高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第10單元第63講 軌跡問題課件 理 湘教版

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1、1 了解曲線與方程的關(guān)系，掌握求動(dòng)點(diǎn)軌跡的基本思路和常用方法，并能靈活應(yīng)用.培養(yǎng)用坐標(biāo)法解題思想.22 A 1.BCD.xxyx方程表示的曲線是 一個(gè)點(diǎn) 一條直線 兩條直線 一個(gè)點(diǎn)和一條直線C解析10010 x xyxxy 方程可變形為， 所以或，表示兩條直線3 0,03,45 2. A B.C DABABAB到兩定點(diǎn)，的距離之和為 的點(diǎn)的軌跡 是 橢圓所在的直線 線段無軌跡C解析5.ABAB ，所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡為線段4 2301,2 A 210 B 250 C 210 D 2503. PxyMQPMPMMQQxyxyxyxy 已知點(diǎn) 是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，定點(diǎn)， 是線段延長線上的一點(diǎn)，且，則 點(diǎn)

2、的軌 跡方程是 解析()2,4230250.Q xyPxyxyxy 設(shè)， ，則可得，代入，得D522 1() .4.mnmnP mnmn 已知實(shí)數(shù) ， 滿足，則，的軌跡方程是_222xy解析222212.mnxy又因?yàn)椋?5.設(shè)P為雙曲線 -y2=1上一動(dòng)點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn)，M為線段OP的中點(diǎn)，則點(diǎn)M的軌跡方程為 .24xx2-4y2=1解析22()2 ,241M xyPxyxy 設(shè)， ，則，代入雙曲線方程得，即為所求7 1.曲線與方程的關(guān)系 一般的，在平面直角坐標(biāo)系中，如果某曲線C(看作點(diǎn)的集合或適合某種條件的點(diǎn)的軌跡)上的點(diǎn)與一個(gè)二元方程f(x,y)=0的實(shí)數(shù)解建立了如下關(guān)系： ( 1 )

3、 曲 線 上 的 點(diǎn) 的 坐 標(biāo) 都 是 這 個(gè) ; (2)以這個(gè)方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)均是 .那么，這個(gè)方程叫做曲線的方程，這條曲線叫做方程的曲線.方程的解曲線上的點(diǎn)82.求軌跡方程的基本思路(1)建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，設(shè)曲線上的任意一點(diǎn)（動(dòng)點(diǎn)）坐標(biāo)為M(x,y).(2)寫出動(dòng)點(diǎn)M所滿足的 .(3)將動(dòng)點(diǎn)M的坐標(biāo) ,列出關(guān)于動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)的方程f(x,y)=0.(4)化簡方程f(x,y)0為最簡形式.(5)證明（或檢驗(yàn)）所求方程表示的曲線上的所有點(diǎn)是否都滿足已知條件.幾何條件的集合代入幾何條件9注意：第（2）步可以省略，如果化簡過程都是等價(jià)交換，則第（5）可以省略；否則方程變形時(shí)，可能擴(kuò)大（或縮?。﹛

4、、y的取值范圍，必須檢查是否純粹或完備（即去偽與補(bǔ)漏）.3.求軌跡方程的常用方法(1)直接法：如果動(dòng)點(diǎn)滿足的幾何條件本身就是一些幾何量(如距離與角)的等量關(guān)系，或這些幾何條件簡單明了且易于表達(dá)，我們只需把這種關(guān)系轉(zhuǎn)化為x,y的等式就得到曲線的軌跡方程；10(2)定義法：某動(dòng)點(diǎn)的軌跡符合某一基本軌跡(如直線、圓錐曲線)的 ,則可根據(jù)定義采用設(shè)方程求方程系數(shù)得到動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；(3)代入法(相關(guān)點(diǎn)法)：當(dāng)所求動(dòng)點(diǎn)M是隨著另一動(dòng)點(diǎn)P(稱之為相關(guān)點(diǎn))而運(yùn)動(dòng)，如果相關(guān)點(diǎn)P滿足某一曲線方程，這時(shí)我們可以用動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)表示相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)，再把相關(guān)點(diǎn)代入曲線方程，就把相關(guān)點(diǎn)所滿足的方程轉(zhuǎn)化為動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；定義11(

