【狀元之路】2012屆高中數(shù)學(xué) 1集合與簡易邏輯單元測評 文 大綱人教版

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1、 單元測評(一) 測試內(nèi)容：集合與簡易邏輯　測試時間：120分鐘　試卷滿分：150分 一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分． 1．已知集合P＝{x|x2＝1}，集合Q＝{x|ax＝1}，若P∩Q＝Q，則a的值是(　　) A．1　　　　　　　　　　　 B．－1 C．1或－1 D．0,1或－1 解析：由x2＝1，得x＝1，所以P＝{－1,1}． 由P∩Q＝Q，則有Q?P. 分Q＝?和Q≠?兩種情況討論． 若Q＝?，則a＝0； 若Q≠?，則a≠0，Q＝{x|x＝}，所以a＝－1或1. 綜上，可知a的值為0,1或－1. 答案：D 2．“x＝”是“函數(shù)y＝s

2、in2x取得最大值”的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 解析：當(dāng)x＝時，函數(shù)y＝sin2x＝sin＝1取得最大值；反過來，當(dāng)函數(shù)y＝sin2x取得最大值時，不能推出x＝，如x＝時，函數(shù)y＝sin2x也可取得最大值．綜上所述，“x＝”是“函數(shù)y＝sin2x取得最大值”的充分不必要條件． 答案：A 3．已知集合A＝{x||x－3|＜a，a＞0}，集合B＝{x|x2－2x－8≥0}，若A∪B＝R，則實a的取值范圍是(　　) A．a(chǎn)≥1 B．a(chǎn)≥5 C．a(chǎn)＞5 D．1≤a≤5 解析：由題意，可得A＝{x|3－a＜x

3、＜3＋a}，B＝{x|x≤－2，或x≥4}．由A∪B＝R，畫數(shù)軸分析，可得即所以a≥5. 答案：B 4．設(shè)集合A＝{x|x＝，n∈Z} ，B＝{x|x＝nπ＋，n∈Z}，下列圖中能表示A，B關(guān)系的是(　　) 解析：∵A＝{x|x＝，n∈Z}＝{x|x＝n，n∈Z}，B＝{x|x＝nπ＋，n∈Z}＝{x|x＝(2n＋1)，n∈Z}， ∴BA.故選D. 答案：D 5．已知命題p：函數(shù)y＝loga(ax＋2a)(a>0，a≠1)的圖像必過定點(－1,1)；命題q：若函數(shù)y＝f(x－2)的圖像關(guān)于y軸對稱，則函數(shù)f(x)關(guān)于直線x＝2對稱．那么(　　) A．“p且q”為真　　　　　

4、 B．“p或q”為假 C．p真q假 D．p假q真 解析：命題p：函數(shù)y＝loga[a(x＋2)]＝loga(x＋2)＋1，函數(shù)y＝loga(x＋2)過定點(－1,0)，從而函數(shù)y＝loga(x＋2)＋1過定點(－1,1)，所以命題p為真命題；命題q：因為函數(shù)y＝f(x－2)關(guān)于y軸對稱，所以函數(shù)y＝f(x)關(guān)于直線x＝－2對稱，所以命題q為假命題，所以p真q假． 答案：C 6．已知命題p：x2－4x＋3＜0與q：x2－6x＋8＜0；若p且q是不等式2x2－9x＋a＜0成立的充分條件，則實數(shù)a的取值范圍是(　　) A．(9，＋∞) B．{0} C．(－∞，9] D．(0,

5、9] 解析：由x2－4x＋3＜0，可得p：1＜x＜3；由x2－6x＋8＜0，可得q：2＜x＜4，于是p且q為2＜x＜3.由條件可知{x|2＜x＜3}是不等式2x2－9x＋a＜0的解集的子集，即方程2x2－9x＋a＝0的兩根中一根小于等于2，另一根大于等于3. 令f(x)＝2x2－9x＋a，則有?a≤9. 答案：C 7．設(shè)a，b∈R，則f(x)＝x|sinx＋a|＋b為奇函數(shù)的充要條件是(　　) A．a(chǎn)2＋b2＝0 B．a(chǎn)b＝0 C. D．a(chǎn)2－b2＝0 解析：若f(x)是奇函數(shù)，則f(x)＋f(－x)＝0，即x|sinx＋a|＋b－x|sin(－x)＋a|＋b＝0. ∴

