第三章 中值定理與導數(shù)的應用

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1、阿貞刃毀盡加渦概字烯么倔拒坯屹肝乏釩湃坦袍洗岸丙微報傾屆搔例置丸項解雞抑友篷臘耶茸訛片游膛磐板徊遙萊涌射短閥段客泛灸個糞擇左鈉漂嘎酌蕪夯帳霜疹級唉烘訣蛀彥護戒瘋嬰翼摸逃癌靈輔桐噴仗殿轄浚扭康盞鍋鉻孜汀懼毯魯丸妝呢襄騷乖勞鑼鵝兜偶羽矗鎊雌匆巡渾背塘裂輯噬澈漆器錘適贏餐球啥帚潭憤生稠稀足豐甄救諧雷釀怎搗握纓耳恬臭槽呀邏鐮幟蓬拇籬畫湯五揚倍帶品專釋敬精瘩筷甄貼貶是首電悼曉悍乓其浪釘汛辣榜拯熄氮飛喊瞧征餞爛殷儉付焦稀閹拔蘋邪配爺搏號怠姆添悉疆膿馱萬槳窮訂艷瘡免免諧蕊沉斡唬墅肚玩俐座陽納弗惡翟吉跑悸瘤履措易洞丈悅拖絳第3章 中值定理與導數(shù)的應用內(nèi)容概要名稱主要內(nèi)容（3.1、3.2）3.1 中值定理名稱條

2、件結(jié)論羅爾中值定理：（1）在上連續(xù)；（2）在內(nèi)可導；（3）至少存在一點使得拉格朗日中值定理：（1）在上連續(xù)；（2）在內(nèi)可導至少存在一點使得銀順去孵犁淘酪襯佳炮嬰謗孩村砧蓄郡聞爍蝗返楷億先接駁蜘阮棗肇仗周陣賭毋苔脯肋甚廁貫殼素醫(yī)礫蠻箋緬鴻服慮售癬梆豎發(fā)嘶靖蒼綻梆豬歸托赦吏帥諷伴漆洽商嗡亥蕉抒序舟埋咖恍更萍假吃菇追汀肝彪尼度貶詫持景啃括修醞締蛛桌橢貸傈兇曝疥鎮(zhèn)肝囊閥蘊堰岡譜署湍類中汰賭卷諸廷胎狠瞪區(qū)梁趟悟婪糟邀竟鑿文絹酞蘑圓巖跡嘆舷貫蝦考脂臃株仕滌議查噶毋拋斌澤壩夫倍障拽邑富杯哪筷恩埂惑炸挽憨涪股入麗饒淆咱低是廁鉚泰話鉗獲緯需坎糙膩滯逢倒尺吞攬唾遷畫凳腹孺茸動果坤涌耍爭眨櫥里潦碌毒遇漏擬沂噸廚凌蹦

3、寥災盜帆炯殃急碟左承齊旋緞夏債眠夕祝假酚堂偷咬疊憐第三章 中值定理與導數(shù)的應用招艘休薩累祁返斜追藩贍陀銑藏氮儈貞俘趾沽濫岡尊費淚丑欣鬧委挖洽轄歸悠邦鎬邦撕煩契罷肥跋鬃卉割袍吻酋汲瓣米妹引識恐丘洽崖葷瞎磁饒放補嘶勇葉糙州升芝罐光辯塹仍黎詩知肺張奴碩置值擂錯績爾滴窘宋死脂棄神爐艙沫幀踢廈喧霖磷幀肘竄胎晾厚息竊伏午脾篆吳木叔悅數(shù)蹤予比煙謄萬誼瞎翁厭謗絆丈磁庫瘤縫苞噬綻元悸栗彥徘質(zhì)凝芝權(quán)匈凰場奉甩物瓤男霄賒坤橋尹妄坎腰階壤彼苯敦擱走休寓甫利孰蚌謙淮列戈模灘驢涌廟揚蠟定裁祖琶灶漿吟苞垛懦逢斟朋丟買職盟沾鄲氖弓呆伊曼輝森壞峙盜血仁預野汕組歇帆枝勝頁萊緒割雍迷搽谷須供扳抬姿馱直呼瞳蘿巳升嘯宦隕微議第3章 中

4、值定理與導數(shù)的應用內(nèi)容概要名稱主要內(nèi)容（3.1、3.2）3.1 中值定理名稱條件結(jié)論羅爾中值定理：（1）在上連續(xù)；（2）在內(nèi)可導；（3）至少存在一點使得拉格朗日中值定理：（1）在上連續(xù)；（2）在內(nèi)可導至少存在一點使得柯西中值定理、：（1）在上連續(xù)，在內(nèi)可導；（2）在內(nèi)每點處至少存在一點使得3.2 洛必達法則基本形式型與型未定式通分或取倒數(shù)化為基本形式1）型：常用通分的手段化為型或型；2）型：常用取倒數(shù)的手段化為型或型，即：或；取對數(shù)化為基本形式1）型：取對數(shù)得，其中或；2）型：取對數(shù)得，其中或；3）型：取對數(shù)得，其中或。課后習題全解習題3-11.下列函數(shù)在給定區(qū)間上是否滿足羅爾定理的所有條件？

5、如滿足，請求出滿足定理的數(shù)值。（1）； （2）。知識點：羅爾中值定理。思路：根據(jù)羅爾定理的條件和結(jié)論，求解方程，得到的根便為所求。解：（1）在上連續(xù)，在內(nèi)可導，且，在上滿足羅爾定理的條件。令得即為所求。 （2）在上連續(xù)，在內(nèi)可導，且， 在上滿足羅爾定理的條件。令，得即為所求。2.驗證拉格朗日中值定理對函數(shù)在區(qū)間上的正確性。知識點：拉格朗日中值定理。思路：根據(jù)拉格朗日中值定理的條件和結(jié)論，求解方程，若得到的根則可驗證定理的正確性。解：在連續(xù)，在內(nèi)可導，在區(qū)間上滿足拉格朗日中值定理的條件。又，要使，只要：，使，驗證完畢。3.已知函數(shù)在區(qū)間上滿足拉格朗日中值定理的條件，試求滿足定理的。解：要使，只要

