應(yīng)用隨機(jī)過程 期末復(fù)習(xí)資料

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1、第一章 隨機(jī)過程的基本概念一、隨機(jī)過程的定義例1:醫(yī)院登記新生兒性別,0表示男,1表示女,Xn表示第n次登記的數(shù)字,得到一個(gè)序列X1 , X2 , ,記為Xn,n=1,2, ,則Xn 是隨機(jī)變量,而Xn,n=1,2, 是隨機(jī)過程。例2:在地震預(yù)報(bào)中,若每半年統(tǒng)計(jì)一次發(fā)生在某區(qū)域的地震的最大震級(jí)。令Xn 表示第n次統(tǒng)計(jì)所得的值,則Xn 是隨機(jī)變量。為了預(yù)測該區(qū)域未來地震的強(qiáng)度,我們就要研究隨機(jī)過程Xn,n=1,2, 的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性。例3:一個(gè)醉漢在路上行走,以概率p前進(jìn)一步,以概率1-p后退一步(假設(shè)步長相同)。以X(t)記他t時(shí)刻在路上的位置,則X(t), t0就是(直線上的)隨機(jī)游動(dòng)。例4:乘

2、客到火車站買票,當(dāng)所有售票窗口都在忙碌時(shí),來到的乘客就要排隊(duì)等候。乘客的到來和每個(gè)乘客所需的服務(wù)時(shí)間都是隨機(jī)的,所以如果用X(t)表示t時(shí)刻的隊(duì)長,用Y(t)表示t時(shí)刻到來的顧客所需等待的時(shí)間,則X(t), tT和Y(t), tT都是隨機(jī)過程。定義:設(shè)給定參數(shù)集合T,若對(duì)每個(gè)tT, X(t)是概率空間上的隨機(jī)變量,則稱X(t), tT為隨機(jī)過程,其中T為指標(biāo)集或參數(shù)集。,E稱為狀態(tài)空間,即X(t)的所有可能狀態(tài)構(gòu)成的集合。例1:E為0,1例2:E為0, 10例3:E為例4:E都為注:(1)根據(jù)狀態(tài)空間E的不同,過程可分為連續(xù)狀態(tài)和離散狀態(tài),例1,例3為離散狀態(tài),其他為連續(xù)狀態(tài)。(2)參數(shù)集T通

3、常代表時(shí)間,當(dāng)T取R, R+, a,b時(shí),稱X(t), tT為連續(xù)參數(shù)的隨機(jī)過程;當(dāng)T取Z, Z+時(shí),稱X(t), tT為離散參數(shù)的隨機(jī)過程。(3)例1為離散狀態(tài)離散參數(shù)的隨機(jī)過程,例2為連續(xù)狀態(tài)離散參數(shù)的隨機(jī)過程,例3為離散狀態(tài)連續(xù)參數(shù)的隨機(jī)過程,例4為連續(xù)狀態(tài)連續(xù)參數(shù)的隨機(jī)過程。二、有限維分布與Kolmogorov定理隨機(jī)過程的一維分布:隨機(jī)過程的二維分布:隨機(jī)過程的n維分布:1、有限維分布族:隨機(jī)過程的所有一維分布,二維分布,n維分布等的全體稱為X(t), tT的有限維分布族。2、有限維分布族的性質(zhì):(1)對(duì)稱性:對(duì)(1,2,n)的任一排列,有 (2)相容性:對(duì)于mn,有3、Kolmog

4、orov定理定理:設(shè)分布函數(shù)族滿足上述的對(duì)稱性和相容性,則必存在一個(gè)隨機(jī)過程X(t), tT,使恰好是X(t), tT的有限維分布族。定義:設(shè)X(t), tT是一隨機(jī)過程:(1) 稱X(t)的期望(如果存在)為過程的均值函數(shù)。(2) 如果,存在,則稱隨機(jī)過程X(t), tT為二階矩過程。此時(shí),稱函數(shù),為過程的協(xié)方差函數(shù);稱為過程的方差函數(shù);稱為自相關(guān)函數(shù)。例:,其中和V是相互獨(dú)立的且均服從N(0,1)分布的隨機(jī)變量,求和。三、隨機(jī)過程的基本類型獨(dú)立增量過程:如果對(duì)任意隨機(jī)變量 是相互獨(dú)立的,則稱X(t), tT是獨(dú)立增量過程。平穩(wěn)增量過程:如果對(duì)任意,有X(t1+h)-X(t1) X(t2+h

5、)-X(t2),則稱X(t), tT是平穩(wěn)增量過程。平穩(wěn)獨(dú)立增量過程:兼有獨(dú)立增量和平穩(wěn)增量的過程稱為平穩(wěn)獨(dú)立增量過程,例如Poisson過程和Brownian motionPoisson 過程2.1 Poisson 過程1. 計(jì)數(shù)過程定義:隨機(jī)過程稱為計(jì)數(shù)過程,如果表示從0到t時(shí)刻某一特定事件A發(fā)生的次數(shù),它具備以下兩個(gè)特點(diǎn):(1)且取值為整數(shù);(2)時(shí),且表示時(shí)間內(nèi)事件A發(fā)生的次數(shù)。2. Poisson過程定義2.1.1:計(jì)數(shù)過程稱為參數(shù)為()的Poisson過程,如果(1)(2)過程具有獨(dú)立增量性;(3)在任一長度為t的時(shí)間區(qū)間中事件發(fā)生的次數(shù)服從均值為的Poisson分布,即對(duì)一切,有

