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容斥問(wèn)題(一)
容斥問(wèn)題涉及到一個(gè)重要的原理——包含與排除原理,也稱為容斥原理,即當(dāng)兩個(gè)計(jì)數(shù)部分有重復(fù)包含時(shí),為了不重復(fù)地計(jì)數(shù),應(yīng)從它們的和中排除重復(fù)部分。
這一講我們先介紹容斥原理1對(duì)n個(gè)事物,如果采用兩種不同的分類標(biāo)準(zhǔn):按性質(zhì)a分類與性質(zhì)b分類(如圖1),那么,具有性質(zhì)a或性質(zhì)b的事物的個(gè)數(shù)=Na+Nb-Nab。
例1.一個(gè)班有55名學(xué)生,訂閱《小學(xué)生數(shù)學(xué)報(bào)》的有12人,訂閱《今日少年報(bào)》的有9人,兩種報(bào)紙都訂閱的有5人。(1)訂閱報(bào)紙的總?cè)藬?shù)有多少?(2)兩種報(bào)紙都沒(méi)訂閱的有多少人?
例2.一個(gè)旅行社有36人,其中會(huì)英語(yǔ)的有2
2、4人,會(huì)俄語(yǔ)的有18人,兩樣都不會(huì)的有4人,兩樣都會(huì)的有多少人?
例3.在1到100的全部自然數(shù)中,既不是6的倍數(shù)也不是5的倍數(shù)的數(shù)有多少個(gè)?
例4.藝術(shù)節(jié)那天,學(xué)校的畫(huà)廊里展了了每個(gè)年級(jí)學(xué)生的圖畫(huà)作品,其中有23幅畫(huà)不是五年級(jí)的,有21幅畫(huà)不是六年級(jí)的,五、六年級(jí)參展的畫(huà)共有8幅。其他年級(jí)參展的畫(huà)共有多少幅?
練習(xí)與思考
1.將邊長(zhǎng)分別為4厘米和5厘米的正方形紙片部分重疊,蓋在桌面上(如圖6),已知重疊的部分為9平方厘米,兩塊正方形紙片蓋住桌面的總面積是多少平方厘米?
2.二(2)班有50名學(xué)生,下課后每人都至少做完了一門(mén)作業(yè),其中做完語(yǔ)文作業(yè)的有35人,做完數(shù)學(xué)作業(yè)的有40人,
3、兩種作業(yè)都做完的有多少人?
3.有62名學(xué)生,其中會(huì)彈鋼琴的有11名,會(huì)吹豎笛的有56名,兩樣都不會(huì)的有4名,兩樣都會(huì)的有多少名?
4.某校選出50名學(xué)生參加區(qū)作文比賽和數(shù)學(xué)比賽,作文比賽獲獎(jiǎng)的有14人,數(shù)學(xué)比賽獲獎(jiǎng)的有12人,有3人兩項(xiàng)比賽都獲獎(jiǎng)的,兩項(xiàng)比賽都沒(méi)獲獎(jiǎng)的有多少人?
5.四(1)班有40個(gè)學(xué)生,其中有25人參加數(shù)學(xué)小組,23人參加航模水組,有19人兩個(gè)小組都參加了,那么,有多少人兩個(gè)小組都沒(méi)有參加?
6.在一次數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)中,所有同學(xué)都答了第1、2兩題,其中答對(duì)第1題的有35人,答對(duì)第2題的有28人,這兩題都答對(duì)的有20人,沒(méi)有人兩題都答錯(cuò)。一共有多少人參加了這次數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)?
4、
7.一個(gè)俱樂(lè)部里,會(huì)下中國(guó)象棋的有69人,會(huì)下國(guó)際象棋的有52人,這兩種棋都不會(huì)下的有12人,都會(huì)下的有30人。這個(gè)俱樂(lè)部里有多少人?
8.某班上體育課,全班排成4行(每行的人數(shù)相等),小芳排的位置是:從前面數(shù)第6個(gè),從后面數(shù)第7個(gè)。這個(gè)班共有多少名學(xué)生?
9.在1到200的全部自然數(shù)中,既不是8的倍數(shù)也不是5的倍數(shù)的數(shù)有多少個(gè)?
10.科技節(jié)那天,學(xué)校的科技室里展出了每個(gè)年級(jí)學(xué)生的科技作品,其中有114件不是一年級(jí)的,有96件不是二年級(jí)的,一、二年級(jí)參展的作品共32件。其他年級(jí)參展的作品共有多少件?
