2015屆高考數學總復習 基礎知識名師講義 第四章 第一節(jié)向量與向量的線性運算 文

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1、 【金版學案】2015屆高考數學總復習 基礎知識名師講義 第四章 第一節(jié)向量與向量的線性運算 文 近三年廣東高考中對本章考點考查的情況 年份 題號 賦分 所考查的知識點 2011 3 5 向量的坐標形式、向量平行、參數確定 6 5 向量坐標形式的數量積的最大值(與線性規(guī)劃綜合) 2012 1 5 復數的乘、除法 3 5 向量的坐標運算 10 5 向量的夾角(與集合綜合) 1 5 復數的乘、除法 2013 3 5 復數的相等、復數的模 10 5 向量的三角形法則、平面向量基本定理 本章主要包括兩個內容：平面向量、

2、復數的概念與運算． 1．平面向量的復習，主要掌握以下幾點： (1)平面向量的相關概念：主要有相等向量、相反向量、零向量、共線向量、向量的模、兩個向量的夾角等，這些概念是向量的基礎． (2)平面向量的線性運算：向量的加法運算、減法運算、數乘運算，要注意向量共線的充要條件的應用． 2 / 12 (3)平面向量的基本定理：這個定理是平面向量的核心，有了這個定理，實現(xiàn)了平面向量的坐標化運算． (4)平面向量的數量積是平面向量的主要公式，利用這個公式，可以求出兩個向量的夾角，判斷兩個向量的垂直與平行． 2．復數的復習，主要掌握以下幾點： (1)復數的概念：復數的定義，復數的實部、虛部

3、，復數的相等，共軛復數，復數的模． (2)復數的運算：復數的四則運算中，除法運算是將分母實數化． (3)復數加減運算的幾何意義． 預測高考對平面向量的考查仍以小題考查重要知識點，以中、低難度為主；在解答題中，會與三角函數、解三角形、解析幾何等結合綜合考查向量的應用．對復數的考查，仍會以小題考查復數的概念與四則運算，以容易題為主． 1．復習平面向量內容時要注意： (1)向量具有大小和方向兩個要素．用有向線段表示向量時，與有向線段起點的位置沒有關系，同向且等長的有向線段都表示同一向量． (2)共線向量和平面向量的兩條基本定理，揭示了共線向量和平面向量的基本結構，它們是進一步研究向量

4、的基礎． (3)向量的加、減、數乘是向量的線性運算，其結果仍是向量．向量的數量積結果是一個實數．向量的數量積，可以計算向量的長度、平面內兩點間的距離、兩個向量的夾角，判斷相應的兩條直線是否垂直． (4)向量的運算與實數的運算有異同點，學習時要注意這一點，如數量積不滿足結合律． (5)要注意向量在幾何、三角、物理學中的應用． (6)平面向量的數量積及坐標運算是高考的重點，復習中要注意培養(yǎng)準確的運算能力和靈活運用知識的能力． 2．對于復數，《課標》及《考綱》的要求有以下三點：理解復數的基本概念，理解復數相等的充要條件，會進行復數代數形式的四則運算．所以在復習中應掌握好以下幾個方面： (

5、1)掌握好復數的基本概念和復數表示實數、虛數、純虛數的充要條件． (2)熟練掌握復數代數形式的加、減、乘、除運算法則．在運算過程中要注意復數運算法則與實數運算法則的區(qū)別． 第一節(jié) 向量與向量的線性運算 1．平面向量的實際背景及基本概念． (1)了解向量的實際背景． (2)理解平面向量的概念，理解兩個向量相等的含義． (3)理解向量的幾何表示． 2．向量的線性運算． (1)掌握向量加法、減法的運算，并理解其幾何意義． (2)掌握向量數乘的運算及其意義，理解兩個向量共線的含義． (3)了解向量線性運算的性質及其幾何意義． 知識梳理 一、向

6、量的有關概念 1．平面向量． 平面內既有大小又有方向的量叫做向量． 向量一般用a，b，c，……來表示，或用有向線段的起點與終點的大寫字母表示，如.向量的大小即向量的模(長度)，記作||，向量a的大小，記作|a|. 向量不能比較大小，但向量的模可以比較大?。? 2．零向量． 長度為零的向量叫做零向量，記為0，其方向是任意的，0與任意向量平行．零向量a＝0?|a|＝0. 由于0的方向是任意的，且規(guī)定0平行于任何向量，故在有關向量平行(共線)的問題中務必看清楚是否有“非零向量”這個條件(注意“0”與“0”的區(qū)別)． 3．單位向量． 模為1個單位長度的向量叫做單位向量．向量a0為單位向