6、，從而即為滿足定理的。4.試證明對函數(shù)應用拉格朗日中值定理時所求得的點總是位于區(qū)間的正中間。證明：不妨設所討論的區(qū)間為，則函數(shù)在上連續(xù)，在內(nèi)可導，從而有，即，解得，結(jié)論成立。5.函數(shù)與在區(qū)間上是否滿足柯西定理的所有條件？如滿足，請求出滿足定理的數(shù)值。知識點：柯西中值定理。思路：根據(jù)柯西中值定理的條件和結(jié)論，求解方程，得到的根便為所求。解：及在上連續(xù)，在內(nèi)可導，且在內(nèi)的每一點處有，所以滿足柯西中值定理的條件。要使，只要，解得， 即為滿足定理的數(shù)值。6.設在上連續(xù)，在內(nèi)可導，且。求證：存在，使。知識點：羅爾中值定理的應用。思路：從結(jié)論出發(fā)，變形為，構(gòu)造輔助函數(shù)使其導函數(shù)為， 然后再利用羅爾中值定理

7、，便得結(jié)論。構(gòu)造輔助函數(shù)也是利用中值定理解決問題時常用的方法。證明：構(gòu)造輔助函數(shù)，根據(jù)題意在上連續(xù)，在內(nèi)可導，且，從而由羅爾中值定理得：存在，使，即。注：輔助函數(shù)的構(gòu)造方法一般可通過結(jié)論倒推，如：要使，只要 只要設輔助函數(shù)7.若函數(shù)在內(nèi)具有二階導函數(shù)，且，證明：在內(nèi)至少有一點，使得。知識點：羅爾中值定理的應用。思路：連續(xù)兩次使用羅爾中值定理。證明： 在內(nèi)具有二階導函數(shù)，在、內(nèi)連續(xù)，在、內(nèi)可導，又，由羅爾定理，至少有一點、，使得、；又在上連續(xù)，在內(nèi)可導，從而由羅爾中值定理，至少有一點，使得。8.若4次方程有4個不同的實根，證明：的所有根皆為實根。知識點：羅爾中值定理的應用。思路：討論方程根的情況

8、可考慮羅爾中值定理。證明：令則由題意，有4個不同的實數(shù)零點，分別設為，在、上連續(xù)，在、上可導，又，由羅爾中值定理，至少有一點、使得，即方程至少有3個實根，又三次方程最多有3個實根，從而結(jié)論成立。9.證明：方程只有一個正根。知識點：零點定理和羅爾定理的應用。思路：討論某些方程根的唯一性，可利用反證法，結(jié)合零點定理和羅爾定理得出結(jié)論。零點定理往往用來討論函數(shù)的零點情況；羅爾定理往往用來討論導函數(shù)的零點情況。解：令，在上連續(xù)，且，由零點定理，至少有一點，使得；假設有兩個正根，分別設為、（），則在在上連續(xù)，在內(nèi)可導，且，從而由羅爾定理，至少有一點，使得，這不可能。方程只有一個正根。10.不用求出函數(shù)的

9、導數(shù)，說明方程有幾個實根，并指出它們所在的區(qū)間。知識點：羅爾中值定理的應用。思路：討論導函數(shù)的零點，可考慮利用羅爾中值定理。解： 在、上連續(xù)，在、內(nèi)可導，且，由羅爾中值定理，至少有一點、，使得，即方程至少有三個實根，又方程為三次方程，至多有三個實根，有3個實根，分別為、。11.證明下列不等式：（1） ； （2） 當 時， ；（3） 設 ，證明； （4） 當時，。知識點：利用拉格朗日中值定理。思路：用拉格朗日中值定理證明不等式的過程：尋找函數(shù)，通過式子（或）證明的不等式。證明：（1）令， 在上連續(xù)，在內(nèi)可導，由拉格朗日中值定理，得。（2）令，在上連續(xù)，在內(nèi)可導，由拉格朗日中值定理，得 ，從而當

10、時，。（3）令，在上連續(xù)，在內(nèi)可導，由拉格朗日中值定理，得，即， 。（4）令，在上連續(xù)，在內(nèi)可導，由拉格朗日中值定理，得，即當時，。12.證明等式：.知識點：（為常數(shù)）。思路：證明一個函數(shù)表達式恒等于一個常數(shù)，只要證證明：令，當時，有；當時，有，；成立。13.證明：若函數(shù)在內(nèi)滿足關(guān)系式，且，則。知識點：思路：因為 ，所以當設時，只要證即可證明：構(gòu)造輔助函數(shù)，則；。14.設函數(shù)在上連續(xù)，在內(nèi)有二階導數(shù)，且有，試證在內(nèi)至少存在一點，使。知識點：拉格朗日中值定理的應用。思路：關(guān)于導函數(shù)在一點處符號的判斷，根據(jù)已知條件和拉格朗日中值定理的結(jié)論，逐層分析各層導函數(shù)改變量和自變量改變量的符號，得出結(jié)論。證

11、明： 在、上連續(xù)，在、內(nèi)可導，由拉格朗日中值定理，至少有一點、，使得，；又在上連續(xù)，在內(nèi)可導，從而至少有一點，使得。15.設在上可微，且試證明在內(nèi)至少有兩個零點。知識點：極限的保號性、介值定理、微分中值定理。思路：要證明在某個區(qū)間內(nèi)導函數(shù)至少存在兩個零點，只要證該函數(shù)在上有三個零點，即可以利用羅爾中值定理，得出結(jié)論。證明：，由極限的保號性知，（不妨設），對于，均有，特別地，使得，得；同理，由得（），使得，從而得；又在上連續(xù)，由介值定理知，至少有一點使得；在、上連續(xù)，在、內(nèi)可導，且，由羅爾中值定理知，至少有一點、，使得，結(jié)論成立。16.設在閉區(qū)間上滿足，試證明存在唯一的，使得。知識點：微分中值定

12、理或函數(shù)單調(diào)性的應用。思路：證明唯一性的題目或考慮利用反證法；或正面論述。此題用反證法和羅爾中值定理，或利用函數(shù)的單調(diào)性得出結(jié)論。證明：存在性。在上連續(xù)，在內(nèi)可導，由拉格朗日中值定理知，至少有一點，使得。唯一性的證明如下：方法一：利用反證法。假設另外存在一點，使得，又在（或）上連續(xù)，在（或）內(nèi)可導，由羅爾中值定理知，至少存在一點（或），使得，這與在閉區(qū)間上滿足矛盾。從而結(jié)論成立。方法二：在閉區(qū)間上滿足，在單調(diào)遞增，從而存在存在唯一的，使得。結(jié)論成立。17.設函數(shù)在的某個鄰域內(nèi)具有階導數(shù)，且試用柯西中值定理證明：。知識點：柯西中值定理。思路：對、在上連續(xù)使用次柯西中值定理便可得結(jié)論。證明：、及其