5、4)參數(shù)法：有時(shí)求動(dòng)點(diǎn)應(yīng)滿足的幾何條件不易得出，也無明顯的相關(guān)點(diǎn)，但卻較易發(fā)現(xiàn)這個(gè)動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)常常受到另一個(gè)變量(角度、斜率、比值、截距或時(shí)間等)的制約，即動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)(x,y)中的x,y分別隨另一變量的變化而變化，我們可稱這個(gè)變量為參數(shù)，建立軌跡的參數(shù)方程；(5)交軌法：在求兩動(dòng)曲線交點(diǎn)的軌跡問題時(shí)，通過引入?yún)⒆兞壳蟪鰞汕€的軌跡方程，再聯(lián)立方程，通過解方程組消去參變量，直接得到x,y的關(guān)系式.12題型一 直接法求軌跡方程例122241lxxyABPlPA PBP 設(shè)動(dòng)直線 垂直于 軸，且與橢圓交于， 兩點(diǎn)， 是 上滿足的點(diǎn)，求點(diǎn) 的軌跡方程分析()PxyPxl 設(shè) 點(diǎn)的坐標(biāo)為 ， ，用直接法求得

6、 點(diǎn)的軌跡方程，要注意 的范圍，通過直線 與橢圓相交獲得13解析222222222222222()2424,4244() ()1( 22)22441(0)(0)1224112636223PxyxyyxxyxxABxxxxPA PByyxxyxyPxylx 設(shè) 點(diǎn)的坐標(biāo)為 ， ，則由方程，得所以，所以 ， 兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為：，又，所以點(diǎn) 的軌跡方程為，即，所以，又直線 與橢圓交于兩點(diǎn)，所以 ，所以14評析“”“”() 求動(dòng)點(diǎn)的軌跡時(shí)應(yīng)注意它的完備性與純粹性化簡過程破壞了方程的同解性，要注意補(bǔ)上遺漏的點(diǎn)或者挖去多余的點(diǎn) 軌跡 與 軌跡方程 是兩個(gè)不同的概念，前者要指出曲線的形狀、位置、大小等特征，

7、后者指方程 包括范圍15( 2)(0 )()_ .AyBC xyABACC 平面上有三點(diǎn)， ， ， ，若，則動(dòng)點(diǎn) 的軌跡方程為素材1解析22(2)()22228048 .yyABACxyABACAB ACxyxCyx 根據(jù)題意， 因?yàn)?，?dòng)點(diǎn) 的軌跡方程為所以，即故16 如圖，已知圓A：(x+2)2+y2=1與點(diǎn)A(-2，0)，B(2，0)，分別求出滿足下列條件的動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程. (1)PAB的周長為10； (2)圓P與圓A外切(P為動(dòng) 圓圓心)； (3)圓P與圓A外切且與直線x=1相切(P為動(dòng)圓的圓心).題型二 定義法求軌跡方程例217 根據(jù)題意，先找出等價(jià)條件，再根據(jù)條件判定曲線類型，最后

8、寫出曲線的方程. (1)|PA|+|PB|=10-|AB|=6. (2)|PA|-|PB|=1. (3)P點(diǎn)到A點(diǎn)的距離比P點(diǎn)到直線x=1的距離長1，即P點(diǎn)到A點(diǎn)的距離等于P點(diǎn)到直線x=2的距離.分析18 (1)根據(jù)題意，知|PA|+|PB|+|AB|=10，即|PA|+|PB|=64=|AB|,故P點(diǎn)的軌跡是橢圓，且2a=6,2c=4,即a=3,c=2,則b= ,因此其方程為 =1(y0).(2)設(shè)圓P的半徑為r，則|PA|=r+1，|PB|=r，因此|PA|-|PB|=1.52295xy解析19由雙曲線的定義知，P點(diǎn)的軌跡為雙曲線的右支,且2a=1,2c=4,即a= ,c=2,則b= ,因