6、 注:Poisson過程具有平穩(wěn)增量性因?yàn)榈姆植贾灰蕾囉趖, 與區(qū)間起點(diǎn)s無關(guān), 于是可認(rèn)為是單位時(shí)間內(nèi)發(fā)生的事件的平均次數(shù),一般稱是Poisson過程的強(qiáng)度。例2.1.1:(Poisson過程在排隊(duì)論中的應(yīng)用)研究隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)中的排隊(duì)現(xiàn)象時(shí),經(jīng)常用到Poisson過程模型。例如:到達(dá)電話總機(jī)的呼叫數(shù)目,到達(dá)某服務(wù)設(shè)施(商場、車站、購票處等)的顧客數(shù),都可以用Poisson過程來描述。以某火車站售票處為例,設(shè)從早上8:00開始,此售票處連續(xù)售票,乘客以10人/小時(shí)的平均速率到達(dá),則9:00-10:00這一小時(shí)內(nèi)最多有5名乘客來此購票的概率是多少?10:00-11:00沒有人來買票的概率是多少?

7、解:我們用一個(gè)Poisson過程來描述,設(shè)8:00為時(shí)刻0,則9:00為時(shí)刻1,參數(shù),于是, 例2.1.2:(事故發(fā)生次數(shù)及保險(xiǎn)公司接到的索賠數(shù))若以表示某公路交叉口、礦山、工廠等場所在時(shí)間內(nèi)發(fā)生不幸事故的數(shù)目,則Poisson過程就是的一種很好近似。例如,保險(xiǎn)公司接到賠償請(qǐng)求的次數(shù)(設(shè)一次事故導(dǎo)致一次索賠),向315臺(tái)的投訴(設(shè)商品出現(xiàn)質(zhì)量問題為事故)等都是可以用Poisson過程的模型。我們考慮一種最簡單的情形,設(shè)保險(xiǎn)公司每次的賠付都是1,每月平均接到索賠要求4次,則一年中它要付出的金額平均為多少?解:設(shè)一年開始時(shí)刻為0,1月末為時(shí)刻1,年末為時(shí)刻12,則有=48問題:為什么實(shí)際中有這么多

8、現(xiàn)象可以用Poisson過程來反映呢?定理2.1.1:定義1和定義2是等價(jià)的。例2.1.3:事件A的發(fā)生形成強(qiáng)度為的Poisson過程,如果每次事件發(fā)生時(shí)以概率p能夠被記錄下來,并以M(t)表示到時(shí)刻t被記錄下來的事件總數(shù),則是一個(gè)強(qiáng)度為的Poisson過程。例2.1.4:若每條蠶的產(chǎn)卵數(shù)服從Poisson分布,強(qiáng)度為,而每個(gè)卵變?yōu)槌上x的概率為p,且每個(gè)卵是否變?yōu)槌上x彼此間沒有關(guān)系,求在時(shí)間0, t內(nèi)每條蠶養(yǎng)活k只小蠶的概率。2.2 與Poisson過程相聯(lián)系的若干分布設(shè)表示第n次事件發(fā)生的時(shí)刻,n=1,2,規(guī)定。表示第n次與第n-1次事件發(fā)生的間隔時(shí)間,n=1,2,。1. 關(guān)于和的分布定理2

9、.2.1:(n=1,2,)服從參數(shù)為的指數(shù)分布,且相互獨(dú)立。定理2.2.2:(n=1,2,)服從參數(shù)為n和的分布。注:如果每次事件發(fā)生的時(shí)間間隔相互獨(dú)立,且服從同一參數(shù)為的指數(shù)分布,則計(jì)數(shù)過程是參數(shù)為的Poisson過程。例2.2.1:設(shè)從早上8:00開始有無窮多的人排隊(duì)等候服務(wù),只有一名服務(wù)員,且每個(gè)人接受服務(wù)的時(shí)間是獨(dú)立的并服從均值為20min的指數(shù)分布,則到中午12:00為止平均有多少人已經(jīng)離去,已有9個(gè)人接受服務(wù)的概率是多少?例2.2.2:假設(shè)某天文臺(tái)觀測到的流星流是一個(gè)Poisson過程,根據(jù)以往資料統(tǒng)計(jì)為每小時(shí)平均觀察到3顆流星。試求:上午8:00-12:00期間,該天文臺(tái)沒有觀察

10、到流星的概率。2. 事件發(fā)生時(shí)刻的條件分布對(duì)于,有現(xiàn)在考慮的情況:定理2.2.1:在已知的條件下,事件發(fā)生的n個(gè)時(shí)刻的聯(lián)合分布密度是, 例2.2.3:乘客按照強(qiáng)度為的Poisson過程來到某火車站,火車在時(shí)刻t啟程,計(jì)算在內(nèi)到達(dá)的乘客等待時(shí)間的總和的期望值。即要求,其中是第i個(gè)乘客來到的時(shí)刻。2.3 Poisson過程的推廣1. 非齊次Poisson過程定義2.3.1:計(jì)數(shù)過程稱作強(qiáng)度函數(shù)為的非齊次Poisson過程,如果等價(jià)定義:定義2.3.2:計(jì)數(shù)過程稱作強(qiáng)度函數(shù)為的非齊次Poisson過程, 若(1)(2)具有獨(dú)立增量性;(3)即任意實(shí)數(shù),為具有參數(shù)的Poisson分布,稱為非齊次Poi