6、x(|sinx＋a|－|sinx－a|)＋2b＝0. ∵x、sinx不恒為0，∴a＝0，b＝0，∴a2＋b2＝0. 若a2＋b2＝0，則a＝0，b＝0，f(x)＝x|sinx|為奇函數(shù)． 答案：A 8．已知x、y∈R，A＝{(x，y)|x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|－＝1，a＞0，b＞0}，當(dāng)A∩B中只有一個元素時，a，b的關(guān)系式是(　　) A．a(chǎn)b＝ B．a(chǎn)b＝a＋b C．a(chǎn)＋b＝ D．|a－b|＝ 解析：由A∩B中只有1個元素知，圓x2＋y2＝1與直線－＝1相切，則1＝，即ab＝. 答案：A 9．(2010北京)a，b為非零向量，“a⊥b”是“函數(shù)f(x)＝

7、(xa＋b)(xb－a)為一次函數(shù)”的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 解析：因為f(x)＝(xa＋b)(xb－a)＝(ab)x2＋(|b|2－|a|2)x－ab.當(dāng)f(x)為一次函數(shù)時，必須滿足即故f(x)為一次函數(shù)時一定有a⊥b.當(dāng)a⊥b且|a|＝|b|時，f(x)為常函數(shù)，所以a⊥b不是f(x)為一次函數(shù)的充分條件，故選B. 答案：B 10．已知全集U為實數(shù)集R，集合M＝{x|<0|，N＝{x||x|≤1}，則下圖中陰影部分表示的集合是(　　) A．[－1,1] B．(－3,1] C．(－∞，－3]∪[－

8、1，＋∞) D．(－3，－1) 解析：∵M＝{x|<0}＝{x|－3

9、1)＜0時， 若0＜m＜1，則n＞1， 若m＞1，則0＜n＜1. 所以，logmn＜0，是“(m－1)(n－1)＜0”的充要條件． 答案：A 12．命題p：若a、b∈R，則|a|＋|b|＞1是|a＋b|＞1的充分而不必要條件；命題q：函數(shù)y＝的定義域是(－∞，0]∪[2，＋∞)．則(　　) A．“p或q”為真 B．“p且q”為真 C．p真q假 D．p假q假 解析：∵|a|＋|b|≥|a＋b|，從而|a|＋|b|＞1是|a＋b|＞1的必要不充分條件，所以命題p為假命題；解不等式|x－1|≥1，可得解集為(－∞，0]∪[2，＋∞)，所以q為真命題．故選A. 答案：A

10、二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分． 13．設(shè)全集S＝{2,3，a2＋2a－3}，A＝{|2a－1|,2}，若?SA＝{5}，則a＝__________. 解析：∵?SA＝{5}，∴5∈S，且5?A，∴a2＋2a－3＝5，即a2＋2a－8＝0，可解得a＝2，或a＝－4. 當(dāng)a＝2時，|2a－1|＝3，此時滿足3∈S； 當(dāng)a＝－4時，|2a－1|＝9?S，∴a＝－4，應(yīng)舍去． 綜上，a＝2. 答案：2 14．命題“ax2－2ax－3＞0不成立”是真命題，則實數(shù)a的取值范圍是__________． 解析：由題意，有ax2－2ax－3≤0恒成立． 當(dāng)a＝0時，－3≤0

11、成立； 當(dāng)a≠0時，有得－3≤a＜0.故－3≤a≤0. 答案：[－3,0] 15．已知集合A＝{x|log2x≤2}，B＝{x|x＜a}．若A∩B＝?，則實數(shù)a的取值范圍為__________． 解析：∵A＝{x|log2x≤2}，∴0＜x≤4. 又∵A∩B＝?，故a≤0. 答案：(－∞，0] 16．已知命題p：≤x≤1，命題q：x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0.若綈p是綈q的必要不充分條件，則實數(shù)a的取值范圍是__________． 解析：由綈p是綈q的必要不充分條件，知p是q的充分而不必要條件，則有{x|≤x≤1}{x|x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0}．

12、 設(shè)f(x)＝x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)，則有可解得a∈[0，]． 答案：[0，] 三、解答題：本大題共6小題，共70分． 17．(本小題滿分10分)已知集合A＝{x|x2－4x＋3＜0}，B＝{x|2≤x≤4}． (1)試定義一種新的集合運算Δ，使AΔB＝{x|1＜x＜2}； (2)按(1)的運算，求BΔA. 解析：易得A＝{x|1＜x＜3}，又B＝{x|2≤x≤4}． (1)∵AΔB＝{x|1＜x＜2}， 且由圖可知AΔB中的元素都在A中但不在B中，∴定義AΔB＝{x|x∈A，且x?B}． (2)由(1)可知，BΔA＝{x|x∈B，且x?A}＝{x|3≤x≤4

