x -(I 1S1 - r2S12- r2S1^z2 = (l 1C1 Ac2，y ■ (11C! r 2C12 k-1 ■ r 2S12 2 = (11S1 2 2

5、 1 2C12 ) 1 1 2C 12 2 2 2 '1 2S 12 ^71 ' 1 2C12 ；：； 2 2| 2；.m2C12 -2| 2"?2S12 2.2構建拉格朗日模型 2.2.1選定廣義關節(jié)變量及廣義力 選取笛卡爾坐標系。0 1為關節(jié)1轉(zhuǎn)角，0 2為關節(jié)2轉(zhuǎn)角，關節(jié)1和關節(jié)2相應的力矩是,1和.2。 連桿1和連桿2的質(zhì)量分別為 口勺和m2, l1為桿1的長度，l2為桿2的長度，質(zhì)心分別為 匕和k2 r1為關 節(jié)1到桿1質(zhì)心的距離，r2為關節(jié)2到桿2質(zhì)心的距離。 因此，桿1質(zhì)心k,的位置坐標為 X1 二 reH 丫1 --r &

6、斗 桿1質(zhì)心k1速度的平方為 '2 '2 2 X! 丫1 =(r 1K) 桿1質(zhì)心k2的位置坐標為 X2 二丨心-r2S12 丫2 c 斗「r 2c t 桿1質(zhì)心k1速度的平方為 X2 =l & K t r2c 丫2 =l 1S K K r 2s X； 丫22 =12 2 1 -1 2.2.2系統(tǒng)動能 Ek Eki i 二 1 2.2 E k 1 =— m「i 1 2 1 2 . 2 Ek 2 = m

7、2l 1 2 2.2.3系統(tǒng)勢能 EP =z Epi i 二 E p1 =m1gr 1( 1 - c ；12( 3「) 12( R ^2) -「22(已 * 二2)2 - 2l J2(才 ：?柑2)“2 1,2 1 2 「 . ' 2 「2 %「2(円 6) m2l 2r2( ' i^2)c^2 2 1,2 Ep2 =m2gli(l — Cy) m2g「2(l — C12) 224拉格朗日函數(shù) L 二 Ek - Ep 1 2 2 2 (mVi mJ 1)J1 2 (吋 mJ jg(i ^2 ?? 1

8、2 ? ?2 -mJ」/ f 1戈上戈 ％「2(》? 士) 2 —c^) - mzgrQ — C12) 2.2.5系統(tǒng)動力學方程 根據(jù)拉格朗日方程式計算各關節(jié)上的力矩，得到系統(tǒng)動力學方程。 計算關節(jié)1上的力矩.1 L 2 ■ 2 ■ - - 2 ' ' ( m1r1 m2l1 )^1 %1』2（2二1 712 )^2 - 口2「2（「*2） '■^1 ;:L 4 mo gi 1 )gs 北 一 m2 gr 2s 12 所以 d T — ;L -1 dt

9、 / 2 二（m「 m2r22 m2l 12 - 2叫1 J2C乙）刁 (m2r 22 m2l』2c 無）二2 2 (_2m2l』2s r)e v2 ( m1r1 叫1 Jgs y m2gr 2s12 計算關節(jié)1上的力矩.2 2 ——l = %「2 (二 r ) 」2￥ m 2 ——=一叫11「2（門 1 k）s 匕一叫9「2S12 所以 2 2 =(譏「2 m^l 汀2C 3 )斗 m2「2 2 2 (-叫1 丄 r2s n2 亠 m^l J 2s R)斗 6 ( m^l j2s n2) K m2gr 2s12 2.3建立動力方程

10、 將兩個關節(jié)電機輸入轉(zhuǎn)矩作為輸入，根據(jù) 2.1中的角度、角速度、角加速度的方程和建立的拉格朗日方 程，我們可以建立含14維矩陣的動力方程如下： 4 Pi\x Fz\) -尺“ fl 5| + k s，12 0 II 0 0 1 0 0 0 0 0 Q h G - h Q2 -h C\z Q 0 0 1) 0 ] fl 0 0 fl 0 0 Mi {] \ n n 〔〕 0 0 0 n Q f] 0 fl -n Cj 0 0 1 0 li 0 0 0 0 0 fl

11、 0 0 斶+ h恥 “兄 0 0 1 0 0 0 0 0 0 fl 0 0 A G + h Os 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 D 0 0 5 0 0 J 0 0 1 0 1 fl 0 0 0 0 0 -Ml 0 u 0 0 0 I 0 1 0 0 Ji 0 0 0 0 0 0 0 0 0 n 5 -/|C1 0 0 0 0 0 U -換 I) 0 0 0 0 -1 0 1 0 0 0 0 II