11、sson過程的均值函數(shù)(或累積強(qiáng)度函數(shù))。定理2.3.1:設(shè)是一個(gè)強(qiáng)度函數(shù)為的非齊次Poisson過程。對(duì)任意的,令 則是一個(gè)強(qiáng)度為1的Poisson過程。例2.3.1:設(shè)某設(shè)備的使用期限為10年,在前5年內(nèi)它平均2.5年需要維修一次,后5年平均2年需維修一次。試求它在試用期內(nèi)只維修過一次的概率。2 復(fù)合Poisson過程定義2.3.3:稱隨機(jī)過程為復(fù)合Poisson過程,如果對(duì)于,它可以表示為:,其中是一個(gè)Poisson過程,是一族獨(dú)立 同分布的隨機(jī)變量,并且與獨(dú)立。注:復(fù)合Poisson過程不一定是計(jì)數(shù)過程。例2.3.2:保險(xiǎn)公司接到的索賠次數(shù)服從一個(gè)Poisson過程,每次要求賠付的金額

12、都相互獨(dú)立,且有相同分布F,每次的索賠數(shù)額與它發(fā)生的時(shí)刻無關(guān),則時(shí)間內(nèi)保險(xiǎn)公司需要賠付的總金額就是一個(gè)復(fù)合Poisson過程,其中。例2.3.3:設(shè)顧客到達(dá)某服務(wù)系統(tǒng)的時(shí)刻,形成一強(qiáng)度為的Poisson過程,在每個(gè)時(shí)刻,可以同時(shí)有多名顧客到達(dá)。表示在時(shí)刻到達(dá)的顧客人數(shù),假定相互獨(dú)立,并且與也獨(dú)立,則在時(shí)間內(nèi)到達(dá)服務(wù)系統(tǒng)的顧客總?cè)藬?shù)可用一復(fù)合Poisson過程來描述。例2.3.4:假定顧客按照參數(shù)為的Poisson過程進(jìn)人一個(gè)商店,又假設(shè)各顧客所花的錢數(shù)形成一族獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量。以記到時(shí)間t為止顧客在此商店所花費(fèi)的總值,易見是一個(gè)復(fù)合Poisson過程。定理2.3.2:設(shè),是一復(fù)合Poiss

13、on過程,Poisson過程的強(qiáng)度為,則(1)有獨(dú)立增量;(2)若,則 ,例2.3.5:在保險(xiǎn)中的索賠模型中,設(shè)索賠要求以Poisson過程到達(dá)保險(xiǎn)公司,速率為平均每月兩次。每次索賠服從均值為10000元的正態(tài)分布,則一年中保險(xiǎn)公司平均的賠付額是多少?例2.3.6:設(shè)顧客以每分鐘6人的平均速率進(jìn)入某商場,這一過程可用用Poisson過程來描述。又該進(jìn)入該商場的每位顧客買東西的概率為0.9,且每位顧客是否買東西互不影響,也與進(jìn)入該商場的顧客數(shù)無關(guān)。求一天(12小時(shí))在該商場買東西的顧客數(shù)的均值。3條件Poisson過程定義2.3.4:設(shè)隨機(jī)變量,在的條件下,計(jì)數(shù)過程是參數(shù)為的Poisson過程,

14、則稱為條件Poisson過程。定理2.3.3:設(shè)是條件Poisson過程,且,則(1);(2)例2.3.7:設(shè)意外事故的發(fā)生頻率受某種未知因素影響有兩種可能,且 ,為已知。已知到時(shí)刻t已發(fā)生了n次事故。求下一次事故在t+s之前不會(huì)到來的概率。另外,這個(gè)發(fā)生頻率為的概率是多少?第三章 Markov 鏈3.1 基本概念定義3.1.1:隨機(jī)過程稱為Markov鏈,若它只取有限或可列個(gè)值(常用非負(fù)整數(shù)集來表示),并且對(duì)任意的,及任意狀態(tài),有=,其中表示過程在時(shí)刻n處于狀態(tài),稱為該過程的狀態(tài)空間,記為. 上式刻畫了Markov鏈的特性,稱為Markov性。定義3.1.2:稱條件概率為Markov鏈的一步

15、轉(zhuǎn)移概率,簡稱轉(zhuǎn)移概率,記為,它代表處于狀態(tài)的過程下一步轉(zhuǎn)移到狀態(tài)的概率。定義3.1.3:當(dāng)Markov鏈的轉(zhuǎn)移概率=只與狀態(tài)有關(guān),而與n無關(guān)時(shí),稱之為時(shí)齊Markov鏈;否則,就稱之為非時(shí)齊的。注:我們只討論時(shí)齊Markov鏈,簡稱Markov鏈。定義3.1.4:當(dāng)Markov鏈的狀態(tài)為有限時(shí),稱為有限鏈,否則稱為無限連。但無論狀態(tài)有限還是無限,我們都可以將()排成一個(gè)矩陣的形式,令P=()=為轉(zhuǎn)移概率矩陣,簡稱轉(zhuǎn)移矩陣。容易看出()具有性質(zhì):(1),;(2)=1,。例3.1.1:考慮一個(gè)包含三個(gè)狀態(tài)的模型,若個(gè)體健康,認(rèn)為他處于狀態(tài),若他患病,認(rèn)為他處于狀態(tài),若他死亡,認(rèn)為他處于狀態(tài),易見

