《楊輝三角》導(dǎo)學(xué)案2

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1、《楊輝三角》導(dǎo)學(xué)案 2 【課標(biāo)要求】 1 . 了解楊輝三角,并能由它解決簡(jiǎn)單的二項(xiàng)式系數(shù)問(wèn)題. 2 . 了解二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)并能簡(jiǎn)單應(yīng)用. 3 .掌握“賦值法”并會(huì)靈活應(yīng)用. 【核心掃描】 1 .楊輝三角的特點(diǎn).(難點(diǎn)) 2 .二項(xiàng)式系數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用.(重點(diǎn)) 3 . “賦值法”的應(yīng)用.(易錯(cuò)點(diǎn)) 自學(xué)導(dǎo)引 1 .楊輝三角的特點(diǎn) (1)在同一行中每彳T兩端都是 1,與這兩個(gè)1等距離的項(xiàng)的系數(shù)相等; (2)在相鄰的兩行中,除1外的每一個(gè)數(shù)都等于它“肩上”兩個(gè)數(shù)的和,— 即以+1=土土G 想一想:二項(xiàng)式系數(shù)表與楊輝三角中對(duì)應(yīng)行的數(shù)值都相同嗎? 提示 不是.二項(xiàng)式系數(shù)表中第一

2、行是兩個(gè)數(shù), 而楊輝三角的第一行只有一個(gè)數(shù). 實(shí)際上 項(xiàng)式系數(shù)表中的第 n行與楊輝三角中的第 n+1行對(duì)應(yīng)數(shù)值相等. 2 .二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì) 對(duì)稱性 在(a+b)n展開式中,與首末兩端“等距離”的兩個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)相 等,即 cm=cn-m__ 增減性與最 大值 n+1 n+1 增減性:當(dāng)kvn2」時(shí),二項(xiàng)式系數(shù)是逐漸增大的;當(dāng) k>n2」時(shí), 二項(xiàng)式系數(shù)是逐漸減小的.最大值:當(dāng) n為偶數(shù)時(shí),中間一項(xiàng)的二項(xiàng) 式系數(shù)Cnn最大,當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),中間兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù) Cn2」n,屋尹 n相等,且同時(shí)取得最大值 各二項(xiàng)式系 數(shù)的和 ① C0+C1+C2+…+ Cn=2n,

3、 ② C0 + C2 + Cn+i= Cn + C3+C5+…= 2n_1 試一試:令f(k)=d, k€ {0,1,2,…,n},則直線k = n將函數(shù)f(k)的圖象分成對(duì)稱的兩 部分,即直線k=n是圖象的對(duì)稱軸,由此我們得到結(jié)論:當(dāng) k=n時(shí),Ck最大,這個(gè)結(jié)論正 確嗎? 提示 不正確.當(dāng)n是偶數(shù)時(shí),Cn最大;當(dāng)n是奇數(shù)時(shí),Cn^21n= n最大. 名師點(diǎn)睛 1 .對(duì)二項(xiàng)式系數(shù)性質(zhì)的深層理解 (1)對(duì)稱性:源于組合數(shù)的性質(zhì)“c m= CTm',基礎(chǔ)是c0=cn=i,然后從左右向中間靠攏, 便有 cn= cn1, c2=cn2,… (2)最大值:①當(dāng)n是偶數(shù)時(shí),

4、(a+b)n的展開式共n+1項(xiàng),n+1是奇數(shù),這時(shí)展開式的 形式是 前2項(xiàng) 第,+1項(xiàng) 后萬(wàn)項(xiàng) 中間一項(xiàng)是第n+1項(xiàng),它的二項(xiàng)式系數(shù)是 c2n,它是所有二項(xiàng)式系數(shù)中的最大值;②當(dāng) n 是奇數(shù)時(shí),(a+b)n的展開式共有n+1項(xiàng),n+1是偶數(shù),這時(shí)展開式的形式是 »n—1E 生n+1^ ^n+3^ _ n-1 _ 刖一2一項(xiàng) 第一萬(wàn)一項(xiàng) 第一萬(wàn)一項(xiàng) 后"2-項(xiàng) n+1n+3 n — 1 n+1 中間兩項(xiàng)是第一2一,一2一項(xiàng),它們的二項(xiàng)式系數(shù)是 c-2-n> c-2-n,這兩個(gè)系數(shù)相等,并 且是所有二項(xiàng)式系數(shù)中的最大值. (3)各二項(xiàng)式系數(shù)和

