高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：第六章 ：第四節(jié)基本不等式演練知能檢測(cè)

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1、 精品資料 第四節(jié)　基本不等式 [全盤鞏固] 1．下列不等式一定成立的是(　　) A．lg>lg x(x>0) B．sin x＋≥2(x≠kπ，k∈Z) C．x2＋1≥2|x|(x∈R) D.>1(x∈R) 解析：選C　對(duì)選項(xiàng)A，當(dāng)x>0時(shí)，x2＋－x＝2≥0，∴l(xiāng)g≥lg x，故不成立；對(duì)選項(xiàng)B，當(dāng)sin x<0時(shí)顯然不成立；對(duì)選項(xiàng)C，x2＋1＝|x|2＋1≥2|x|，一定成立；對(duì)選項(xiàng)D，∵x2＋1≥1，∴0<≤1. 2．若a，b∈R，且ab>0，則下列不等式中，恒成立的是(　　) A．a(chǎn)＋b≥2

2、 B.＋> C.＋≥2 D．a(chǎn)2＋b2>2ab 解析：選C　因?yàn)閍b>0，所以>0，>0，即＋≥2 ＝2(當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)等號(hào)成立)． 3．函數(shù)y＝(x>1)的最小值是(　　) A．2＋2 B．2－2 C．2 D．2 解析：選A　∵x>1，∴x－1>0， ∴y＝＝＝＝＝x－1＋＋2≥2 ＋2＝2＋2，當(dāng)且僅當(dāng)x－1＝，即x＝1＋時(shí)取等號(hào)．所以函數(shù)y＝(x>1)的最小值為2＋2. 4．(2014洛陽(yáng)模擬)已知x>0，y>0，x＋2y＋2xy＝8，則x＋2y的最小值是(　　) A．3

3、 B．4 C. D. 解析：選B　依題意得x＋1>1,2y＋1>1，易知(x＋1)(2y＋1)＝9，則(x＋1)＋(2y＋1)≥2＝2＝6，當(dāng)且僅當(dāng)x＋1＝2y＋1＝3，即x＝2，y＝1時(shí)取等號(hào)，因此有x＋2y≥4，所以x＋2y的最小值是4. 5．(2014寧波模擬)若正數(shù)x，y滿足4x2＋9y2＋3xy＝30，則xy的最大值是(　　) A. B. C．2 D. 解析：選C　由x>0，y>0，知4x2＋9y2＋3xy≥2(2x)(3y)＋3xy(當(dāng)且僅當(dāng)2x＝3y時(shí)等號(hào)成立)，所以12xy＋3xy≤30，即xy≤2.

4、 6．已知M是△ABC內(nèi)的一點(diǎn)，且＝2，∠BAC＝30，若△MBC，△MCA和△MAB的面積分別為，x，y，則＋的最小值是(　　) A．20 B．18 C．16 D．19 解析：選B　由＝||||cos 30＝2，得||||＝4，S△ABC＝||||sin 30＝1， 由＋x＋y＝1，得x＋y＝.所以＋＝2(x＋y)＝2≥2(5＋22)＝18，當(dāng)且僅當(dāng)＝，即x＝，y＝時(shí)取等號(hào)． 所以＋y的最小值為18. 7．已知正數(shù)x，y滿足x＋2≤λ(x＋y)恒成立，則實(shí)數(shù)λ的最小值為________． 解析：依題意得x＋2≤x＋(x＋2y)＝2(x＋y)，即≤

5、2(當(dāng)且僅當(dāng)x＝2y時(shí)取等號(hào))，即的最大值為2；又λ≥，因此有λ≥2，即λ的最小值為2. 答案：2 8．(2014杭州模擬)若正數(shù)x，y滿足2x＋y－3＝0，則的最小值為______． 解析：由已知可得2x＋y＝3，因此＝＋＝＝，利用基本不等式可得＝≥＝3，當(dāng)且僅當(dāng)＝，即x＝y(tǒng)時(shí)取得等號(hào)． 答案：3[來(lái)源:] 9．(2014日照模擬)規(guī)定記號(hào)“?”表示一種運(yùn)算，即a?b＝＋a＋b(a、b為正實(shí)數(shù))．若1?k＝3，則k的值為________，此時(shí)函數(shù)f(x)＝的最小值為________． 解析：1?k＝＋1＋k＝3，即k＋－2＝0， ∴＝1或＝－2(舍)，∴k＝1. f(x)＝＝

6、＝1＋＋≥1＋2＝3. 當(dāng)且僅當(dāng)＝，即x＝1時(shí)等號(hào)成立． 答案：1　3 10．已知x>0，y>0，且2x＋8y－xy＝0. 求：(1)xy的最小值； (2)x＋y的最小值． 解：(1)∵x>0，y>0，∴xy＝2x＋8y≥2， 即xy≥8，∴≥8，即xy≥64. 當(dāng)且僅當(dāng)2x＝8y，即x＝16，y＝4時(shí)等號(hào)成立．[來(lái)源:] ∴xy的最小值為64.[來(lái)源:] (2)∵x>0，y>0，且2x＋8y－xy＝0， ∴2x＋8y＝xy，即＋＝1. ∴x＋y＝(x＋y)＝10＋＋≥10＋2 ＝18， 當(dāng)且僅當(dāng)＝，即x＝2y＝12時(shí)等號(hào)成立． ∴x＋y的最小值為18. 11．已