9、此其方程為4x2- y2=1(x ).(3)依題意知，動(dòng)點(diǎn)P到定點(diǎn)A的距離等于到定直線x=2的距離，故其軌跡為拋物線，且開口向左，p=4.因此其方程為y2=-8x.121524151220 (1)本題為利用圓錐曲線的定義求動(dòng)點(diǎn)軌跡方程的問題若動(dòng)點(diǎn)軌跡的條件符合某一基本軌跡的定義，如圓、橢圓、雙曲線、拋物線的定義，則可以直接根據(jù)定義求出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程 (2)圓錐曲線的定義提示了其本質(zhì)特征，而圓錐曲線的方程隨坐標(biāo)系的不同而不同，因而掌握定義是根本 評析21題型三 代入法(相關(guān)點(diǎn)法)求軌跡方程例31,02FMxPyMNMP PMPFPyN 設(shè)，點(diǎn)在 軸上， 點(diǎn)在 軸上，且，當(dāng)點(diǎn) 在 軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)

10、的軌跡方程分析 123MPNMP確定與 的坐標(biāo)關(guān)系尋找動(dòng)點(diǎn) 與點(diǎn)、 的關(guān)系用代入法求軌跡方程22解析0,00002000000000000020(0)()()(1)() (1)00.2()2()2,12204M xPyN xyNPMPF PMxyPFyxyyxyMNMPxxyxyxxxxxyyyyyx 設(shè)， ，點(diǎn) 為軌跡上任意一點(diǎn)因?yàn)椋?，所以由，得，所以即所以?4 .yx即評析 在某些較復(fù)雜的探求軌跡的過程中，可先確定一個(gè)較易于求得的點(diǎn)的軌跡方程，再以此點(diǎn)作為主動(dòng)點(diǎn)，所求的軌跡上的點(diǎn)為相關(guān)點(diǎn)，求得軌跡方程23224,03690PxyABAPBAPBQQ 如圖所示，已知是圓內(nèi)的一點(diǎn)， 、

11、是圓上兩動(dòng)點(diǎn)，且滿足，求矩形的頂點(diǎn) 的軌跡方程素材2分析.QABQABRRQ 動(dòng)點(diǎn) 與 、 兩點(diǎn)的變化有關(guān)，由圓的弦的性質(zhì)知點(diǎn) 與的中點(diǎn) 有關(guān)，因此可先求出 點(diǎn)的軌跡方程，再轉(zhuǎn)化為點(diǎn) 的軌跡方程24解析2222222222222()Rt364,4364100.ABR xyAROARAOORxyARPRxyxyxyxyxRRQ 設(shè)的中點(diǎn)為， ，則在中，又有即因此點(diǎn) 在一個(gè)圓上，而當(dāng) 在此圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)， 點(diǎn)即在所求的軌跡上運(yùn)動(dòng)25111122221112221125()4224100464()()410022256.Q xyxyRPQxyxyxyxxyyxQx設(shè)，由 為的中點(diǎn)，所以有，代入方程得，整

12、理得，即點(diǎn) 的軌跡方程為26題型四 用參數(shù)法求軌跡方程例4240ypx pOABOAOBOMABMM 已知拋物線， 為頂點(diǎn)， ，為拋物線上的兩動(dòng)點(diǎn)，且滿足，如果于點(diǎn)，求點(diǎn)的軌跡方程分析 (3)12M xyMABOAOB動(dòng)點(diǎn)， 的坐標(biāo)之間的關(guān)系不易找到動(dòng)點(diǎn)與 、 的直接關(guān)系不明顯，因此需引入?yún)?shù)由建立聯(lián)系，消去參數(shù)得解27解析000022222122212121222000().4240.4440.444ABM xyABykxbxOMABkyypxykxbybk xxkbpbx xkpbxkypypby ykOAOBy yx xpbbbkpkkykxbk xp 直線斜率存在時(shí)，設(shè)，直線的方程為由