5、:c0 + cn+cn+---+ 4=2“源于(2+3n=6^+6^-% + -一+ cnbn中令 a =1, b=1,即得到 G0+Gn+c2+---+ cn=2n. 2 .賦值法的應(yīng)用 求二項(xiàng)展開式系數(shù)和或部分系數(shù)和時(shí), 通常利用賦值法,如:求(a+ x) n= a0+ a[x+ a2X2 +…+ anXn展開式中各項(xiàng)系數(shù)和, 可令x= 1,即得各項(xiàng)系數(shù)和 a0+a1+a2+…+ an.若要求奇 數(shù)項(xiàng)的系數(shù)之和或偶數(shù)項(xiàng)的系數(shù)之和,可分別令 x=- 1, x=1,兩等式相加減即可求出結(jié) 果. 題型一 與楊輝三角有關(guān)的問(wèn)題 【例1】 1 2^-4 1 V3/ I A I

6、 中。/IO 5 L 如圖在“楊輝三角”中,斜線 AB的上方,從1開始箭頭所示的數(shù)組成一個(gè)鋸齒形數(shù)列: 1.5.5.5.5.5.5.5, …,記其前n項(xiàng)和為S,求§9的值. [思路探索]本題關(guān)鍵是觀察數(shù)列的特征,數(shù)列的每一項(xiàng)在楊輝三角中的位置,把各項(xiàng)還 原為二項(xiàng)展開式的二項(xiàng)式系數(shù),再利用組合數(shù)求解. 解 由圖知,數(shù)列中的首項(xiàng)是 d,第2項(xiàng)是C2,第3項(xiàng)是C2,第4項(xiàng)是C3,…,第17項(xiàng) 是C10,第18項(xiàng)是C10,第19項(xiàng)是C11. S(9= (C2 + c2) + (C3 + c3) + (C 4 + c4) +…+ (C10+ C10) + C11 = (C2 + G

7、+ C4 +…+ C10)+ (C2 + , -2+10 X9 3 p C3+…+ 01) = 2 +02= 274. [規(guī)律方法]解決與楊輝三角有關(guān)的問(wèn)題的一般思路是: 通過(guò)觀察找出每一行數(shù)據(jù)間的相 互聯(lián)系以及行與行間數(shù)據(jù)的相互聯(lián)系. 然后將數(shù)據(jù)間的這種聯(lián)系用數(shù)學(xué)式子表達(dá)出來(lái), 使問(wèn) 題得解.注意觀察方向:橫看、豎看、斜看、連續(xù)看、隔行看,從多角度觀察. 【變式1】 如圖,在由二項(xiàng)式系數(shù)所構(gòu)成的楊輝三角中,第 行中從左到右第14 與第15個(gè)數(shù)的比為2 : 3. 第0行1 第1行1 1 第2行1 2 1 第3行1 3 3 1 第4行1 4 6 4 1 第 5行 1 5

8、10 10 5 1 解析 設(shè)第n行從左至右第14與第15個(gè)數(shù)之比為2 : 3,則Cn3 : C 丁= 2 : 3. 3c13— 2c14 即 iL^ 2-^J 一3?!?°,即 13! | n- [3 ! —14! | n-14 - 得: 3 2 n-13-14 n = 34. 答案 34 題型二二項(xiàng)展開式的系數(shù)和問(wèn)題 【例2】 已知(1—2X)7=20+2*+22*2+~+27*7,求下列各式的值. (1) a[+ a2+ …+ a?; (2) a1+ 23+ 25+ a?; (3) a0+ a2+ a4+ a6; (4)| ao| + |

9、ai| + | a2| +…+ | a?|- [思路探索]本題主要考查二項(xiàng)式系數(shù)與各項(xiàng)系數(shù)的區(qū)別,賦值法在求二項(xiàng)式系數(shù)中的應(yīng) 用以及分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力.可用賦值法解決各項(xiàng)系數(shù)和或部分項(xiàng)系數(shù)和,一般令 x =0或x= ± 1解決問(wèn)題. 解 令 x = 1,則 a0+ a〔 + a2 + a3+ …+ a7= ~ 1.① 令 x= - 1,則 a0 — a[ + a2—…一ay= 3二② (1)令x=0,得a0= 1,代入①中得: a1 + a2+a3+…+ a7= - 2. (2)由①一②得 2a〔 + 2a3 + 2a5+ 2a7 = — 1 — 3 , -1