容斥問(wèn)題(二)
這一講介紹容斥原理2 n個(gè)事物,如何采用三種不同的分類標(biāo)準(zhǔn):
5、按性質(zhì)a 分類、性質(zhì)b分類與性質(zhì)c分類(如圖1),那么,具有性質(zhì)a或b或c的事物的個(gè)數(shù)=(Na+Nb=Nc)-(Nab=Nbc=Nca)+Nabc。
例1.五(1)班的全體學(xué)生進(jìn)行了短跑、游泳、籃球三個(gè)項(xiàng)目的測(cè)試,有4名學(xué)生在這三個(gè)項(xiàng)目上都沒(méi)有達(dá)到優(yōu)秀,其余每人至少有一個(gè)項(xiàng)目達(dá)到優(yōu)秀,這部分學(xué)生達(dá)到優(yōu)秀的項(xiàng)目和人數(shù)如下表:
短跑
游泳
籃球
短跑、游泳
游泳、籃球
籃球、短跑
短跑、游泳、籃球
17人
18人
15人
6人
6人
6人
2人
求全班人數(shù)。
例2.某班有學(xué)生50人,參加無(wú)線電小組,航模小組和生物小組的人數(shù)分別是20人、20人和12人,其中既參加無(wú)
6、線電小組又參加航模小組的有4人,既參加航模小組又參加生物小組的有5人,既參加生物小組又參加無(wú)線電小組的有3人。已知全班每人都至少參加了以上三個(gè)小組中的某一個(gè),那么,三個(gè)小組參加的學(xué)生有多少人?
例3.一個(gè)體育鍛煉小組有35名男生,規(guī)定他們至少參加籃球、排球、足球三個(gè)球隊(duì)中的一個(gè)。結(jié)果參加籃球隊(duì)的有16人,參加排球隊(duì)的有11人,參加足球隊(duì)的有20人,其中有4人既參加了排球隊(duì)又參加了籃球隊(duì),有3人既參加了排球隊(duì)又參加了足球隊(duì),沒(méi)有人三個(gè)球隊(duì)都參加。既參加籃球隊(duì)又參加足球隊(duì)的有多少人?
例4.松山小學(xué)45名學(xué)生參加數(shù)學(xué)、作文、美術(shù)競(jìng)賽。有21人參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽,15人參加作文競(jìng)賽,其中7人既參加作文
7、競(jìng)賽又參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽,3人既參加作文競(jìng)賽又參加美術(shù)競(jìng)賽,但沒(méi)有一人既參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽又參加美術(shù)競(jìng)賽。
(1)只參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽的有多少人?
(2)只參加作文競(jìng)賽的有多少人?
(3)只參加美術(shù)競(jìng)賽的有多少人?
練習(xí)與思考
1.有30名運(yùn)動(dòng)員、其中18人會(huì)三級(jí)跳遠(yuǎn),16人會(huì)撐桿跳高,10人三級(jí)跳遠(yuǎn)、撐桿跳高都不會(huì)。既會(huì)三級(jí)跳遠(yuǎn)又會(huì)撐桿跳高的運(yùn)動(dòng)員有多少名?
2.操場(chǎng)上的學(xué)生排成10路縱隊(duì)做操,每路縱隊(duì)的人數(shù)同樣多,小明站在第4路縱隊(duì),從排頭數(shù)他是第13人,從后往前數(shù)他是第8人。操場(chǎng)上有多少人在做操?
3.一個(gè)年級(jí)有120人愛(ài)好數(shù)學(xué),100人愛(ài)好語(yǔ)文,85人愛(ài)好美術(shù),30人既愛(ài)好數(shù)學(xué)又愛(ài)好語(yǔ)文,
8、20人既愛(ài)好語(yǔ)文又愛(ài)好美術(shù),35人既愛(ài)好美術(shù)又愛(ài)好數(shù)學(xué),有18人三個(gè)學(xué)科都愛(ài)好。請(qǐng)問(wèn):這個(gè)年級(jí)中數(shù)學(xué)、語(yǔ)文、美術(shù)三個(gè)學(xué)科至少愛(ài)好一個(gè)學(xué)科的學(xué)生有多少人?
4.某班全體學(xué)生進(jìn)行了數(shù)學(xué)、語(yǔ)文、英語(yǔ)三個(gè)科目的測(cè)試,有8名學(xué)生在這三個(gè)科目上都沒(méi)有達(dá)到優(yōu)秀,其余每人至少有一個(gè)科目達(dá)到優(yōu)秀,這部分學(xué)生達(dá)到優(yōu)秀的科目和人數(shù)如下表:
數(shù)學(xué)
語(yǔ)文
英語(yǔ)
數(shù)學(xué)、語(yǔ)文
語(yǔ)文、英語(yǔ)
英語(yǔ)、數(shù)學(xué)
數(shù)學(xué)、語(yǔ)文、英語(yǔ)
20
16
16
4
4
5
3
全班一共有多少名學(xué)生?
5.第三小隊(duì)的學(xué)生有20人,手中分別拿有紅、黃藍(lán)三種顏色的球,已知手中有紅球、黃球、藍(lán)球折學(xué)生人數(shù)分別為10
9、人、10人、6人,其中手中既有紅球又有黃球的有3人,既有黃球又有藍(lán)球的有2人,既有藍(lán)球又有紅球的有4人。已知全隊(duì)每人手里都至少有一種顏色的球,那么,手中三種顏色的球都有多少人?