13、，得，由，及，消去 ，得，所以消去 ，得，所以由，得，所以，故2822000000222240(0)4 ,040(0)40(0)xkxypxxyABxMpxypxxMxypxx 把代入，得，軸時(shí)，也符合，即點(diǎn)的軌跡方程為評析 ()()P xyxyttxtyxtyttxyP xy 在一些很難找到形成曲線的動(dòng)點(diǎn)， 的坐標(biāo) ， 所滿足的關(guān)系式的情況下，往往借助第三個(gè)變量 ，建立 和 ， 和 的關(guān)系式，再通過一些條件消掉 就間接找到了 和 所滿足的方程，從而求出動(dòng)點(diǎn)，所形成的曲線的普通方程291212()A ablllxMlyNMNP 過定點(diǎn)，任作互相垂直的兩直線 與 ，且 與 軸交于點(diǎn)， 與 軸交于

14、點(diǎn) ，如圖所示，求線段的中點(diǎn) 的軌跡方程素材3解析 11111221112110 1 1 lylkklllklybkxalybxak 當(dāng) 不平行于 軸時(shí)，設(shè) 的斜率為 ， 則，因?yàn)?，所?的斜率為，的方程為，的方程為30 11211122111200()22,220(22)222().2 212.02byMxakaxNybkMNPxyabxkakaxbMNPaxbyabxbaykyaa blyMNb在中令，得點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，在中令，得 點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，設(shè)的中點(diǎn) 的坐標(biāo)為 ， ，則有消的中點(diǎn) 的軌跡方去 ，得當(dāng) 平行 軸時(shí)，的中點(diǎn)為， ，其坐標(biāo)滿足方程綜合程為知，31 222212212111212

15、12102.3112xyababFFAAFF FOAFOFabQQOQOQOQQODDD 設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、 ， 是橢圓上的一點(diǎn)，原點(diǎn) 到直線的距離為證明：；設(shè)，為橢圓上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過原點(diǎn) 作直線的垂線，垂足為 ，求點(diǎn) 的軌跡方程32解析 21212222222222222122112422,0,0()0.11.()220.133114AFF FFcFcA cyycyabyAababbbyA caabAFyxcacb xacyb cOAFOFcb cba c由題設(shè)及，不 妨設(shè)點(diǎn)， ，其中 由點(diǎn) 在橢圓上，有，即 解得，從而得到， 直線的方程為， 整理得 由題設(shè)，原點(diǎn) 到直線的距離為，方

16、 即法 ：， 將2222222 .cababab代入上式并化簡得，即3321112211121221222221().|.|2 .13|13|2.2222bAcaOOBAFBF BOF F AF ABOOFF AAFAFaBOOFF AF AF AaF AbaF AF Aabaaba同方法 ，得到點(diǎn) 的坐標(biāo)為 ， 過點(diǎn) 作，垂足為 ， 易知 故 由橢圓的定義得 又， 所以， 解得，而， 故得，即方法 ：34 001112220012120012000200000111222222()()()0.()().222DxyQ xyQxyyxODQQQQyxQQyxxyyxxykxmkmyyyQ xy

17、Qxyykxmxyb 設(shè)點(diǎn) 的坐標(biāo)為， 當(dāng)時(shí)， 由知，直線的斜率為， 所以直線的方程為或 ，其中， 點(diǎn)，的坐標(biāo)滿足方程組 35222222222121222121222121222222.124220422. 1212 22 12xkxmbkxkmxmbkmmbxxx xkky ykxmkxmk x xkm xxmmbk 將式代入式，得整理得，于是，由式得2222222121212222224122 . 120322012kmkmmkkmb kkOQOQx xy ymbb kk由知，將式和式代入得，3622220000022200012011122222001201,2222121212222