12、0 -冊 0 0 0 0 0 -1 () 1 0 h 0 1) 0 I) 0 n 0 fl h加 - \h- Sn -G 0 0 0 0 Q 0 甌 0 0 0 0 0 1 Q 0 0 0 0 0 0 0 ?% 0 c 0 0 0 1 ' / f A G + fe C\2)謠 + b「12 涇 + 2 b ?皎 C)2 / r [(h(4 h S\z)諾 + 血 ％ 矗 + 2 匹?135iz] -『1 G謂 亠 n 5i -[(1\ C\ + Ci2)尿+茂氐涇+ 2及創(chuàng)皎缶丿 '

13、 f (h Si + 兜 S\2)嶄 + 及 ％ 濾 + 2 吃 o>i 購 ％ / 0 M\g ri - r2 - gn G 0 Mig 曉 0 --^fpig - 3.二連桿機械臂的動力學matlab/simulink 仿真 圖2是一個合理的Simulink模型原理圖。值得注意的是 ，到兩個電動機的轉(zhuǎn)矩被輸入到了仿真系統(tǒng) 中,而且軸承摩擦力的簡單模型也加了進去。一般來說 ，摩擦是組織運動并且和速度有關的力或者力矩。 在圖5中采用了一種線性的摩擦力模型。在該模型中 ，抵抗輸入轉(zhuǎn)矩的摩擦力矩與轉(zhuǎn)速成正比。兩個標 “Damp2ing”的增益模塊標示的是由于軸承和電動機的黏滯

14、阻尼而產(chǎn)生的速度的損失 ，這些系數(shù)的實際 值是很難確定的，但是在操縱機器人裝置時，某些能量的消耗是客觀存在的 ，在模型中缺少對能兩消耗的 考慮將會導致較大的誤差和得到不符合實際的仿真結(jié)果。 rmeEi-l ihat-2 lnlU￡TUllt alph?-l alpha Z 卄 弓 Scopel ? Afiwlarujioft TciWni^BOt jcrtruLnh 2. ―1 Imrgrtkirt InlcgnLl^rT 7^^ M M4TI.ATt _ P uftdldA robed id 圖 2simuli

15、 nk 仿真圖 7 初始條件選擇0 1 = 0和B 2 = n / 2rad。這對機械臂的末端位置 xpl= 1.0 和ypl= 1.0 。如同所 有的仿真一樣，積分求解器的促使條件必須是相容的。 為了在仿真中獲得較高的可信度， 需要做一個簡單的實驗?；叵胍幌聶C械臂在垂直平面工作時在重 力作用下的受力圖。因此，如果讓機械臂從任何初始位置開始運動，將輸入的轉(zhuǎn)矩值設置為零，那么機 械臂將在自重的作用下下落，最后到達兩個連桿都在一條鉛垂線上的位置。 圖3給出了機械臂Simulink 仿真圖，其上數(shù)據(jù)點表明了機械臂末端位置隨時間變換的規(guī)律。 曲線圖 中顯示的運動軌跡與我們

16、所想到的讓機械臂在自重作用下下降的運動情形相一致。圖 4給出了關節(jié)轉(zhuǎn)角 0 1和02的轉(zhuǎn)角曲線，在經(jīng)過一定的仿真時間后 ，機械臂運動趨于穩(wěn)定后，兩關節(jié)的轉(zhuǎn)角像設想的一 樣0 1變?yōu)?n /2 , 0 2變?yōu)?與機械臂在自重下結(jié)束態(tài)姿相吻合。 XY Plot 2 I ■ i n li li ■ I ■2 -I -0.5 0 0.5 I E5 X軸 圖3simulink仿真結(jié)果曲線 “ 二桿機械怦關節(jié)轉(zhuǎn)角變化曲線 2 j 1 1 ' 1 I 1 I 50 50 100 150 200 250 30() 350 400 450 500 決時間 圖4關節(jié)轉(zhuǎn)角0 1和B 2

17、的變化曲線 我們得到了一個平面二連桿機械臂動態(tài)模型并在 Simuli nk 環(huán)境下實現(xiàn)了這個模型。這種模型的仿 真是很難在更為一般的環(huán)境下實施的， 這是因為封閉形式的運動方程是非常復雜的， 也是很難精確解答 的。另外這種類型的仿真對于了解復雜的多鏈式機器人操縱裝置的動力特性以及在解決對這些系統(tǒng)實施 控制過程中遇到的困難時是非常有用的， 機械臂運動學模型的建立是研究機械臂軌跡規(guī)劃和控制策略的 前提和基礎。 4.總結(jié) 通過機器人控制技術這門課程的學習和這個報告的編寫， 我對機器人工作原理有了大概的概念。 主 要是以機械臂底座為原點建立基坐標， 利用坐標轉(zhuǎn)換知識可以將目標的坐標和機械臂末端的坐標轉(zhuǎn)換成 基坐標表示，這樣就可以解決目標物和機械臂末端的定位問題； 再就是利用動力學知識（雅克比矩陣和 拉格朗日方程）來求取速度和加速度等， 使其能夠達到控制要求； 最后就是規(guī)劃機械臂的運動軌跡來確 定機械臂是按什么樣的軌跡進行運動的。