高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第10單元第63講 軌跡問題課件 理 湘教版

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1、1 了解曲線與方程的關(guān)系，掌握求動點軌跡的基本思路和常用方法，并能靈活應(yīng)用.培養(yǎng)用坐標法解題思想.22 A 1.BCD.xxyx方程表示的曲線是 一個點 一條直線 兩條直線 一個點和一條直線C解析10010 x xyxxy 方程可變形為， 所以或，表示兩條直線3 0,03,45 2. A B.C DABABAB到兩定點，的距離之和為 的點的軌跡 是 橢圓所在的直線 線段無軌跡C解析5.ABAB ，所以動點的軌跡為線段4 2301,2 A 210 B 250 C 210 D 2503. PxyMQPMPMMQQxyxyxyxy 已知點 是直線上的一個動點，定點， 是線段延長線上的一點，且，則 點

2、的軌 跡方程是 解析()2,4230250.Q xyPxyxyxy 設(shè)， ，則可得，代入，得D522 1() .4.mnmnP mnmn 已知實數(shù) ， 滿足，則，的軌跡方程是_222xy解析222212.mnxy又因為，得65.設(shè)P為雙曲線 -y2=1上一動點,O為坐標原點，M為線段OP的中點，則點M的軌跡方程為 .24xx2-4y2=1解析22()2 ,241M xyPxyxy 設(shè)， ，則，代入雙曲線方程得，即為所求7 1.曲線與方程的關(guān)系 一般的，在平面直角坐標系中，如果某曲線C(看作點的集合或適合某種條件的點的軌跡)上的點與一個二元方程f(x,y)=0的實數(shù)解建立了如下關(guān)系： ( 1 )

3、 曲 線 上 的 點 的 坐 標 都 是 這 個 ; (2)以這個方程的解為坐標的點均是 .那么，這個方程叫做曲線的方程，這條曲線叫做方程的曲線.方程的解曲線上的點82.求軌跡方程的基本思路(1)建立適當?shù)闹苯亲鴺讼?，設(shè)曲線上的任意一點（動點）坐標為M(x,y).(2)寫出動點M所滿足的 .(3)將動點M的坐標 ,列出關(guān)于動點坐標的方程f(x,y)=0.(4)化簡方程f(x,y)0為最簡形式.(5)證明（或檢驗）所求方程表示的曲線上的所有點是否都滿足已知條件.幾何條件的集合代入幾何條件9注意：第（2）步可以省略，如果化簡過程都是等價交換，則第（5）可以省略；否則方程變形時，可能擴大（或縮小）x

4、、y的取值范圍，必須檢查是否純粹或完備（即去偽與補漏）.3.求軌跡方程的常用方法(1)直接法：如果動點滿足的幾何條件本身就是一些幾何量(如距離與角)的等量關(guān)系，或這些幾何條件簡單明了且易于表達，我們只需把這種關(guān)系轉(zhuǎn)化為x,y的等式就得到曲線的軌跡方程；10(2)定義法：某動點的軌跡符合某一基本軌跡(如直線、圓錐曲線)的 ,則可根據(jù)定義采用設(shè)方程求方程系數(shù)得到動點的軌跡方程；(3)代入法(相關(guān)點法)：當所求動點M是隨著另一動點P(稱之為相關(guān)點)而運動，如果相關(guān)點P滿足某一曲線方程，這時我們可以用動點坐標表示相關(guān)點坐標，再把相關(guān)點代入曲線方程，就把相關(guān)點所滿足的方程轉(zhuǎn)化為動點的軌跡方程；定義11(

5、4)參數(shù)法：有時求動點應(yīng)滿足的幾何條件不易得出，也無明顯的相關(guān)點，但卻較易發(fā)現(xiàn)這個動點的運動常常受到另一個變量(角度、斜率、比值、截距或時間等)的制約，即動點坐標(x,y)中的x,y分別隨另一變量的變化而變化，我們可稱這個變量為參數(shù)，建立軌跡的參數(shù)方程；(5)交軌法：在求兩動曲線交點的軌跡問題時，通過引入?yún)⒆兞壳蟪鰞汕€的軌跡方程，再聯(lián)立方程，通過解方程組消去參變量，直接得到x,y的關(guān)系式.12題型一 直接法求軌跡方程例122241lxxyABPlPA PBP 設(shè)動直線 垂直于 軸，且與橢圓交于， 兩點， 是 上滿足的點，求點 的軌跡方程分析()PxyPxl 設(shè) 點的坐標為 ， ，用直接法求得

