《高數(shù)學(xué)習(xí)資料_含講義及全部內(nèi)容 3 中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高數(shù)學(xué)習(xí)資料_含講義及全部內(nèi)容 3 中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用（22頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、高數(shù)學(xué)習(xí)資料_含講義及全部內(nèi)容 3 中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第三章：中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用3.1 中值定理本節(jié)將運(yùn)用微分學(xué)的兩個基本定理，這些定理是研究函數(shù)在區(qū)間上整體性質(zhì)的省力工具，為此，先介紹Rollo定理：Rollo定理：若函數(shù)f(x) 滿足：（i）f(x) 在 a,b 上連續(xù)；（ii）f(x) 在（a,b）可導(dǎo)，（iii）f(a) =f(b), 則在（a,b）內(nèi)至少存在一點，使得f()=0.證明：由（i）知f(x)在a,b上連續(xù)，故f(x)在上必能得最大值M和最小值m，此時，又有二種情況：（1） M=m，即f(x)在a,b上得最大值和最小值相等，從而知，此時f(x)為常數(shù)：f(x)M=m，0
2、，因此，可知為（a,b）內(nèi)任一點，都有f()0。（2） Mm,此時M和m之中，必有一個不等于f(a)或f(b)，不妨設(shè)Mf(a)（對mf(a)同理證明），這時必然在（a,b）內(nèi)存在一點，使得f()=M,即f(x)在點得最大值。下面來證明：f()=0首先由（ii）知f()是存在的，由定義知：f()= .(*)因為為最大值，對有 f(x) Mf(x)M0,當(dāng)x時，有0當(dāng)x0）。解：?！纠?】 求，（n為正整數(shù)，）。解：。注 1：例5中的可推廣到任意正數(shù)； 2：例4例5說明當(dāng)時，都是無窮大量，但較高階，較高階，不妨用以下記號表示：?！纠?】能否用法則？解：若用法則，則有 不存在， 但。這說明對本題法
3、則不適合，這是為什么？這是因為定理的第三個條件不滿足?！纠?】 （型）?！纠?】 （型）?！纠?】 （型，同上）。 3、3 Taylor公式 多項式是函數(shù)中最簡單的一種，用多項式近似表達(dá)函數(shù)是近似計算中的一個重要內(nèi)容，在2、8中，我們已見過： 等近似計算公式，就是多項式表示函數(shù)的一個特殊情形，下面我們將推廣到一個更廣泛的、更高精度的近似公式。 設(shè)在的某一開區(qū)間內(nèi)具有直到階導(dǎo)數(shù)，試求一個多項式 (1)來近似表達(dá)，并且和在點有相同的函數(shù)值和直到階導(dǎo)數(shù)的各階導(dǎo)數(shù)，即：。 下面確定的系數(shù)，通過求導(dǎo)，不難得到 (2)這個即為所求。Taylor中值定理：如果函數(shù)在的某區(qū)間內(nèi)具有直到階的導(dǎo)數(shù)，則當(dāng)時，可表示
4、為的一個多項式和一個余項之和： (3)其中 （介于與之間）證明：令， 下證在與之間，使得： 由于有直到階導(dǎo)數(shù)，為多項式，故在內(nèi)有直到階導(dǎo)數(shù)，并且?，F(xiàn)對函數(shù)和在以和為端點的區(qū)間上應(yīng)用Cauchy中值定理， （在與之間） （介于與之間）如此繼續(xù)下去，經(jīng)過次后，一個介于與之間，使得 ， 顯然介于與之間。一般地，記號 又因為 而為次多項式，故當(dāng) 或 （介于與之間）。注1：（3）式稱為按的冪展開到階的Taylor公式，的表達(dá)式（4）稱為Lagrange型余項； 2：當(dāng)時（3）變?yōu)椋?（介于與之間），這就是Lagrange公式； 3：從（3）式可看出：用（2）式的多項式來近似表達(dá)，所產(chǎn)生的誤差為，再由（4