16、這是一個(gè)Markov鏈,轉(zhuǎn)移矩陣為P=例3.1.2:(賭徒的破產(chǎn)或稱帶吸收壁的隨機(jī)游動(dòng))系統(tǒng)的狀態(tài)時(shí),反映賭博者在賭博期間擁有的錢數(shù),當(dāng)他輸光或擁有錢數(shù)為n時(shí),賭博停止,否則他將持續(xù)賭博。每次以概率p贏得1,以概率q=1-p輸?shù)?。這個(gè)系統(tǒng)的轉(zhuǎn)移矩陣為P=例3.1.3:(帶反射壁的隨機(jī)游動(dòng))設(shè)上例中當(dāng)賭博者輸光時(shí)將獲得贊助1繼續(xù)賭下去,就如同一個(gè)在直線上做隨機(jī)游動(dòng)的球在到達(dá)左側(cè)0點(diǎn)處立刻反彈回一樣,這就是一個(gè)一側(cè)帶有反射壁的隨機(jī)游動(dòng),此時(shí)轉(zhuǎn)移矩陣為:P=例3.1.4:(自由隨機(jī)游動(dòng))設(shè)一個(gè)球在全直線上做無限制的隨機(jī)游動(dòng),它的狀態(tài)為0,它是一個(gè)Markov鏈,轉(zhuǎn)移矩陣為:P=練習(xí):設(shè)有一只螞蟻在

17、圖上爬行,當(dāng)兩個(gè)節(jié)點(diǎn)相鄰時(shí),螞蟻將爬向它鄰近的一點(diǎn),并且爬向任何一個(gè)鄰近節(jié)點(diǎn)的概率是相同的,求轉(zhuǎn)移矩陣。2 n步轉(zhuǎn)移概率, C-K方程定義3.1.5:稱條件概率,為Markov鏈的n步轉(zhuǎn)移概率,相應(yīng)地稱為n步轉(zhuǎn)移矩陣。規(guī)定:問題:和是什么關(guān)系?定理3.1.1:Chapman-Kolmogorov方程,簡稱C-K方程對(duì)一切有(1)(2)證明:例3.1.5:(賭徒的破產(chǎn)或稱帶吸收壁的隨機(jī)游動(dòng))系統(tǒng)的狀態(tài)時(shí),反映賭博者在賭博期間擁有的錢數(shù),當(dāng)他輸光或擁有錢數(shù)為n時(shí),賭博停止,否則他將持續(xù)賭博。每次以概率p贏得1,以概率q=1-p輸?shù)?。設(shè),賭博者從2元賭金開始賭博,求他經(jīng)過4次賭博之后輸光的概率。例

18、3.1.6:甲乙兩人進(jìn)行某種比賽,設(shè)每局甲勝的概率是p。乙勝的概率是q,和局的概率是r,。設(shè)每局比賽后,勝者記“+1”分,負(fù)者記“-1”分,和局不計(jì)分,且當(dāng)兩人中有一人獲得2分時(shí)比賽結(jié)束。以表示比賽至第n局時(shí)甲獲得的分?jǐn)?shù),則為時(shí)齊Markov鏈,求甲獲得1分的情況下,不超過兩局可結(jié)束比賽的概率。例3.1.7:質(zhì)點(diǎn)在數(shù)軸上的點(diǎn)集上做隨機(jī)游動(dòng),質(zhì)點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)-2后,以概率1停留在原處;到達(dá)點(diǎn)2后,以概率1向左移動(dòng)一點(diǎn);到達(dá)其他點(diǎn)后,分別以概率向左、右移動(dòng)一點(diǎn),以概率停留在原處。試求在已知該質(zhì)點(diǎn)處于狀態(tài)0的條件下,經(jīng)3步轉(zhuǎn)移后仍處于狀態(tài)0的概率。例3.1.8:(廣告效益的推算)某種啤酒A的廣告改變了廣告

19、方式,經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)買A種啤酒及另外三種啤酒B, C,D的顧客每兩個(gè)月的平均轉(zhuǎn)換率如下(設(shè)市場中只有這四種啤酒):假設(shè)目前購買A,B, C,D四種啤酒的顧客的分布為(25%,30%,35%,10%),試求半年后啤酒A的市場份額。3.2 狀態(tài)的分類及性質(zhì)定義3.2.1:若存在使得,稱狀態(tài)可達(dá)狀態(tài),記為。若同時(shí)有,則稱與互通,記為。定理3.2.1:互通是一種等價(jià)關(guān)系,即滿足:(1) 自反性:;(2) 對(duì)稱性:,則(3) 傳遞性:,則證明:定義3.2.2:把任何兩個(gè)互通狀態(tài)歸為一類,若Markov鏈只存在一個(gè)類,就稱它是不可約的;否則稱為可約的。例3.2.1:在例3.1.1中考三個(gè)狀態(tài):健康狀態(tài),患病狀

20、態(tài),死亡狀態(tài),可分為幾個(gè)類?定義3.2.3:若集合非空,則稱它的最大公約數(shù)為狀態(tài)的周期。若,稱是周期的。若,稱是非周期的。規(guī)定,上述集合為空集時(shí),稱的周期為無窮大。注:(1)雖然有周期但并不是對(duì)所有的n,都大于0。請(qǐng)舉出反例:(2)雖然有周期但可能,舉出反例:定理3.2.2:若狀態(tài)同屬一類,則。證明:定義3.2.4:對(duì)于任何狀態(tài),以記從出發(fā)經(jīng)n步后首次到達(dá)的概率,則有令,如果,稱狀態(tài)為常返狀態(tài);如果,稱狀態(tài)為非常返狀態(tài)。問題:的含義是什么?定義3.2.4:(1)對(duì)于常返狀態(tài),定義,可以知道表示的是由出發(fā)再返回到所需的平均步數(shù)(時(shí)間)。(2)對(duì)于常返狀態(tài),若,則稱為正常返狀態(tài);若,則稱為零常返狀

