高中數(shù)學北師大版必修四教學案：第三章 167;1 第1課時 求值問題 Word版含答案

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1、第 1 課時求 值 問 題核心必知同角三角函數(shù)基本關(guān)系式關(guān)系公式表達語言敘述平方關(guān)系sin2cos21同一個角的正弦、余弦的平方和等于 1商數(shù)關(guān)系sincostan_同一個角(k2(kZ Z)的正弦、余弦的商等于的正切問題思考1如何理解同角三角函數(shù)關(guān)系中“同角”的含義？提示：“同角”有兩層含義一是“角相同”，二是對“任意”一個角(在使函數(shù)有意義的前提下)關(guān)系式都成立，與角的表達式無關(guān)，如 sin22cos221，sin22cos221 等2平方關(guān)系對任意R R 均成立，對嗎？商數(shù)關(guān)系呢？提示：正確因為對任意R R，sin，cos都有意義，所以 sin2cos21 對任意角R R 都成立而商數(shù)關(guān)

2、系，sincostan則不然，需保證 cos0，則 tan有意義，所以商數(shù)關(guān)系，只對R R，且k2(kZ Z)成立講一講1(1)已知 sin45，是第二象限角，求 cos，tan；(2)若 cos817，試求sin，tan的值嘗試解答(1)sin2cos21，cos21sin21(45)2925.又是第二象限角，cos0，cos35.tansincos45(53)43.(2)cos8170.sin 1cos21（817）21517，tansincos1517(178)158.當是第三象限角時，sin0，是第一或第三象限角當是第一象限角時，cos0，cos55，sincostan5522 55.

3、當是第三象限角時，cos0，cos55，sincostan2 55.(2)sincossincossincoscoscossincoscoscostan1tan1212123.sincossincossin2cos2sincoscos2sin2cos2cos2tantan21222125.1已知角的正切值在求角的正弦值時，應盡量少用平方關(guān)系，一般按以下思路求解：cos211tan2開方cos用 sintancossin.2本講(2)是已知角的正切值，求關(guān)于 sin，cos的齊次式值的問題解決該類問題通常是利用商數(shù)關(guān)系和平方關(guān)系，將原式化為關(guān)于 tan的表達式，然后整體代入 tan的值求解，體現(xiàn)

4、了“整體化”的思想，可減少運算量并避免討論練一練2已知 tan()12，求：(1)sincos的值；(2)2sin212cos2的值解：(1)由已知得 tan120，是第二或第四象限的角，則 cos2cos2sin2cos21tan211（12）2145.當是第二象限角時，cos255，sintancos12(255)55，sincos55；當是第四象限角時，cos255，sintancos55，sincos55.(2)2sin212cos22sin212cos2sin2cos22tan212tan212（12）212（12）210.講一講3(1)已知 sin12cos，則 sin4cos4_

5、(2)若 sincos15，且 0，則 tan_.嘗試解答(1)由 sin12cos，得 tan12.cos2cos2sin2cos211tan245.sin21cos215.sin4cos4(sin2cos2)(sin2cos2)sin2cos2154535.(2)由 sincos15，得 12sincos125.sincos12250.又 00，cos0，sincos （sincos）2 12sincos12（1225）75.可得 sin45，cos35，tansincos43.答案(1)35(2)431已知角的某一個三角函數(shù)值，求其他三角函數(shù)式的值時，一般先利用公式將其化簡，再利用同角三

6、角函數(shù)的基本關(guān)系求解2sincos，sincos，sincos三個式子中，已知其中一個，可以求其他兩個，即“知一求二”，它們之間的關(guān)系是：(sincos)212sincos，利用此關(guān)系求 sincos或 sincos的值時，要注意判斷它們的符號練一練3已知 sin，cos是關(guān)于x的方程x2axa0 的兩個根(aR R)(1)求 sin3cos3的值；(2)求 tan1tan的值解：sin，cos是方程x2axa0 的兩個根，sincosa，且 sincosa，(sincos)212sincos.即a212a，解得a1 2，而當a1 2時，(1 2)24(1 2)12 20，a1 2，則(1)s