6、 點的軌跡方程，要注意 的范圍，通過直線 與橢圓相交獲得13解析222222222222222()2424,4244() ()1( 22)22441(0)(0)1224112636223PxyxyyxxyxxABxxxxPA PByyxxyxyPxylx 設(shè) 點的坐標為 ， ，則由方程，得所以，所以 ， 兩點的坐標分別為：，又，所以點 的軌跡方程為，即，所以，又直線 與橢圓交于兩點，所以 ，所以14評析“”“”() 求動點的軌跡時應(yīng)注意它的完備性與純粹性化簡過程破壞了方程的同解性，要注意補上遺漏的點或者挖去多余的點 軌跡 與 軌跡方程 是兩個不同的概念，前者要指出曲線的形狀、位置、大小等特征，

7、后者指方程 包括范圍15( 2)(0 )()_ .AyBC xyABACC 平面上有三點， ， ， ，若，則動點 的軌跡方程為素材1解析22(2)()22228048 .yyABACxyABACAB ACxyxCyx 根據(jù)題意， 因為，動點 的軌跡方程為所以，即故16 如圖，已知圓A：(x+2)2+y2=1與點A(-2，0)，B(2，0)，分別求出滿足下列條件的動點P的軌跡方程. (1)PAB的周長為10； (2)圓P與圓A外切(P為動 圓圓心)； (3)圓P與圓A外切且與直線x=1相切(P為動圓的圓心).題型二 定義法求軌跡方程例217 根據(jù)題意，先找出等價條件，再根據(jù)條件判定曲線類型，最后

8、寫出曲線的方程. (1)|PA|+|PB|=10-|AB|=6. (2)|PA|-|PB|=1. (3)P點到A點的距離比P點到直線x=1的距離長1，即P點到A點的距離等于P點到直線x=2的距離.分析18 (1)根據(jù)題意，知|PA|+|PB|+|AB|=10，即|PA|+|PB|=64=|AB|,故P點的軌跡是橢圓，且2a=6,2c=4,即a=3,c=2,則b= ,因此其方程為 =1(y0).(2)設(shè)圓P的半徑為r，則|PA|=r+1，|PB|=r，因此|PA|-|PB|=1.52295xy解析19由雙曲線的定義知，P點的軌跡為雙曲線的右支,且2a=1,2c=4,即a= ,c=2,則b= ,因

9、此其方程為4x2- y2=1(x ).(3)依題意知，動點P到定點A的距離等于到定直線x=2的距離，故其軌跡為拋物線，且開口向左，p=4.因此其方程為y2=-8x.121524151220 (1)本題為利用圓錐曲線的定義求動點軌跡方程的問題若動點軌跡的條件符合某一基本軌跡的定義，如圓、橢圓、雙曲線、拋物線的定義，則可以直接根據(jù)定義求出動點的軌跡方程 (2)圓錐曲線的定義提示了其本質(zhì)特征，而圓錐曲線的方程隨坐標系的不同而不同，因而掌握定義是根本 評析21題型三 代入法(相關(guān)點法)求軌跡方程例31,02FMxPyMNMP PMPFPyN 設(shè)，點在 軸上， 點在 軸上，且，當點 在 軸上運動時，求點

10、的軌跡方程分析 123MPNMP確定與 的坐標關(guān)系尋找動點 與點、 的關(guān)系用代入法求軌跡方程22解析0,00002000000000000020(0)()()(1)() (1)00.2()2()2,12204M xPyN xyNPMPF PMxyPFyxyyxyMNMPxxyxyxxxxxyyyyyx 設(shè)， ，點 為軌跡上任意一點因為，所以，所以由，得，所以即所以，24 .yx即評析 在某些較復(fù)雜的探求軌跡的過程中，可先確定一個較易于求得的點的軌跡方程，再以此點作為主動點，所求的軌跡上的點為相關(guān)點，求得軌跡方程23224,03690PxyABAPBAPBQQ 如圖所示，已知是圓內(nèi)的一點， 、