13、}． 18．(本小題滿分12分)已知命題p：方程x2＋mx＋1＝0有兩個不等的負根；命題q：方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0無實根．若“p或q”為真，“p且q”為假，求m的取值范圍． 解析：若方程x2＋mx＋1＝0有兩個不等的負根， 則解得m＞2，即命題p：m＞2； 若方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0無實根，則Δ＝16(m－2)2－16＝16(m2－4m＋3)＜0， 解得1＜m＜3，即命題q：1＜m＜3. 因為“p或q”為真，所以命題p、q至少有一個為真，又“p且q”為假，所以命題p、q至少有一個為假， 因此命題p、q應(yīng)是一真一假，即命題p為真，命題q為假，或命題p為假，命題

14、q為真． ∴或 解得m≥3，或1＜m≤2. 19．(本小題滿分12分)已知集合A＝{x|x2＋x－2≤0}，B＝{x|2≤x＋1≤4}，設(shè)集合C＝{x|x2＋bx＋c＞0}，且滿足(A∪B)∩C＝?，(A∪B)∪C＝R，求b，c的值． 解析：A＝{x|x2＋x－2≤0}＝{x|－2≤x≤1}， B＝{x|1≤x≤3}， ∴A∪B＝{x|－2≤x≤3}． ∵(A∪B)∩C＝?，(A∪B)∪C＝R， ∴C＝{x|x＜－2，或x＞3}． ∴－2,3是方程x2＋bx＋c＝0的兩根． ∴b＝－1，c＝－6. 20．(本小題滿分12分)設(shè)命題p：不等式ax＞1(a＞0，且a≠1)的解

15、集是{x|x＜0}；命題q：函數(shù)y＝lg(ax2－x＋a)的定義域為R.若“p或q”為真命題，同時“p且q”為假命題，求實數(shù)a的取值范圍． 解析：若p為真命題，則0＜a＜1. 若q為真命題， 由得a＞. ∵“p或q”為真命題，“p且q”為假命題， ∴p與q一真一假． 當(dāng)p真q假時，0＜a≤； 當(dāng)p假q真時，a≥1. ∴a的取值范圍是(0，]∪[1，＋∞)． 21．(本小題滿分12分)已知命題p：x∈A＝{x|a－1＜x＜a＋1，x∈R}，命題q：x∈B＝{x|x2－4x＋3≥0}． (1)若A∩B＝?，A∪B＝R，求實數(shù)a. (2)若綈q是p的必要條件，求實數(shù)a. 解析

16、：由題意，得B＝{x|x≥3，或x≤1}． (1)由A∩B＝?，A∪B＝R，可知A＝?RB＝(1,3)． ∴?a＝2. (2)∵B＝{x|x≥3，或x≤1}， ∴綈q：x∈{x|1＜x＜3}． ∵綈q是p的必要條件，即p?綈q， ∴A??RB＝(1,3)． ∴?2≤a≤2?a＝2. 22．(本小題滿分12分)已知命題p：x1和x2是方程x2－mx－2＝0的兩個實根，不等式a2－5a－3≥|x1－x2|對任意實數(shù)m∈[－1,1]恒成立；命題q：不等式ax2＋2x－1＞0有解，若命題p是真命題，命題q是假命題，求a的取值范圍． 解析：∵x1，x2是方程x2－mx－2＝0的兩個實根

17、， ∴ ∴|x1－x2|＝＝. ∴當(dāng)m∈[－1,1]時，|x1－x2|max＝3， 由不等式a2－5a－3≥|x1－x2|對任意實數(shù)m∈[－1,1]恒成立，可得a2－5a－3≥3. ∴a≥6，或a≤－1. ∴命題p為真命題時a≥6，或a≤－1， 命題q：不等式ax2＋2x－1＞0有解． ①當(dāng)a＞0時，顯然有解， ②當(dāng)a＝0時，2x－1＞0有解， ③當(dāng)a＜0時，∵ax2＋2x－1＞0有解， ∴Δ＝4＋4a＞0.∴－1＜a＜0. 從而命題q：不等式ax2＋2x－1＞0有解時a＞－1. 又命題q是假命題，∴a≤－1. 故命題p是真命題且命題q是假命題時，a的取值范圍為a≤－1. 7 用心 愛心 專心