10、-37 ? ? a1 + a3 + a5 + a7 = 2 = - 1 094. (3)由①+②得 2a0 + 2a2 + 2a4+ 2%= - 1 + 3 , —1 + 3 a0+ a2+ %+ %= 2 = 1 093. (4)法一■ :( 1 — 2x)的展開式中,a0, a2, %, a6大于零,而 a1,a3, a5, a7小于零, I a°| + | a〔| + | 陵| +…十 | a7| =(a0+ a2+ a4+ a6)—(a1 + a3 + a5 + a7) =1 093- (-1 094) = 2 187. 法二 |a°| +|a〔|

11、 + |a2|+…+ | a7|是(1 + 2x)7展開式中各項(xiàng)的系數(shù)和, 令 x= 1, I a0| + | a[| +…+ | a7| = 37= 2 187. [規(guī)律方法]賦值法是求二項(xiàng)展開式系數(shù)及有關(guān)問(wèn)題的常用方法, 注意取值要有利于問(wèn)題 的解決,可以取一個(gè)值或幾個(gè)值,也可以取幾組值,解決問(wèn)題時(shí)要避免漏項(xiàng).一般地,對(duì)于 多項(xiàng)式f (x) = a0+a[x+a2x2+…+ anxn,各項(xiàng)系數(shù)和為f(1),奇次項(xiàng)系數(shù)和為2[f (1)-f (- 1 1)],偶次項(xiàng)系數(shù)和為][f(1) + f( — 1)] , a0=f(0). 【變式2】 設(shè)(2 —,3x) 100= a0+a

12、1x+a2x2+…+ a100x100,求下列各式的值: (1) a0; (2) a1+ a2+ …+ a100; (3) a1 + 23+a5+…+ 299 ; (4)( a0+a2+ …+ a[00)2一( a[ + 氏+ …+ agg)2. 解(1)由(2 —#x)100展開式中的常數(shù)項(xiàng)為C000 - 2100,即a0=2100. 或令x=0,則展開式可化為 a0 = 2100. (2)令 x= 1,可得 a0 + a〔+a2+ …+ a[00= (2-^3)100,① ,a1+a2+…+ a100=(2-^3)100-2100 (3)令 x=-1, 可得 a0—a

13、1+a2—a3+…+ a100= (2+g3)100,② 與①聯(lián)立相減可得 a1 + a3+...+ a99=JLJl 100 — 2+/ 100 (4)原式=[(a0 + a2+ …+ aioo) + (ai + a3+…+ a99)] , [( ao + a2+ …+ aioo) — (ai + a3+… + a99H =(a0+ a〔+ a2+…+ a100)( ao—ai + a2 - a3+…+ a98—a99+a100) =(2—也)100X(2+ 班)100= 1. 題型三 求二項(xiàng)展開式中的最大項(xiàng)問(wèn)題 【例3】 已知f(x) = ( 3/f+3x

14、2)n展開式中各項(xiàng)的系數(shù)和比各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和大 992. (1)求展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng); (2)求展開式中系數(shù)最大的項(xiàng). 審題指導(dǎo) (1) 令mi二項(xiàng)式各項(xiàng) 一系數(shù)的和 一 4口一加=際—) 中間兩步一 fi-5 (2)由 通項(xiàng)公式 Tr+1>Tr Tr+1>1 + 2 最大項(xiàng) [規(guī)范解答](1)令x= 1,則二項(xiàng)式各項(xiàng)系數(shù)的和為 f (1) =(1 + 3)n=4n,又展開式中各項(xiàng) 的二項(xiàng)式系數(shù)之和為 2n.由題意知,4n—2n=992. ??.(2n)2—2n—992=0, (2 分) . .(2n+31)( 2n— 32)=

15、0, 2n=- 31(舍),或 2n = 32, n= 5.( 4 分) 由于n=5為奇數(shù),所以展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為中間兩項(xiàng),它們分別是 T3=C2(x|) 3(3x2)2=90x6, T4=C5( x2) 2( 3x2) 3= 270x22.( 6 分) 3 3 一 .,—一,, r r 2 (2)展開式的通項(xiàng)公式為 Tr+1 = C53 - x-(5+2r). 3 假設(shè)Tr + 1項(xiàng)系數(shù)最大,則有 d30c5一 ? 3rT, :lC53r>c5+1-3r + 1, (8^ r 5! 5! 5-r !r!*i 6一「i 1一 ] i J ,