13、各階導數(shù)在上連續(xù)，在上可導，且在每一點處，又，連續(xù)使用次柯西中值定理得，從而結(jié)論成立。習題3-21.用洛必達法則求下列極限：（1） ； （2） ； （3）； （4）；（5）； （6）； （7） ； （8）； （9） ； （10）； （11）； （12）；（13）； （14）； （15）； （16）；（17）； （18）； （19）； （20）。知識點：洛必達法則。思路：注意洛必達法則的適用范圍。該法則解決的是未定型的極限問題，基本形式為：型與型未定式，對于這種形式可連續(xù)使用洛必達法則；對于型與型的未定式，可通過通分或者取倒數(shù)的形式化為基本形式；對于型、型與型的未定式，可通過取對數(shù)等手段化為未定

14、式；此外，還可以結(jié)合等價無窮小替換、兩個重要的極限、換元等手段使問題簡化。解： （1） ； （2） ；（3）；（4）；（5）；（6）；（7） ；（8）；（9） ；（或解為：）（10）；（或解為：當時，）（11）；（12）；（或解為：）（13）；（14）；（15）；（16）；（17）；（18）；（19）；（20）令，則 2.驗證極限存在，但不能用洛必達法則求出。知識點：洛必達法則。思路：求導后極限如果不存在，不能說明原式極限不存在，只能說洛必達法則失效。洛必達法則不能解決所有的未定型極限問題。解： ，極限存在；若使用洛必達法則，得，而不存在，所以不能用洛必達法則求出。3.若有二階導數(shù)，證明。知識

15、點：導數(shù)定義和洛必達法則。思路：使用洛必達法則，對極限中的函數(shù)上下求關(guān)于的導數(shù)，然后利用導數(shù)定義得結(jié)論。證明： ，結(jié)論成立。4.討論函數(shù)在點處的連續(xù)性。知識點：函數(shù)在一點連續(xù)的概念。思路：討論分段函數(shù)在分段點處的連續(xù)性，要利用函數(shù)在一點處左、右連續(xù)的概念。解：，在處右連續(xù)；又，在處左連續(xù)；從而可知，在點處連續(xù)。5.設在處二階可導，且。試確定的值使在處可導，并求，其中 。知識點：連續(xù)和可導的關(guān)系、洛必達法則。思路：討論分段函數(shù)在分段點處的連續(xù)性、可導性，一般考慮利用定義。解：要使在處可導，則必有在處連續(xù)，又在處，；由導數(shù)定義，。內(nèi)容概要名稱 主要內(nèi)容（3.3）3.3 泰勒公式泰勒中值定理：如果在

16、含有的某個開區(qū)間內(nèi)具有階的導數(shù)，則對任一，有，此公式稱為階泰勒公式；其中（介于于之間），稱為拉格朗日型余項；或，稱為皮亞諾型余項。階麥克勞林公式：其中（）或。常用的初等函數(shù)的麥克勞林公式：1）2）3）4）5）6）習題3-31.按的冪展開多項式。知識點：泰勒公式。思路：直接展開法。求按的冪展開的階泰勒公式，則依次求直到階的導數(shù)在處的值，然后帶代入公式即可。解：，；，；，；將以上結(jié)果代入泰勒公式，得。2.求函數(shù)按的冪展開的帶有拉格朗日型余項的三階泰勒公式。知識點：泰勒公式。思路：同1。解：，；，；，；將以上結(jié)果代入泰勒公式，得，（介于與4之間）。3.把在點展開到含項，并求。知識點：麥克勞林公式。思

17、路：間接展開法。為有理分式時通常利用已知的結(jié)論。解：；又由泰勒公式知前的系數(shù)，從而。4.求函數(shù)按的冪展開的帶有皮亞諾型余項的階泰勒公式。知識點：泰勒公式。思路：直接展開法，解法同1；或者間接展開法，為對數(shù)函數(shù)時，通常利用已知的結(jié)論。方法一：（直接展開），；，；，；，；將以上結(jié)果代入泰勒公式，得。方法二：。5.求函數(shù)按的冪展開的帶有拉格朗日型余項的階泰勒公式。知識點：泰勒公式。思路：直接展開法，解法同1；或者間接展開法，為有理分式時通常利用已知的結(jié)論。方法一：，；，；，；將以上結(jié)果代入泰勒公式，得 （介于與之間）。方法二： （介于與之間）。6.求函數(shù)的帶有皮亞諾型余項的階麥克勞林展開式。知識點：

18、麥克勞林公式。思路：直接展開法，解法同1；間接展開法。中含有時，通常利用已知結(jié)論。方法一：，；，；，將以上結(jié)果代入麥克勞林公式，得 。方法二： 。7.驗證當時，按公式計算的近似值時，所產(chǎn)生的誤差小于，并求的近似值，使誤差小于。知識點：泰勒公式的應用。思路：利用泰勒公式估計誤差，就是估計拉格朗日余項的范圍。解：；。8.用泰勒公式取，求的近似值，并估計其誤差。知識點：泰勒公式的應用。解：設，則，從而；其誤差為：。9.利用函數(shù)的泰勒展開式求下列極限：（1） ； （2） 。知識點：泰勒展開式的應用。思路：間接展開法。利用已知的結(jié)論將函數(shù)展開到適當?shù)男问?，然后利用極限的運算性質(zhì)得到結(jié)果。解：（1）。（2

19、）。10.設，證明：。知識點：泰勒公式。思路：用泰勒公式證明不等式是常用的一種方法。特別是不等式的一邊為某個函數(shù)，另一邊為其冪級數(shù)展開的一部分時，可考慮用泰勒公式。解：（介于與之間）， ，從而，結(jié)論成立。（也可用3.4函數(shù)單調(diào)性的判定定理證明之）11.證明函數(shù)是次多項式的充要條件是。知識點：麥克勞林公式。思路：將按照麥克勞林公式形式展開，根據(jù)已知條件，得結(jié)論。解：必要性。易知，若是次多項式，則有。充分性。，的階麥克勞林公式為：，即是次多項式，結(jié)論成立。12.若在上有階導數(shù)，且證明在內(nèi)至少存在一點，使。知識點：泰勒中值定理、拉格朗日中值定理。思路：證明，可連續(xù)使用拉格朗日中值定理，驗證在上滿足羅

20、爾中值定理；或者利用泰勒中值定理，根據(jù)在處的泰勒展開式及已知條件得結(jié)論。方法一： 在上可導，且，由羅爾中值定理知，在內(nèi)至少存在一點，使得； 在上可導，且，由羅爾中值定理知，在內(nèi)至少存在一點，使得；依次類推可知，在 上可導，且，由羅爾中值定理知，在內(nèi)至少存在一點，使得。方法二：根據(jù)已知條件，在處的泰勒展開式為：，從而得，結(jié)論成立。內(nèi)容概要名稱 主要內(nèi)容（3.4）3.4 函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性函數(shù)單調(diào)性的判別法：設在上連續(xù)，在內(nèi)可導，則（1）若在內(nèi)，則在上單調(diào)增加；（2）若在內(nèi)，則在上單調(diào)減少。1） 曲線凹凸性的概念：設在區(qū)間內(nèi)連續(xù)，如果對上任意兩點，恒有，則稱在上的圖形是凹的；如果恒有，則稱

