數(shù)學(xué)人教A版必修4 第二章　平面向量 單元測試 含解析

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1、（人教版）精品數(shù)學(xué)教學(xué)資料 (時間：100分鐘，滿分：120分) 一、選擇題(本大題共10小題，每小題5分，共50分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的) 1．下列說法正確的是(　　) A．若a∥b，則a與b方向相同或相反 B．零向量是0 C．長度相等的向量叫做相等的向量 D．共線向量是在同一條直線上的向量 解析：選B.對A，a與b若其中一個為0，不合題意，錯誤．對B，零向量是0，正確；對C，方向相同且長度相等的向量叫做相等向量，錯誤；對D，共線向量所在直線可能平行，也可能重合，錯誤．故選B. 2．已知向量a＝(3,4)，b＝(2，－1)，如果向量a＋

2、λb與b垂直，則λ的值為(　　) A. B．－ C. D．－ 解析：選D.∵a＝(3,4)，b＝(2，－1)， ∴ab＝2，|b|＝.若a＋λb與b垂直， 則(a＋λb)b＝ab＋λb2＝2＋5λ＝0. ∴λ＝－，故選D. 3．已知四邊形ABCD的三個頂點A(0,2)，B(－1，－2)，C(3，1)，且＝2，則頂點D的坐標(biāo)為(　　) A．(2，) B．(2，－) C．(3,2) D．(1,3) 解析：選A.設(shè)點D(m，n)， 則由題意知，(4,3)＝2(m，n－2)， ∴解得m＝2，n＝，∴D(2，)，故選A. 4．設(shè)非零向量a，b，c滿足|a|＝|b|＝

3、|c|，a＋b＝c，則向量a，b的夾角為(　　) A．150 B．120 C．60 D．30 解析：選B.設(shè)向量a，b的夾角為θ， ∵a＋b＝c，∴(a＋b)2＝c2，a2＋b2＋2ab＝c2， ∴|a|2＋|b|2＋2|a||b|cos θ＝|c|2. ∵|a|＝|b|＝|c|，∴cos θ＝－，∴θ＝120. 5．設(shè)a，b是非零向量，若函數(shù)f(x)＝(xa＋b)(a－xb)的圖象是一條直線，則必有(　　) A．a(chǎn)⊥b B．a(chǎn)∥b C．|a|＝|b| D．|a|≠|(zhì)b| 解析：選A.f(x)＝(xa＋b)(a－xb)＝－abx2＋(a2－b2)x＋ab，

4、 若函數(shù)f(x)的圖象是一條直線，那么其二次項系數(shù)為0， ∴ab＝0，∴a⊥b，故選A. 6．設(shè)點M是線段BC的中點，點A在直線BC外，如果2＝16，|＋|＝|－|，那么||等于(　　) A．8 B．4 C．2 D．1 解析：選C.∵2＝16，∴||＝4. 又∵|－|＝||＝4，∴|＋|＝4. ∵M(jìn)為BC的中點，∴＝(＋)． ∴||＝|＋|＝2. 7．已知向量a，b滿足|a|＝1，|b|＝2，|2a＋b|＝2，則向量b在向量a方向上的投影是(　　) A．－ B．－1 C. D．1 解析：選B.由投影的定義可知，向量b在向量a方向上的投影是|b|cos θ

5、(θ為a與b夾角)． 由|2a＋b|＝2得4|a|2＋4ab＋|b|2＝4. ∵|a|＝1，|b|＝2，∴ab＝－1，即|b|cos θ＝－1. 8．在△ABC中，AB＝BC＝3，∠ABC＝60，AD是邊BC上的高，則的值等于(　　) A．－ B. C. D．9 解析：選C.分別以BC，AD所在直線為x軸，y軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系， 根據(jù)已知條件可求得以下幾點坐標(biāo)：A(0，)，D(0,0)，C(，0)， ∴＝(0，－)，＝(，－)， ∴＝.故選C. 9．在△ABC中，N是AC邊上一點，且＝，P是BN上的一點，若＝m＋，則實數(shù)m的值為(　　) A.

6、B. C．1 D．3 解析：選B.如圖，因為＝， ＝m＋＝m＋3＝m＋， 又B，P，N三點共線，所以m＋＝1，則m＝. 10．已知A，B，C是銳角△ABC的三個內(nèi)角，向量p＝(sin A,1)，q＝(1，－cos B)，則p與q的夾角是(　　) A．銳角 B．鈍角 C．直角 D．不確定 解析：選A.∵△ABC為銳角三角形， ∴A＋B＞，∴A＞－B，且A，B∈(0，)， ∴sin A＞sin(－B)＝cos B， ∴pq＝sin A－cos B＞0，故〈p，q〉為銳角． 二、填空題(本大題共5小題，每小題4分，共20分．把答案填在題中橫線上) 11．已知

7、向量a，b的夾角為45，且|a|＝1，|2a－b|＝，則|b|＝________. 解析：因為|2a－b|＝，所以|2a－b|2＝(2a－b)2＝4a2－4ab＋b2＝10，即|b|2－2|b|－6＝0，解得|b|＝3. 答案：3 12．設(shè)向量a，b滿足|a|＝2，b＝(2,1)，且a與b的方向相反，則a的坐標(biāo)為________． 解析：設(shè)a＝(x，y)，x＜0，y＜0，則x－2y＝0且x2＋y2＝20，解得x＝－4，y＝－2，即a＝(－4，－2)． 答案：(－4，－2) 13．已知直角坐標(biāo)平面內(nèi)的兩個向量a＝(1,3)，b＝(m,2m－3)，使平面內(nèi)的任意一個向量c都可以唯一的表

