高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第2節(jié) 證明不等式的基本方法課件 新人教A版選修45

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1、第二節(jié)證明不等式的基本方法1了解證明不等式的基本方法：比較法，綜合法，分析法，反證法，放縮法；能用比較法，綜合法，分析法證明簡單的不等式2會用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式一、不等式證明的基本方法1比較法(1)作差比較法理論依據(jù)：ab ；ab ；abab0.證明步驟：作差 得出結(jié)論ab0ab0變形判斷符號ab ab 變形 判斷與1的大小關(guān)系 2綜合法一般地，從 出發(fā)，利用 、 、 、 等，經(jīng)過一系列的 、 而得出命題成立，這種證明方法叫做綜合法綜合法又叫 和 已知條件定義公理定理性質(zhì)推理論證順推證法由因?qū)Ч?分析法證明命題時，從 出發(fā)，逐步尋求使它成立的 ，直至所需條件為 或 (定義、公理或已證明的定

2、理、性質(zhì)等)，從而得出要證的命題成立，這種證明方法叫做分析法，這是一種 的思考和證明方法要證的結(jié)論充分條件已知條件一個明顯成立的事實執(zhí)果索因 綜合法和分析法有何內(nèi)在聯(lián)系？提示：綜合法往往是分析法的相反過程，其表述簡單、條理清楚，當(dāng)問題比較復(fù)雜時，通常把分析法和綜合法結(jié)合起來使用，以分析法尋找證明的思路，而用綜合法敘述、表達(dá)整個證明過程4反證法(1)假設(shè) ，以此為出發(fā)點，結(jié)合已知條件，應(yīng)用 等，進(jìn)行正確的推理，得到和 (或已證明的定理、性質(zhì)、明顯成立的事實等)矛盾的結(jié)論，以說明假設(shè)不正確，從而證明 ，我們把它稱為反證法(2)證明步驟反設(shè) 肯定原結(jié)論要證的命題不成立定義、公理、定理、性質(zhì)命題的條件

3、原命題成立歸謬5放縮法(1)證明不等式時，通過把不等式中的某些部分的值 或 ，簡化不等式，從而達(dá)到證明的目的，我們把這種方法稱為放縮法(2)理論依據(jù)ab，bca c.放大縮小二、數(shù)學(xué)歸納法證明不等式1數(shù)學(xué)歸納法的概念當(dāng)要證明一個命題對于不小于某正整數(shù)n0的所有正整數(shù)n都成立時，可以用以下兩個步驟：(1)證明當(dāng) 時命題成立；(2)假設(shè)當(dāng) 時命題成立，證明 時命題也成立在完成了這兩個步驟后，就可以斷定命題對于不小于n0的所有正整數(shù)都成立，這種證明方法稱為數(shù)學(xué)歸納法nn0nk(kn0)nk12數(shù)學(xué)歸納法的基本過程1已知x、yR，Mx2y21，Nxyxy，則M與N的大小關(guān)系是()AMNBMNCMN D

4、不能確定2若|xa|m，|ya|n，則下列不等式一定成立的是()A|xy|2m B|xy|2nC|xy|nm D|xy|nm5已知|ab|c(a、b、cR)，給出下列不等式：abc；abc；abc；|a|b|c；|a|b|c.其中一定成立的不等式是_(把所有成立的不等式的序號都填上)答案：1.比較法是證明不等式的一個最基本、最常用的方法，當(dāng)被證明的不等式兩端是多項式、分式或?qū)?shù)式，一般使用作差比較法，當(dāng)被證明的不等式(或變形后)的兩端都是正數(shù)且為乘積形式或冪指數(shù)形式時，一般使用作商比較法2綜合法是由因?qū)Ч擞诒磉_(dá)，適合人們的思維習(xí)慣，但是，要求考生要有較強(qiáng)的觀察與變形的能力分析法是執(zhí)果索因，

5、利于思考，但是表述格式要求嚴(yán)謹(jǐn)，二者各有所短，相互補充凡是能用分析法證明的不等式，一定可以用綜合法證明 已知a，b，c，d都是實數(shù)，且a2b21，c2d21，求證：|acbd|1.【思路點撥】本題使用綜合法、分析法、比較法都可證明【活學(xué)活用】 1.已知：abc0，求證：abbcca0.放縮法證明不等式，就是利用不等式的傳遞性進(jìn)行證明不等關(guān)系，即要證ab，只需先證明ap，且pb.其中p的確定是最重要，也是最困難的，要憑借對題意的深刻分析，對式子巧妙變形的能力，以及一定的解題經(jīng)驗【特別提醒】在解答本題的過程中，易出現(xiàn)結(jié)論的假設(shè)錯誤，從而導(dǎo)致無法推證，造成這種錯誤的原因是對結(jié)論的理解不到位【活學(xué)活用

6、】 2.設(shè)f(x)x2x13，實數(shù)a滿足|xa|1.求證：|f(x)f(a)|2(|a|1)證明：|f(x)f(a)|(xa)(xa1)|xa|xa1|xa1|(xa)2a1|xa|2a|112|a|12(|a|1)|f(x)f(a)|2(|a|1).2使用反證法證明問題時，準(zhǔn)確地作出反設(shè)(即否定結(jié)論)，是正確運用反證法的前提，常見的“結(jié)論詞”與“反設(shè)詞”列表如下： (2012青島模擬)設(shè)二次函數(shù)f(x)x2px1.求證：|f(1)|與|f(1)|中至少有一個不小于2.【思路點撥】題目中要求證的結(jié)論有多種情況，難以一一證明，因而可考慮使用反證法【自主解答】證明：假設(shè)|f(1)|與|f(1)|都

7、小于2，即|f(1)|1p1|2p|2，|f(1)|1p1|2p|2，則4(2p)(2p)|2p|2p|4矛盾，假設(shè)不成立原結(jié)論成立與自然數(shù)n有關(guān)的不等式證明問題，如果用常規(guī)方法有困難，可以考慮利用數(shù)學(xué)歸納法來證明在利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式時，在第二步驟中，要注意利用歸納假設(shè)同時，這一步驟往往會涉及到分析法、放縮法等綜合手段【思路點撥】由于本問題是含有正整數(shù)n的命題，可以考慮用數(shù)學(xué)歸納法證明【心得】數(shù)學(xué)歸納法證明中的兩個步驟體現(xiàn)了遞推思想，第一步是遞推的基礎(chǔ)，第二步是遞推的依據(jù)，兩個步驟缺一不可，否則就會導(dǎo)致錯誤第(1)步中，驗算nn0中的n0不一定為1，根據(jù)題目要求，有時可為2或3等第(2)步中，證明nk1時命題成立的過程中，一定要用到歸納假設(shè)，掌握“一湊假設(shè)，二湊結(jié)論”的技巧在用數(shù)學(xué)歸納法證明問題的過程中，還要注意從k到k1時命題中的項與項數(shù)的變化，防止對項數(shù)估算錯誤.