高考數(shù)學導(dǎo)數(shù)題型歸納[共12頁]

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1、導(dǎo)數(shù)題型歸納請同學們高度重視:首先,關(guān)于二次函數(shù)的不等式恒成立的主要解法:1、分離變量;2變更主元;3根分布;4判別式法5、二次函數(shù)區(qū)間最值求法:(1)對稱軸(重視單調(diào)區(qū)間)與定義域的關(guān)系 (2)端點處和頂點是最值所在 其次,分析每種題型的本質(zhì),你會發(fā)現(xiàn)大部分都在解決“不等式恒成立問題”以及“充分應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想”,創(chuàng)建不等關(guān)系求出取值范圍。 最后,同學們在看例題時,請注意尋找關(guān)鍵的等價變形和回歸的基礎(chǔ)一、基礎(chǔ)題型:函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值、最值;不等式恒成立;1、此類問題提倡按以下三個步驟進行解決:第一步:令得到兩個根;第二步:畫兩圖或列表;第三步:由圖表可知;其中不等式恒成立問題的實質(zhì)是函數(shù)的

2、最值問題,2、常見處理方法有三種:第一種:分離變量求最值-用分離變量時要特別注意是否需分類討論(>0,=0,<0)第二種:變更主元(即關(guān)于某字母的一次函數(shù))-(已知誰的范圍就把誰作為主元);例1:設(shè)函數(shù)在區(qū)間D上的導(dǎo)數(shù)為,在區(qū)間D上的導(dǎo)數(shù)為,若在區(qū)間D上,恒成立,則稱函數(shù)在區(qū)間D上為“凸函數(shù)”,已知實數(shù)m是常數(shù),(1)若在區(qū)間上為“凸函數(shù)”,求m的取值范圍;(2)若對滿足的任何一個實數(shù),函數(shù)在區(qū)間上都為“凸函數(shù)”,求的最大值.解:由函數(shù) 得 (1) 在區(qū)間上為“凸函數(shù)”,則 在區(qū)間0,3上恒成立 解法一:從二次函數(shù)的區(qū)間最值入手:等價于 解法二:分離變量法: 當時, 恒成立, 當時

3、, 恒成立等價于的最大值()恒成立,而()是增函數(shù),則(2)當時在區(qū)間上都為“凸函數(shù)” 則等價于當時 恒成立 解法三:變更主元法 再等價于在恒成立(視為關(guān)于m的一次函數(shù)最值問題)-22 例2:設(shè)函數(shù) ()求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值; ()若對任意的不等式恒成立,求a的取值范圍. (二次函數(shù)區(qū)間最值的例子)解:() 3aaa3a令得的單調(diào)遞增區(qū)間為(a,3a)令得的單調(diào)遞減區(qū)間為(,a)和(3a,+)當x=a時,極小值= 當x=3a時,極大值=b. ()由|a,得:對任意的恒成立則等價于這個二次函數(shù) 的對稱軸 (放縮法)即定義域在對稱軸的右邊,這個二次函數(shù)的最值問題:單調(diào)增函數(shù)的最值問題。上

4、是增函數(shù). (9分)于是,對任意,不等式恒成立,等價于 又點評:重視二次函數(shù)區(qū)間最值求法:對稱軸(重視單調(diào)區(qū)間)與定義域的關(guān)系第三種:構(gòu)造函數(shù)求最值題型特征:恒成立恒成立;從而轉(zhuǎn)化為第一、二種題型例3;已知函數(shù)圖象上一點處的切線斜率為,()求的值;()當時,求的值域;()當時,不等式恒成立,求實數(shù)t的取值范圍。解:(), 解得 ()由()知,在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增又 的值域是()令思路1:要使恒成立,只需,即分離變量思路2:二次函數(shù)區(qū)間最值二、題型一:已知函數(shù)在某個區(qū)間上的單調(diào)性求參數(shù)的范圍解法1:轉(zhuǎn)化為在給定區(qū)間上恒成立, 回歸基礎(chǔ)題型解法2:利用子區(qū)間(即子集思想);首先