7、知x>0，y>0，且2x＋5y＝20. 求：(1)u＝lg x＋lg y的最大值； (2)＋的最小值． 解：(1)∵x>0，y>0， ∴由基本不等式，得2x＋5y≥2. ∵2x＋5y＝20，∴2≤20，xy≤10， 當(dāng)且僅當(dāng)2x＝5y時(shí)，等號(hào)成立． 因此有解得 此時(shí)xy有最大值10. ∴u＝lg x＋lg y＝lg(xy)≤lg 10＝1. ∴當(dāng)x＝5，y＝2時(shí)，u＝lg x＋lg y有最大值1. (2)∵x>0，y>0， ∴＋＝＝≥＝， 當(dāng)且僅當(dāng)＝時(shí)，等號(hào)成立．[來(lái)源:] 由解得 ∴＋的最小值為. 12．某種商品原來(lái)每件定價(jià)為25元，年銷售量8萬(wàn)件． (1)

8、據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，若每件商品的價(jià)格每提高1元，銷售量將相應(yīng)減少2 000件，要使銷售的總收入不低于原收入，該商品每件定價(jià)最多為多少元？ (2)為了擴(kuò)大該商品的影響力，提高年銷售量．公司決定明年對(duì)該商品進(jìn)行全面技術(shù)革新和營(yíng)銷策略改革，并提高每?jī)r(jià)商品的價(jià)格到x元．公司擬投入(x2－600)萬(wàn)元作為技改費(fèi)用，投入50萬(wàn)元作為固定宣傳費(fèi)用，投入x萬(wàn)元作為浮動(dòng)宣傳費(fèi)用．試問(wèn)：當(dāng)該商品明年的銷售量a至少應(yīng)達(dá)到多少萬(wàn)件時(shí)，才可能使明年的銷售收入不低于原收入與總投入之和？并求出此時(shí)商品的每件定價(jià)． 解：(1)設(shè)該商品每件定價(jià)為t元， 依題意，有t≥258， 整理得t2－65t＋1 000≤0，解得25≤t≤

9、40. ∴要使銷售的總收入不低于原收入，該商品每件定價(jià)最多為40元． (2)依題意，x>25時(shí)， 不等式ax≥258＋50＋(x2－600)＋x有解， 等價(jià)于x>25時(shí)，a≥＋x＋有解．[來(lái)源:] ∵＋x≥2 ＝10(當(dāng)且僅當(dāng)x＝30時(shí)，等號(hào)成立)，∴a≥10.2. ∴當(dāng)該商品明年的銷售量a至少應(yīng)達(dá)到10.2萬(wàn)件時(shí)，才可能使明年的銷售收入不低于原收入與總投入之和，此時(shí)該商品的每件定價(jià)為30元． [沖擊名校] 1．設(shè)a>0，b>0，且不等式＋＋≥0恒成立，則實(shí)數(shù)k的最小值等于(　　) A．0 B．4 C．－4 D．－2 解析：選C　由＋

10、＋≥0，得k≥－，而＝＋＋2≥4(當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取等號(hào))，所以 －≤－4，因此要使k≥－恒成立，應(yīng)有k≥－4，即實(shí)數(shù)k的最小值等于 －4. 2．已知log2a＋log2b≥1，則3a＋9b的最小值為________． 解析：log2a＋log2b＝log2ab.∵log2a＋log2b≥1，∴ab≥2且a＞0，b＞0. 3a＋9b＝3a＋32b≥2＝2≥2≥2＝18，當(dāng)且僅當(dāng)a＝2b時(shí)取等號(hào)．∴3a＋9b的最小值為18. 答案：18 [高頻滾動(dòng)] 1．若變量x，y滿足約束條件則z＝2x＋y的最大值和最小值分別為(　　) A．4和3 B．4和2 C．3和2 D．2和0 解析：選B　可行域?yàn)橹苯侨切蜛BC(如圖)， 由z＝2x＋y，得y＝－2x＋z，由圖象可知，當(dāng)直線y＝－2x＋z過(guò)點(diǎn)B(2,0)和點(diǎn)A(1,0)時(shí)，z分別取到最大值4和最小值2. 2．設(shè)實(shí)數(shù)x，y滿足不等式組若x，y為整數(shù)，則3x＋4y的最小值是(　　) A．14 B．16 C．17 D．19 解析：選B　畫出可行域如圖． 其最優(yōu)解是點(diǎn)M(3,1)附近的整點(diǎn)．考慮到線性目標(biāo)函數(shù)，只要橫坐標(biāo)增加1即可．故最優(yōu)點(diǎn)為整點(diǎn)(4,1)，其最小值為16.