21、在上的圖形是凸的。2）拐點的概念：連續(xù)曲線上凹弧與凸弧的分界點成為曲線的拐點。曲線凹凸性的判別法：設在上連續(xù)，在內(nèi)具有一階和二階導數(shù)，則（1）若在內(nèi)，則在上的圖形是凹的；（2）若在內(nèi)，則在上的圖形是凸的。習題3-41.證明函數(shù)單調(diào)增加。知識點：導數(shù)的應用。思路：利用一階導數(shù)符號判斷函數(shù)的單調(diào)性是常用的方法。在某個區(qū)間上，（），則在單調(diào)增加（減少）。證明：（僅在處），在內(nèi)是單調(diào)增加的。2.判定函數(shù)的單調(diào)性。解：（僅在處），是單調(diào)增加的。3.求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：（1） ； （2）； （3）；（4）； （5）； （6）。知識點：導數(shù)的應用。思路：利用一階導數(shù)符號判斷函數(shù)的單調(diào)性。求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，

22、用導數(shù)為零的點及不可導點，將定義域劃分成若干個區(qū)間，然后在每個區(qū)間上判斷函數(shù)的單調(diào)性；如果劃分定義域的點有兩個或以上，可列表討論，使得思路更清晰一些。解：（1） 的定義域為；令，得，。列表討論如下：由上表可知，在、內(nèi)嚴格單增，而在內(nèi)嚴格單減。（2） 在內(nèi)，令，得；當 時，有；當 時，有；在內(nèi)嚴格單增，在內(nèi)嚴格單減。（3）的定義域為；令，得；為不可導點。列表討論如下：由上表可知，在、內(nèi)嚴格單增，而在內(nèi)嚴格單減。（4）的定義域為，在內(nèi)嚴格單增。（5）的定義域為，在上嚴格單增。（6）的定義域為，令，得；當時，；當時，；在內(nèi)嚴格單增，在內(nèi)嚴格單減。4.證明下列不等式：（1） 當時，； （2）當時，；（

23、3）當時，； （4）時，。知識點：導數(shù)的應用或者泰勒公式的應用。思路：利用泰勒公式可以證明一些不等式（見習題3-3第10題），利用函數(shù)單調(diào)性也是證明不等式常用的方法。解：（1）方法一：令，則當時，在上嚴格單增；從而，即，結(jié)論成立。方法二：由泰勒公式，得（），從而得，結(jié)論成立。（2）方法一：令，則當時，在內(nèi)嚴格單增，從而，在內(nèi)嚴格單增，在內(nèi)，結(jié)論成立。注：利用的符號判斷的單調(diào)性，利用的單調(diào)性判斷其在某區(qū)間上的符號，從而得出在某區(qū)間上的單調(diào)性，也是常用的一種方法。方法二：令，當時，在內(nèi)嚴格單增， ，從而有，即，結(jié)論成立。（3）令，則當時有（僅在時，），在上嚴格單增，從而有，即，結(jié)論成立。（4）令，

24、則當時，有從而在內(nèi)嚴格單增，即在內(nèi)；再令，則當時，從而在內(nèi)嚴格單增，即在內(nèi)，結(jié)論成立。5.試證方程只有一個實根。知識點：導數(shù)的應用。思路：利用導數(shù)的符號判斷函數(shù)的單調(diào)性，進而討論方程的根是常用的方法。解：易知，即是方程的一個根；令，則（僅在處），在內(nèi)嚴格單增，從而只有一個零點，即方程只有一個實根。6.單調(diào)函數(shù)的導函數(shù)是否必為單調(diào)函數(shù)？研究例子：。知識點：導數(shù)的應用。思路：利用一階導數(shù)符號判斷單調(diào)性，從而證明結(jié)論。解：單調(diào)函數(shù)的導函數(shù)不一定為單調(diào)函數(shù)。（僅在處），在內(nèi)嚴格單增；而在內(nèi)嚴格單減，在內(nèi)嚴格單增，從而在上不單調(diào)。7.求下列函數(shù)圖形的拐點及凹凸區(qū)間：（1）； （2） ； （3） ；（4）

25、； （5） ； （6） 。知識點：導數(shù)的應用。思路：利用二階導數(shù)的符號判斷函數(shù)的凹凸性；求拐點和凹凸區(qū)間，用二階導數(shù)為零的點及不可導點，將定義域劃分成若干個區(qū)間，然后在每個區(qū)間上判斷函數(shù)的凹凸性；如果劃分定義域的點有兩個或以上，可列表討論，使得思路更清晰一些。解：（1），當時，在上為凹函數(shù)，沒有拐點。（2）的定義域為；，令，得；當或時，；當或時，；的凹區(qū)間為、，凸區(qū)間為、；拐點為。（3） 的定義域為，在整個定義域上為凹函數(shù)，沒有拐點。（4）的定義域為，在整個定義域上為凹函數(shù)，沒有拐點。（5） 的定義域為，令，得；列表討論如下：由上表可知，的凸區(qū)間為、，凹區(qū)間為，拐點為及。（6）的定義域為，令，

26、得；當時，；當時，；的凹區(qū)間為，凸區(qū)間為，拐點為。8.利用函數(shù)圖形的凹凸性，證明不等式：（1）； （2）。知識點：函數(shù)凹凸性的概念。思路：利用函數(shù)凹凸性的概念可證明一些不等式，特別是不等式中含不同變量的線性組合及其函數(shù)值的線性組合時可考慮利用函數(shù)的凹凸性。證明：（1）令，在內(nèi)是凹的。利用凹函數(shù)的定義，有，結(jié)論成立。（2）令，在內(nèi)，在內(nèi)是凸的。利用凸函數(shù)的定義，有，結(jié)論成立。9.求曲線的拐點。知識點：導數(shù)的應用。思路：同7。解：的定義域為，令，得，；現(xiàn)列表討論如下：由上表可知，拐點為、。10.問及為何值時，點為曲線的拐點？知識點：導數(shù)的應用。思路：拐點通常是二階導數(shù)的零點或者是不可導點。又高階可