7、量?|a0|＝1. 4．平行向量(共線向量)． 方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，記作a∥b.由于向量可以進行任意的平移(即自由向量)，平行向量總可以平移到同一直線上，故平行向量也稱為共線向量． 　數學中研究的向量是自由向量，只有大小、方向兩個要素，起點可以任意選取，這里必須區(qū)分清楚共線向量中的“共線”與幾何中的“共線”的含義，要理解好平行向量中的“平行”與幾何中的“平行”是不一樣的． 5．相等向量． 長度相等且方向相同的向量叫做相等向量．相等向量經過平移后總可以重合，記為a＝b. 二、向量的運算 1．向量的加法． 求兩個向量和的運算叫做向量的加法． 設＝a，＝b

8、，則a＋b＝＋＝. 規(guī)定：(1)0+a＝a＋0=a； (2)向量加法滿足交換律與結合律． 向量加法的三角形法則可推廣至多個向量相加：＋＋＋…＋＋＝，但這時必須“首尾相連”． 2．向量的減法． (1)相反向量：與a長度相等、方向相反的向量叫做a的相反向量，記作－a.零向量的相反向量仍是零向量． 關于相反向量有：①－(－a)＝a；②a＋(－a)＝(－a)＋a＝0；③若a，b互為相反向量，則a＝－b，b＝－a，a＋b＝0. (2)向量的減法：向量a加上b的相反向量叫做a與b的差，記作a－b＝a＋(－b)．求兩個向量差的運算叫做向量的減法． (3)作圖法：a－b可以表示為從b的終點指向

9、a的終點的向量(a，b有共同起點)． 3．向量加、減法的“三角形法則”與“平行四邊形法則”． (1)用平行四邊形法則時，兩個已知向量是要共始點的，和向量是始點與已知向量的始點重合的那條對角線，而差向量是另一條對角線，方向是從減向量指向被減向量． (2)三角形法則的特點是“首尾相接”，由第一個向量的起點指向最后一個向量的終點的有向線段就表示這些向量的和，差向量是從減向量的終點指向被減向量的終點． 當兩個向量的起點公共時，用平行四邊形法則；當兩向量是首尾連接時，用三角形法則． 4．實數與向量的積． (1)實數λ與向量a的積是一個向量，記作λa，它的長度與方向規(guī)定如下： ①＝； ②當

10、λ>0時，λa的方向與a的方向相同；當λ<0時，λa的方向與a的方向相反；當 λ＝0時，λa＝0，方向是任意的． (2)數乘向量滿足交換律、結合律與分配律． 三、兩個向量共線定理 向量b與非零向量a共線?有且只有一個實數λ，使得b＝λ a． 基礎自測 1．(2012·惠州調研)已知向量a，b，則“a∥b”是“a＋b＝0”的________條件(　　) A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 解析：“a∥b”只要求兩向量共線，而“a＋b＝0”要求反向共線且模相等．故選B. 答案：B 2

11、．(2013·增城下學期調研)設M是平行四邊形ABCD的對角線的交點，O為任意一點，則＋＋＋＝(　　) A. B．2 C．3 D．4 解析：在△OAC中，M為AC中點，根據平行四邊形法則，有＋＝2，同理有＋＝2，所以＋＋＋＝4.故選D. 答案：D 3．如圖， e1，e2為互相垂直的單位向量，則向量a－b可表示為________________． 解析：如圖所示，a－b＝e1－3e2. 答案：e1－3e2 4．(2013·江蘇南通高三期末考試)在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C所對的邊，且3a＋4b＋

12、5c＝0，則abc＝________. 解析：由3a＋4b－5c(＋)＝0. 得3a＋4b－5c－5c＝0. 即(3a－5c)＋(4b－5c)＝0. 因為與不共線，所以3a－5c＝0，且4b－5c＝0. 所以abc＝201512. 答案：201512 1．如圖，正六邊形ABCDEF中，＋＋＝(　　) A．0　　　　　B. C. D. 解析：＋＋＝＋＋＝.故選D. 答案：D 2．(2013·四川卷)如圖， 在平行四邊形ABCD中，對角線AC與BD交于點O，＋＝λ，則λ＝________. 解析：由于

13、ABCD為平行四邊形，對角線AC與BD交于點O， 所以＋＝＝2，所以λ＝2. 答案：2 1．(2012·揭陽模擬)已知點O為△ABC外接圓的圓心，且＋＋＝0，則△ABC的內角A等于(　　) A．30° B．60° C．90° D．120° 解析：由＋＋＝0得＋＝，由O為△ABC外接圓的圓心，結合向量加法的幾何意義知四邊形OACB為菱形，且∠CAO＝60°，從而△ABC的內角∠A＝30°.故選A. 答案：A 2．(2012·華南師大附中綜合測試)在平行四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別是CD和BC的中點，若＝λ＋γ，其中λ，γ∈R，則λ＋γ＝________. 解析：由向量加法的三角形法則得＝＋＝(－)＋(－)＝(＋)－(＋)＝(＋)－(＋)＝(＋)－， 所以＝(＋)，所以λ＋γ＝＋＝. 答案： 希望對大家有所幫助，多謝您的瀏覽！