5、）式，不難看出：若在上，有，則有：，此時，即 4：若特別地，取，這時（3）式變?yōu)椋?（5） 這里 （介于與之間），我們稱（5）為的Maclourin公式。【例1】 求的Maclourin公式。解： ， 又所以 ，令代入（5）式得：。【例2】 求的Maclaurin公式。解： ，當(dāng)1，5，9，13，時，當(dāng)2，6，10，14，時，按（15）式，得： 其中：。注：。同理有：， 其中：。【例3】求的Maclourin公式。解：其中：， （）【例4】求的Maclourin公式。解：。 3、4 函數(shù)單調(diào)性的判定法 單調(diào)函數(shù)是函數(shù)中的一個重要部分，從圖形上看，單調(diào)增加（減少）函數(shù)是一條沿軸正向上升（下降）的
6、曲線，曲線上各點處切線斜率都是非負(fù)的（非正的），即 單增，則，若單減，則。 下面來證明反之亦成立，設(shè)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，在內(nèi)任取兩點，在區(qū)間上應(yīng)用Lagrange中值定理，故在內(nèi)至少存在一點，使得：，因為 與同號，（i）若在內(nèi)，則有，即，此時，單增；（ii）若在內(nèi)，則有，即，此時，單減；綜和上述正反兩方面，得：判定法：設(shè)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，則： （1）在上單增的充要條件是； （2）在上單減的充要條件是。注1：此“單增”或“單減”與課本上的意義有些區(qū)別，它是指：若，則有“”或“”或稱“不減”或“不增”。而對時，有 “”或“”時，稱為“嚴(yán)格單增”或“嚴(yán)格單減”。在不特別要求下，也可稱為“單增”或“
7、單減”。 2：若在內(nèi)有，則在上嚴(yán)格遞增（嚴(yán)格遞減）； 嚴(yán)格遞增（i）； （ii）在任何子區(qū)間上。 3：可換成其它任何區(qū)間，包括無窮區(qū)間，結(jié)論成立?！纠?】 證明：當(dāng)時，。證明：令所以，當(dāng)時，所以為嚴(yán)格遞增的，所以。【例2】討論單調(diào)性。解：（）當(dāng)時， 所以在上嚴(yán)格遞減；（）當(dāng)時 , 所以在-1，1上嚴(yán)格遞增；（）當(dāng)時， 所以在上嚴(yán)格遞減?！纠?】中的通常稱為單調(diào)區(qū)間并且稱為單調(diào)增加區(qū)間，-1，1稱為單調(diào)減少區(qū)間，而二點恰為單調(diào)區(qū)間的分界點，不難知。一般講，在定義域內(nèi)未必單調(diào)，但可用適當(dāng)?shù)囊恍c把定義域分為若干個區(qū)間，便得在每一個區(qū)間上都是單調(diào)函數(shù)。而這些分點主要有兩大類：其一是導(dǎo)數(shù)等于0的點，即
8、的根；其二是導(dǎo)數(shù)不存在的點。事實上，只要在定義域內(nèi)連續(xù)，且只在有限n個點處導(dǎo)數(shù)不存在，則可用分點將區(qū)間分為若干個小區(qū)間，使得在各小區(qū)間上，保持有相同的符號，即恒正或恒負(fù)，這樣在每個小區(qū)間上為增函數(shù)或減函數(shù)，各小區(qū)間則相對地稱為單增區(qū)間或單減區(qū)間。【例3】求的單調(diào)區(qū)間。解：在（-，+）上連續(xù)，當(dāng)X0時，再令y=0，解得，X=1為導(dǎo)數(shù)等于0的點，又當(dāng)X=0時，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的存在，所以X=0為不可導(dǎo)的點，現(xiàn)用X=0和X=1作為分點來將（-，+）分為（-，0），0，1和1，+三個區(qū)間。（）在（-，0）上，所以在上為單增函數(shù)；（）在（0，1）上，所以在0，1上單減；（）在上，所以在（1，+）上單增?！纠?