18、22000321.0.()()2,.2220220.23mbkxxkmyyyxybyQQxxQ xyQxyxxbxxxxyxybOQOQx xy ybxxxbD 即將，代入上式，整理得當(dāng)時(shí)，直線的方程為點(diǎn)，的坐標(biāo)滿足方程組所以，由，知，即，解得這時(shí)，點(diǎn) 的22022220.23Dxybyxb點(diǎn)坐標(biāo)仍滿足綜上，的軌跡方程為371.曲線與方程關(guān)系的理解.(1)曲線方程的實(shí)質(zhì)就是曲線上任意一點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)之間的關(guān)系，這種關(guān)系同時(shí)滿足兩個(gè)條件：曲線上所有點(diǎn)的坐標(biāo)均滿足方程；適合方程的所有點(diǎn)均在曲線上.(2)如果曲線C的方程是f(x,y)=0,那么點(diǎn)P0(x0,y0)在曲線C上的充要條件是f(x0,y0

19、)=0.38(3)視曲線為點(diǎn)集，曲線上的點(diǎn)應(yīng)滿足的條件轉(zhuǎn)化為動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)所滿足的方程，則曲線上的點(diǎn)集(x,y)與方程的解集之間建立了一一對應(yīng)關(guān)系.2.求軌跡方程方法實(shí)質(zhì)剖析.(1)軌跡問題的實(shí)質(zhì)就是用動(dòng)點(diǎn)的兩坐標(biāo)x,y一一對應(yīng)的揭示曲線方程解的關(guān)系.在實(shí)際計(jì)算時(shí)，我們可以簡單地認(rèn)為，求曲線方程就是求曲線上動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)之間的關(guān)系.當(dāng)兩坐標(biāo)之間的關(guān)系為直接關(guān)系f(x,y)=0，就是曲線方程的普通形式;39 當(dāng)x,y的關(guān)系用一個(gè)變量(如t變量)表示時(shí)，坐標(biāo)之間的關(guān)系就是間接關(guān)系，這時(shí)的表示式就是曲線的參數(shù)方程.所以解決問題時(shí)，應(yīng)該緊緊圍繞尋找點(diǎn)的兩坐標(biāo)之間的關(guān)系展開探究. (2)定義法求軌跡是不同于其他求

20、軌跡的思維方法，它從動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的規(guī)律出發(fā)，整體把握點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)中不動(dòng)的、不變的因素，從而得到了動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)規(guī)律滿足某一關(guān)系，簡單地說，就是在思維的初期，先不用設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)，而直接找動(dòng)點(diǎn)所滿足的幾何性質(zhì)(往往是距離的等量關(guān)系).40 由于解析幾何研究的幾何對象的局限性，直線、圓、圓錐曲線這些的定義都是用距離的關(guān)系來定義曲線的，所以利用定義法求軌跡問題時(shí)，往往應(yīng)該先考慮動(dòng)點(diǎn)滿足的距離關(guān)系，判斷它是否滿足五種曲線的定義，從而使問題快速解答.414sinsin2sinABCBCACBAA 在中， 點(diǎn)為動(dòng)點(diǎn)，滿足，求 點(diǎn)的軌跡方程錯(cuò)解22288.28,241.1612cbaABACABCacxyA由正弦定理得，即故 點(diǎn)的軌跡為以 、 為焦點(diǎn)的橢圓因?yàn)?，所以點(diǎn) 的軌跡方程為42錯(cuò)解分析ABCABCABC 沒有建立恰當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，因?yàn)樽鴺?biāo)系不同，軌跡方程也不同 因?yàn)?、 、 三點(diǎn)構(gòu)成，故 、 、 不能共線，故應(yīng)排除一些特殊點(diǎn)正解22221161228811612(0)cbaABACABCBCxBCxxyABCyAy由正弦定理得，即，故點(diǎn) 的軌跡為以 、 為焦點(diǎn)的橢圓以為 軸，的中點(diǎn)為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，則橢圓方程為，又因?yàn)?、 、 三點(diǎn)點(diǎn)不能共線，所以的軌跡方程為