21、態(tài)。(3)若為正常返狀態(tài),且是非周期的,則稱之為遍歷狀態(tài)。若是遍歷狀態(tài),且,則稱為吸收狀態(tài),此時(shí)顯然。例3.2.3:設(shè)Markov鏈的狀態(tài)空間為,其一步轉(zhuǎn)移概率矩陣為:試將狀態(tài)進(jìn)行分類。定理3.2.3:狀態(tài)為常返的當(dāng)且僅當(dāng);狀態(tài)為非常返狀態(tài)時(shí),有。引理3.2.1:對(duì)任意狀態(tài)及,有。引理3.2.2:若且為常返狀態(tài),則。定理3.2.4:常返性是一個(gè)類性質(zhì)。例3.2.4:設(shè)Markov鏈的狀態(tài)空間為,轉(zhuǎn)移概率為,考慮各個(gè)狀態(tài)的性質(zhì)。3.3 極限定理與平穩(wěn)分布3.3.1 極限定理例3.3.1 : 設(shè)Markov鏈的轉(zhuǎn)移矩陣為,0p,q1 試求: 例3.3.2:在例3.2.5中令p=,求 若令p= ,求

22、定理3.3.1:(1)若狀態(tài)i是周期為d的常返狀態(tài),則 , (2)若狀態(tài)i是非常返狀態(tài)時(shí),則 推論3.3.1:設(shè)i是常返狀態(tài),則i是零常返狀態(tài) 定理3.3.2:(1)若j是非常返狀態(tài)或零常返狀態(tài),則對(duì) (2)若j為正常返狀態(tài)且周期為d,則 推論3.3.2: 對(duì), 有推論3.3.3:有限狀態(tài)的Markov鏈,不可能全為非常返狀態(tài),也不可能有零常返狀態(tài),從而不可約的有限Markov鏈?zhǔn)钦7档?。推?.3.4:若Markov鏈有一個(gè)零常返狀態(tài),則必有無限個(gè)零常返狀態(tài)。例3.3.3:設(shè)Markov鏈的狀態(tài)空間為E=1, 2 ,3,4, 5,轉(zhuǎn)移矩陣為試確定常返狀態(tài),非常返狀態(tài),并對(duì)常返狀態(tài)i確定其平

23、均回轉(zhuǎn)時(shí)間。3.3.2 平穩(wěn)分布與極限分布定義3.3.1:對(duì)于Markov鏈,概率分布稱為平穩(wěn)分布,若問題:為什么稱之為平穩(wěn)分布?定義3.3.2:(1)稱Markov鏈?zhǔn)潜闅v的,如果所有狀態(tài)相通且均是周期為1的正常返狀態(tài)。 (2)對(duì)于遍歷的Markov鏈,極限 稱為Markov鏈的極限分布。注:定理3.3.3 對(duì)于不可約非周期的Markov鏈:(1)若它是遍歷的,則是平穩(wěn)分布且是唯一的平穩(wěn)分布。(2)若狀態(tài)都是非常返的或全為零常返的,則平穩(wěn)分布不存在。例3.3.4:設(shè)Markov鏈的轉(zhuǎn)移矩陣為求極限分布。例3.3.5:設(shè)有6個(gè)車站,車站中間的公路連接情況如下圖所示:汽車每天可以從一個(gè)車站駛向與

24、之直接相鄰的車站,并在夜晚到達(dá)車站留宿,次日凌晨重復(fù)相同的活動(dòng)。設(shè)每天凌晨汽車開往鄰近的任何一個(gè)車站都是等可能的,試說明很長時(shí)間后,各站每晚留宿的汽車比例趨于穩(wěn)定。求出這個(gè)比例以便正確地設(shè)置各站的服務(wù)規(guī)模。例3.3.6 設(shè)甲袋中有k個(gè)白球和1個(gè)黑球,乙袋中有k+1個(gè)白球,每次從兩袋中各任取一球,交換后放入對(duì)方的袋中。證明經(jīng)過n次交換后,黑球仍在甲袋中的概率滿足例3.3.7 我國某種商品在國外的銷售情況共有連續(xù)24個(gè)季度的數(shù)據(jù)(其中1表示暢銷,2表示滯銷):1,1,2,1, 2,2,1,1,1,2,1,2,1,1,2,2,1,1,2,1,2,1,1,1如果該商品銷售情況近似滿足時(shí)齊次與Marko

25、v性:(1) 試確定銷售狀態(tài)的一步轉(zhuǎn)移概率矩陣。(2) 如果現(xiàn)在是暢銷,試預(yù)測這之后的第四個(gè)季度的銷售狀況。(3) 如果影響銷售的所有因素不變,試預(yù)測長期的銷售狀況。 3.4 Markov鏈的應(yīng)用群體消失模型(分枝過程): 考慮一個(gè)能產(chǎn)生同類后代的個(gè)體組成的群體,每一個(gè)體生命結(jié)束時(shí)以概率產(chǎn)生了j個(gè)新的后代,與別的個(gè)體產(chǎn)生的后代的個(gè)數(shù)相互獨(dú)立。初始個(gè)體數(shù)以表示,稱為第零代的總數(shù);第零代的后代構(gòu)成第一代,其總數(shù)記為,第一代的每個(gè)個(gè)體以同樣的分布產(chǎn)生第二代,一般地,以記第n代的總數(shù)。此Markov鏈稱為分枝過程。假設(shè),則有 其中表示第n-1代的第i個(gè)成員的后代的個(gè)數(shù)。考慮以下幾個(gè)問題:(1) (2)