5、求出函數(shù)的單調(diào)增或減區(qū)間,然后讓所給區(qū)間是求的增或減區(qū)間的子集; 做題時一定要看清楚“在(m,n)上是減函數(shù)”與“函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是(a,b)”,要弄清楚兩句話的區(qū)別:前者是后者的子集例4:已知,函數(shù)()如果函數(shù)是偶函數(shù),求的極大值和極小值;()如果函數(shù)是上的單調(diào)函數(shù),求的取值范圍解:. () 是偶函數(shù), . 此時, 令,解得:. 列表如下:(,2)2(2,2)2(2,+)+00+遞增極大值遞減極小值遞增 可知:的極大值為, 的極小值為. ()函數(shù)是上的單調(diào)函數(shù),在給定區(qū)間R上恒成立判別式法則 解得:. 綜上,的取值范圍是. 例5、已知函數(shù) (I)求的單調(diào)區(qū)間; (II)若在0,1上單調(diào)遞增,

6、求a的取值范圍。子集思想(I) 1、 當且僅當時取“=”號,單調(diào)遞增。 2、 a-1-1單調(diào)增區(qū)間: 單調(diào)減區(qū)間:(II)當 則是上述增區(qū)間的子集:1、時,單調(diào)遞增 符合題意2、, 綜上,a的取值范圍是0,1。 三、題型二:根的個數(shù)問題題1函數(shù)f(x)與g(x)(或與x軸)的交點=即方程根的個數(shù)問題解題步驟第一步:畫出兩個圖像即“穿線圖”(即解導(dǎo)數(shù)不等式)和“趨勢圖”即三次函數(shù)的大致趨勢“是先增后減再增”還是“先減后增再減”;第二步:由趨勢圖結(jié)合交點個數(shù)或根的個數(shù)寫不等式(組);主要看極大值和極小值與0的關(guān)系;第三步:解不等式(組)即可;例6、已知函數(shù),且在區(qū)間上為增函數(shù)(1) 求實數(shù)的取值范

7、圍;(2) 若函數(shù)與的圖象有三個不同的交點,求實數(shù)的取值范圍解:(1)由題意 在區(qū)間上為增函數(shù),在區(qū)間上恒成立(分離變量法)即恒成立,又,故的取值范圍為 (2)設(shè),令得或由(1)知,當時,在R上遞增,顯然不合題意當時,隨的變化情況如下表:極大值極小值由于,欲使與的圖象有三個不同的交點,即方程有三個不同的實根,故需,即 ,解得綜上,所求的取值范圍為根的個數(shù)知道,部分根可求或已知。例7、已知函數(shù)(1)若是的極值點且的圖像過原點,求的極值;(2)若,在(1)的條件下,是否存在實數(shù),使得函數(shù)的圖像與函數(shù)的圖像恒有含的三個不同交點?若存在,求出實數(shù)的取值范圍;否則說明理由。高1考1資1源2網(wǎng)解:(1)的

8、圖像過原點,則 ,又是的極值點,則-1 (2)設(shè)函數(shù)的圖像與函數(shù)的圖像恒存在含的三個不同交點,等價于有含的三個根,即:整理得:即:恒有含的三個不等實根(計算難點來了:)有含的根,則必可分解為,故用添項配湊法因式分解, 十字相乘法分解:恒有含的三個不等實根等價于有兩個不等于-1的不等實根。題2:切線的條數(shù)問題=以切點為未知數(shù)的方程的根的個數(shù)例7、已知函數(shù)在點處取得極小值4,使其導(dǎo)數(shù)的的取值范圍為,求:(1)的解析式;(2)若過點可作曲線的三條切線,求實數(shù)的取值范圍(1)由題意得:在上;在上;在上因此在處取得極小值,由聯(lián)立得:, (2)設(shè)切點Q,過令,求得:,方程有三個根。需:故:;因此所求實數(shù)的