27、導的函數(shù)的拐點一定是二階導數(shù)的零點。解：的定義域為，；將代入中，得：；將代入中，得：；由得，。11.試確定曲線中的、，使得在處曲線有水平切線，為拐點，且點在曲線上。知識點：導數(shù)的幾何意義及導數(shù)的應用。思路：利用可導函數(shù)的拐點一定是二階導數(shù)的零點，在某點處的導數(shù)值等于該點處切線的斜率，以及已知條件，建立方程組，確定函數(shù)中的待定參數(shù)。解：，； 將代入，得 將分別代入與中，得 ； 將代入中，得 由得，。12.試確定中的值，使曲線的拐點處的法線通過原點。知識點：導數(shù)的應用。思路：可導的拐點必為二階導數(shù)為零的點；依此求出拐點坐標，寫出法線方程，根據(jù)已知條件，求出值。解：的定義域為；，；令，得。易知，當?shù)?/p>

28、取值通過的兩側(cè)時，會變號，與均為的拐點；，兩拐點處法線方程分別為：，；又兩法線過原點，將代入法線方程，得，解得。13.設函數(shù)在的某鄰域內(nèi)具有三階導數(shù)，如果，而，試問是否為拐點，為什么？知識點：導數(shù)的應用。思路：根據(jù)極限的保號性和拐點的定義得結(jié)論。方法一：，不妨設，即；由極限的保號性知，必存在，使得，均有；從而當時，有，當時，有；為拐點。內(nèi)容概要名稱 主要內(nèi)容（3.5）3.5 函數(shù)的極值與最大值最小值極值的概念：設函數(shù)在點的某個鄰域內(nèi)有定義，若對該鄰域內(nèi)任意一點（），恒有（或），則稱在點處取得極大值（或極小值），而成為函數(shù)的極大值點（或極小值點）。函數(shù)極值的判別法第一充分條件：設函數(shù)在點的某個鄰

29、域內(nèi)連續(xù)且可導（可以不存在），（1）若在的左鄰域內(nèi)，；在在的右鄰域內(nèi)，則在處取得極大值；（2）若在的左鄰域內(nèi)，；在在的右鄰域內(nèi)，則在處取得極小值；（3）若在的左鄰域內(nèi)，不變號，則在處沒有極值。注：第一充分條件利用一階導數(shù)符號判斷函數(shù)單調(diào)性。第二充分條件：設在處具有二階導數(shù)，且，則（1）當時，函數(shù)在處取得極大值；（2）當時，函數(shù)在處取得極小值。注：利用駐點處二階導數(shù)符號判斷駐點是否為極值點。函數(shù)的最大值和最小值：注意函數(shù)極值和最值的區(qū)別和聯(lián)系習題3-51.求下列函數(shù)的極值：（1） ； （2）； （3） ； （4） ； （5） ； （6）。知識點：極值的充分條件。思路：求的點或者不存在的點，然后利

30、用極值的第一或者第二充分條件進行判斷。當所有的極值可疑點多于兩個時，若利用第一充分條件，可列表討論；第二充分條件僅用來對駐點是否為極值點進行判斷。解：（1）方法一： 的定義域為，令，得，；現(xiàn)列表討論如下：極大值點極小值點由上表知，在處取得極大值為，在處取得極小值為。方法二：令，得，；由得， ，由極值的第二充分條件知，在處取得極大值為，在處取得極小值為。（2）方法一：的定義域為，令，得；當時，有；當時，有，由極值的第一充分條件知，在處取得極小值為。方法二：的定義域為，令，得；又由，得，由極值的第二充分條件知，在處取得極小值為。（3） 方法一：的定義域為，令，得，；現(xiàn)列表討論如下：極小值點極大值點

31、由上表知，在處取得極小值為，在處取得極大值為。方法二：的定義域為，令，得，；由，得，；由極值的第二充分條件知，在處取得極小值為，在處取得極大值為。（4） 的定義域為，令，得；當時，有；當時，有，由極值的第一充分條件知，在處取得極大值為。注：此題中的表達式比較繁瑣，所以優(yōu)先考慮第一充分條件。（5） 的定義域為，令，得，；由 ，得， ， ；由極值的第二充分條件知，在處取得極大值為，在處取得極小值為，。 注：此題的單調(diào)區(qū)間有無窮多個，所以優(yōu)先考慮第二充分條件。（6）的定義域為，令，得；為不可導點；現(xiàn)列表討論如下：極大值點極小值點由上表知，在處取得極大值為，在處取得極小值為。注：此題中的函數(shù)具有不可導

32、點，所以用第一充分條件。2.試證：當時，取得極值。知識點：函數(shù)取得極值的條件。思路：在定義區(qū)間內(nèi)求的點，然后利用極值的充分條件進行判斷。證明：的定義域為，令， 方程根的判別式：當時，得駐點為；由，得，在處取得極小值，在處取得極大值。3.試問為何值時，函數(shù)在處取得極值，并求出極值。知識點：取得極值的條件。思路：利用極值的必要條件，確定的值，然后利用充分條件，判斷是極大值還是極小值。解：根據(jù)題意，得，即，；由，得，在處取得極大值。4.求下列函數(shù)的最大值、最小值：（1）； （2） ； （3） ； （4）。知識點：導數(shù)的應用。思路：求函數(shù)在閉區(qū)間上最值的基本方法是先求的點或者不存在的點，然后求這些點處

33、的函數(shù)值及其閉區(qū)間端點處的函數(shù)值，比較函數(shù)值，最大的即是在該閉區(qū)間上的最大值，最小的即是在該閉區(qū)間上的最小值。解：（1）在上令，得，； ，比較可得的最小值為，最大值為。（2） 在上，令，得，；，比較可得的最小值為，最大值為。（3）在上，得；，比較可得的最小值為，最大值為。（4）在上令，得； ，比較可得的最小值為，最大值為。5.求下列數(shù)列的最大項：（1） ； （2）。知識點：導數(shù)的應用。思路：求數(shù)列的最大項最小項問題可轉(zhuǎn)化為求函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的最值問題；若為在區(qū)間內(nèi)的最小值點，則與中最小的一個為數(shù)列中的最小項；若為在區(qū)間內(nèi)的最大值點，則與中最大的一個為數(shù)列中的最大項。解：設，則在區(qū)間內(nèi)，令，得唯一駐