9、】方程（其中a0）有n個實根？解：設(shè)令，用點將其定義域（0，+）分為（0，1/a）和1/a，+二個區(qū)間，且（）當(dāng)時，所以在是單增的，故當(dāng)時，。（）當(dāng)時，所以在上為單減的，故當(dāng)時，。由（）（）知，當(dāng)時，即對，下面來討論有幾個實根：（a）若1+lna0，即a1/e時，0，即方程無解。（b）若1+lna=0，即a=1/e時，且僅在X=1/a=e時，有=0，此時，方程有唯一的解。（c）若1+lna0，即0a1/e時，f（1/a）0，又在（0，1/a）上，單增，且，故在（0，1/a）上，函數(shù)與x軸有一個且只一個交點，即方程的根，又在上，單減，且，故在上，與X軸有一個且只有一個交點，即方程的根，合起來，此
10、時方程有二個實根。3.5 函數(shù)的極值的求法上節(jié)例3中，用X=0，和X=1兩點將的定義域（-，+）分為三小區(qū)間（-，0），0，1，使用分別在這三個小區(qū)間上單增，單減，單增（見圖），從圖中不難看出，在X=0的一個較小范圍內(nèi)，在X=1點的最小區(qū)間都是慮的局部情況，而不是整體這就是將討論的極值。定義：設(shè)函數(shù)在點X0的某鄰域上有定義，若對有，（）定義：設(shè)函數(shù)在點X0處的得極大值（極小值）點X0稱為極大點（極小點），極大值，極小值統(tǒng)稱為極值，極大點，極小點統(tǒng)稱為極點。顯然在上節(jié)例3中，X=0，X=1均為極點，注：極大點，極小點未必統(tǒng)一。定理1：（極值的必要條件），若函數(shù)在點可導(dǎo)，且取得極值，則。注： 1、
11、一般地，在處有，就稱為的駐點或穩(wěn)定點，上定理1即是可導(dǎo)函數(shù)的極點必為穩(wěn)定點。2、定理1不是充分的即駐點未必是極點，與例：在=0處的情況。3、定理1只對可導(dǎo)函數(shù)而言，對導(dǎo)數(shù)不存在的點，函數(shù)也可能取與極值，例：=x，在x=0點的導(dǎo)數(shù)不存在，但取得極小值。4、證明可仿照Rolle 中值定理的證明，此處不證了。如何判別在x0點取得極值，有下二個定理：定理2（判別法1），設(shè)連續(xù)，在x0點連續(xù)，在x0的某一定心鄰域內(nèi)可導(dǎo)（）若當(dāng)x（x0 ，x0 ）時，f（x）0，當(dāng)x（x0，x0 +）時，f（x）0，則f（x）在x0點取得極大值。（）若當(dāng)x（x0 ，x0 ）時，f（x）0，當(dāng)x（x0，x0 +）時，f（x
12、）0，則f（x）在x0點取得極小值。定理3（判別法2）設(shè)f（x）在x0的某鄰域內(nèi)可導(dǎo)，且f（x0）=0，f（x0）存在（）若f（x0）0，則f（x）在x0點取得極大值。（）若f（x0）0，則f（x）在x0點取得極小值。（）若f（x0）=0，則此差別法2換效。證：（）f（x0）=lim f（x）- f（x0）/x- x0= lim f（x）/ x- x00故存在x0的某鄰域U（x0 ，），當(dāng)X（x0 ，）時，f（x）/x- x0。即f（x）與x- x0反號，當(dāng)x（x0 ，x0）時，f（x）0，當(dāng)x（x0，x0+）時，f（x）0；由差別法1，f（x）在x0點取得極大值。（）反例1 f（x）=x2