8、示成c＝λa＋μb，則m的取值范圍是________． 解析：∵c可唯一表示成c＝λa＋μb，∴a與b不共線，即2m－3≠3m.∴m≠－3. 答案：{m|m∈R，m≠－3} 14．已知菱形ABCD的邊長為2，∠BAD＝120，點E，F(xiàn)分別在邊BC，DC上，BC＝3BE，DC＝λDF.若＝1，則λ的值為________． 解析：由題意可得＝||||cos 120＝22(－)＝－2，在菱形ABCD中，易知＝，＝，所以＝＋＝＋，＝＋＝＋，＝(＋)(＋)＝＋－2(1＋)＝1，解得λ＝2. 答案：2 15．已知|a|＝|b|＝2，且a與b的夾角為60，若a＋b與a的夾角為α，a－b與a的夾角

9、為β，則α＋β＝________. 解析：如圖，作＝a，＝b，且∠AOB＝60， 以O(shè)A，OB為鄰邊作平行四邊形OACB，則＝a＋b，＝－＝a－b，＝＝a，因為|a|＝|b|＝2，且∠AOB＝60， 所以△OAB為正三角形，∠OAB＝60＝∠ABC， 即a－b與a的夾角β＝60. 因為|a|＝|b|，所以平行四邊形OACB為菱形， 所以O(shè)C⊥AB，所以∠COA＝90－60＝30， 即a＋b與a的夾角α＝30，所以α＋β＝90. 答案：90 三、解答題(本大題共5小題，每小題10分，共50分．解答時應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟) 16．已知點A(－1,2)，B

10、(2,8)以及＝，＝－，求點C，D的坐標(biāo)和的坐標(biāo)． 解：設(shè)點C，D的坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)，由題意得＝(x1＋1，y1－2)，＝(3,6)，＝(－1－x2,2－y2)，＝(－3，－6)． 因為＝，＝－， 所以有和 解得和 所以點C，D的坐標(biāo)分別是(0,4)，(－2,0)，從而＝(－2，－4)． 17．已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)(2a＋b)＝61. (1)求a與b的夾角θ； (2)求|a＋b|和|a－b|. 解：(1)∵(2a－3b)(2a＋b)＝61， ∴4a2－4ab－3b2＝61， 即64－4ab－27＝61，∴ab＝－6. 設(shè)向量

11、a與b的夾角為θ，則cos θ＝＝＝－. ∵0≤θ≤180， ∴θ＝120. (2)|a＋b|＝＝＝， |a－b|＝＝＝. 18．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點A(－1，－2)，B(2,3)，C(－2，－1)． (1)求以線段AB，AC為鄰邊的平行四邊形的兩條對角線的長； (2)設(shè)實數(shù)t滿足(－t)＝0，求t的值． 解：(1)＝(3,5)，＝(－1,1)， 求兩條對角線的長，即求|＋|與|－|的大小． 由＋＝(2,6)，得|＋|＝2. 由－＝(4,4)，得|－|＝4. ∴兩條對角線的長分別為2，4. (2)＝(－2，－1)，∵(－t)＝－t2， 易求＝－11，2＝

12、5， ∴由(－t)＝0，得t＝－. 19．在四邊形ABCD中，＝(6,1)，＝(x，y)，＝(－2，－3)． (1)若∥，求x與y的關(guān)系式； (2)若又有⊥，求x，y的值以及四邊形ABCD的面積． 解：(1)∵＝＋＋＝(x＋4，y－2)， ∴＝－＝(－x－4,2－y)． 又∵∥，＝(x，y)， ∴x(2－y)－(－x－4)y＝0，即x＋2y＝0. (2)＝＋＝(x＋6，y＋1)，＝＋＝(x－2，y－3)． ∵⊥，∴＝0， 即(x＋6)(x－2)＋(y＋1)(y－3)＝0， ∴y2－2y－3＝0，∴y＝3或y＝－1. 當(dāng)y＝3時，x＝－6，于是＝(－6,3)，＝(0,4

13、)，＝(－8,0)． ∴||＝4，||＝8， ∴S四邊形ABCD＝||||＝16. 當(dāng)y＝－1時，x＝2，于是有＝(2，－1)，＝(8,0)，＝(0，－4)． ||＝8，||＝4，S四邊形ABCD＝16. 綜上可知或S四邊形ABCD＝16. 20．已知三角形ABC是等腰直角三角形，∠ABC＝90，D是BC邊的中點，BE⊥AD，延長BE交AC于點F，連接DF.求證：∠ADB＝∠FDC.(用向量方法證明) 證明：如圖所示，建立直角坐標(biāo)系，設(shè)A(2,0)，C(0,2)，則D(0,1)． 于是＝(－2,1)，＝(－2,2)． 設(shè)F(x，y)，由⊥，得＝0， 即(x，y)(－2,1)＝0， ∴－2x＋y＝0.　① 又F點在AC上，則∥，而＝(－x,2－y)， 因此2(－x)－(－2)(2－y)＝0，即x＋y＝2.② 由①、②式解得x＝，y＝， ∴F(，)，＝(，)，＝(0,1)，＝， 又＝||||cos θ＝cos θ， ∴cos θ＝，即cos∠FDC＝. 又cos∠ADB＝＝＝， ∴cos∠ADB＝cos∠FDC＝，故∠ADB＝∠FDC.