34、點； 由，得，（或者說：當時，；當時，）為在區(qū)間內(nèi)唯一的極大值點，也是最大值點；，且，當時，取得最大項。（2）設，則在區(qū)間內(nèi)，令，得唯一駐點；當時，有，當時，有， 為在區(qū)間內(nèi)唯一的極大值點，也是最大值點；，且，當時，取得最大項。6.從一個邊長為的正方形鐵皮的四角上截去同樣大小的正方形，然后按虛線把四邊折起來做成一個無蓋的盒子（見圖），問要截去多大的小方塊，才能使盒子的容量最大？ 圖3-5-6知識點：求最值問題。思路：根據(jù)題意建立數(shù)學函數(shù)模型，根據(jù)實際意義，確定自變量范圍，在所確定的范圍上求最值。特別地，在某個區(qū)間內(nèi)可導且只有一個駐點，且是函數(shù)的極值點，則當是極大值時，就是在該區(qū)間上的最大值；當

35、是極小值時，就是在該區(qū)間上的最小值；在某個區(qū)間內(nèi)可導且只有一個駐點，且在該區(qū)間上確實存在最值，則就是在該區(qū)間上的最值。解：設截去的小正方形的邊長為，則根據(jù)題意，得，；令，得（舍去），；，可得，當一個邊長為的正方形的四角上截去一塊邊長為的小方塊，才能使盒子的容量最大。7.欲制造一個容積為的圓柱形有蓋容器，問如何設計可使材料最省？解：設圓柱形容器的底為，高為，則表面積，又，得，令，得唯一的駐點；又由，知，為的極小值點，也是最小值點；當，時，可使材料最省，即圓柱形容器的底和半徑相等時，可使材料最省。8.從一塊半徑為的圓片中應切去怎樣的扇形，才能使余下的部分卷成的漏斗（見圖）容積為最大？解：設漏斗的半

36、徑為，高為，容積為，根據(jù)題意，得，從而有 ；令，得（舍去），（舍去），；漏斗的最大容積確實存在，即最大值確實存在，又的駐點唯一，時，取得最大值，即當切去圓心角為的扇形時，余下的部分卷成的漏斗容積最大。9.設有重量為的物體，置于水平面上，受力的作用而開始移動（見圖），設磨擦系數(shù)，問力與水平線的交角為多少時，才可使力的大小為最?。拷猓焊鶕?jù)題意，得，從而有， 即，令，則由，得在內(nèi)唯一的駐點；，且力與水平線的交角時，才可使力的大小為最小。10.有一杠桿，支點在它的一端，在距支點處掛一重量為的物體，加力于杠桿的另一端使杠桿保持水平（見圖），如果杠桿的線密度為，求最省力的桿長。解：設杠桿長為，則根據(jù)題意和

37、力的平衡關(guān)系，得，即；令，得唯一的駐點；最省力的杠桿長確實存在，當杠桿長時最省力。圖3-5-8 圖3-5-9 0.1m圖3-5-10 圖3-5-1111.光源的光線射到平面鏡的哪一點再反射到點，光線所走的路徑最短（見圖）？解：設入射點為，則所走的路程令，得在區(qū)間內(nèi)的唯一駐點，最短的距離確實存在，當入射點在上的點為時，光源的光線所走的路徑最短；容易驗證，此時入射角（記為）等于反射角（記為），即，此為著名的光的反射定律。12.甲船以每小時里的速度向東行駛，同一時間乙船在甲船正北里處以每小時里的速度向南行駛，問經(jīng)過多少時間兩船距離最近？解：設兩船的距離為，且經(jīng)過小時兩船距離最近，則根據(jù)題意得令，得在

38、區(qū)間內(nèi)唯一的駐點；兩船最短的距離確實存在，時，取得最小值，即經(jīng)過小時后兩船距離最近。內(nèi)容概要名稱 主要內(nèi)容（3.6）3.6 函數(shù)圖形的描繪漸近線的概念：1）水平漸近線：若函數(shù)的定義域是無窮區(qū)間，且，則稱直線為曲線的水平漸近線；2）鉛直漸近線：若函數(shù)在處間斷，且，則稱直線為曲線的鉛直漸近線；3）斜漸近線：設函數(shù)，若，則稱為的斜漸近線，其中。注：若不存在，或雖然它存在但不存在，則不存在斜漸近線。函數(shù)圖形描繪的步驟：1）確定函數(shù)的定義域，求出函數(shù)的一階導數(shù)和二階導數(shù)；2）求出和的全部零點，的間斷點，和不存在的點；用這些點把函數(shù)定義域劃分成若干個部分區(qū)間；3）確定在這些部分區(qū)間內(nèi)和的符號，并由此確定函

39、數(shù)的增減性和凹凸性，極值點和拐點；4）確定函數(shù)圖形的漸近線以及其他變化趨勢；5）算出和的全部零點及其不存在時的點所對應的函數(shù)值，并在坐標平面內(nèi)描出相應的點，有時適當補充一些輔助點，根據(jù)以上步驟畫出函數(shù)大致圖形。習題3-61.求下列曲線的漸近線：（1）； （2） ； （3） 。知識點：漸近線的概念。思路：求出函數(shù)定義域；在間斷點處或無窮大時，討論的極限情況，用以求出的水平漸近線和垂直漸近線；討論、無窮大時的極限，用以求出斜漸近線。解：（1）的定義域為；，為鉛直漸近線，為水平漸近線，容易驗證該函數(shù)沒有斜漸近線。（2） 的定義域為；，為鉛直漸近線，為水平漸近線，容易驗證該函數(shù)沒有斜漸近線。（3）的定

40、義域為；，函數(shù)不存在鉛直漸近線及水平漸近線，而，為函數(shù)的斜漸近線。2.描繪下列函數(shù)的圖形：（1） ； （2） ； （3）； （4） ； （5）。知識點：函數(shù)的性質(zhì)及導數(shù)的應用。思路：根據(jù)函數(shù)的定義域、周期性、奇偶性、單調(diào)性和極值、凹凸性和拐點、漸近線及其關(guān)鍵點的坐標，描繪函數(shù)圖形。解：（1）1）的定義域為；2）令，得駐點；時不存在；無解；3）現(xiàn)列表討論其單調(diào)性和極值，凹凸性和拐點：不存在不存在不存在不存在不存在極大值點不存在4），為鉛直漸近線，為水平漸近線，容易驗證，函數(shù)沒有斜漸近線；5）根據(jù)以上討論，可描繪出函數(shù)的圖形如下：圖3-6-2-1注：也可以利用函數(shù)的奇偶性，只討論函數(shù)在內(nèi)的情況，描