11、是圓上兩動點，且滿足，求矩形的頂點 的軌跡方程素材2分析.QABQABRRQ 動點 與 、 兩點的變化有關(guān)，由圓的弦的性質(zhì)知點 與的中點 有關(guān)，因此可先求出 點的軌跡方程，再轉(zhuǎn)化為點 的軌跡方程24解析2222222222222()Rt364,4364100.ABR xyAROARAOORxyARPRxyxyxyxyxRRQ 設(shè)的中點為， ，則在中，又有即因此點 在一個圓上，而當 在此圓上運動時， 點即在所求的軌跡上運動25111122221112221125()4224100464()()410022256.Q xyxyRPQxyxyxyxxyyxQx設(shè)，由 為的中點，所以有，代入方程得，整

12、理得，即點 的軌跡方程為26題型四 用參數(shù)法求軌跡方程例4240ypx pOABOAOBOMABMM 已知拋物線， 為頂點， ，為拋物線上的兩動點，且滿足，如果于點，求點的軌跡方程分析 (3)12M xyMABOAOB動點， 的坐標之間的關(guān)系不易找到動點與 、 的直接關(guān)系不明顯，因此需引入?yún)?shù)由建立聯(lián)系，消去參數(shù)得解27解析000022222122212121222000().4240.4440.444ABM xyABykxbxOMABkyypxykxbybk xxkbpbx xkpbxkypypby ykOAOBy yx xpbbbkpkkykxbk xp 直線斜率存在時，設(shè)，直線的方程為由

13、，得，由，及，消去 ，得，所以消去 ，得，所以由，得，所以，故2822000000222240(0)4 ,040(0)40(0)xkxypxxyABxMpxypxxMxypxx 把代入，得，軸時，也符合，即點的軌跡方程為評析 ()()P xyxyttxtyxtyttxyP xy 在一些很難找到形成曲線的動點， 的坐標 ， 所滿足的關(guān)系式的情況下，往往借助第三個變量 ，建立 和 ， 和 的關(guān)系式，再通過一些條件消掉 就間接找到了 和 所滿足的方程，從而求出動點，所形成的曲線的普通方程291212()A ablllxMlyNMNP 過定點，任作互相垂直的兩直線 與 ，且 與 軸交于點， 與 軸交于

14、點 ，如圖所示，求線段的中點 的軌跡方程素材3解析 11111221112110 1 1 lylkklllklybkxalybxak 當 不平行于 軸時，設(shè) 的斜率為 ， 則，因為，所以 的斜率為，的方程為，的方程為30 11211122111200()22,220(22)222().2 212.02byMxakaxNybkMNPxyabxkakaxbMNPaxbyabxbaykyaa blyMNb在中令，得點的橫坐標為，在中令，得 點的縱坐標為，設(shè)的中點 的坐標為 ， ，則有消的中點 的軌跡方去 ，得當 平行 軸時，的中點為， ，其坐標滿足方程綜合程為知，31 222212212111212

15、12102.3112xyababFFAAFF FOAFOFabQQOQOQOQQODDD 設(shè)橢圓的左、右焦點分別為、 ， 是橢圓上的一點，原點 到直線的距離為證明：；設(shè)，為橢圓上的兩個動點，過原點 作直線的垂線，垂足為 ，求點 的軌跡方程32解析 21212222222222222122112422,0,0()0.11.()220.133114AFF FFcFcA cyycyabyAababbbyA caabAFyxcacb xacyb cOAFOFcb cba c由題設(shè)及，不 妨設(shè)點， ，其中 由點 在橢圓上，有，即 解得，從而得到， 直線的方程為， 整理得 由題設(shè)，原點 到直線的距離為，方

16、 即法 ：， 將2222222 .cababab代入上式并化簡得，即3321112211121221222221().|.|2 .13|13|2.2222bAcaOOBAFBF BOF F AF ABOOFF AAFAFaBOOFF AF AF AaF AbaF AF Aabaaba同方法 ，得到點 的坐標為 ， 過點 作，垂足為 ， 易知 故 由橢圓的定義得 又， 所以， 解得，而， 故得，即方法 ：34 001112220012120012000200000111222222()()()0.()().222DxyQ xyQxyyxODQQQQyxQQyxxyyxxykxmkmyyyQ xy