9、范圍為:題3:已知在給定區(qū)間上的極值點個數(shù)則有導(dǎo)函數(shù)=0的根的個數(shù)解法:根分布或判別式法例8、解:函數(shù)的定義域為()當m4時,f (x) x3x210x,x27x10,令 , 解得或.令 , 解得可知函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為和(5,),單調(diào)遞減區(qū)間為()x2(m3)xm6, 要使函數(shù)yf (x)在(1,)有兩個極值點,x2(m3)xm6=0的根在(1,)1根分布問題:則, 解得m3例9、已知函數(shù),(1)求的單調(diào)區(qū)間;(2)令x4f(x)(xR)有且僅有3個極值點,求a的取值范圍解:(1) 當時,令解得,令解得,所以的遞增區(qū)間為,遞減區(qū)間為.當時,同理可得的遞增區(qū)間為,遞減區(qū)間為.(2)有且

10、僅有3個極值點=0有3個根,則或,方程有兩個非零實根,所以或而當或時可證函數(shù)有且僅有3個極值點其它例題:1、(最值問題與主元變更法的例子).已知定義在上的函數(shù)在區(qū)間上的最大值是5,最小值是11.()求函數(shù)的解析式;()若時,恒成立,求實數(shù)的取值范圍.解:() 令=0,得 因為,所以可得下表:0+0-極大 因此必為最大值,因此, , 即, (),等價于, 令,則問題就是在上恒成立時,求實數(shù)的取值范圍,為此只需,即, 解得,所以所求實數(shù)的取值范圍是0,1.2、(根分布與線性規(guī)劃例子)(1)已知函數(shù)() 若函數(shù)在時有極值且在函數(shù)圖象上的點處的切線與直線平行, 求的解析式;() 當在取得極大值且在取得

11、極小值時, 設(shè)點所在平面區(qū)域為S, 經(jīng)過原點的直線L將S分為面積比為1:3的兩部分, 求直線L的方程.解: (). 由, 函數(shù)在時有極值 , 又 在處的切線與直線平行, 故 . 7分 () 解法一: 由 及在取得極大值且在取得極小值, 即 令, 則 故點所在平面區(qū)域S為如圖ABC, 易得, , , , , 同時DE為ABC的中位線, 所求一條直線L的方程為: 另一種情況設(shè)不垂直于x軸的直線L也將S分為面積比為1:3的兩部分, 設(shè)直線L方程為,它與AC,BC分別交于F、G, 則 , 由 得點F的橫坐標為: 由 得點G的橫坐標為: 即 解得: 或 (舍去) 故這時直線方程為: 綜上,所求直線方程為

12、: 或 .12分() 解法二: 由 及在取得極大值且在取得極小值, 即 令, 則 故點所在平面區(qū)域S為如圖ABC, 易得, , , , , 同時DE為ABC的中位線, 所求一條直線L的方程為: 另一種情況由于直線BO方程為: , 設(shè)直線BO與AC交于H , 由 得直線L與AC交點為: , , 所求直線方程為: 或 3、(根的個數(shù)問題)已知函數(shù)的圖象如圖所示。()求的值;()若函數(shù)的圖象在點處的切線方程為,求函數(shù)f ( x )的解析式;()若方程有三個不同的根,求實數(shù)a的取值范圍。解:由題知:()由圖可知函數(shù)f ( x )的圖像過點( 0 , 3 ),且= 0得 ()依題意= 3 且f ( 2

13、) = 5解得a = 1 , b = 6 所以f ( x ) = x3 6x2 + 9x + 3()依題意f ( x ) = ax3 + bx2 ( 3a + 2b )x + 3 ( a0 )= 3ax2 + 2bx 3a 2b 由= 0b = 9a 若方程f ( x ) = 8a有三個不同的根,當且僅當 滿足f ( 5 )8af ( 1 ) 由 得 25a + 38a7a + 3a3 所以 當a3時,方程f ( x ) = 8a有三個不同的根。 12分4、(根的個數(shù)問題)已知函數(shù) (1)若函數(shù)在處取得極值,且,求的值及的單調(diào)區(qū)間; (2)若,討論曲線與的交點個數(shù) 解:(1)2分令得令得的單調(diào)遞增區(qū)間為,單調(diào)遞減區(qū)間為5分(2)由題得即令6分令得或7分當即時此時,有一個交點;9分當即時, ,當即時,有一個交點;當即時,有兩個交點; 當時,有一個交點13分綜上可知,當或時,有一個交點; 當時,有兩個交點14分12

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