26、 的意義(3)定理3.4.1: 3.5連續(xù)時(shí)間Markov鏈3.5.1 連續(xù)時(shí)間Markov鏈定義3.5.1:過程的狀態(tài)空間E為離散空間,若對(duì)一切及有成立,則稱是一個(gè)連續(xù)時(shí)間Markov鏈。轉(zhuǎn)移概率 轉(zhuǎn)移概率矩陣 定義3.5.2:稱連續(xù)時(shí)間Markov鏈?zhǔn)菚r(shí)齊的,若與s無關(guān)。簡記,相應(yīng)地記 定理3.5.1:設(shè)是連續(xù)時(shí)間Markov鏈,假定在時(shí)刻0過程剛剛到達(dá)。以記過程在離開i之前在i停留的時(shí)間,則服從指數(shù)分布。說明:構(gòu)造連續(xù)時(shí)間Markov鏈的方法(1)在轉(zhuǎn)移到下一個(gè)狀態(tài)之前處于狀態(tài)i的時(shí)間服從參數(shù)為的指數(shù)分布。(2)在過程離開狀態(tài)i時(shí),將以概率到達(dá)j,且 定義3.5.3 稱一個(gè)連續(xù)時(shí)間Mar

27、kov鏈?zhǔn)钦齽t的,若以概率1在任意有限長的時(shí)間內(nèi)轉(zhuǎn)移的次數(shù)是有限的。例3.5.1(Poisson過程)參數(shù)為的Poisson過程,取值為。由第2章可知,它在任意一個(gè)狀態(tài)i停留的時(shí)間服從指數(shù)分布,并且在離開i時(shí)以概率1轉(zhuǎn)移到i+1,由Poisson過程的獨(dú)立增量性看出它在i停留的時(shí)間與狀態(tài)的轉(zhuǎn)移是獨(dú)立的,從而Poisson過程是時(shí)齊的連續(xù)時(shí)間Markov鏈。例3.5.2(Yule過程)考察生物群體繁殖過程的模型。設(shè)群體中各個(gè)生物體的繁殖是相互獨(dú)立的,強(qiáng)度為的Poisson過程,并且群體中沒有死亡,此過程稱為Yule過程,此過程是一個(gè)連續(xù)時(shí)間Markov鏈。例3.5.3(生滅過程)仍然考慮一個(gè)生物

28、群體的繁殖模型。每個(gè)個(gè)體生育后代如例3.5.2的假定,但是每個(gè)個(gè)體將以指數(shù)速率死亡,這是一個(gè)生滅過程。例3.5.4(M/M/S排隊(duì)系統(tǒng))顧客的來到是參數(shù)為的Poisson過程。服務(wù)人員數(shù)為s個(gè),每個(gè)顧客接受服務(wù)的時(shí)間服從參數(shù)為的指數(shù)分布。遵循先來先服務(wù),若服務(wù)員沒有空閑時(shí)間就排隊(duì)的原則。以記t時(shí)刻系統(tǒng)中的總?cè)藬?shù),則是一個(gè)生滅過程(來到看作出生,離去看作死亡),來到率是服從參數(shù)為的Poisson過程,離去過程的參數(shù)會(huì)發(fā)生變化,以記系統(tǒng)中有n個(gè)顧客時(shí)的離去率,則 3.5.2 Kolmogorov微分方程 定理3.5.2:時(shí)齊連續(xù)時(shí)間Markov鏈的轉(zhuǎn)移概率滿足:(1)(2)(3 連續(xù)時(shí)間Marko

29、v鏈的C-K方程。證明 :定理3.5.3 推論3.5.1:對(duì)有限狀態(tài)時(shí)齊的連續(xù)時(shí)間Markov鏈,有 注:對(duì)于無限狀態(tài)的情況,一般只能得到 定理3.5.4 kolmogorov微分方程對(duì)一切 且,有(1)向后方程 (2)在適當(dāng)?shù)恼齽t條件下,有向前方程 例3.5.5:討論P(yáng)oisson過程的微分方程及轉(zhuǎn)移概率。例3.5.6:類似Poisson過程,給出Yule過程的轉(zhuǎn)移概率。例3.5.7:討論生滅過程的微分方程。第三章練習(xí)題1、設(shè)今日有雨明日也有雨的概率為0.7,今日無雨明日有雨的概率為0.5。求星期一有雨,星期三也有雨的概率。2、設(shè)Markov鏈的狀態(tài)空間為E=1,2,3,4,5,6,其一步轉(zhuǎn)

30、移概率矩陣為試確定狀態(tài)的周期,常返性,并給此Markov鏈分類。3、若,證明:(1) (2)4、 將兩個(gè)紅球、四個(gè)白球分別放入甲乙兩個(gè)盒子中。每次從兩個(gè)盒子中各取一球交換,以 記第n次交換后甲盒中的紅球數(shù)。(1)試說明是一個(gè)Markov鏈并求轉(zhuǎn)移矩陣P(2)試證明是遍歷的。(3)求它的極限分布。5、對(duì)于Yule過程計(jì)算群體總數(shù)從1增長到N的平均時(shí)間。6、考慮有兩個(gè)狀態(tài)的連續(xù)時(shí)間Markov鏈,狀態(tài)為0和1,鏈在離開0到達(dá)1之前在狀態(tài)0停留的時(shí)間服從參數(shù)為的指數(shù)分布,相應(yīng)地在1停留的時(shí)間是參數(shù)為的指數(shù)變量。對(duì)此建立kolmogorov微分方程,并求其解。第四章 更新過程4.1 更新過程的定義及若

