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1、二次根式知識方法題型總結(jié)
一、本章知識內(nèi)容歸納
1.概念:
①二次根式——形如 的式子;當(dāng) 時有意義,當(dāng) 時無意義;
②最簡二次根式——根號中不含 和 的二次根式;
③同類二次根式—— 的二次根式;
2.性質(zhì):①非負(fù)性; ②;
③ (字母從根號中開出來時要帶絕對值
再根據(jù)具體情況判斷是否需要討論)
3.運算: 運算結(jié)果每一項都是最簡二次根式,且無可合并的同類二次根式.
①乘法和積的算術(shù)平方根
2、可互相轉(zhuǎn)化:;
②除法和商的算術(shù)平方根可互相轉(zhuǎn)化:
③加減法:先化為最簡二次根式,然后合并同類二次根式;
④混合運算:有理式中的運算順序,運算律和乘法公式等仍然適用;
⑤乘法公式的推廣:
二、本章常用方法歸納
方法1.開方
①偶數(shù)次方:; ②奇數(shù)次方:
方法2.分母有理化:
①概念:分母有理化就是通過 使得
其中 叫做該分母的有理化因式;
②常用的有理化因式:
與、與、與互為有理化因式;
③分母有理化步驟:
先將二次根式盡量化簡,找分母最簡有理化因式;
3、
將計算結(jié)果化為最簡二次根式的形式。
方法3. 非0的二次根式的倒數(shù)
①的倒數(shù):(a>0); ②的倒數(shù):(a>0, b>0);
③※因為 ,
所以的倒數(shù)為 ;
方法4. 利用“”外的因數(shù)化簡“”
①; ②;
三、本章典型題型歸納
(一)二次根式的概念和性質(zhì)
1.x是怎樣的實數(shù)時,下列各式在實數(shù)范圍內(nèi)有意義?
(1)-;
(2)-;
(3);
4、
2.若x、y為實數(shù),y=++3.則=
3.根據(jù)下列條件,求字母x的取值范圍:
(1);
(2);
(3)=1-x ;
(4)※=1 ;
4.已知++=0.
則a= , b= , c= .
5.已知,則=______________
6.在實數(shù)范圍內(nèi)因式分解:x4-4=______________
5、.
7.已知a,b,c為三角形的三邊,
則=
8.若最簡二次根式與最簡二次根式可以合并,則的取值為
※9.已知a<0,化簡二次根式 =
※10.把根號外的因式移到根號內(nèi),得
(二)二次根式的運算
11.乘除法口算:
(1)=
(3)=
(5)=
(2)=
(4)=
(6)=
(7) =
(9)=
(11)=
(8)=
(10)=
(12)=
(13)=
(15)=
(14)=
12. 計算:(能簡算的要簡算
6、)
(1). (2)+(-1)3-2
(3) (4)
(5) (6)
(7)
(8))
(9) -―+(a>0,b>0)
(10)
※(11) ※(12)
13. 若的整數(shù)部分是a,小數(shù)部分是b,則
14.在數(shù)軸上與表示的點的距離最近的整數(shù)點所表示的數(shù)是___________
15.若一個正方體的長為,
7、寬為,高為,則它的體積為 .
※16.的關(guān)系是
17.甲、乙兩人對題目“化簡并求值:,其中”有不同的解答:
甲的解答:,
乙的解答:。
誰的解答是錯誤的?為什么?
※18. 先觀察下列分母有理化:,從計算結(jié)果中找出規(guī)律,再利用這一規(guī)律計算下列式子的值:
19. 觀察下列各式的特點:
,,,……
(1)請根據(jù)以上規(guī)律填空
(2)請根據(jù)以上規(guī)律寫出第個不等式,并證明你的結(jié)論.
※(3)計算下列算式:
=
(三)二次根式的化簡求值
8、
20.若,求的值。
21.若求的值。
22.已知,求的值。
23.已知,,求下列各式的近似值(精確到0.01):
(1); (2); (3).
(四)二次根式的比較大小
24.比較下列個數(shù)的大小
(1)3與(平方法) (2)-5與-6(被開方數(shù))
(3)與(分母有理化)
(4)-與-(倒數(shù)法)
(5) 與(設(shè)參數(shù)比較)
(6) 與(分子有
9、理化)
(7)已知:是正數(shù),求證:
(五)二次根式的應(yīng)用
25.在交通事故的處理中,交通警察往往用公式來判斷該車是否超速,其中表示車速(單位km/s),表示剎車后車輪劃過的距離(單位:),表示摩擦系數(shù);某日,在一段限速60km/s的公路上,發(fā)生了一起兩車追尾的事故,警察趕到后,經(jīng)過測量,得出其中一輛車的,,請問該車超速了嗎?
26.我們?nèi)梭w含有多少脂肪才算適當(dāng)?據(jù)科學(xué)研究表明,可以利用身體的體重(,單位:千克)和身高(,單位:米)來計算身體脂肪水平,也稱為身體質(zhì)量指數(shù)(BMI).計算公式是BMI=,而且男性的BMI指數(shù)范圍是24~27,如果一位男
10、生體重是70千克,身體脂肪屬于正常,那么請你估計他的身高大約在哪個范圍內(nèi)?(精確到0.01米).
27.談祥柏是中國人民解放軍軍醫(yī)大學(xué)數(shù)學(xué)教授,有一次他將我國近代著名作家徐志摩《再別康橋》中的兩句組成了如下的等式組:
,這里相同的漢字表示0,1,……,9中相同的數(shù)字,不同的漢字表示不同數(shù)字,你能利用所學(xué)知識破解它嗎?
28.某人用一架不等臂天平稱一塊鐵的質(zhì)量,把鐵塊放在天平左盤時,稱得它的質(zhì)量為300克;把鐵塊放在天平右盤時,稱得它的質(zhì)量為900克,利用所學(xué)知識,求這塊鐵的實際質(zhì)量
29.有一塊木板,如圖,請你把它切成三塊,
11、
然后拼成一個正方形的桌面。
30.設(shè)等腰三角形的腰長為a,底邊長為b,底邊上的高為h.
(1)如果a=2,b=,求h; (2)如果b=,h=2,求a.
31.某市為方便相距2km的A、B兩處居民區(qū)的交往,修筑一條筆直的公路(如圖:AB),經(jīng)測量,在A處的北偏東60方向,B處北偏西45方向的C處有一半徑為0.7km的圓形公園,問計劃修筑的公路會不會穿過公園?請說明理由。
C
A
B
45
60
※32.設(shè)三所學(xué)校A,B,C分別位于一個等邊三角形的三個頂點處,現(xiàn)值網(wǎng)絡(luò)時代,要在三個學(xué)校之間鋪設(shè)通訊電纜,小張同學(xué)設(shè)計了三種連接方案,如圖所示,方案甲:AB+BC;方案乙:AD+BC(D為BC中點);方案丙:AO+BO+CO(O為三角形三條高的交點),請你幫助計算一下哪種方案線路最短?
※33.一艘漁船正以30海里/時的速度由西向東追趕魚群,在A處看見小島C在船的北偏東60方向,40分鐘后,漁船行至B處,此時看見小島C在船的北偏東30方向,已知以小島C為中心周圍10海里以內(nèi)為我軍導(dǎo)彈部隊軍事演習(xí)的著彈危險區(qū),問這艘漁船繼續(xù)向東追趕魚群,是否有進入危險區(qū)域的可能?