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1、 精品資料學案48直線、圓的位置關系導學目標： 1.能根據給定直線、圓的方程，判斷直線與圓、圓與圓的位置關系.2.能用直線和圓的方程解決一些簡單的問題.3.在學習過程中，體會用代數方法處理幾何問題的思想自主梳理1直線與圓的位置關系位置關系有三種：_、_、_.判斷直線與圓的位置關系常見的有兩種方法：代數法：利用判別式，即直線方程與圓的方程聯(lián)立方程組消去x或y整理成一元二次方程后，計算判別式b24ac幾何法：利用圓心到直線的距離d和圓半徑r的大小關系：dr_.2圓的切線方程若圓的方程為x2y2r2，點P(x0，y0)在圓上，則過P點且與圓x2y2r2相切的切線方程為_注：點P必須在圓x2y2r2上
2、經過圓(xa)2(yb)2r2上點P(x0，y0)的切線方程為_3計算直線被圓截得的弦長的常用方法(1)幾何方法運用弦心距(即圓心到直線的距離)、弦長的一半及半徑構成直角三角形計算(2)代數方法運用韋達定理及弦長公式AB|xAxB|.說明：圓的弦長、弦心距的計算常用幾何方法4圓與圓的位置關系(1)圓與圓的位置關系可分為五種：_、_、_、_、_.判斷圓與圓的位置關系常用方法：(幾何法)設兩圓圓心分別為O1、O2，半徑為r1、r2 (r1r2)，則O1O2r1r2_；O1O2r1r2_；|r1r2|O1O2r1r2_；O1O2|r1r2|_；0|O1O2|0)的公共弦的長為2，則a_.6已知點A是
3、圓C：x2y2ax4y50上任意一點，A點關于直線x2y10的對稱點也在圓C上，則實數a_.7設直線3x4y50與圓C1：x2y24交于A，B兩點，若圓C2的圓心在線段AB上，且圓C2與圓C1相切，切點在圓C1的劣弧上，則圓C2的半徑的最大值是_8(2010全國改編)已知圓O的半徑為1，PA、PB為該圓的兩條切線，A、B為兩切點，那么的最小值為_二、解答題(共42分)9(14分)圓x2y28內一點P(1,2)，過點P的直線l的傾斜角為，直線l交圓于A、B兩點(1)當時，求AB的長；(2)當弦AB被點P平分時，求直線l的方程10(14分)自點A(3,3)發(fā)出的光線l射到x軸上，被x軸反射，其反射
4、光線所在直線與圓x2y24x4y70相切，求光線l所在直線的方程11(14分)已知兩圓x2y22x6y10和x2y210x12ym0.求：(1)m取何值時兩圓外切？(2)m取何值時兩圓內切？(3)m45時兩圓的公共弦所在直線的方程和公共弦的長學案48直線、圓的位置關系答案自主梳理1相切相交相離相交相切相離相交相切相離2.x0xy0yr2(x0a)(xa)(y0b)(yb)r24.(1)外離外切相交內切內含外離外切相交內切內含(2)(x2y2D1xE1yF1)(x2y2D2xE2yF2)0自我檢測1.2.xy203.24.25xy30課堂活動區(qū)例1解題導引(1)過點P作圓的切線有三種類型：當P在
5、圓外時，有2條切線；當P在圓上時，有1條切線；當P在圓內時，不存在(2)利用待定系數法設圓的切線方程時，一定要注意直線方程的存在性，有時要進行恰當分類(3)切線長的求法：過圓C外一點P作圓C的切線，切點為M，半徑為R，則PM.解(1)將圓C配方得(x1)2(y2)22.當直線在兩坐標軸上的截距為零時，設直線方程為ykx，由，解得k2，得y(2)x.當直線在兩坐標軸上的截距不為零時，設直線方程為xya0，由，得|a1|2，即a1，或a3.直線方程為xy10，或xy30.綜上，圓的切線方程為y(2)x，或y(2)x，或xy10，或xy30.(2)由POPM，得xy(x11)2(y12)22，整理得
6、2x14y130.即點P在直線l：2x4y30上當PM取最小值時，即OP取得最小值，直線OPl，直線OP的方程為2xy0.解方程組得點P的坐標為.變式遷移1解設圓切線方程為y3k(x2)，即kxy32k0，1，k，另一條斜率不存在，方程為x2.切線方程為x2和3x4y60.圓心C為(1,1)，kPC2，過兩切點的直線斜率為，又x2與圓交于(2,1)，過切點的直線為x2y40.例2解題導引(1)有關圓的弦長的求法：已知直線的斜率為k，直線與圓C相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點，點C到l的距離為d，圓的半徑為r.方法一代數法：弦長AB|x2x1|；方法二幾何法：弦長AB2.(2)有關弦