31、干分布4.1.1 更新過程的定義事件發(fā)生的時(shí)間間隔是獨(dú)立同分布的非負(fù)隨機(jī)變量,這樣得到的計(jì)數(shù)過程叫做更新過程,其數(shù)學(xué)表達(dá)式如下: 定義4.1.1:設(shè),n=1,2,是一列獨(dú)立同分布的非負(fù)隨機(jī)變量,分布函數(shù)為F(x)設(shè)F(0)=PX=01,記=,則0+。令,n1,T=0。我們把由定義的計(jì)數(shù)過程稱為更新過程。例子:機(jī)器零件的更換。在時(shí)刻0,安裝上一個(gè)新零件并開始運(yùn)行,設(shè)此零件在T時(shí)刻損壞,馬上用一個(gè)新的來替換(假設(shè)替換不需要時(shí)間),則第二個(gè)零件在T時(shí)刻開始運(yùn)行,設(shè)它在T時(shí)刻損壞,同樣馬上換第三個(gè),很自然可以認(rèn)為這些零件的使用壽命是獨(dú)立同分布的,那么到t時(shí)刻為止所更換的零件數(shù)目就構(gòu)成一個(gè)更新過程。說明

32、:(1)在更新過程中事件發(fā)生一次叫做一次更新,X表示第n-1次和第n次更新的間隔時(shí)間,T是第n次更新發(fā)生的時(shí)刻,N(t)就是t時(shí)刻之前發(fā)生的總的更新次數(shù)。 (2)Poisson過程是更新過程。4.1.2 N(t)的分布及EN(t)的一些性質(zhì) 問題一:在有限時(shí)間0,t內(nèi)是否會(huì)發(fā)生無窮多次更新,即N(t)= ?問題二:求N(t)的分布 PN(t)=n問題三:以M(t)記EN(t),求M(t)(M(t)叫做更新函數(shù))。注:M(t)是t的不減函數(shù),且對(duì)0t,M(t) +例4.1.1:考慮一個(gè)時(shí)間離散的更新過程N(yùn),j=1,2,在每個(gè)時(shí)刻獨(dú)立地做Bernoulli試驗(yàn),設(shè)成功的概率為p,失敗的概率為q=1

33、-p。以試驗(yàn)成功作為事件(更新),求此過程的更新函數(shù)M(k)。4.2 更新方程定義 4.2.1: 若的導(dǎo)數(shù)存在,則其導(dǎo)數(shù)稱為更新密度,記為。 由= 知 m(t)=。其中是的密度函數(shù)。定理4.2.1:和分別滿足積分方程 其中。定義4.2.2: (更新方程)稱如下形式的積分方程為更新方程 其中為已知,為分布函數(shù),且當(dāng)0時(shí),均為0。定理4.2.2:設(shè)更新方程中為有界函數(shù),則方程存在唯一的在有限區(qū)間內(nèi)有界的解 其中是的更新函數(shù)。例4.2.1:(Wald等式)設(shè) (i=1,2),證明: 4.3 更新定理定理4.3.1 Feller初等更新定理記,則。若。定義4.3.1(格點(diǎn)分布):若存在,使得,則稱隨機(jī)

34、變量服從格點(diǎn)分布。同時(shí)稱滿足上述條件的最大的為此格點(diǎn)分布的周期。定理4.3.2 Blackwell更新定理 記(1) 若不是格點(diǎn)分布,則對(duì)一切,當(dāng)時(shí),有。(2) 若是格點(diǎn)分布,周期為,則當(dāng)時(shí),有。定理4.3.3 關(guān)鍵更新定理 記,設(shè)函數(shù)滿足:(1)非負(fù)不增;(2) 。 是更新方程的解,那么(1) 若不是格點(diǎn)分布,有(2) 若是格點(diǎn)分布,對(duì)于,有 例4.3.1:某控制器用1節(jié)電池供電,設(shè)電池壽命(=1,2,)服從均值為45小時(shí)的正態(tài)分布,電池失效時(shí)需要去倉庫領(lǐng)取,領(lǐng)取新電池的時(shí)間(=1,2,)服從期望為0.5小時(shí)的均勻分布。求長時(shí)間工作時(shí),控制器更換電池的速率。例4.3.2:設(shè)有一個(gè)單服務(wù)員銀行

35、,顧客到達(dá)可看作速率為的Poisson分布,服務(wù)員為每一位顧客服務(wù)的時(shí)間是,服從均值為的指數(shù)分布。顧客到達(dá)門口只能在服務(wù)員空閑時(shí)才準(zhǔn)進(jìn)來。試求:(1) 顧客進(jìn)銀行的速率.(2) 服務(wù)員工作的時(shí)間所占營業(yè)時(shí)間的比例.例4.3.3:考慮離散時(shí)間的更新過程(n=0,1,2,),在每個(gè)時(shí)間點(diǎn)獨(dú)立地做Bernoulli試驗(yàn),設(shè)試驗(yàn)成功的概率為p,失敗的概率為q=1p,以試驗(yàn)成功作為更新事件,并以記此過程的更新函數(shù),求其更新率例4.3.4:某電話交換臺(tái)的電話呼叫次數(shù)服從平均1分鐘次的Poisson過程,通話時(shí)間,是相互獨(dú)立且服從同一分布的隨機(jī)變量序列,滿足E 0 ,稱為相對(duì)安全負(fù)荷.假定3:調(diào)節(jié)系數(shù)存在唯

36、一性假定首先,要求個(gè)體索賠額的矩母函數(shù)至少在包含原點(diǎn)的某個(gè)鄰域內(nèi)存在;其次,要求方程 存在正解, 記為R.定理4.4.1 若假定1假定3成立,則有(1);(2)Lundberg不等式: , (3)LundbergCramer 近似:存在正常數(shù)C,使得 , . 即 習(xí) 題1、判斷下列命題是否正確:(1) t(2) n t(3) n t2、更新過程的來到間隔服從參數(shù)為的分布。(1)試求的分布;(2)對(duì)更新過程,證明當(dāng)時(shí),有 a.s. , 其中(3)試證 a.s. 3.設(shè),計(jì)算第五章 Brown運(yùn)動(dòng)5.1 基本概念與性質(zhì)定義5.1.1:隨機(jī)過程如果滿足:(1)(2)具有平穩(wěn)獨(dú)立增量(3)對(duì)每個(gè)服從正