6.某班50名同學(xué)全部參加數(shù)學(xué)、語(yǔ)文、美術(shù)三個(gè)課外興趣小組,參加數(shù)學(xué)小組的有29人,參加語(yǔ)文小組的有21人,參加美術(shù)小組的有25人,有17人既參加數(shù)學(xué)小組又參加美術(shù)小組,有15人既參加數(shù)學(xué)小組又參加語(yǔ)文小組,有10人既參加語(yǔ)文小組又參加美術(shù)小組。三個(gè)小組都參加的有多少人?
7.有學(xué)生30名,他們中有部分學(xué)生參加了乒乓球,羽毛球、排球三個(gè)訓(xùn)練小組,各組人數(shù)分別為14人、12人、10人,其中既參加羽毛球小組又參加排球小
10、組的有4人,既參加羽毛球小組又參加乒乓球小組的有6人,既參加乒乓球小組又參加排球小組的有5人,三個(gè)小組都參加的有1人。這些學(xué)生中這三個(gè)小組都沒(méi)有參加的有幾人?
8.某外語(yǔ)學(xué)習(xí)班有40名學(xué)員,規(guī)定他們至少學(xué)習(xí)英語(yǔ)、日語(yǔ)、德語(yǔ)中的一咱。結(jié)果學(xué)習(xí)英語(yǔ)的有20人,學(xué)習(xí)日語(yǔ)的有12人,學(xué)習(xí)德語(yǔ)的有18人,其中有5人既學(xué)習(xí)了英語(yǔ)又學(xué)習(xí)了日語(yǔ),有2人既學(xué)習(xí)了日語(yǔ)又學(xué)習(xí)了德語(yǔ),沒(méi)有人同時(shí)學(xué)習(xí)三咱語(yǔ)言。既學(xué)習(xí)英語(yǔ)又學(xué)習(xí)德語(yǔ)的有多少人?
9.四(1)班有55名學(xué)生參加音樂(lè)、美術(shù)、體育興趣組。有22人參加美術(shù)組,有21人參加音樂(lè)組,其中15人既參加音樂(lè)組又參加美術(shù)組,3人既參加音樂(lè)組又參加體育組,但沒(méi)有一人既參
11、加美術(shù)組又參加優(yōu)育組。
(1)只參加美術(shù)組的有多少人?
(2)只參加音樂(lè)組的有多少人?
(3)只參加音樂(lè)組的有多少人?
能力測(cè)試(三)
(滿分100分,90分鐘完成)
一、填空題(每空6分,共54分)。
1.小英有2分、5分的硬幣共35枚,一共是1元1角5分,2分硬幣有( )枚,5分硬幣有( )枚。
2.從舊舊歷中知道,1988年元旦昌星期五,那么,2000年元旦是星期( )。
3.買(mǎi)5元1千克的糖和8元1千克的糖共10千克,用去71元。5元1千克的糖有( )千克,8元1千克的糖有( )千克。
4.
12、
圖中共有( )個(gè)正方形。圖中菜有( )個(gè)三角形。
5.新華小學(xué)四年級(jí)共40個(gè)學(xué)生采集標(biāo)本,采集昆蟲(chóng)標(biāo)本的有27人,采集植物標(biāo)本的有21人,兩種標(biāo)本都采集的有( )人。
6.某班學(xué)生去圖書(shū)館借書(shū),每人都借了語(yǔ)文或數(shù)學(xué)課外書(shū),統(tǒng)計(jì)結(jié)果是:借語(yǔ)文書(shū)的39人,借數(shù)學(xué)書(shū)的32人,語(yǔ)文、數(shù)學(xué)兩種書(shū)都借的有26人,全班學(xué)生共( )人。
二、應(yīng)用題(第1題10分,其余每題9分,共46分)。
1.英文字母A,B,C,D,按規(guī)則排列為ABAACCDABAACCD…共250個(gè)字母,最后一個(gè)字母是什么?A,B,C,D各有多少個(gè)?
2.四年級(jí)學(xué)
13、生進(jìn)行數(shù)學(xué)比賽,規(guī)定算對(duì)一題得5分,錯(cuò)一題扣2分。試卷上共有20道題,李華得了86分,他算對(duì)了多少道題?
3.一個(gè)停車場(chǎng)上共停汽車、三輪摩托車25輛,其中汽車有4個(gè)輪子,三輪摩托車有3個(gè)輪子。這些車共有90個(gè)輪子。三輪摩托車有多少輛?
4.某班學(xué)生會(huì)打籃球的有40人,會(huì)打排球的有32人,兩種球都會(huì)打的有30人,還有3個(gè)學(xué)生這兩種球都不會(huì)打。這個(gè)班有學(xué)生多少人?
5.有43位同學(xué),他們身上帶的錢(qián)從8分到5角,錢(qián)數(shù)都不相同,每個(gè)同學(xué)都把身上帶的全部錢(qián)各自買(mǎi)了畫(huà)片。畫(huà)片只有兩種:3分一張和5分一張。如果每人都盡量多買(mǎi)5分一張的畫(huà)片,那么,他們所買(mǎi)的3分一張是畫(huà)片的總數(shù)是多少?gòu)垼?
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