高考數(shù)學復習：第二章 ：第九節(jié)　函數(shù)模型及其應用回扣主干知識提升學科素養(yǎng)

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1、 精品資料 第九節(jié)　函數(shù)模型及其應用 【考綱下載】 1．了解指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)以及冪函數(shù)的增長特征，知道直線上升、指數(shù)增長、對數(shù)增長等不同函數(shù)類型增長的含義． 2．了解函數(shù)模型(如指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、分段函數(shù)等在社會生活中普遍使用的函數(shù)模型)的廣泛應用． 1．三種函數(shù)模型性質(zhì)比較[來源:] y＝ax(a>1) y＝logax(a>1) y＝xn(n>0) 在(0，＋∞) 上的單調(diào)性 單調(diào)遞增函數(shù) 單調(diào)遞增函數(shù) 單調(diào)遞增函數(shù) 增長速度[來源:數(shù)理化網(wǎng)] 越來越快

2、 越來越慢 相對平穩(wěn) 圖象的變化 隨x值增大，圖象與y軸接近平行 隨x值增大，圖象與x軸接近平行 隨n值變化而不同 2.幾種常見的函數(shù)模型 (1)一次函數(shù)模型：y＝ax＋b，(a≠0)； (2)反比例函數(shù)模型：y＝(k≠0)； (3)二次函數(shù)模型：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)； (4)指數(shù)函數(shù)模型：y＝N(1＋p)x(x>0，p≠0)(增長率問題)； (5)對數(shù)函數(shù)模型y＝blogax(x>0，a>0且a≠1)； (6)冪函數(shù)模型y＝axn＋b(a，b為常數(shù)，a≠0)； (7)y＝x＋型(x≠0)； (8)分段函數(shù)型． 1．直線上升、指數(shù)增

3、長、對數(shù)增長的增長特點是什么？ 提示：直線上升：勻速增長，其增長量固定不變；指數(shù)增長：先慢后快，其增長量成倍增加，常用“指數(shù)爆炸”來形容；對數(shù)增長：先快后慢，其增長速度緩慢． 2．函數(shù)y1＝ex，y2＝100ln x，y3＝x100，y4＝100×2x中，隨x的增大而增大速度最快的函數(shù)是哪一個？ 提示：y1＝ex. 1．下表是函數(shù)值y隨自變量x變化的一組數(shù)據(jù)，它最可能的函數(shù)模型是(　　) x 4[來源:] 5 6 7 8 9 10 y 15 17 19 21 23 25 27 　 　　　　　　 　　　　　　 　　　　　 A．一次函數(shù)

4、模型　　　　　 B．冪函數(shù)模型 C．指數(shù)函數(shù)模型 D．對數(shù)函數(shù)模型 解析：選A　根據(jù)已知數(shù)據(jù)可知，自變量每增加1，函數(shù)值增加2，因此函數(shù)值的增量是均勻的，故為一次函數(shù)模型． 2．某種細菌在培養(yǎng)過程中，每15分鐘分裂一次(由一個分裂成兩個)，這種細菌由1個繁殖成4 096個需經(jīng)過(　　) A．12小時 B．4小時 C．3小時 D．2小時 解析：選C　由題意知24t＝4 096，即16t＝4 096，解得t＝3. 3．據(jù)調(diào)查，蘋果園地鐵的自行車存車處在某星期日的存車量為4 000輛次，其中變速車存車費是每輛一次0.3元，普通車存車費是每輛一次0

5、.2元，若普通車存車數(shù)為x輛次，存車費總收入為y元，則y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系是(　　) A．y＝0.1x＋800(0≤x≤4 000) B．y＝0.1x＋1 200(0≤x≤4 000) C．y＝－0.1x＋800(0≤x≤4 000) D．y＝－0.1x＋1 200(0≤x≤4 000) 解析：選D　y＝0.2x＋(4 000－x)×0.3＝－0.1x＋1 200. 4．(2014·蘇州模擬)某類產(chǎn)品按工藝共分10個檔次，最低檔次產(chǎn)品每件利潤為8元．每提高一個檔次，每件利潤增加2元．用同樣工時，可以生產(chǎn)最低檔產(chǎn)品60件，每提高一個檔次將少生產(chǎn)3件產(chǎn)品．則獲得利潤最