37、態(tài)分布則稱為Brown運(yùn)動(dòng),也稱為Wiener過程。常記為或注:如果稱之為標(biāo)準(zhǔn)Brown運(yùn)動(dòng)。如果是標(biāo)準(zhǔn)Brown運(yùn)動(dòng)。性質(zhì)5.1.1:Brown運(yùn)動(dòng)是具有下述性質(zhì)的隨機(jī)過程(1)(正態(tài)增量)(2)(獨(dú)立增量)獨(dú)立于過程的過去狀態(tài)(3)(路徑的連續(xù)性)是t的連續(xù)函數(shù)注:性質(zhì)5.1.1中沒有假定,因此稱之為始于的Brown運(yùn)動(dòng)。也記為。易見例5.1.1:設(shè)是標(biāo)準(zhǔn)Brown運(yùn)動(dòng),計(jì)算和定義5.1.2:Brown運(yùn)動(dòng)的二次變差定義為當(dāng)取遍0,t的分割,且時(shí),依概率收斂意義下的極限下面是Brown運(yùn)動(dòng)的路徑性質(zhì)。從時(shí)刻0到時(shí)刻T對(duì)Brown運(yùn)動(dòng)的一次觀察稱為Brown運(yùn)動(dòng)在區(qū)間0,T上的一個(gè)路徑。Br

38、own運(yùn)動(dòng)的幾乎所有樣本路徑都具有下述性質(zhì)。(1) 是t的連續(xù)函數(shù)(2) 在任意區(qū)間(無論區(qū)間多么?。┥隙疾皇菃握{(diào)的(3) 在任意點(diǎn)都不是可微的(4) 在任意區(qū)間(無論區(qū)間多么?。┥隙际菬o限變差的(5) 對(duì)任意t,在0,t上的二次變差等于t5.2 Gauss過程定義5.2.1:所謂的Gauss過程是指所有有限維分布都是多元正態(tài)分布的隨機(jī)過程。注:本節(jié)的主要目的是證明Brown運(yùn)動(dòng)是特殊的Gauss過程。引理5.2.1 設(shè)是相互獨(dú)立的,則。其中均值,協(xié)方差矩陣定理5.2.1 Brown運(yùn)動(dòng)是均值函數(shù)為m(t)=0,協(xié)方差函數(shù)為的Gauss過程。例5.2.1 設(shè)是Brown運(yùn)動(dòng),求B(1)+B(2

39、)+B(3)+B(4)的分布例5.2.2 求的分布例5.2.3 求概率5.3 Brown運(yùn)動(dòng)的幾種變化5.3.1 Brown橋 (Brown Bridge)定義5.3.1 設(shè)是Brown運(yùn)動(dòng)。令,則稱隨機(jī)過程為Brown橋。 (數(shù)理金融中經(jīng)常用到的過程)注:因?yàn)锽rown運(yùn)動(dòng)是Gauss過程,所以Brown橋也是Gauss過程,其n維分布由均值函數(shù)和協(xié)方差函數(shù)完全確定。且對(duì),有5.3.2 有吸收值的Brown運(yùn)動(dòng)設(shè)為Brown運(yùn)動(dòng)首次擊中的時(shí)刻,令則是擊中后,永遠(yuǎn)停留在的Brown運(yùn)動(dòng)。5.3.3 在原點(diǎn)反射的Brown運(yùn)動(dòng)由定義的過程稱為在原點(diǎn)反射的Brown運(yùn)動(dòng)。它的概率分布為:5.3.4

40、 幾何Brown運(yùn)動(dòng)由定義的過程稱為幾何Brown運(yùn)動(dòng)例5.3.1 (股票期權(quán)的價(jià)值)設(shè)某人擁有某種股票的交割時(shí)刻為T,交割價(jià)格為K的歐式看漲期權(quán),即他具有在時(shí)刻T以固定的價(jià)格K購買一股這種股票的權(quán)利。假設(shè)這種股票目前的價(jià)格為y,并按照幾何Brown運(yùn)動(dòng)變化,我們計(jì)算擁有這個(gè)期權(quán)的平均價(jià)值。5.3.5 有漂移的Brown運(yùn)動(dòng)設(shè)B(t)是標(biāo)準(zhǔn)Brown運(yùn)動(dòng),我們稱為漂移的Brown運(yùn)動(dòng),其中常數(shù)稱為漂移系數(shù)。例5.3.2 (行使股票期權(quán))假設(shè)某人有在將來某個(gè)時(shí)刻以固定價(jià)格A購買一股股票的期權(quán),與現(xiàn)在的市價(jià)無關(guān)。不妨取現(xiàn)在的市價(jià)為0,并假定其變化遵循有負(fù)漂移系數(shù)的Brown運(yùn)動(dòng)。問在什么時(shí)候行使期權(quán)?習(xí)題:1、設(shè)為標(biāo)準(zhǔn)Brown運(yùn)動(dòng),驗(yàn)證是Brown橋。2、設(shè)為標(biāo)準(zhǔn)Brown運(yùn)動(dòng),計(jì)算條件概率,問事件與是否獨(dú)立?3、設(shè)、為相互獨(dú)立的標(biāo)準(zhǔn)Brown運(yùn)動(dòng),試證是Brown運(yùn)動(dòng)。55

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