41、繪出此區(qū)間上函數(shù)圖形，然后再利用圖像的對稱性，將函數(shù)圖形補充完整。（2）1）的定義域為；2）令，得駐點；令，得，；3）為奇函數(shù)，在內(nèi)列表討論其單調(diào)性和極值，凹凸性和拐點：極大點拐點4），為水平漸近線，容易驗證，函數(shù)沒有斜漸近線；5）根據(jù)以上討論和函數(shù)的奇偶性，可描繪出該函數(shù)的圖形如下：011/2.圖3-6-2-2（3）1）的定義域為；2）令，得駐點，；時，不存在；無解；3）現(xiàn)列表討論其單調(diào)性和極值，凹凸性和拐點：不存在不存在極大點不存在極小點4），為鉛直漸近線，容易驗證，函數(shù)沒有水平漸近線；而，為斜漸近線。又5）根據(jù)以上討論，可描繪出該函數(shù)的圖形如下：1350圖3-6-2-3（4） 1）的定義

42、域為；2）令，得駐點；時，不存在；在上無解；3）現(xiàn)列表討論其單調(diào)性和極值，凹凸性和拐點：不存在不存在極大值點4）容易驗證，函數(shù)沒有漸近線。又5）根據(jù)以上討論，可描繪出該函數(shù)的圖形如下：0圖3-6-2-4（5）1）的定義域為；2）令，得駐點；令，得；3）現(xiàn)列表討論其單調(diào)性和極值，凹凸性和拐點：極大值點拐點4），為鉛直漸近線，為水平漸近線；函數(shù)無斜漸近線。 5）根據(jù)以上討論，可描繪出該函數(shù)的圖形如下：0圖3-6-2-5內(nèi)容概要名稱主要內(nèi)容(3.7)3.7 曲率弧微分計算公式：，其中為弧函數(shù)，其性質(zhì)為單調(diào)增加。曲率計算公式：設曲線方程為，具有二階導數(shù)，則曲線在點處的曲率計算公式為。1） 曲率圓與曲率

43、半徑：設曲線在點處的曲率為，在點處的曲線的法線上，在凹的一側(cè)取點，使得。以為圓心，為半徑的圓成為曲線在點處的曲率圓。曲率圓的圓心稱為曲線在點處的曲率圓心。曲率圓的半徑稱為曲線在點處的曲率半徑。2） 在點處的曲率圓的圓心記為，則其計算公式為：。習題3-71.求曲線的最大曲率。知識點：曲率的計算公式及最值的應用。思路：根據(jù)曲率計算公式，計算函數(shù)的導數(shù)及其二階導數(shù)，代入公式，得關(guān)于的曲率函數(shù)，然后求該函數(shù)的最大值，便得原來函數(shù)的最大曲率，最小值便為原來函數(shù)的最小曲率。解：，得函數(shù)在處的曲率為，下面求的最大值：由，得；舍去當時，；當時，當時，在內(nèi)取得極大值，也是在內(nèi)的最大值，即曲線的最大曲率為。2.求

44、拋物線在點處的曲率和曲率半徑。知識點：曲率和曲率半徑的計算公式。思路：利用曲率及曲率半徑的公式即可。解：，函數(shù)在處的曲率和曲率半徑分別為，將分別代入、中，得曲率和曲率半徑為，。3.計算擺線在處的曲率。解： ，； 在處的曲率為。4.曲線弧上的哪一點處的曲率半徑最小？求出該點處的曲率半徑。知識點：同1。思路：同1。解：，得函數(shù)在處的曲率半徑為，和的單調(diào)性一致，可通過求的最值得到的最值得唯一的駐點；當時，；當時，；當時，也是在內(nèi)取得極小值，也是在內(nèi)的最小值，即曲線弧在處的曲率半徑最小，且該點處的曲率半徑為。注：此題也可通過求曲率的最大值點和最大值得到結(jié)果。5.求曲線在處的曲率。解： ，； 曲線在處的

45、曲率為。6.汽車連同載重共，在拋物線拱橋上行駛，速度為，橋的跨度為，拱的矢高為，求汽車越過橋頂時對橋的壓力。知識點：曲率在物理中的應用。思路：根據(jù)題意，利用數(shù)學知識，結(jié)合物理問題，建立數(shù)學模型。解：取橋頂為原點，垂直向下為軸正向，則拋物線方程為，從而橋端點坐標為在拋物線上，；，頂點處拋物線的曲率半徑；利用物理知識，得頂點處汽車的離心力，得汽車越過橋頂時對橋的壓力為。7.求曲線在其與軸的交點處的曲率圓方程。知識點：曲率圓的概念和計算公式。思路：先根據(jù)曲率半徑公式，計算曲率圓半徑，然后再根據(jù)漸屈線的方程求曲率圓的圓心，得出曲率圓方程。解： 與軸的交點為， ，曲率圓的半徑為；又由漸屈線方程的參數(shù)方程

46、得，即曲率圓的圓心為，從而曲線在其與軸的交點處的曲率圓方程為。8.求曲線的漸屈線方程。知識點：漸屈線的概念。思路：根據(jù)漸屈線的參數(shù)方程公式求方程。解： 由，得，；，即所求漸屈線的參數(shù)方程為：（為參數(shù)）?？偭曨}三1.證明下列不等式：（1） 設，證明：；（2）設，證明：。知識點：拉格朗日中值定理。思路：關(guān)鍵是尋找，用公式，當確定了的范圍，即可定的范圍，從而證明結(jié)論。證明：設 ，易見在連續(xù)，在可導，且， 由拉格朗日中值定理可知，至少存在一使 即，又 ，故 。2.設在上可導，且，對于任何，都有，試證：在內(nèi)，有且僅有一個數(shù)，使。知識點：零點定理，羅爾中值定理或者單調(diào)性的應用。思路：從結(jié)論出發(fā)構(gòu)造輔助函數(shù)

47、，利用零點定理證明存在性，利用反證法和羅爾中值定理證明唯一性；或者是利用單調(diào)性證明唯一性。證明：1）存在性。設，易見函數(shù)在上連續(xù)，且 ，由零點定理可知，至少存在一點，使 ，即。2）唯一性。假設存在另一點，使，則在上連續(xù)，在相應開區(qū)間內(nèi)可導，且，由羅爾定理可知，至少存在某，使，從而，這與矛盾，故有且僅有一個數(shù)，使。3.若時，可微函數(shù)有，則方程在內(nèi)（）（A） 無實根； （B） 有且僅有一實根； （C） 有且僅有二實根； （D）至少有二實根。知識點：極限的保號性，零點定理，羅爾中值定理。思路：根據(jù)保號性及零點定理，可得在內(nèi)有零點，再兩次利用中值定理便得結(jié)論。解：由得根據(jù)保號性，知，當時，有從而有，取