13、在x=0點取得極小值。反例2 f（x）=x3 在x=0點取不到極值。例1上節(jié)例2 f（x）=3x-x3例2求f（x）=（x-2）2/3（2x+1）的極值解：由為駐點； 又 ，所以 所以在處取得極大值，且極大值為。又在處不可導(dǎo)，對充分小的當(dāng)時，；當(dāng)時，由判別法1知在處取得極小值，且極小值為f（2）=0，所以f（x）在x=1處取得極大值3，在x=2處取得極小值0。 3.6 最大值、 最小值問題：現(xiàn)討論求最大值，最小值的問題，最大（?。┲凳且徽w概念是指函數(shù)在定義域內(nèi)取到的了最大數(shù)，最小數(shù)。與極大值，極小值不同。如果最大（?。┲翟诙x域內(nèi)部取得，則此最大（?。┲当貫闃O大（小）極，這時，最大（?。c必
14、為導(dǎo)數(shù)不存在的點和駐點，另外最大（?。┲颠€可能在定義域的端點上取得（若端點在定義域中的話）。由此，若f（x）在定義域上取到最大（小）值?，F(xiàn)給出求f（x）在區(qū)間上的最大（?。┲缔k法：（i）求出f（x）在上的所有駐點不可導(dǎo)點和端點。（ii）求出f（x）在這些點上的函數(shù)值，再進(jìn)行比較：最大（?。┱呒礊樗蟮淖畲螅ㄐ。┲怠Ｌ貏e地，若f（x）在a，b上連續(xù)，可導(dǎo)，此時最大（小）值必在駐點和端點a、b中取得。例1求f（x）=x4-2x2+3在區(qū)間-3，2上的最大值和最小值。解：因為f（x）在-3，2上連續(xù)，故最大值，最小值一定存在。又f（x）在-3，2內(nèi)可導(dǎo)，即無不可導(dǎo)的點，下求駐點；令為駐點。而又在端點
15、處f(-3)=66，f（2）=11經(jīng)過比較，得知最大者為66，最小者為2，f（x）在-3，2上的最大值為66，最小值為2。思考題：f（x）=x4-2x2+3在 -3，2上是否存在最大，小值？為什么？例2求f（x）=x4-8x2在-1，1上的最值。解：f（x）在-1，1上連續(xù)，可導(dǎo)，最值存在，且在駐點和端點中取得。令f（x）=4x3-16x=4x（x2-4）=0得x1=0，x2=2，x3=-2，因為2，-2（-1，1）故去掉，所以在-1，1中有一個駐點x=0，且f（0）=0。又在端點處，f（-1）=f（1）=-7，由比較得f（X）在-1，1上的最大值為0，最小值為-7。注：上例中，S=0為f（x
16、）在-1，1上的唯一的駐點，不難驗證f（x）在x=0處取得極大值（因為f（0）=-16），恰好，在x=0處f（x）上取得最大值，但這并非偶然，一般地有：性質(zhì)：設(shè)f（x）在區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，且只有一個駐點x0，且若f（x）在x0點取得極大（小）值，則f（x）必在x0點取得最大（?。┲?。例3在曲線y=1/x（x0）上取一點使之到原點的距離為最近解：曲線上任一點（x，y）則（0，0）點的距離為 即，而求x使s最小值可轉(zhuǎn)化為求x使s2=x2+1/x2最小，由題意知，這個最近距離是存在的，即函數(shù)的最小值存在。由 （舍去）所以當(dāng)x0時，只有一個駐點x=1，且在x=1點。所以s2在x=1處取得極小值2，所以s在x
17、=1處取得極小值。而這個極小值 即為S在區(qū)間（0，+）上的最小值。注：在實際問題中，若由題意得知最大值或最小值存在，且一定在所致慮的區(qū)間內(nèi)部取得，此時，若在該區(qū)間內(nèi)部只有一個駐點，那么不必再作討論，就可斷定f（x0）就是所求的最大值或最小者。3.7 曲線的凹凸與拐點為了較準(zhǔn)確地描出函數(shù)的圖形，單知道函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值是不行的，比如說，f（x）在a，b上單調(diào)，這時會出現(xiàn)圖中的幾種情況，l1是 一段凸弧l2是一段凹弧，l3即有凸的部分，也有凹的部分，曲線具有這種凸和凹的性質(zhì)，稱為凸凹性。從幾何意義上看，凸弧具有這種特點：從中任取兩點，連此兩點的弦總在曲線的下方。進(jìn)而不難知道，在（a，b）中任意取