17、Qxyykxmxyb 設(shè)點 的坐標為， 當時， 由知，直線的斜率為， 所以直線的方程為或 ，其中， 點，的坐標滿足方程組 35222222222121222121222121222222.124220422. 1212 22 12xkxmbkxkmxmbkmmbxxx xkky ykxmkxmk x xkm xxmmbk 將式代入式，得整理得，于是，由式得2222222121212222224122 . 120322012kmkmmkkmb kkOQOQx xy ymbb kk由知，將式和式代入得，3622220000022200012011122222001201,2222121212222

18、22000321.0.()()2,.2220220.23mbkxxkmyyyxybyQQxxQ xyQxyxxbxxxxyxybOQOQx xy ybxxxbD 即將，代入上式，整理得當時，直線的方程為點，的坐標滿足方程組所以，由，知，即，解得這時，點 的22022220.23Dxybyxb點坐標仍滿足綜上，的軌跡方程為371.曲線與方程關(guān)系的理解.(1)曲線方程的實質(zhì)就是曲線上任意一點的橫、縱坐標之間的關(guān)系，這種關(guān)系同時滿足兩個條件：曲線上所有點的坐標均滿足方程；適合方程的所有點均在曲線上.(2)如果曲線C的方程是f(x,y)=0,那么點P0(x0,y0)在曲線C上的充要條件是f(x0,y0

19、)=0.38(3)視曲線為點集，曲線上的點應(yīng)滿足的條件轉(zhuǎn)化為動點坐標所滿足的方程，則曲線上的點集(x,y)與方程的解集之間建立了一一對應(yīng)關(guān)系.2.求軌跡方程方法實質(zhì)剖析.(1)軌跡問題的實質(zhì)就是用動點的兩坐標x,y一一對應(yīng)的揭示曲線方程解的關(guān)系.在實際計算時，我們可以簡單地認為，求曲線方程就是求曲線上動點的坐標之間的關(guān)系.當兩坐標之間的關(guān)系為直接關(guān)系f(x,y)=0，就是曲線方程的普通形式;39 當x,y的關(guān)系用一個變量(如t變量)表示時，坐標之間的關(guān)系就是間接關(guān)系，這時的表示式就是曲線的參數(shù)方程.所以解決問題時，應(yīng)該緊緊圍繞尋找點的兩坐標之間的關(guān)系展開探究. (2)定義法求軌跡是不同于其他求

20、軌跡的思維方法，它從動點運動的規(guī)律出發(fā)，整體把握點在運動中不動的、不變的因素，從而得到了動點運動規(guī)律滿足某一關(guān)系，簡單地說，就是在思維的初期，先不用設(shè)點的坐標，而直接找動點所滿足的幾何性質(zhì)(往往是距離的等量關(guān)系).40 由于解析幾何研究的幾何對象的局限性，直線、圓、圓錐曲線這些的定義都是用距離的關(guān)系來定義曲線的，所以利用定義法求軌跡問題時，往往應(yīng)該先考慮動點滿足的距離關(guān)系，判斷它是否滿足五種曲線的定義，從而使問題快速解答.414sinsin2sinABCBCACBAA 在中， 點為動點，滿足，求 點的軌跡方程錯解22288.28,241.1612cbaABACABCacxyA由正弦定理得，即故 點的軌跡為以 、 為焦點的橢圓因為，所以點 的軌跡方程為42錯解分析ABCABCABC 沒有建立恰當?shù)闹苯亲鴺讼?，因為坐標系不同，軌跡方程也不同 因為 、 、 三點構(gòu)成，故 、 、 不能共線，故應(yīng)排除一些特殊點正解22221161228811612(0)cbaABACABCBCxBCxxyABCyAy由正弦定理得，即，故點 的軌跡為以 、 為焦點的橢圓以為 軸，的中點為原點建立直角坐標系，則橢圓方程為，又因為 、 、 三點點不能共線，所以的軌跡方程為