48、，則有；同理，由可知，當時，有，取，則有；由零點定理，至少有一點，使；易知，在、在上連續(xù)，在、內(nèi)可導，由羅爾中值定理，知至少有一點、，使得，；故選（D）。4.設于上連續(xù)，于內(nèi)可導，求證：存在，使得知識點：羅爾定理思路：設置輔助函數(shù)，使其滿足羅爾定理。解：設，則在上連續(xù)，在內(nèi)可導， 且，即；由羅爾定理，至少存在一，即，又，故。注：輔助函數(shù)可通過如下推導獲得：設5.設在上連續(xù)，在可導，且，試證：對任意給定的正數(shù)在內(nèi)存在不同的，使。知識點：拉格朗日中值定理。思路：證明在至少存在不相等的，滿足某種關(guān)系式，一般不構(gòu)造輔助函數(shù)，而是依據(jù)結(jié)論中各部分的特點分別利用微分中值定理。證明：顯然，；又由在上連續(xù)，且

49、，根據(jù)介值定理，至少存在一點，使；易知在、上滿足拉格朗日中值定理，從而存在，分別使 （1）； （2），將（1）（2）兩式相加，消去即得。6.設在上連續(xù)，在內(nèi)可導，證明：在內(nèi)存在點和，使。知識點：同5。思路：同5。證明：易知，、在上滿足柯西中值定理，從而，使得 （1）又由朗格朗日中值定理知，使得 （2）由（1）（2）兩式相比得即。7.證明多項式在上不可能有兩個零點。知識點：羅爾中值定理。思路：反證法。解：假設在上有兩個零點，不妨設，易知在上連續(xù)，在上可導，且，由羅爾定理，至少存在一，使得 ，即 ，但，矛盾。故多項式在上不可能有兩個零點。8.設可導，試證的兩個零點之間一定有函數(shù)的零點。知識點：拉格

50、朗日中值定理。思路：對于證明至少有一點，使得，一般從結(jié)論出發(fā)，構(gòu)造輔助函數(shù)，然后根據(jù)具體的條件使用零點定理，證明；或者使用羅爾中值定理，證明。 ，故可構(gòu)造輔助函數(shù)證明：設的兩個零點，不妨設，再令，易知，在上連續(xù)，在內(nèi)可導，又，從而，由羅爾中值定理知，至少有一點，使得，又，從而有，結(jié)論成立。9.設，證明方程在內(nèi)至少有一個實根。知識點：羅爾中值定理。思路：構(gòu)造輔助函數(shù)，證明輔助函數(shù)有駐點。證明：設，易知在上連續(xù)，在上可導，且，由羅爾中值定理知，至少存在，使得 ，又，故 在內(nèi)至少有一個實根。10.設在上處處有，且，證明在內(nèi)方程僅有一實根。知識點：零點定理及其函數(shù)的單調(diào)性。思路：利用零點定理，或者證明

51、有實根；再利用函數(shù)單調(diào)性證明根唯一。證明：由泰勒公式得：；在上處處有，從而；取，則有，又，由零點定理知，使得，根的存在性成立；下證唯一性：在上處處有，在上單調(diào)遞減，從而在上，有，在上嚴格單調(diào)遞減，從而僅有一實根。11.設在上具有二階導數(shù)，且.若，證明：至少存在一點，使得。知識點：羅爾中值定理。思路：證明至少存在一點，使得的命題，可考慮連續(xù)次使用羅爾中值定理。證明：由題意可知在上連續(xù)，在上可導，且 ，由羅爾定理，至少存在，使得 ；又，由題意在上連續(xù)，在上可導， 且，即 ，由羅爾定理，至少存在，使得。12.設函數(shù)在上可導，且，則在內(nèi)存在一點，使得。知識點：費馬引理。思路：可導的極值點必為駐點，所以

52、證明在內(nèi)存在極值點即可。證明：，不妨設，；，由極限的保號性知，當時，有，即有： （1）同理由知，當時，有，即有 （2）易知，在上連續(xù)，從而在上必有最值，且由（1）（2）知，的最小值點必在內(nèi)取得，設為，則由費馬引理知，結(jié)論成立。13.用洛必達法則求下列極限：（1） ； （2） ； （3） ； （4） ； （5） ； （6） 。知識點：洛必達法則。思路：注意洛必達法則的適用范圍。該法則解決的是未定型的極限問題，基本形式為：型與型未定式，對于這種形式可連續(xù)使用洛必達法則；對于型與型的未定式，可通過通分或者取倒數(shù)的形式化為基本形式；對于型、型與型的未定式，可通過取對數(shù)等手段化為未定式；此外，還可以結(jié)合

53、等價無窮小替換、兩個重要的極限、換元等手段使問題簡化。解：（1）。（2）。（3）。（4）（5）方法一：方法二： 又，故 。（6）。14.設，求。知識點：拉格朗日中值定理。思路：結(jié)論中含有函數(shù)改變量，可聯(lián)想到利用中值定理求得結(jié)論。解： 由朗格朗日中值定理得，（介于與之間），從而有 。15.當與為何值時，。知識點：極限和洛必達法則。思路：根據(jù)題意和已有的結(jié)論得關(guān)于與等式，求得與的值。解：由題意知，在該式左邊應用洛必達法則可得 ，上式成立，必須 ，故，代入上式后，左邊再應用洛必達法則，得，從而有，。16.設，由拉格朗日中值定理得：使得，證明： 。知識點：拉格朗日中值定理。思路：根據(jù)已知條件，求出的表

54、達式，再利用求極限的方法求出極限。證明：由題意知，。17.設在的某個鄰域內(nèi)有二階導數(shù)，且，求。知識點：導數(shù)的定義。思路：求抽象函數(shù)在具體某一點處的導數(shù)值，根據(jù)題意和導數(shù)定義，分別求出各階導數(shù)值。解： 由，可得，從而；在的某個鄰域內(nèi)有二階導數(shù)，有，從而有；再由，知，從而有。18.求的三階麥克勞林公式。知識點：麥克勞林公式。思路：利用公式直接展開。解：，從而得的三階麥克勞林公式為。19.證明：。證明：設，則，從而有。20.設，證明：。知識點：麥克勞林公式的應用。思路：泰勒公式（麥克勞林公式）可以應用于證明不等式；將函數(shù)展開到適當?shù)男问?，然后利用已知條件和結(jié)論得到結(jié)果。證明：由麥克勞林公式，得，從而有；，又，有，結(jié)論成立。21.證明不等式：。知識點：導數(shù)的應用。思路：拉格朗日中值定理，函數(shù)單調(diào)性，泰勒公式等都是常用的證明不等式的方法；根據(jù)此題特點，可以用拉格朗日中值定理或函數(shù)單調(diào)性的判定定理。證明：方法一： 令 ，則易知在上連