18、兩個點函數(shù)在這兩點處的函數(shù)值的平均值小于這兩點的中點處的函數(shù)值。凹弧也有相仿的特點。定義：設(shè)f（x）在a，b上連續(xù)，若對Vx1，x2（a，b）恒有：f（x1+x2/2）f（x1）+f（x2）/2或f（x1+x2/2）f（x1）+f（x2）/2這稱為f（X）在a，b上的圖形是凹的（凸的）或凹弧（凸?。Ｗⅲ?、有的書也用此線的位置來定義。2、上面等式有些書上帶等號，例如對y=x4定理：設(shè)f（x）在a，b上連續(xù)在a，b內(nèi)具有一階和二階導(dǎo)數(shù)，（i）若在a，b內(nèi)，f（x）0，則f（x）在a，b上的圖形是凸的。（ii）若在（a，b）內(nèi)，f（x）0，則f（x）在a，b上的圖形是凹的。證明：下面證（i）從（
19、a，b）中任取二點x1，x2不防設(shè)x1x2由lag range中值定理，所以其中又因為即 ，由定義，即得。例1判別曲線y=2x2+3x+1的凹凸性解：因為y=4x+3，y=40所以曲線y=2x2+3x+1在其定義域（-，+）上是凹的。例2證明當(dāng)x0，1時，有不等式證：首先，由， 現(xiàn)證：，即證令的圖形在0，1上凹的即例3討論曲線y=arctanx的凹凸性解 ， 0時，0；當(dāng)x0時，0。從例3中不難知道點X=0為曲線的凹部分與凸部的分界點定義，連續(xù)曲線上的凸弧的分界點稱為曲線的拐點。若f（x）在（a，b）內(nèi)有二階導(dǎo)數(shù)，x0點的拐點，則有f（x0）=0，且在x0左右兩邊，f（x）異號，由此不難求拐點
20、的步驟：（i）求出f（x）=0，在（a，b）中的所有解x=x0。（ii）對（）中所求的每一個x0，察f（x）在x0左右兩邊的符號，若異號，則x0為拐點，若同號，則x0不是拐點。例4求 的拐點解： 例5求 的拐點。解：令y=0 x=1，但此時，在x=1附近，不論x1還是x1，都有y0，x=1不是拐點。然而，當(dāng)x=0時，y不存在，但當(dāng)x0時，y0，當(dāng)x0時，y0，由定義知，x=0為拐點。 3.8函數(shù)圖形的描繪根據(jù)前n節(jié)所學(xué)的知識，我們可較準(zhǔn)確地畫出函數(shù)的圖，描繪函數(shù)圖象的一般步驟：1、確定函數(shù)的定義域，并求出f（x），f（x）2、求出f（x）=0和f（x）=0的所有根，與不可導(dǎo)點，并用這些點將定義
21、域分為若干個小區(qū)間。3、確定f（x）和f（x）在這些子區(qū)間上的符號，并且由此確定的函數(shù)圖形的升降，凹凸與極點和拐點。4、確定水平，鉛直漸近線，以與其它漸近線。5、確定某些特殊點的坐標(biāo)，比如：與坐標(biāo)的交點。6、沿x增大的方向按上討論的結(jié)果，將點用曲線光滑連結(jié)起來，分點的坐標(biāo)，以把圖描得更準(zhǔn)些，另外，還可以觀察f（x）的奇偶性，周期性配合作用。例1作出函數(shù)y=xe-x的圖形解（）y=xe-x的定義域為（-，+）y=（1-x）e-x，y=（x-2）e-x（）令y=0 x=1，令y=0 X=2用x=1，x=2，將（-，+）分為三部分（-，1），1，2，2，+（-，1）上，y0，y0，f（X）的圖形在（