16、" 5! 5! ―f >—; ; X I 5- r !r! 4 — r ! r + ] ! 3>6^7> ???{ 1 3 (10 分) .5— r r +1. 7 9 2< r<2,-re N, r = 4. ???展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)為 T5=C4 - 34x26= 405x26.( 12分) 3 3 【題后反思】(1)求二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng),要依據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)對(duì) (a+b)n中的n進(jìn) 行討論,n為奇數(shù)時(shí)中間兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大; n為偶數(shù)時(shí),中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大. (2)求展開式中系數(shù)最大項(xiàng)與求二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)是不同

17、的.求展開式系數(shù)最大的項(xiàng),如 求(a+bx)n(a、bCR)展開式中系數(shù)最大的項(xiàng),一般是采用待定系數(shù)法.設(shè)展開式各項(xiàng)系數(shù) A>a - 分別為A, A2,  An+1,且第r + 1項(xiàng)系數(shù)最大,應(yīng)用, 解出r來(lái),即得系數(shù)最大 A>A+1 的項(xiàng). 【變式3】 在(3x—2y)20的展開式中,求 (1)二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng); (2)系數(shù)絕對(duì)值最大的項(xiàng); (3)系數(shù)最大的項(xiàng). 解(1)二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是第 11項(xiàng), T11=c20310(-2) 10x10y10 =C20610x10y10. (2)設(shè)系數(shù)絕對(duì)值最大的項(xiàng)是 r + 1項(xiàng),于是 C2c-3 20^

18、- r-2r>c201-319-r-2r + 1, C -r c 20- r 八「、-「—1 c21 — r 八r—1 3 化簡(jiǎn)得口 IC20 ? 3 - 2 >C20 -3 ? 2 , r + l >2 2()-r 21- r 23r, -2 2 解得 75<r<85(r€N), 所以r = 8, 2r — 1項(xiàng)系數(shù)最大,于是 即T9=C80312- 28 ? x12y8是系數(shù)絕對(duì)值最大的項(xiàng). (3)由于系數(shù)為正的項(xiàng)為 y的偶次方項(xiàng),故可設(shè)第 { >2r- 2 c 22—2r 八 2r—2、八 2r — 4 , 24- 2r 八

19、 2r— 4 c2o - 3 ? 2 >C20 -3 ? 2 , x^r-2 )22— 2r 勺 2r—2、02r . 20- 2r 勺 2r |C2o — , 2 20 .3 ?2) 化簡(jiǎn)得 l0r2+ 143r -1 077 <0, 10r2+ 163r -924>0. 解之得r=5,即2X5—1 = 9項(xiàng)系數(shù)最大. T9=C20 ? 312 - 28 - x12y8. 誤區(qū)警示 混淆“項(xiàng)的系數(shù)”與“二項(xiàng)式系數(shù)”錯(cuò)用二項(xiàng)式系數(shù)性質(zhì)致錯(cuò) 【示例】 求(1+ 2x)2°的展開式中x的奇次方項(xiàng)和x的偶次方項(xiàng)的系數(shù)和各是多少? [錯(cuò)解1] ?.?二項(xiàng)

20、展開式中奇次方項(xiàng)系數(shù)和偶次方項(xiàng)的系數(shù)和相同,,奇次方項(xiàng)和偶次方 項(xiàng)的系數(shù)和各為219. [錯(cuò)解2]由二項(xiàng)展開式知 x的奇次方項(xiàng)系數(shù)和為 C20 - 2+C30 - 23+C20 ? 25+…+ C29 ? 219, x的偶次方項(xiàng)的系數(shù)和為 C20+C20 - 22+C20 - 24+…+ C20 - 220. 錯(cuò)解1主要還是沒(méi)看清題意, 將系數(shù)和與二項(xiàng)式系數(shù)和混淆了; 錯(cuò)解2解法欠妥,數(shù)據(jù)都 對(duì),但錯(cuò)解2中的和很難求出.其原因還是沒(méi)把握住求和與系數(shù)和的根本方法. [正解]設(shè)x的奇次方項(xiàng)的系數(shù)和為 A, x的偶次方項(xiàng)的系數(shù)和為 B,則令x=1,得A+ B =320,令 x=— 1,得 B-A= 1. 2B= 320+ 1. B= 3* 1 2 , 320— 1 320 1 「?奇次方項(xiàng)系數(shù)的和為 3-2」,偶次方項(xiàng)系數(shù)和為3-2^ 關(guān)于系數(shù)和的問(wèn)題,多注意用賦值方法解決

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