7、的中點問題：圓心與弦的中點連線和已知直線垂直，利用這條性質可確定某些等量關系解(1)如圖所示，AB4，取AB的中點D，連結CD，則CDAB，連結AC、BC，則AD2，AC4，在RtACD中，可得CD2.當直線l的斜率存在時，設所求直線的斜率為k，則直線的方程為y5kx，即kxy50.由點C到直線AB的距離公式，得2，解得k.當k時，直線l的方程為3x4y200.又直線l的斜率不存在時，也滿足題意，此時方程為x0.所求直線的方程為3x4y200或x0.(2)設過P點的圓C的弦的中點為D(x，y)，則CDPD，即0，(x2，y6)(x，y5)0，化簡得所求軌跡方程為x2y22x11y300.變式遷
8、移2(1)證明由kxy4k30，得(x4)ky30.直線kxy4k30過定點P(4,3)由x2y26x8y210，即(x3)2(y4)24，又(43)2(34)224.直線和圓總有兩個不同的交點(2)解kPC1.可以證明與PC垂直的直線被圓所截得的弦AB最短，因此過P點斜率為1的直線即為所求，其方程為y3x4，即xy10.PC，AB22.例3解題導引圓和圓的位置關系，從交點個數也就是方程組解的個數來判斷，有時得不到確切的結論，通常還是從圓心距d與兩圓半徑和、差的關系入手解對于圓C1與圓C2的方程，經配方后C1：(xm)2(y2)29；C2：(x1)2(ym)24.(1)如果C1與C2外切，則有
9、32.(m1)2(m2)225.m23m100，解得m5或m2.(2)如果C1與C2內含，則有32.(m1)2(m2)21，m23m20，得2m1，當m5或m2時，圓C1與圓C2外切；當2m0，b26b90，解得33b0.即直線AB的方程為xy40，或xy10.變式遷移4解(1)直線l過點A(0,1)且斜率為k，直線l的方程為ykx1.將其代入圓C：(x2)2(y3)21，得(1k2)x24(1k)x70.由題意：4(1k)24(1k2)70，得k.(2)設M(x1，y1)，N(x2，y2)，則由得，x1x2y1y2(1k2)x1x2k(x1x2)1812k1(經檢驗符合題意)，k1.課后練習
10、區(qū)1相交2.3或32解析如圖所示，x2y24y0x2(y2)24，A(0,2)，OA2，A到直線l：yx的距離是AN1，ON，弦長OJ2.4(4,6)5.16.1071解析圓C1的圓心C1(0,0)到直線3x4y50的距離為1，圓C1的半徑為2，弧上的點到直線3x4y50距離最大為211，因此圓C2的半徑最大為1.832解析設APB2，則APOBPO，()2cos 2cos 2(12sin2)2sin2323，當且僅當2sin2，即sin2時取等號9解(1)當時，kAB1，直線AB的方程為y2(x1)，即xy10.(3分)故圓心(0,0)到AB的距離d，從而弦長AB2 .(7分)(2)設A(x
11、1，y1)，B(x2，y2)，則x1x22，y1y24.由兩式相減得(x1x2)(x1x2)(y1y2)(y1y2)0，即2(x1x2)4(y1y2)0，kAB.(12分)直線l的方程為y2(x1)，即x2y50.(14分)10.解已知圓C：x2y24x4y70關于x軸對稱的圓為C1：(x2)2(y2)21，其圓心C1的坐標為(2，2)，半徑為1，由光的反射定律知，入射光線所在直線方程與圓C1相切(4分)設l的方程為y3k(x3)，則1，(10分)即12k225k120.k1，k2.則l的方程為4x3y30或3x4y30.(14分)11解兩圓的標準方程分別為(x1)2(y3)211，(x5)2(y6)261m，圓心分別為M(1,3)，N(5,6)，半徑分別為和.(1)當兩圓外切時，.解得m2510.(4分)(2)當兩圓內切時，因定圓的半徑小于兩圓圓心間距離，故只有5.解得m2510.(8分)(3)兩圓的公共弦所在直線的方程為(x2y22x6y1)(x2y210x12y45)0，即4x3y230.(12分)由圓的半徑、弦長、弦心距間的關系，不難求得公共弦的長為2 2.(14分)
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