6、大時生產(chǎn)產(chǎn)品的檔次是________． 解析：由題意，第k檔次時，每天可獲利潤為：y＝[8＋2(k－1)][60－3(k－1)]＝－6k2＋108k＋378(1≤k≤10)，配方可得y＝－6(k－9)2＋864，∴k＝9時，獲得利潤最大． 答案：9 5．某種商品進價為每件100元，按進價增加25%出售，后因庫存積壓降價，按九折出售，每件還獲利________元． 解析：九折出售時價格為100×(1＋25%)×90%＝112.5元，此時每件還獲利112.5－100＝12.5元． 答案：12.5 答題模板(一) 函數(shù)建模在實際問題中的應用 [典例]　

7、(2012·江蘇高考)(12分) 如圖，建立平面直角坐標系xOy，x軸在地平面上，y軸垂直于地平面，單位長度為1千米，某炮位于坐標原點．已知炮彈發(fā)射后的軌跡在方程y＝kx－(1＋k2)x2(k＞0)表示的曲線上，其中k與發(fā)射方向有關(guān)．炮的射程是指炮彈落地點的橫坐標． (1)求炮的最大射程； (2)設(shè)在第一象限有一飛行物(忽略其大小)，其飛行高度為3.2千米，試問它的橫坐標a不超過多少時，炮彈可以擊中它？請說明理由． [快速規(guī)范審題] 第(1)問 1．審結(jié)論，明解題方向 觀察所求結(jié)論：求炮的最大射程問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)圖象與x軸交點的橫坐標的最大值．[來源:] 2．

8、審條件，挖解題信息 觀察條件：炮彈發(fā)射后的軌跡方程y＝kx－(1＋k2)x2(k>0)x＝. 3．建聯(lián)系，找解題突破口 令y＝0，得x＝x＝≤10，從而可求炮的最大射程． 第(2)問 1．審結(jié)論，明解題方向 觀察所求結(jié)論：橫坐標a不超過多少時，炮彈可擊中目標炮彈擊中目標，即點(a,3.2)滿足炮彈發(fā)射后的軌跡方程． 2．審條件，挖解題信息 觀察條件：y＝kx－(1＋k2)x2(k>0)． 3．建聯(lián)系，找解題突破口 炮彈擊中目標，即3.2＝ka－(1＋k2)a2(k>0)有解利用Δ≥0求得結(jié)論． [準確規(guī)范答題] (1)令y＝0，得kx－(1＋k

9、2)x2＝0，由實際意義和題設(shè)條件知x>0，k>0，?2分 故x＝＝≤＝10，當且僅當k＝1時取等號．所以炮的最大射程為10千米． ?5分 (2)因為a>0，所以炮彈可擊中目標?存在k>0，使3．2＝ka－(1＋k2)a2成立． ?8分 即關(guān)于k的方程a2k2－20ak＋a2＋64＝0有正根． ?10分 所以判別式Δ＝(－20a)2－4a2(a2＋64)≥0，解

10、得a≤6.所以當a不超過6千米時，可擊中目標． ?12分 [答題模板速成] 解決函數(shù)建模問題的一般步驟： 第一步　審清題意 弄清題意，理順條件和結(jié)論，找到關(guān)鍵量，明確數(shù)量關(guān)系 [來源:] 第二步　找數(shù)量關(guān)系 把問題中所包含的關(guān)系可先用文字語言描述關(guān)鍵量之間的數(shù)量關(guān)系，這是問題解決的一把鑰匙 第三步　建數(shù)學模型 將數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為數(shù)學語言，建立相應的數(shù)學模型 第四步　解數(shù)學問題 利用所學數(shù)學知識解決轉(zhuǎn)化后的數(shù)學問題， 得到相應的數(shù)學結(jié)論 第五步　返本還原 將數(shù)學結(jié)論還原為實際問題本身所具有的意義 第六步　反思回顧 查看關(guān)鍵點、易錯點，如本題函數(shù)關(guān)系式， 定義域等