7、in3cos3(sincos)(1sincos)a(1a)(1 2)1(1 2) 22.(2)tan1tansincoscossinsin2cos2sincos1sincos1a11 21 2.若 sinA45，且A是三角形的一個內(nèi)角，求5sinA815cosA7的值錯解sinA45，cosA1sin2A35，5sinA815cosA75458153576.錯因由 sinA45不能確定A是銳角或鈍角，那么 cosA就有正、負兩個值，此解法中忽視開方運算的符號而出現(xiàn)錯誤正解sinA45，且A是三角形的一個內(nèi)角，A是銳角或鈍角當A為銳角時，cosA 1sin2A35.5sinA815cosA754

8、58153576；當A為鈍角時，cosA 1sin2A35.5sinA815cosA7545815（35）734.1下列各項中可能成立的是()Asin12且 cos12Bsin0 且 cos1Ctan1 且 cos1D在第二象限時，tansincos解析：選 B由平方關(guān)系知 A 不成立；由商數(shù)關(guān)系知 D 不成立對于 B，當 sin0 時，cos1，所以 B 可能成立而對于 C，當 tan1 時，cos211tan212，所以 C 不成立應選 B.2已知 sin45，是第三象限角，則 tan等于()A.34B34C.43D43解析：選 Csin45，且是第三象限角cos 1sin235，tans

9、incos43.3已知 tan 3，且為三角形的內(nèi)角，那么 cos的值為()A 3B.2 33C12D2解析：選 Ccos211tan211（ 3）214.為三角形的內(nèi)角，tan0，(2，)，cos12.4已知 sin55，則 sin2cos2的值為_解析：sin2cos22sin212(55)2135.答案：355已知 tan12，則12sincossin2cos2的值是_解析：原式sin2cos22sincossin2cos2（sincos）2（sincos） （sincos）sincossincostan1tan1（12）1（12）113.答案： 136已知 sin42mm5，cosm3

10、m5，是第四象限角，試求 tan的值解：sin2cos21，(42mm5)2(m3m5)21.化簡，整理得，m(m8)0，m10，m28.當m0 時，sin45，cos35，不符合是第四象限角，舍去當m8 時，sin1213，cos513，tan125.一、選擇題1已知 sin(2)13，(2，0)，則 tan的值為()A2 2B2 2C24D.24解析：選 A由已知得 cos13.(2，0)，sin 1cos2232，tansincos23232 2.2已知向量a a(3，4)，b b(sin，cos)，且a ab b，則 tan()A.34B34C.43D43解析：選 A由a ab b得，

11、sin3cos4.sincos34tan.3若 sin，cos是方程 3x26mx2m10 的兩根則實數(shù)m的值為()A12B.56C12或56D.12解析：選 A依題意得sincos2m，sincos2m13，(sincos)212sincos，(2m)2123(2m1)，即 12m24m50.解m12或56.m56時，36m212(2m1)0，則 cos_解析：sin0，是第三象限角，cos 1sin235.答案：356已知(，32)，tan2，則 cos_解析：依題意得tansincos2，sin2cos21，由此解得 cos215.又(，32)，因此 cos55.答案：557已知A為三角

12、形內(nèi)角，且 sinAcosA18，則 cosAsinA_解析：(cosAsinA)212sinAcosA12(18)54.0A，sinAcosA0，cosA0.cosAsinA0，cosAsinA52.答案：528已知是第三象限角，且 sin4cos459，則 sincos_解析：sin4cos4(sin2cos2)22sin2cos212(sincos)259，(sincos)229.是第三象限角，sin0，cos0.sincos23.答案：23三、解答題9已知向量a a(sin，cos2sin)，b b(1，2)(1)若a ab b，求 tan的值；(2)若|a a|b b|，0，求的值解

13、：(1)a ab b，2sin(cos2sin)0，即 4sincos，故 tan14.(2)|a a|b b|，sin2(cos2sin)25.展開得 sin2cos24sincos4sin25.把 sin21cos2代入并整理，得 cos(sincos)0.cos0 或 tan1.又(0，)，2或34.10已知 3sincos0，求下列各式的值：(1)3cos5sinsincos；(2)sin22sincos3cos2.解：法一：由已知得，cos3sin.(1)3cos5sinsincos9sin5sinsin3sin4sin4sin1.(2)sin22sincos3cos2sin22sin(3sin)3(3sin)232sin2.由cos3sin，sin2cos21，得 sin2110.sin22sincos3cos232110165.法二：由已知，得sincos13，tan13.(1)3cos5sinsincos35sincossincos135tantan13531311.(2)sin22sincos3cos2sin22sincos3cos2sin2cos2tan22tan3tan21（13）22（13）3（13）21165.