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1、
作業(yè)5:函數(shù)的奇偶性及周期性
參考時(shí)量:60分鐘 完成時(shí)間: 月 日
一、選擇題
1、函數(shù)為奇函數(shù),且當(dāng)時(shí),,則
(A) (B) 0 (C) 1 (D) 2
【答案】A
2、定義在上的函數(shù)滿(mǎn)足.當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),。則f1+f2+f3+?+f2015=( B )
(A)335 (B)336 (C)3381678 (D)2012
3、設(shè)是定義在上且周期為2的函數(shù),在區(qū)間上,其中.若,則的值為( A )
A:-10 B
2、:10 C:2 D:-2
【答案】A
【解析】∵是定義在上且周期為2的函數(shù),∴,即①。
又∵,,
∴②。
聯(lián)立①②,解得,?!?。
4、設(shè)f(x)是偶函數(shù),且當(dāng)x>0時(shí)是單調(diào)函數(shù),則滿(mǎn)足f(2x)=f()的所有x之和為( C )
A.- B.- C.-8 D.8
解析:∵f(x)是偶函數(shù),f(2x)=f() ∴f(|2x|)=f(||)
又∵f(x)在(0,+∞)上為單調(diào)函數(shù), ∴|2x|=||,
即2x=或2x=- 整理得2x2+7x-1=0或2x2+9x+
3、1=0
設(shè)方程2x2+7x-1=0的兩根為x1,x2,方程2x2+9x+1=0的兩根為x3,x4.
則(x1+x2)+(x3+x2)=-+(-)=-8.
答案:C
5、已知函數(shù)f(x)是R上的偶函數(shù),g(x)是R上的奇函數(shù),且g(x)=f(x-1),若f(0)=2,則f(2012)的值為( A)
A.2 B.0 C.-2 D.2
解析:由g(x)=f(x-1) ①
g(-x)=f(-x-1), 即-g(x)=f(x+1) ?、?
① +②得f(x+1)+f(x-1)=0 ∴f(x+1)=-f(x-1)
即f(x+2)=-f(x) f(
4、x+4)=-f(x+2)=f(x)
則f(x)是以4為周期的周期函數(shù) f(2 012)=f(0)=2.
答案:A
6、已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù),當(dāng)時(shí),,若,,則實(shí)數(shù)的取值范圍為( B )
A. B. C. D.
二、填空題
7、設(shè)是定義在R上的周期為2的函數(shù),當(dāng)時(shí),,則 1 .
8、定義在實(shí)數(shù)集上的偶函數(shù)f(x)滿(mǎn)足f(x+2)=f(x),且f(x)在[-3,-2]上單調(diào)遞減,又α,β是銳角三角形的兩內(nèi)角,則f(sin α)與f(cos β)的大小關(guān)系是________.
f(sin α)>f(cos
5、 β)
9、已知是定義在上的奇函數(shù).當(dāng)時(shí),,則不等式的解集用區(qū)間表示為_(kāi)__________.
【答案】
10、設(shè)為實(shí)常數(shù),是定義在R上的奇函數(shù),當(dāng)時(shí),,若對(duì)一切成立,則的取值范圍為_(kāi)_______
【答案】.
三、解答題
11、知函數(shù)的定義在上函數(shù),對(duì)定義域內(nèi)的任意都有,且當(dāng)時(shí),
(1)求證:是偶函數(shù) ;(2)在是增函數(shù);(3)解不等式
11【解析】
12、定義在[-1,1]上的奇函數(shù)f(x),已知當(dāng)x∈[-1,0]時(shí),f(x)=-(a∈R).
(1)寫(xiě)出f(x)在[0,1]上的解析式;
(2)求f(x)在[0,1]上的最大值;
(3)若f(x)是[0,1
6、]上的增函數(shù),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
解:(1)設(shè)x∈[0,1],則-x∈[-1,0], f(-x)=-=4x-a2x,
∴f(x)=a2x-4x,x∈[0,1].
(2)∵f(x)=a2x-4x,x∈[0,1], 令t=2x,t∈[1,2], ∴g(t)=at-t2=-(t-)2+.
當(dāng)≤1, 即a≤2時(shí),g(t)max=g(1)=a-1;
當(dāng)1<<2, 即2
7、-4.
(3)因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在[0,1]上是增函數(shù),
所以f′(x)=aln22x-ln44x=2xln2(a-22x)≥0恒成立,
即a-22x≥0恒成立,a≥22x恒成立.
∵2x∈[1,2], ∴a≥4.
13、定義在R上的增函數(shù)y=f(x)對(duì)任意x,y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y).
(1)求f(0);
(2)求證:f(x)為奇函數(shù);
(3)若f(k3x)+f(3x-9x-2)<0對(duì)任意x∈R恒成立,求實(shí)數(shù)k的取值范圍.
解答:(1)令x=y(tǒng)=0,得f(0+0)=f(0)+f(0),即f(0)=0.
(2)證明:令y=-x,得f(x-x)=f
8、(x)+f(-x),又f(0)=0,
則有0=f(x)+f(-x).即f(-x)=-f(x)對(duì)任意x∈R成立,
所以f(x)是奇函數(shù).
(3)因?yàn)閒(x)在R上是增函數(shù),又由(2)知f(x)是奇函數(shù).
f(k3x)<-f(3x-9x-2)=f(-3x+9x+2),
所以k3x<-3x+9x+2,
法一:32x-(1+k)3x+2>0對(duì)任意x∈R成立.
令t=3x>0,問(wèn)題等價(jià)于t2-(1+k)t+2>0對(duì)任意t>0恒成立.
令f(t)=t2-(1+k)t+2,其對(duì)稱(chēng)軸為x=,
當(dāng)<0即k<-1時(shí),f(0)=2>0,符合題意;
當(dāng)≥0即k≥-1時(shí),對(duì)任意t>0,f(t
9、)>0恒成立
?
解得-1≤k<-1+2.綜上所述,當(dāng)k<-1+2時(shí),
f(k3x)+f(3x-9x-2)<0對(duì)任意x∈R恒成立.
法二:由k3x<-3x+9x+2,得k<3x+-1.
u=3x+-1≥2-1,即u的最小值為2-1,
要使對(duì)x∈R不等式k<3x+-1恒成立, 只要使k<2-1.
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