22、-，1）上是單增的，且是凸的在1，2上，y0，y0，f（x）的圖形在（1，2）上是單減的，且是凸的在2，+上，y0，y0，f（x）的圖形在2，+是單減的，且是凹的。進(jìn)而得x=1為極大點，x=2為拐點（）當(dāng)x+時xe-x0, y=0是水平漸近線，當(dāng)x-時xe-x-（）f（1）=e-1，f（2）=2e-2，f（0）=0，從而得四個點的f（-1）=-e坐標(biāo)（0，0），（1，1/e），（2，2e-2），（-1，-e）將（）（）（）的結(jié)果列成下表：X（-，1）1（1，2）2（2，+）y+0-y-0+Y=f（X）的圖形凸極大凸拐點凹 3.9曲率一、弧微分：設(shè)f（x）在a，b上連續(xù)，在（a，b）內(nèi)有連續(xù)導(dǎo)數(shù)
23、，在曲線y= f（x）上取一點M0（x0，y0）為度量弧長的基點，規(guī)經(jīng)沿x增大的方向為曲線的方向，對曲線上任一點M（x，y）有向弧段的長度S規(guī)定如下：S的絕對值等于的長度，當(dāng)有向弧段的方向與曲線的正向一致時，S0，相反時，S0，顯然，S是x的函數(shù)，S=S（x），且是X的單調(diào)增加函數(shù)，現(xiàn)求dS/dx與ds。是x，x+x是（a，b）內(nèi)兩個鄰近的點，在曲線y=f（x）上對應(yīng)的點為M，M當(dāng)x有增量x時，設(shè)弧S有增量S。二、曲率的計算公式我們學(xué)過不少直線，但直線是不彎的，曲線是彎曲的，但各地方，彎曲的程度是不同的，比如，一族同心圓，直徑大的彎曲程度沒有直徑小的厲害。那么用什么來描述彎曲程度的呢？這里我們
24、用曲率，設(shè)曲線上M點對應(yīng)的弧長為S，切線的傾角+，我們用比值 表示弧的平均彎曲程度，即平均曲率，記為特別地令S0，這里MM，這時，稱上平均曲率的極限：為曲線在M點的曲率，若 存在，則有：例1求圓X2+y2=a2上各點的曲率解：若曲線方程為三、曲率圓與曲率半徑在M點處的直線，靠凹的一側(cè)上取一點D，使以D為圓心，為半徑作圓。 3.10方程的近似解有時，方程f（x）=0的解是比較難求的，故用近似的解來代替。所謂 f（x）=0的解，就是曲線y= f（x）與x軸交點的橫坐標(biāo)。首先，假設(shè)f（x）=0的解在（a，b）之中，并且f（a），f（b）異號，又設(shè)f（x）在a，b上連續(xù)，且有二階導(dǎo)數(shù)，且在a，b上，f
25、（x）與f（x）不變號，此時，y= f（x）在（a，b）上單調(diào)，且其凹凸性不變，這樣y= f（x）在（a，b）上的圖形不外乎有四種：又由f（x）單調(diào) f（x）=0在 （a，b）內(nèi)只有一個解。一、弦位法對圖1來分析，連A（a，f（a）和B（b，f（b）兩點，得直線：它與x軸的交點的橫坐標(biāo)為：顯然x1比b更接近x0，這是第一次代替，為了保證更高精度，在區(qū)間a，x1上更用上述同樣的方法。使 如此繼續(xù)下去，直到小于指定的誤差為止。二、切線法對圖1來分析，在A（a，f（a）作切線y- f（a）= f（a）（x- a）它與x軸交點的橫坐標(biāo)為顯然x1比a更接近x0，這是第一次逼近，為了更精確，在（x1f（x1）點再作切線，等第二次逼近如此下去，直到小于指定誤差為止。一般地，作切線的端點的縱坐標(biāo)與f（x）同號三、綜合法這是把弦位法與切線結(jié)合在一起使用一對圖1來分析：用統(tǒng)位法與x1，用切線法得x1，現(xiàn)用x1，x1代替a，b在x1，x1上用綜合法，使第二次改進(jìn)法規(guī)x2，x2，如此下去，直到xR- xR小于指定的誤差為止。
高數(shù)學(xué)習(xí)資料_含講義及全部內(nèi)容 3 中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用
